logika matematika

LOGIKA MATEMATIKA

• Disusun oleh :Anggi Zulma SErna Ngamilatus SGeri Haidar FRatna Setyaningrum

Kelas : X4

SMA Negeri 1 Muntilan

Contoh :Tentukan Nilai kebenaran dari p => (p v q)

p q P v q P => (p v q)

KontradiksiPernyataan majemuk yang semua kemungkinan

nilai kebenarannya selalu bernilai salah

3. KontingensiPernyataan majemuk yang semua kemngkinan nilai kebenarannya bernilai benar atau salah.

Contoh:Tentukan nilai kebenaran (p V ~q) =>

~r

p q r ~q ~ r (pV ~q) (pV ~q)=> ~q

Ekuivalen

Dua buah pernyataan majemuk yang ekuivalen

Untuk memahami pengartian dua buah pernyataan majemuk yang ekuivalen, perhatikan dua buah pernyaan berikut :

a = (p v q ) dan b = ( q v p )Dari pernyataan a dan b itu dapat dibentuk

biimplikasi. a <=> b atau (p v q) <=> (q v p)Nilai kebenaran biimplikasi (p v q) <=> (q v p)

Secara umum dapat disimpulkan :

Tautologi yang berbentuk a <=> b dinamakan ekuivalen logis dan dituliskan dengan lambang a Ξ b.

Dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan –pernyataan komponennya.

Sifat komutatif a) p v q Ξ q v p b) p ٨ q Ξ q ٨ p .................. (4-2)Sifat asosiatif

a. (p v q) v r Ξ p v (q v r) b. (p ٨ q) ٨ r Ξ p ٨ (q ٨ r) ..................(4-3)Sifat distributif a) Distributif disjungsi terhadap konjungsi. p v (q ٨ r) Ξ (p v q) ٨ (p v r) b) Distributif konjungsi terhadap dijungsi. p ٨ (q v r) Ξ (p ٨ q) v (p ٨ r) ............(4-4)

Latihan 2.1. Carilah nilai kebenaran untuk negasi dari (p v q) Λ r

dengan tabel kebenaran2. Tentukanlah negasi dari pernyataan berikut :

a. p : Jika Jaka siswa SMA, maka ia lulusan SMPb. p : Jika x = 3, maka x2 = 9c. p : Jika x – 1 > 0, maka x2 – 5x + 4 > 0d. p : Semua ayam berbulu hitame. p : Ada beberapa persamaan kuadrat mempunyai

akar imajiner

14

Jawaban : 1. a. ~{(p v q) Λ r}

04/13/2023 15

S

B

BB

S

B

BB

L6

Jadi nilai kebenaran

untuk negasi dari (p v q) Λ r

adalah : SBBBSBBB

(p v q) Λ r ~ {(p v q) Λ r}

B

S

BS

B

S

BS

B

S

SB

B

S

SB

B

B

BB

S

S

SS

B

B

BB

B

S

BS

B

S

SS

B

S

SS

L2 L3L1 L4 L5

04/13/2023 16

2. a. p : Jika Jaka siswa SMA, maka ia lulusan SMP ~p : Jika Jaka bukan siswa SMA, maka ia bukan lulusan

SMPb. p : Jika x = 3, maka x2 = 9 ~p : Jika x ≠ 3, maka x2 ≠ 9c. p : Jika x – 1 > 0, maka x2 – 5x + 4 > 0 ~p : Jika x – 1 ≤ 0, maka x – 5x + 4 ≤ 0d. p : Semua ayam berbulu hitam ~p : Ada beberapa ayam yang berbulu hitame. p : Ada beberapa persamaan kuadrat mempunyai

akar imajiner ~p : Semua persamaan kuadrat mempunyai akar imajiner

D. Konvers, Invers, dan KontraposisiDari implikasi p q dapat dibentuk implikasi baru :

q → p disebut konvers dari implikasi semula

~ p → ~ q disebut invers dari implikasi semula

~ q → ~ p disebut kontraposisi dari implikasi semula

Contoh :p : Tia penyanyiq : Tia seniman

implikasi p → q : Jika Tia penyanyi maka Tia seniman

Konvers q → p : Jika Tia seniman maka Tia penyanyi

Invers ~ p → ~ q : Jika Tia bukan penyanyi maka Tia bukan seniman

Kontraposisi ~ q → ~ p : Jika Tia bukan seniman maka Tia bukan penyanyi

Latihan 1.1. Carilah nilai kebenaran pernyataan berikut dengan tabel

kebenaran a. (p v q) Λ r b. (~q Λ p) ↔ (~p v q) c. p → (p ↔ ~q)2. Tentukanlah Invers, Konvers dan Kontraposisi dari

pernyataan berikut :a. Jika Jaka siswa SMA, maka ia lulusan SMPb. Jika x = 3, maka x2 = 9c. Jika x – 1 > 0, maka x2 – 5x + 4 > 0

04/13/2023 20

Jawaban : 1. a. (p v q) Λ r

04/13/2023 21

(p v q) Λ r

b. (~q Λ p) ↔ (~p v q)

(~q Λ p) ↔ (~p v q)

c. p (p ↔ ~q)p (p ↔ ~q)

B

S

SB

BSS

BBSBBS

S BB

SBS

B

BSS

SBSS

S

B

S

BS

B

S

BS

B

S

SB

B

S

SB

B

B

BB

S

S

SS

B

B

BB

B

S

BS

B

S

SS

B

S

SS B

B

SS

BB

SS S

BS

B

S

S

BS

S

B

BB

L4L6L2 L3L1 L5 L7

L2 L3L1 L4 L5

L1 L2 L3L4L5

2. a. Jika Jaka siswa SMA, maka ia lulusan SMPInvers : Jika Jaka bukan siswa SMA, maka ia bukan

lulusan SMPKonvers : Jika Jaka lulusan SMP, maka ia siswa SMAKontraposisi : Jika Jaka bukan lulusan SMP, maka ia bukan

siswa SMAb. Jika x = 3, maka x2 = 9

Invers : Jika x ≠ 3, maka x2 ≠ 9Konvers : Jika x2 = 9, maka x = 3Kontraposisi : Jika x2 ≠ 9, maka x ≠ 3

c. Jika x – 1 > 0, maka x2 – 5x + 4 > 0Invers : Jika x – 1 ≤ 0, maka x – 5x + 4 ≤ 0Konvers : Jika x – 5x + 4 > 0, maka x – 1 > 0Kontraposisi : Jika x – 5x + 4 ≤ 0, maka x – 1 ≤ 0

04/13/2023 22