limit fungsi dan cara pengajarannya · beberapa fakta di lapangan • limit fungsi merupakan topik...

LIMIT FUNGSI DAN CARA

PENGAJARANNYA

Oleh :Supama

Departemen MatematikaFMIPA UGM

Disampaikan dalam:Workshop Pembelajaran Analisis

Matematika dan SNAMA 2019Universitas Pelita Harapan, Jakarta

BEBERAPA FAKTA DI LAPANGAN

• Limit fungsi merupakan topik kunci bidang

analisis matematika.

• Pada umumnya, peserta didik tidak/kurang

memahami konsep limit.

• Limit fungsi merupakan salah topik bahasan

yang oleh sebagian besar pengajar dianggap

paling sulit dalam mengajarkannya.

• … dst.

PENTING UNTUK DIPAHAMI DAN

DIHAYATI

• Latar Belakang dan Motivasi,

• Pengertian limit fungsi,

• Sifat-sifat limit dan implementasinya.

LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI

1. Menghitung luas lingkaran.

……. dst.

Di dalam lingkaran dibuat bidang segi n (n

polygon) sehingga titik-titik sudut segi n tersebut

berada pada lingkaran. Tentu dapat

dibayangkan bahwa apabila n “sangat besar”,

maka luas segi n akan mendekati luas lingkaran.

LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI

2. Masalah penjumlahan:

4

3

4

1

2

1

8

7

8

1

4

1

2

1

16

15

16

1

8

1

4

1

2

1

LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI

………………..

………………….dst.

32

31

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1

211

211

2

1

2

1...

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1

n

n

LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI

Apabila jumlahan dilakukan untuk n “sangat

besar”, maka hasil jumlahan akan “mendekati” 1.

LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI

3. Masalah mekanika:

Seseorang berangkat ke tempat kerja menggunakan

sepeda motor, dari rumah pukul 07.00 sampai ke

tempat kerja pukul 07.30. Jarak rumah ke tempat

kerja 15 km. Orang tersebut mengendarai sepeda

motor dengan kecepatan rata-rata

km/jam3000.0730.07

15

LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI

Secara umum, apabila pada pukul 07 lebih t menit,

orang tersebut telah menempuh jarak x km, maka

kecepatan rata-rata orang tersebut berkendaraan

adalah

km/jam.60

km/menitt

x

t

x

LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI

t

x

FUNGSI

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekalidijumpai adanya keterkaitan atau hubungan antarasatu obyek dengan obyek yang lain. Misalnya antarapedagang dan pembeli suatu barang, antara majikandan pelayan, antara bank dan nasabah, dst.

Hubungan-hubungan tersebut secara umum disebutrelasi.

Secara sistemik, suatu relasi menggambarkanhubungan antara anggota dari suatu kumpulanobyek dengan anggota dari kumpulan obyek yang lain.

Relasi yang memenuhi syarat tertentu, yaitu apabilasetiap unsur dalam suatu kumpulan obyekmempunyai hubungan dengan tepat satu obyek darikumpulan yang lain, disebut fungsi.

FUNGSI

Secara matematis, pengertian fungsi diberikan

sebagai berikut:

Diberikan himpunan tak kosong A dan B. Relasi

dari A ke B adalah suatu himpunan .

Relasi dari A ke B sehingga untuk setiap anggota

A berelasi dengan tepat satu anggota B disebut

fungsi dari A ke B.

BAR

FUNGSI

Jika sebarang anggota A diwakili dengan

variabel x dan anggota B yang oleh fungsi f

berelasi dengan x adalah y, maka fungsi f biasa

diberikan dengan rumus

)(xfy

LIMIT FUNGSI

Dari beberapa gambaran sebagaimana

disampaikan pada Latar Belakang dan Motivasi

di atas, kiranya secara matematis dapat dibuat

rumusan umumnya:

“Apabila diberikan suatu fungsi f dengan rumus

y=f(x), maka berapa nilai y apabila x “sangat

dekat” dengan c?”

Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa

contoh berikut.

LIMIT FUNGSI

Contoh 1. Diberikan . Berapa nilai

pada saat x “sangat dekat” dengan 0?

Jawab:

Nilai eksak yang menjadi jawaban pertanyaan di

atas tentu sulit ditentukan, bahkan tidak

mungkin. Mengapa demikian? Karena kita tidak

dapat memberikan kepastian nilai x yang

dimaksud.

Meskipun demikian, nilai pendekatan untuk

yang dimaksud bisa ditentukan. Perhatikan

tabel berikut.

1)( xxf )(xf

)(xf

LIMIT FUNGSI

x f(x) x f(x)

–1 0 1,24 2,24

–0,55 0,45 0.997 1,997

–0,125 0,875 0,00195 1,00195

–0,001 0,999 0,0000015 1,0000015

–0,000001 0,999999 0,000000001 1,000000001

… … … …

LIMIT FUNGSI

Dari tabel di atas dapat dilihat, apabila nilai x

semakin “dekat” dengan 0, maka akan

semakin “dekat” dengan 1.

CATATAN:

Adalah suatu kebetulan bahwa .

Dengan grafik, dapat digambarkan sebagai

berikut.

)(xf

1)0( f

LIMIT FUNGSI

Dari grafik dapat dilihat, apabila x “sangat

dekat” dengan 0, baik untuk x<0 maupun untuk

x>0, maka “sangat dekat” dengan 1.

1

)(xf

LIMIT FUNGSI

Contoh 2. Diberikan

Berapa nilai pada saat x “sangat dekat”

dengan 1?

Jawab:

Untuk kasus ini, jelas bahwa tidak ada

atau tak terdefinisi.

Yang menjadi pertanyaan, apakah hal itu

berakibat juga tidak ada untuk x “sangat

dekat” dengan 1?

1

1)(

2

x

xxg

)(xg

)1(g

)(xg

LIMIT FUNGSI

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita perlu

menganalisanya dengan cermat.

Perhatikan bahwa untuk ,

(Dalam hal ini, kita definisikan ).

Selanjutnya, untuk berbagai nilai , nilai

g(x) dapat dilihat pada tabel berikut.

)(11

)1)(1(

1

1)(

2

xfxx

xx

x

xxg

1x

1)( xxf

1x

LIMIT FUNGSI

x g(x) x g(x)

0 1 1,24 2,24

0,557 1,557 1,0997 2,0997

0,799999 1,799999 1,00195 2,00195

0,999999001 1,999999001 1,0000015 2,0000015

0,999999999 1,999999999 1,000000001 2,000000001

… … … …

LIMIT FUNGSI

Dengan grafik, nilai g(x) untuk berbagai nilai x

yang “sangat dekat” dengan 1 dapat dilihat pada

gambar berikut.

1

2

LIMIT FUNGSI

Jadi, baik dari tabel maupun dari grafik,

diperoleh bahwa semakin “dekat” nilai x dengan

1, maka nilai g(x) semakin “dekat” dengan 2.

Selanjutnya, perhatikan contoh berikut.

LIMIT FUNGSI

Contoh 3. Diberikan

Berapa nilai pada saat x “sangat dekat”

dengan 1?

1,1

1,1

1

)(

2

x

xx

x

xh

)(xh

LIMIT FUNGSI

Jawab:

Jelas bahwa . Muncul pertanyaan serupa

dengan pertanyaan pada Contoh 2, yaitu:

Apakah keadaan akan mengakibatkan

juga bernilai 1 ketika x “sangat dekat” dengan 1?

)(xh1)1( h

1)1( h

LIMIT FUNGSI

Sama halnya seperti fungsi g pada Contoh 2,

untuk ,

(Dalam hal ini, kita definisikan ).

Selanjutnya, untuk berbagai nilai , nilai

h(x) dapat dilihat pada tabel berikut.

)(11

)1)(1(

1

1)(

2

xfxx

xx

x

xxh

1x

1)( xxf

1x

LIMIT FUNGSI

x h(x) x h(x)

0 1 1,24 2,24

0,557 1,557 1,0997 2,0997

0,799999 1,799999 1,00195 2,00195

0,999999001 1,999999001 1,0000015 2,0000015

0,999999999 1,999999999 1,000000001 2,000000001

… … … …

LIMIT FUNGSI

Dengan grafik, nilai h(x) untuk berbagai nilai x

yang “sangat dekat” dengan 1 dapat dilihat pada

gambar berikut.

1

2

LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI

Apabila nilai fungsi di 0 untuk Contoh 1 dan

nilai fungsi di 1 untuk Contoh 2 dan Contoh 3

tidak diperhatikan, maka ada kesamaan situasi

pada ke tiga contoh tersebut. Berturut-turut kita

katakan:

Limit f(x) untuk x mendekati 0 sama dengan 1,

Limit g(x) untuk x mendekati 1 sama dengan 2,

Limit h(x) untuk x mendekati 1 sama dengan 2,

dan masing-masing ditulis dengan

2)(limdan,2)(lim,1)(lim110

xhxgxfxxx

LIMIT FUNGSI

Dengan demikian, dapat diturunkan definisi

limit fungsi secara formal, yaitu sebagai berikut.

Definisi 4. Fungsi f dikatakan mempunyai limit

L untuk x mendekati c, ditulis

jika untuk nilai x yang “sangat dekat” dengan c,

tetapi , berakibat f(x) “sangat dekat”

dengan L.

Lxfcx

)(lim

cx

LIMIT FUNGSI

Dalam bahasa matematika:

jika untuk setiap bilangan

terdapat bilangan sehingga untuk setiap

dengan berlaku:

lim ( )x c

f x L

0

0

( )x D f 0 x c

( )f x L

SIFAT-SIFAT DASAR LIMIT FUNGSI

(i)

(ii)

(iii) Jika dan ada, dan

maka:

(a)

(b)

)(lim xfcx

)(lim xgcx

kkcx

lim

cxcx

lim

Rk

)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx

)(lim)(lim xfkxkfcxcx

SIFAT-SIFAT DASAR LIMIT FUNGSI

(c)

(d)

)(lim).(lim)().(lim xgxfxgxfcxcxcx

0)(limasalkan,)(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xg

xf

xg

xf

cx

cx

cx

cx

SIFAT-SIFAT DASAR LIMIT FUNGSI

(e) untuk sebarang ,

.0)(limgenap,untukasalkan

,)(lim)(lim)3(

0)(limasalkan

,)(lim)(lim)2(

)(lim)(lim)1(

/1/1

xfn

xfxf

xf

xfxf

xfxf

cx

n

cx

n

cx

cx

n

cx

n

cx

n

cx

n

cx

Nn

CONTOH-CONTOH

1. Hitung .

Penyelesaian:

63lim 2

1

xx

x

261)1(3

61lim3

6)1(lim3

6limlim3lim63lim

2

2

1

2

1

11

2

1

2

1

x

x

xxxx

x

x

xxxx

CONTOH-CONTOH

2a. Hitung .

Penyelesaian:

3

152lim

2

2

x

xx

x

3

32

152.22

3limlim

15limlim2lim

3lim

152lim

3

152lim

2

22

22

2

2

2

2

2

2

2

xx

xxx

x

x

x

x

xx

x

xx

x

xx

CONTOH-CONTOH

Lxfcx

)(lim

cx

CONTOH-CONTOH

3. Hitung .

Penyelesaian:

Karena ,

maka penyelesaian sejalan dengan Contoh 2b.

1

23lim

2

2

1

x

xx

x

023limdan01lim 2

1

2

1

xxx

xx

Untuk ,

Oleh karena itu,

1

2

)1)(1(

)2)(1(

1

232

2

x

x

xx

xx

x

xx

2

1

11

21

)1(lim

)2(lim

1

2lim

1

23lim

1

1

12

2

1

x

x

x

x

x

xx

x

x

xx

1x

CONTOH-CONTOH

4. Hitung .

Penyelesaian:

15

1lim

2 xx

3

1

12.5

1

1limlim5

1

)15(lim

1

15

1lim

15

1lim

15

1lim

2/1

2/1

22

2/1

2

2/1

2

2/1

22

xxx

xxx

xx

xxx

CONTOH-CONTOH

5. Hitung .

Penyelesaian: (Sejalan dengan Contoh 2b)

2

35lim

2

2

x

x

x

3

2

39

22

35

2lim

352

22lim

352

95lim

35

35.

2

35lim

2

35lim

22

222

2

2

2

22

2

2

2

x

x

xx

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

xx

LIMIT SEARAH

Perkataan: (x mendekati c) mempunyai 2

kemungkinan pendekatan, yaitu

atau

Hal itu mendasari munculnya konsep limit searah,

yaitu: Limit Kiri dan Limit Kanan.

x c

,x c x c ,x c x c

LIMIT KIRI

Notasi:

Definisi:

jika untuk nilai x yang sangat “dekat”

dengan c, tetapi , berakibat f(x) “mendekati” L.

lim ( ) lim ( ) lim ( )x c x cx c

x c

f x L atau f x L atau f x L

lim ( )x c

f x L

x c

LIMIT KIRI

Dengan bahasa matematika:

jika untuk setiap bilangan

terdapat bilangan sehingga untuk setiap

dengan berlaku:

lim ( )x c

f x L

0

0 ( )x D f

c x c

( )f x L

LIMIT KANAN

Notasi:

Definisi:

jika untuk nilai x yang sangat “dekat”

dengan c, tetapi , berakibat f(x) “mendekati” L.

lim ( ) lim ( ) lim ( )x c x cx c

x c

f x L atau f x L atau f x L

lim ( )x c

f x L

x c

LIMIT KANAN

Dengan bahasa matematika:

jika untuk setiap bilangan

terdapat bilangan sehingga untuk setiap

dengan berlaku:

lim ( )x c

f x L

0

0 ( )x D f

c x c

( )f x L

SIFAT

ada jika dan hanya jika dan

keduanya ada dan = lim ( )x c

f x

lim ( )x c

f x

lim ( )x c

f x

lim ( )x c

f x

lim ( )x c

f x

LIMIT TAK HINGGA

Untuk , definisi limit dapat dituliskan

sebagai berikut.

Definisi 5. Fungsi f dikatakan mempunyai limit

L untuk x mendekati ∞ , ditulis

jika untuk nilai x yang “sangat besar tak

terbatas” arah positif berakibat f(x) “mendekati”

L.

Lxfx

)(lim

c

LIMIT TAK HINGGA

Untuk , definisi limit dapat dituliskan

sebagai berikut.

Definisi 6. Fungsi f dikatakan mempunyai limit

L untuk x mendekati ─∞ , ditulis

jika untuk nilai x yang “sangat besar tak

terbatas” arah negatif berakibat f(x) “mendekati”

L.

Lxfx

)(lim

c

LIMIT TAK HINGGA

Definisi 7. Fungsi f dikatakan mempunyai limit

tak hingga untuk x mendekati c , ditulis

jika untuk nilai x yang “sangat dekat” dengan c,

tetapi berakibat nilai f(x) menjadi “besar

tak terbatas” arah positif.

)(lim xfcx

cx

LIMIT TAK HINGGA

Definisi 8. Fungsi f dikatakan mempunyai limit

negatif tak hingga untuk x mendekati c , ditulis

jika untuk nilai x yang “sangat dekat” dengan c,

tetapi berakibat nilai f(x) menjadi “besar

tak terbatas” arah negatif.

)(lim xfcx

cx

LIMIT TAK HINGGA

Definisi 9. Fungsi f dikatakan mempunyai limit

tak hingga untuk x mendekati tak hingga ,

ditulis

jika untuk nilai x yang “cukup besar” arah

positif, berakibat nilai f(x) menjadi “besar tak

terbatas” arah positif.

)(lim xfx

LIMIT TAK HINGGA

Untuk limit-limit

didefinisikan secara sama.

)(limdan,)(lim,)(lim xfxfxfxxx

LIMIT TAK HINGGA

Dari definisi-definisi di atas, mudah dipahami:

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

x

lim.601

lim.4

lim.501

lim.3

0untuk,1

lim.2

0untuk,1

lim.1

0

0

CONTOH-CONTOH

7lim)3(lim73lim.3

0

)1(,1

lim1

1lim.2

.11

lim)1(lim1

lim.1

2

2

0020

xxx

yx

xxx

xxxx

xyyx

xx

x

x

CONTOH-CONTOH

1. Hitunglah

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa

Hal ini berakibat nilai limit yang ditanyakan

menjadi susah dikatakan. Apakah limit

tersebut tak ada?

52

13lim

2

2

xx

x

x

)52(limdan)13(lim 22 xxxxx

CONTOH-CONTOH

Perhatikan bahwa

Oleh karena itu, menggunakan sifat limit

diperoleh

31

3

521

13lim

52

13lim

2

2

2

2

xx

x

xx

x

xx

2

2

22

22

2

2

521

13

)521(

)13(

52

13

xx

x

xxx

xx

xx

x

CONTOH-CONTOH

CONTOH-CONTOH

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

CONTOH-CONTOH

CONTOH-CONTOH

CONTOH APLIKASI LIMIT FUNGSI

Contoh 6. Tunjukkan bahwa keliling lingkaran

dengan jari-jari R sama dengan .

Penyelesaian: Dibuat segi n beraturan di dalam

lingkaran sehingga setiap titik sudutnya berada

pada lingkaran.

R2

CONTOH APLIKASI LIMIT FUNGSI

Keliling segi n tersebut adalah

Untuk n cukup besar, maka nilai akan

mendekati keliling lingkaran. Oleh karena itu,

keliling lingkaran adalah

2. sin

.2. sin1

n

RnL n R

n n

nL

RLL nn

2lim

CONTOH APLIKASI LIMIT FUNGSI

Contoh 7. Suatu partikel bergerak mengikuti

persamaan

dengan t menyatakan waktu (dalam jam) dan

S(t) menyatakan jarak tempuh. Berapa

kecepatan partikel pada jam 2?

0,4)( 2 ttttS

CONTOH APLIKASI LIMIT FUNGSI

Penyelesaian:

Kecepatan rata-rata partikel dari jam 2 sampai

dengan jam 2+h, dengan adalah

Apabila diambil h sangat kecil mendekati 0,

maka akan diperoleh kecepatan pada saat jam 2,

yaitu

hh

ShSvh

8

)2()2(

0h

8lim)2(0

hh

vv

TERIMAKASIH