kuliah kesebelas statika

Materi Kuliah Kesebelas

1.Bidang gaya dalam pada balok 2.Gaya Dalam Pada Portal 3 sendi

3.Bidang gaya dalam pada portal 3 sendi

Tujuan Kuliah

Memberikan pengenalan dasar-dasar perhitungan gaya dalam

Diharapkan pada kuliah kesebelas mahasiswa mengenali konsep perhitungan gaya dalam pada balok dan portal 3 sendi

Materi kuliah : persamaan gaya dalam pada balok dan pada portal 3 sendi, bidang gaya dalam pada portal 3 sendi

Contoh Balok dengan tiga beban terpusat

Pada balok di atas dua tumpuan sendi dan roll, bekerja tiga beban terpusat P1, P2 dan P3. Akibat ketiga beban terpusat akan timbul reaksi Va = 8.3 kN dan Vb = 7.7 kN. Sepanjang balok akan muncul gaya lintang dan momen lentur dengan persamaan seperti terlihat pada gambar di samping.

0≤ X ≤ 0.4 Qx = Va 0.4 ≤ X ≤ 1.0 Qx = Va - P1 1.0 ≤ X ≤ 1.6 Qx = Va - P1 – P2 1.6 ≤ X ≤ 2.0 Qx = Va – P1 - P2 – P3

0 ≤ X ≤ 0.4 Mx = Va*X 0.4 ≤ X ≤ 1.0 Mx = Va*X – P1*(X-0.4) 1.0 ≤ X ≤ 1.6 Mx = Va*X – P1*(X-0.4) – P2*(X -1) 1.6 ≤ X ≤ 2.0 Mx = Va*X – P1*(X-0.4) – P2*(X -1) – P3 * (X - 1.6)

0≤ X ≤ 0.4 Qx = Va 0.4 ≤ X ≤ 1.0 Qx = Va - P1 1.0 ≤ X ≤ 1.6 Qx = Va - P1 – P2 1.6 ≤ X ≤ 2.0 Qx = Va – P1 - P2 – P3

0 ≤ X ≤ 0.4 Mx = Va*X 0.4 ≤ X ≤ 1.0 Mx = Va*X – P1*(X-0.4) 1.0 ≤ X ≤ 1.6 Mx = Va*X – P1*(X-0.4) – P2*(X -1) 1.6 ≤ X ≤ 2.0 Mx = Va*X – P1*(X-0.4) – P2*(X -1) – P3 * (X - 1.6)

Pada balok di atas dua tumpuan sendi dan roll, bekerja lima beban terpusat P1, P2 dan P3. Akibat ketiga beban terpusat akan timbul reaksi Va = 13.6 kN dan Vb = 11.4 kN.

Contoh Balok dewngan kantilever dengan lima beban terpusat

Untuk 0≤ X ≤ 0.6 Qx = - P1 Untuk 0.6 ≤ X ≤ 1.0 Qx = - P1 + Va Untuk 1.0 ≤ X ≤ 1.6 Qx = - P1 + Va – P2 Untuk 1.6 ≤ X ≤ 2.2 Qx = - P1 + Va – P2 – P3 Untuk 2.2 ≤ X ≤ 2.6 Qx = - P1 + Va – P2 – P3 – P4 Untuk 2.6 ≤ X ≤ 3.2 Qx = - P1 + Va – P2 – P3 – P4 + Vb

Persamaan untuk mencari momen lentur pada potongan X dengan cara pandang kiri : 0 ≤ X ≤ 0.6 Mx = -P1 * X 0.6 ≤ X ≤ 1.0 Mx = -P1 * X + Va*(X-0.6) 1.0 ≤ X ≤ 1.6 Mx = - P1 * X +Va *(X-0.6) – P2*(X-1) 1.6 ≤ X ≤ 2.2 Mx = - P1 * X + Va *(X-0.6) – P2*(X-1) – P3*(X-1.6) 2.2 ≤ X ≤ 2.6 Mx = - P1 * X + Va *(X-0.6) – P2*(X-1) – P3*(X-1.6) – P4 * (X-2.2) 2.6 ≤ X ≤ 3.2 Mx = - P1 * X + Va *(X-0.6) – P2*(X-1) – P3*(X-1.6) – P4 * (X-2.2) + Vb * (X-2.6)

Bidang momen digambar pada sisi serat tertarik

0 ≤ X ≤2 Nx = - 3.464 kN

2 ≤ X ≤6 Nx = - 3.464 kN 6 ≤ X ≤8 Nx = - 3.464 kN 8 ≤ X ≤10 Nx = - 3.464 kN 10 ≤ X ≤16 Nx = 0

0 ≤ X ≤2 Qx = - P1 sin 30 – q1*X 2 ≤ X ≤6 Qx = - P1 sin 30 – q1*X + Va 6 ≤ X ≤8 Qx = - P1 sin 30 – q1*6 + Va 8 ≤ X ≤10 Qx = - P1 sin 30 – q1*6 + Va – P2 – q2 *(X-8) 10 ≤ X ≤12 Qx = - P1 sin 30 – q1*6 + Va – P2 – q2 *(X-8) + Vb 12 ≤ X ≤16 Qx = VS – 1/2*q3*(X-12)2/L

X/7.75 = (4-X)/0.25

0.25X = 7.75*4 – 7.75X

(7.75+0.25)X = 7.75*4

X = 7.75/(7.75+0.25) * 4

0 ≤ X ≤2 Mx = - P1 sin 30 * X – ½ * q1*X2

2 ≤ X ≤6 Mx = - P1 sin 30 * X – ½ * q1*X2 + Va *(X-2) 6 ≤ X ≤8 Mx = - P1 sin 30 * X – q1*6*(X-3) + Va *(X-2) 8 ≤ X ≤10 Mx = - P1 sin 30 * X – q1*6*(X-3) + Va *(X-2) – P2 * (X-8) – ½ * q2 * (X-8)2 10 ≤ X ≤12 Mx = - P1 sin 30 * X – q1*6*(X-3) + Va *(X-2) – P2 * (X-8) – ½ * q2 * (X-8)2 + VB * (X-10) 12 ≤ X ≤16 Mx = VS*(X -12) – 1/6*q3*(X-12)3/L

Bidang momen digambar pada sisi serat tertarik

Bidang momen digambar pada

sisi serat tertarik

MX = -P1 sin30*X -1/2*q1*X2 + Va * (X-2) dMX/dX = -P1 sin 30 – q1*X + Va Untuk mencari harga maksimum : dMX/DX = 0 -P1 sin30 –q1*X + Va = 0 X = (Va-P1sin30)/q1 X = (13.75 – 2)/2 = 5.875 Posisi momen maksimum ada pada jarak 5.875 m dari ujung kiri atau 3.875 m dari tumpuan A. Mmax = -2*5.875 – ½*2*5.8752 + 13.75*(5.875-2) Mmax = 7.0156 kNm

0 ≤ X ≤1.5 Nx = 0

1.5 ≤ X ≤6 Nx = P1cos30 6 ≤ X ≤8 Nx = P1cos30 8 ≤ X ≤12 Nx = P1cos30 – P2 cos30 12 ≤ X ≤14 Nx = 0

Bid N

0 ≤ X ≤1.5 Qx = Va – q1*X 1.5 ≤ X ≤6 Qx = Va – q1*X – P1sin 30 6 ≤ X ≤8 Qx = Va – q1*X – P1sin 30+ Vb 8 ≤ X ≤12 Qx = Va – q1*X – P1sin 30+ Vb – P2sin30- q2*(X-8) 12 ≤ X ≤14 Qx = Va – q1*X – P1sin 30+ Vb – P2sin30- q2*(X-8) + Vc

Bid D

X = 3.708/(3.708+8.292) * 4X = 1.236 m

Bid D

Bid D

0 ≤ X ≤1.5 Mx = Va*X- ½*q1*X2

1.5 ≤ X ≤6 Mx = Va*X- ½*q1*X2 - P1 sin 30 *(X-1.5) 6 ≤ X ≤8 Mx = Va*X- q1*6*(X-3) - P1 sin 30 *(X-1.5) + Vb*(X-6) 8 ≤ X ≤12 Mx = Va*X- q1*6*(X-3) - P1 sin 30 *(X-1.5) + Vb*(X-6) – P2sin30*(X-8)- ½*q2*(X-8)2

12 ≤ X ≤14 Mx = Va*X- q1*6*(X-3) - P1 sin 30 *(X-1.5) + Vb*(X-6) – P2sin30*(X-8)- ½*q2*(X-8)2 +Vc*(X-12)

Bid M

Bidang momen digambar pada sisi serat tertarik

Bid M

Bidang momen digambar pada sisi serat tertarik

8 ≤ X ≤12 Mx = Va*X- q1*6*(X-3) - P1 sin 30 *(X-1.5) + Vb*(X-6) – P2sin30*(X-8)- ½*q2*(X-8)2

dMx/dX = Va-q1*6-P1sin30+Vb-P2sin30-q2*(X-8) 5.875-2*6-3+14.833-2-3*(X-8) = 0 3X = 27.708

X= 9.236 m ( 1.236 dari posisi beban P2)

Bid M

8 ≤ X ≤12 Mx = Va*X- q1*6*(X-3) - P1 sin 30 *(X-1.5) + Vb*(X-6) – P2sin30*(X-8)- ½*q2*(X-8)2 X = 9.1236 Mx = 5.875*9.236-2*6*(9.236-3)-3*(9.236-1.5)+14.833*(9.236-6)-2*(9.236-8)- ½ *3* (9.236-8)2

Mx = -0.5424 kNm Mx = -0.5404 kNm

Bid M

Bid N

Bid D

Bid M

Bidang Gaya Dalam Portal Tiga Sendi

Perjanjian Tanda Gaya Dalam Portal Tiga Sendi

Perjanjian tanda gaya dalam pada tiang/kolom sama seperti pada balok. Pada potongan 3 dan 4 akan timbul gaya dalam : N = Va (-) Qy = Ha (+ ) M3y = Ha*Y (serat tertarik ada pada bagian kanan sumbu batang)

Pada potongan 5 dan 6 akan timbul gaya dalam : N = Va (-) Qy = Ha – P2 (-) M5y = Ha*Y – P2*(Y-3) (serat tertarik ada pada bagian kiri sumbu batang)

Daerah A-C 0 ≤ Y ≤3 Ny = -Va

3 ≤ X ≤6 Ny = -Va Daerah B-D 0 ≤ X ≤4 Ny = -Vb 4 ≤ X ≤6 Ny = -Vb

Daerah C-D 0 ≤ X ≤5 Nx = Ha – P2 5 ≤ X ≤7 Nx = Ha – P2

Bid N

Bid N

Daerah A-C 0 ≤ Y ≤3 Ny = -Va

3 ≤ X ≤6 Ny = -Va Daerah B-D 0 ≤ X ≤4 Ny = -Vb 4 ≤ X ≤6 Ny = -Vb

Daerah C-D 0 ≤ X ≤5 Nx = Ha – P2 5 ≤ X ≤7 Nx = Ha – P2

Daerah A-C 0 ≤ Y ≤3 Qy = Ha

3 ≤ X ≤6 Qy = Ha- P2 Daerah B-D 0 ≤ X ≤4 Qy = -Hb 4 ≤ X ≤6 Qy = -Hb + P3

Daerah C-D 0 ≤ X ≤5 Qx = Va 5 ≤ X ≤7 Qx = Va – P1

Bid D

Bid D

Daerah A-C 0 ≤ Y ≤3 Qy = Ha

3 ≤ X ≤6 Qy = Ha- P2 Daerah B-D 0 ≤ X ≤4 Qy = -Hb 4 ≤ X ≤6 Qy = -Hb + P3

Daerah C-D 0 ≤ X ≤5 Qx = Va 5 ≤ X ≤7 Qx = Va – P1

Daerah A-C 0 ≤ Y ≤3 My = Ha*Y

3 ≤ X ≤6 My = Ha*Y – P2*(Y-3) Daerah B-D 0 ≤ X ≤4 My = Hb*Y 4 ≤ X ≤6 My = Hb*Y - P3*(Y-4)

Daerah C-D 0 ≤ X ≤5 Mx = Va*X+Ha*6-P2*3 5 ≤ X ≤7 Mx = Va*X+Ha*6-P2*3-P1*(X-5)

Bid M

Bidang momen digambar pada sisi serat tertarik

Daerah A-C 0 ≤ Y ≤3 My = Ha*Y

3 ≤ X ≤6 My = Ha*Y – P2*(Y-3) Daerah B-D 0 ≤ X ≤4 My = Hb*Y 4 ≤ X ≤6 My = Hb*Y - P3*(Y-4)

Daerah C-D 0 ≤ X ≤5 Mx = Va*X+Ha*6-P2*3 5 ≤ X ≤7 Mx = Va*X+Ha*6-P2*3-P1*(X-5)

Bid M

Bidang momen digambar pada sisi serat tertarik

Bid M

Bidang momen digambar pada sisi serat tertarik

Daerah A-C 0 ≤ Y ≤9 Ny = -Va

Daerah B-D 0 ≤ X ≤9 Ny = Vb

Daerah C-D 0 ≤ X ≤8 Nx = -Ha – P3 – P2

Bid N

Bid N

Daerah A-C 0 ≤ Y ≤9 Ny = -Va

Daerah B-D 0 ≤ X ≤9 Ny = Vb

Daerah C-D 0 ≤ X ≤8 Nx = -Ha – P3 – P2

Daerah A-C 0 ≤ Y ≤3 Qy = -Ha 3 ≤ Y ≤6 Qy = -Ha – P3 6 ≤ Y ≤9 Qy = -Ha – P3 – P2 Daerah B-D 0 ≤ X ≤9 Qy = -Hb + q1*Y

Daerah C-D 0 ≤ X ≤2 Qx = Va 2 ≤ X ≤8 Qx = Va – P1

Bid D

Daerah A-C 0 ≤ Y ≤3 Qy = -Ha 3 ≤ Y ≤6 Qy = -Ha – P3 6 ≤ Y ≤9 Qy = -Ha – P3 – P2 Daerah B-D 0 ≤ X ≤9 Qy = -Hb + q1*Y

Daerah C-D 0 ≤ X ≤2 Qx = Va 2 ≤ X ≤8 Qx = Va – P1

Bid D

Mencari gaya lintang pada kolom BD = 0 Y = 18.1944/(18.1944+8.8056)*9 =

Y = 6.0648 m

Bid D

Daerah A-C 0 ≤ Y ≤3 My = Ha*Y

3 ≤ X ≤6 My = Ha*Y + P3*(Y-3) 6 ≤ X ≤9 My = Ha*Y + P3*(Y-3) + P2*(Y-6) Daerah B-D 0 ≤ X ≤9 My = Hb*Y – ½ * q1 * Y2

Daerah C-D 0 ≤ X ≤2 Mx = Va*X - Ha*9 – P3*6 - P2*3 2 ≤ X ≤8 Mx = Va*X - Ha*9 – P3*6 - P2*3 – P1*(X-2)

Bid M

Bidang momen digambar pada sisi serat tertarik

Daerah A-C 0 ≤ Y ≤3 My = Ha*Y

3 ≤ X ≤6 My = Ha*Y + P3*(Y-3) 6 ≤ X ≤9 My = Ha*Y + P3*(Y-3) + P2*(Y-6) Daerah B-D 0 ≤ X ≤9 My = Hb*Y – ½ * q1 * Y2

Daerah C-D 0 ≤ X ≤2 Mx = Va*X - Ha*9 – P3*6 - P2*3 2 ≤ X ≤8 Mx = Va*X - Ha*9 – P3*6 - P2*3 – P1*(X-2)

Bid M

Bidang momen digambar pada sisi serat tertarik

My = Hb*Y – ½ * q1 * Y2 My = 18.1944 * Y – ½ * 3 * Y2 dMy/dY = 18.1944 – 3*Y dMy/dY = 18.1944 – 3*Y = 0 3Y = 18.1944 Y = 6.0648 m

Bid M

Mmax = 18.1944*6.0648 – ½ * 3 * 6.06482 Mmax = 55.1727 kNm

Bid M

Bidang momen digambar pada sisi serat tertarik

Resume perhitungan dan penggambaran bidang gaya dalam pada balok atau portal 3 sendi : 1. Gambar bidang gaya normal dan lintang selalu memperhatikan tanda positif atau

negatif.

2. Posisi penggambaran bidang gaya lintang di atas atau di bawah (pada balok) dan dikiri atau dikanan (pada kolom) tidak menjadi persoalan penting pada saat penggambaran bidang gaya dalam.

3. Bidang momen akan lebih baik jika memperhatikan posisi dari serat tertarik dan tertekan. Gambar bidang momen pada umumnya dilakukan pada posisi serat tertarik. Bidang momen boleh tidak menggunakan tanda positif atau negatif.

4. Jika pada struktur bekerja beban merata atau segitiga dan gambar bidang lintang (garis lintang) memotong sumbu batang, maka perlu dihitung nilai momen maksimum pada posisi gaya lintang = 0

5. Posisi lintang = 0 dapat dilakukan dengan cara grafis (dua segitiga sebangun) atau dengan menggunakan penurunan persamaan momen.

Tugas No 3 Statika:

Soal No 1 :

Balok gerber dengan bentuk dan bentang seperti terlihat pada gambar di atas menderita beban-beban P1, P2, q1, q2 dan q3 (lihat gambar). P2 = …………….. kN; a = ……………… m; a = ……………..o

1. Hitung reaksi perletakan balok gerber di atas secara analitis 2. Tuliskan persamaan gaya dalam pada balok 3. Gambar bidang gaya dalam (N, D, M) pada balok 4. Gambarkan Freebody diagram pada titik A dan B

Catatan : P2, a dan a diisi oleh asisten dosen

Soal No 2 : Catatan : P2, a dan a diisi oleh asisten dosen

Tugas No 3 Statika:

Soal No 2 :

Portal tiga sendi ABS dengan bentang dan ukuran seperti terlihat pada gambar di atas, menderita beban-beban P1, P2, P3, P4, q1, q2 dan q3

P2 = …………….. kN; a = ……………… m; a = ……………..o

1. Hitung reaksi perletakan portal tiga sendi di samping secara analitis 2. Tulis persamaan gaya dalam pada portal 3. Gambarkan bidang gaya dalam (N, D dan M) dengan skala yang benar 4. Gambarkan Freebody diagram pada titik C dan D

Tugas No 3 Statika:

Soal No 3 :

Catatan : P2, a dan a diisi oleh asisten dosen

Tugas No 3 Statika:

Soal No 3 :

Portal tiga sendi ABS dengan bentang dan ukuran seperti terlihat pada gambar di atas, menderita beban-beban P1, P2, P3, P4, q1, q2 dan q3

P2 = …………….. kN; a = ……………… m; a = ……………..o

1. Hitung reaksi perletakan portal tiga sendi di samping secara analitis 2. Tulis persamaan gaya dalam pada portal 3. Gambarkan bidang gaya dalam (N, D dan M) dengan skala yang benar 4. Gambarkan Freebody diagram pada titik C dan D

Tugas No 3 Statika:

Tugas dikumpulkan paling lambat Tanggal 2 Januari 2013 setelah mendapat persetujuan dari masing-masing asisten dosen.

Tugas diberikan pada : Nama : ………………………………………………………….. NIM : ……………………………………………………………. Tanggal : ………………………………………………………. Tanda Tangan Assisten : ……………………………………

Tugas No 3 Statika: