kalkulus_13_optimasi dengan kendala persamaan

OPTIMASI MULTIVARIAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN

Oleh : Hafidh Munawir

BENTUK-BENTUK FUNGSI MULTIVARIAT DARI SEGI BENTUK GRAFIK

I. Fungsi Linier : Y = ao + a1X1 + a2X2

Contoh: Y = 50 + 0,50 X1 + 0,60 X2

II. Bentuk Non- Linier:II. Bentuk Non- Linier:2.1. Fungsi Kuadrat :

Y = 12X1 + 18X2 - 2X12 - X1.X2 – 2X2

2

2.2. Fungsi Eksponen : Y = ao.a1X1.a2

X2

Y = 5. 0,8X1. 0,4X2

Lanjutan:

2.3. Fungsi Pangkat : Y = ao.X1a1.X2

a2

Contoh: Y = 50.X10,7.X2

0,4

2.4. Fungsi Transedental : 2.4. Fungsi Transedental :

Y = ao.X1a1.X2

a2 .eb1X1.eb2X2

Y = 50.X10,7.X2

0,4. e 0,6X1.e.0,5X2

BENTUK-BENTUK FUNGSI DARI SEGI KENDALA

Fungsi Tak Berkendala

Fungsi Berkendala

PENGERTIAN FUNGSI TAK BERKENDALA

Contoh : Fungsi Keuntungan :

),( 21 QQf

π = KeuntunganQ1 = Output Q1Q2 = Output Q2

2221

2121 2.21812 QQQQQQ

Dari fungsi ini :Variabel Q1 dan Q2 independen

(tidak saling tergantung)(tidak saling tergantung)Besaran Q1 dan Q2 tidak ada

pembatasTitik optimum fungsi adalah titik

”Optimum Bebas”

Titik optimum bebasnya dicapai diwaktu π’ = 0

)1....(..........04120Q 21

QQ

)2...(..........04180

)1....(..........04120Q

212

211

QQQ

QQ

Substitusi (1) & (2), didapat :

4*

2*

2

1

Q

Q *)*,(* 21 QQf

asOptimumBebQQ **,2*,1

PENGERTIAN FUNGSI BERKENDALA

Fungsi Berkendala:

Q1 + Q2 = 950 …Pers.pembatas

),( 21 QQf ……… Fungsi Tujuan

Q1 + Q2 = 950 …Pers.pembatas

Perusahaan memproduksi 2 macamproduksi (Q1&Q2) dengan tujuanmemaksimumkan keuntungan;

Lanjutan:

Masalah yang dihadapi adalah terbatasnyamodal, sehingga jumlah produksi dibatasi(kuota produksi) 950 satuan.Jika jumlah produksi dibatasi (kuota produksi = 950 satuan), berapa jumlah Q1 dan Q2 untuk mencapai keuntungan maksimum....?

Lanjutan:

Keuntungan Maksimum tersebutdisebut ‘Titik Optimum Terkendala”atau “Maksimum Terkendala”atau “Maksimum Terkendala”Salah satu Cara menentukan titik

optimum terkendala yaitu denganMetode pengali Lagrange (LagrangeMultipliers)

Persamaan dengan kendala U = f (x, y)………Fungsi Tujuan

ax + by = c…...Pers.Kendala.

Persamaan lagrange

Persamaan fungsi diatas kemudian diubah menjadi persamaan lagrange

Persamaan Lagrange:Z = f(x,y) + λ (c – ax – by)

Langkah2 metode lagrange Membentuk persamaan kendala menjadi persamaan

lagrange Mencari turunan pertama untuk semua variabel : Zx =

0, Zy = 0, dan Zλ = 0 Eliminasikan persamaan turunan pertama diatas sehingga Eliminasikan persamaan turunan pertama diatas sehingga

mendapatkan nilai x0, y0, dan λ0 Menentukan nilai kritis dengan masukkan nilai x0, y0, λ0

ke dalam persamaan awal f(x,y) atau persamaan lagrange Menentukan apakah nilai kritis maks/min/saddle pointa. Jika Zxx > 0, Zyy > 0, dan D > 0 minimumb. Jika Zxx < 0, Zyy < 0, dan D > 0maksimumc. Jika D < 0 titik pelana (saddle point)

Contoh Soal :

Diketahui Fungsi Tujuan (Fungsi Biaya):C = 6x2 + 3y2

Dengan Kendala:x + y = 18x + y = 18Tentukan :a. Nilai x*, y* yang Meminimisasi Biaya, dan Besarnya

Biaya Minimum C*; b. Buktikan C* adalah Optimum Minimum.

Jawaban:Fungsi Lagrange:

C = 6x2 + 3y2 + λ ( 18 – x – y)

Turunan Pertama = 0dC/ dx = Zx = 12x – λ = 0……….(1)dC/ dy = Zy = 6y - λ = 0…………(2)dC/ d λ = Zλ = 18 –x – y = 0 .....…(3)

MENENTUKAN TITIK KRITIS

Eliminasi pers (1) dan (2); persamaan (3) dan (4):(1) Zx=0=12x-λ(2) Zy=0=6y-λJadi : 12x-6y=0 ..............(4) (3) 18 - x -y = 0 x 6 108 – 6x – 6y = 0(3) 18 - x -y = 0 x 6 108 – 6x – 6y = 0(4) 12x-6y = 0 x 1 12x – 6y = 0Jadi : 108-18x = 0

x = 6 ; y = 12, λ = 72f(x,y) = 6x2 + 3y2 = 6*36 + 3*144 = 216+432 = 648Titik kritis (6,12,648)

Menentukan maks/min/saddle Zxx = 12; Zyy = 6; Zxy = 0; Zyx = 0 D= 12*6 – 0*0 = 72

Karena Zxx > 0, Zyy > 0, dan D > 0 minimum Nilai minimum = 648 Titik kritis/titik minimum = (6,12,648)

Lanjutan: Fungsi Utilitas

Contoh Soal : Optimasi Fungsi Multivariat Berkendala:

Seorang konsumen memiliki fungsi utilitas :U = Q1 . Q2 + 2 Q1 … Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas)Nilai U adalah positif untuk Semua nilai Q1 dan Q2.dan Q2.

Persamaan Kendala (Garis Anggaran): P1.Q1 + P2.Q2 = M........4Q1 + 2Q2 = 60.

Tentukan Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas....?

Persamaan Kendala Anggaran (Persamaan Pembatas):

6024.. 212211 QQMQPQP QQ

BL: Pers.Kendala (garis Anggaran)

Q2

I : Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas tertentu)

BL: Pers.Kendala (garis Anggaran)

Q1Q1*

Q2*

0

Metode Pengali LagrangeMenentukan Fungsi Lagrange:

U = Q1.Q2 + 2Q1 + λ ( 60 – 4Q1- 2Q2).

Turunan Petama Fungsi = 0.dU/dQ1 = f1 = Q2 + 2 – 4 λ = 0 ……(1)dU/dQ2 = f2 = Q1 - 2 λ = 0 ...….(2)dU/d λ = f λ = 60 – 4Q1 – 2Q2 = 0….(3)

Subtitusikan (1) ke (2):

Eliminasi pers.(1) dan (2) dengan cara menyamakan λ :(1)....dU/dQ1 = Q2 + 2 – 4 λ = 0 …......( x1)(2)....dU/dQ2 = Q1 - 2 λ = 0 ……...(x2)Jadi : (1)....Q2 + 2 – 4 λ = 0

(2)....2Q1 - 4 λ = 0.jadi: Q2 + 2 – 2Q1 = 0 Q2 = 2Q1 – 2 ……………(a)

Substitusikan (a) ke Persamaan kendala:

Substitusikan (a) ke persamaan (3):dU/d λ = 60 – 4Q1 – 2Q2 = 0…….(3)Jadi: 60 – 4Q1 – 2 (2Q1 – 2) = 060 – 8Q + 4 = 0………Q * = 8.60 – 8Q1 + 4 = 0………Q1* = 8.

(3)…....60 – 4(8) – 2Q2 = 028 – 2Q2 = 0 ……..Q2* = 14.

II. KOMBINASI INPUT DENGAN BIAYA TERKECIL

Formulasi Masalahnya adalah:Meminimisasi biaya:C = P1.X1 + P2.X2………Fungsi Tujuan

(Persamaan Biaya Tetrtentu/ Isocost)(Persamaan Biaya Tetrtentu/ Isocost)

Dengan Kendala Quota Produksi:Q0 = f ( X1, X2 )…………Pers.Kendala

(Fungsi Produksi Tertentu/ Isoquant)

Fungsi Lagrange:

C = P1.X1 + P2.X2 + λ [ Qo – f (X1,X2)]Menentukan Turunan Pertama Fungsi:dC/dX1 = f1 = 0 …………..(1)dC/dX2 = f2 = 0 …………..(2)dC/d λ = f3 = 0 ………….(3)dC/d λ = f3 = 0 ………….(3)

SOAL JAWAB LATIHAN OPTIMASI FUNGSI BERKENDALA

1. Minimisasi biaya dengan kendala output:

Diketahui Tungsi tujuan: TC = 4Q12 +5Q22-6Q2;

dan persamaan kendala: Q1 + 2Q2 = 18;dan persamaan kendala: Q1 + 2Q2 = 18;Tentukan:a.Jumlah Q1 dan Q2 yang meminimum biaya;b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah

optimum minimum.

Lanjutan: soal latihan

2. Minimisasi Biaya Kendala Output:

Diketahui TC = 6Q12 + 3Q2

2; dengan kendala : Q1 + Q2 =18; Tentukan:dengan kendala : Q1 + Q2 =18; Tentukan:

a.Jumlah Q1 dan Q2 yang meminimum biaya;b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum

minimum.

Lanjutan: soal latihan

3. Minimisasi Biaya kendala output:Diketahui fungsi tujuan: TC=Q1

2+2Q22-Q1.Q2;

dengan kendala: Q1+Q2=8. Tentukan:

a.Jumlah Q dan Q yang meminimum a.Jumlah Q1 dan Q2 yang meminimum biaya;

b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum minimum.

Lanjutan: Soal latihan

4. Optimum produksi kendala Cost: Diketahui TP=-5X1

2 +10X1.X2-7X22+40X1; kendala

X1+X2=1. Tentukan:a.Jumlah Q dan Q yang memaksimum TP;a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum TP;b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah

optimum maksimum.

Lanjutan: soal latihan5. Maksimisasi produksi kendala Biaya:Diketahui fungsi tujuan: TP=X1

2+5X1.X2-4X22, dengan

kendala: 2X1+3X2=74. Tentukan:

a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum TP;

b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

Lanjutan: Soal jawab

6. Maksimimisasi Utilitas Kendala Anggaran:

Diketahui fungsi utilitas U=Q1.Q2; dengan kendala: 15Q1+5Q2=150. Tentukan:kendala: 15Q1+5Q2=150. Tentukan:

a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum U;b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut

adalah optimum maksimum.

Lanjutan: Soal jawab

7. Maksimisasi Utilitas kendala anggaran:Diketahui fungsi tujuan: U = 4Q1.Q2 – Q22 ; dan Kendala:2Q1 + 5Q2 = 11. Tentukan :

a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum U;b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah

optimum maksimum.

Lanjutan: soal latihan8. Optimasi utilitas kendala anggaran:Diketahui fungsi tujuan: U = 27 + 6Q1.Q2 – 2Q12 –

Q22. dengan kendala: Q1+Q2 = 9.Tentukan:a.Jumlah Q dan Q yang memaksimum Utilitas;a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas;b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah

optimum maksimum.

Lanjutan: soal latihan

9. Optimasi utilitas kendala anggaran:Diketahui fungsi tujuan :U = 16Q1 + 26Q2 – Q12 –

Q22. Kendala: 3Q1 + 4Q2 = 26.Tentukan:Tentukan:a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas;b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah

optimum maksimum.

Lanjutan: Soal jawab

10. Optimum Utilitas kendala anggaran:Diketahui fungsi tujuan :U = Q12 +2Q22 +5Q1.Q2.

Dengan kendala:5Q1 + 10Q2 = 90. Tentukan:a. Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas;b. Tentukan U optimum;c. Buktikan bahwa U Optimum Maksimum.

Lanjutan: soal latihan

11. Optimasi utilitas kendala anggaran:Fungsi Utilitas :U = 4Q1Q2 – Q1

2 – 3Q22

Fungsi Anggaran :Fungsi Anggaran :2Q1 + 3Q2 = 45Tentukan:a. Q1 dan Q2 yang memaksimumkan utilitasb. Tentukan U optimum,buktikan bahwa Uoptimum adalah optimum maksimum.