kalkulus iii mgg 1

Bab I

Matriks dan OperasinyaMatriks dan Operasinya

• Diketahui data hasil penjulan tiket

penerbangan tujuan Medan dan Surabaya,

dari sebuah agen tiket di Bandung selama

empat hari berturut-turut disajikan dalam

tabel berikut.

• Pada saat Anda membaca tabel tersebut maka

hal pertama yang Anda perhatikan adalah kota

tujuan, kemudian banyaknya tiket yang habis

terjual untuk masing-masing kota setiap

harinya.

• Data pada tabel tersebut, dapat Anda• Data pada tabel tersebut, dapat Anda

sederhanakan dengan cara menghilangkan

semua keterangan (judul baris dan kolom)

pada tabel, dan mengganti tabel dengan

kurung siku menjadi bentuk seperti berikut.

• Berdasarkan bentuk tersebut, dapat Anda

lihat bahwa data yang terbentuk terdiri ataslihat bahwa data yang terbentuk terdiri atas

bilangan-bilangan yang tersusun dalam baris

dan kolom. Susunan bilangan seperti inilah

yang dinamakan sebagai matriks.

Definisi Matriks

• Definisi Matriks

• Matriks adalah sekelompok bilangan yang

disusun menurut baris dan kolom dalam tanda

kurung dan berbentuk seperti sebuah kurung dan berbentuk seperti sebuah

persegipanjang.

• Tanda kurung yang digunakan dalam sebuah

matriks dapat berupa tanda kurung biasa “( )”

atau tanda kurung siku “[ ]”.

• Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom,

jika matriks tersusun atas m baris dan n kolom

maka dikatakan matriks tersebut berukuran

(berordo ) m x n. Penulisan matriks biasanya

menggunakan huruf besar A, B, C dan

seterusnya, sedangkan penulisan matriksseterusnya, sedangkan penulisan matriks

beserta ukurannya (matriks dengan m baris

dan n kolom ) adalah Amxn, Bmxn dan

seterusnya.

Bentuk umum

• Bentuk umum dari Amxn adalah :

• aij disebut elemen dari A yang terletak pada

baris i dan kolom j.

Contoh

• Pada matriks A tersebut, kita dapat menuliskan

elemen-elemennya sebagai berikut.

– Elemen-elemen pada baris pertama adalah 34 dan 8.

– Elemen-elemen pada baris kedua adalah 34 dan 6.

– Elemen-elemen pada baris ketiga adalah 51 dan 12.

– Elemen-elemen pada baris keempat adalah 51 dan 13.– Elemen-elemen pada baris keempat adalah 51 dan 13.

– Elemen-elemen pada kolom pertama adalah 34, 34,

51, dan 51.

– Elemen-elemen pada kolom kedua adalah 8, 6, 12,

dan 13.

Latihan

• Diketahui matriks

• Tentukan:

a. Banyaknya baris pada matriks H,

b. Banyaknya kolom pada matriks H,

c. Ordo matriks H,

d. Tentukan h32 dan h14,

e. Banyaknya elemen pada matriks H.

Jenis-Jenis Matriks

• Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari

satu baris.

Misalnya: P = [5 2], Q = [10 9 8]

• Matriks kolom adalah matriks yang terdiri• Matriks kolom adalah matriks yang terdiri

dari satu kolom.

Misalnya:

• Matriks nol adalah matriks yang semua

elemennya nol.

• Misalnya:

• Matriks persegi adalah matriks yang banyak

baris sama dengan banyak kolom.

• Misalnya:

• Karena sifatnya yang demikian ini, dalam

matriks bujur sangkar dikenal istilah elemen

diagonal yang berjumlah n untuk matriks

bujur sangkar yang berukuran nxn, yaitu : a11,

a22, …, ann.

• Pada suatu matriks persegi ada yang

dinamakan sebagai diagonal utama dan

diagonal sekunder. Perhatikan matriks berikut.

• Matriks Diagonal

• Matriks diagonal adalah matriks yang elemen

bukan diagonalnya bernilai nol.

• Dalam hal ini tidak disyaratkan bahwa elemen

diagonal harus tak nol.

• Matriks identitas adalah matriks yang

elemen-elemen diagonal utamanya sama

dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya

sama dengan 0.

• Misalnya:

• Matriks Skalar adalah matriks yang elemen-

elemen diagonal utamanya sama, sedangkan

elemen di luar elemen diagonalnya bernilai

nol.

• Misalnya:

• Matriks segitiga atas adalah matriks persegi

yang elemen-elemen di bawah diagonal

utamanya bernilai nol.

• Misalnya:

• Matriks segitiga bawah adalah matriks

persegi yang elemen-elemen di atas diagonal

utamanya bernilai nol.

• Misalnya:

• Matriks A adalah matriks segitiga bawah, matriks B adalah matriks segitiga atasmatriks B adalah matriks segitiga atassedangkan matriks C merupakan matrikssegitiga bawah dan juga matriks segitigaatas.

• Transpos matriks A atau (At) adalah sebuah

matriks yang disusun dengan cara menuliskan

baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i dan

sebaliknya, menuliskan kolom ke-j matriks A

menjadi baris ke-j.

• Misalnya:• Misalnya:

• Suatu matriks dikatakan sama jika keduanyamempunyai ukuran yang sama dan anggota-anggotanya yang berpadanan sama. Dalamnotasi matriks, jika A = [aij] dan B = [bij] mempunyai ukuran yang sama maka A = B jika danhanya jika (A)ij = (B)ij, atau setara aij = bij untukhanya jika (A)ij = (B)ij, atau setara aij = bij untuksemua i dan j.

• Contoh : A = B

=

=

987

654

321

B;

987

654

321

A

• Matriks Simetri

• Matriks simetri adalah suatu matriks kuadrat atau

bujursangkar yang sama dengan matriks

transposenya atau A = AT.

• Sebagai contoh :

=

=

157

530

702

157

530

702TAmakaA

• Matriks Anti Simetri

• Matriks anti simetri adalah matriksbujursangkar yang sama dengan negatiftransposenya atau A = - AT.

−− 210210

−

−−

=−

−

−−=

032

301

210

032

301

210TAmakaA

• Matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi

• Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk eselon baristereduksi jika memenuhi syarat– syarat berikut :

1. Untuk semua baris yang elemen – elemennya tak–nol , maka bilangan pertama pada baris tersebut haruslah = 1 ( disebut satu utama ).

2. Untuk sembarang dua baris yang berurutan, maka satuutama yang terletak pada baris yang lebih bawah harusutama yang terletak pada baris yang lebih bawah harusterletak lebih ke kanan daripada satu utama pada barisyang lebih atas.

3. Jika suatu baris semua elemennya adalah nol, maka baristersebut diletakkan pada bagian bawah matriks.

4. Kolom yang memiliki satu utama harus memiliki elemennol ditempat lainnya.

�Matriks A , B dan C adalah matriks – matriksdalam bentuk eselon baris tereduksi dan notasi dalam bentuk eselon baris tereduksi dan notasi 1 menyatakan satu utamanya. Contoh berikut menyatakan matriks – matriks yang bukandalam bentuk eselon baris tereduksi.

� Matriks D bukan dalam bentuk eselon baris tereduksi karenaelemen d12 bernilai 1 sehingga tidak memenuhi syarat ke – 4 ( harusnya = 0 ), sedangkan matriks E tidak memenuhi karenaharusnya = 0 ), sedangkan matriks E tidak memenuhi karenabaris kedua yang merupakan baris nol letaknya mendahului barisketiga yang merupakan baris tak nol, sehingga syarat ketiga tidakterpenuhi.

� Jika suatu matriks hanya memenuhi syarat 1–3 saja, makadikatakan matriks tersebut memiliki bentuk eselon baris.

Latihan� Diketahui matriks

� Tentukanlah:� Tentukanlah:� a. banyaknya baris dan kolom� b. elemen-elemen pada setiap baris� c. elemen-elemen pada setiap kolom� d. letak elemen-elemen berikut� (i) 2 (iii) 4� (ii) 3 (iv) 5

� Sebutkanlah jenis dari setiap matriks berikut ini!

� Tentukanlah transpos dari setiap matriks berikut!

� Tentukanlah x, jika At = B.

OperasiOperasi HitungHitung MatriksMatriksDan sifat-sifatnya

PenjumlahanPenjumlahan dandan PenguranganPenguranganMatriksMatriks� Jumlah matriks A dan B, ditulis A + B

adalah suatu matriks baru C yang elemen-elemennya diperoleh denganmenjumlahkan elemen-elemen yang menjumlahkan elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan B. Dengandemikian, syarat agar dua matriks ataulebih dapat dijumlahkan adalah ordomatriks-matriks itu harus sama.

� Operasi penjumlahan dapat dilakukanpada dua buah matriks yang memilikiukuran yang sama.

� Aturan penjumlahan

� Dengan menjumlahkan elemen – elemenyang bersesuaian pada kedua matriksyang bersesuaian pada kedua matriks

� Contoh:

±±

±±=

±

hdgc

fbea

hg

fe

dc

ba

ContohContoh

� Diketahui

−−

−=A

042

032

421

=

=

−−=

d

aD

dc

baC

B

33

02

315

042

PERKALIAN BILANGAN REAL DENGAN MATRIKS

� Kita telah mengetahui bahwa penjumlahan

bilangan real (skalar) secara berulang dapat

dinyatakan sebagai suatu perkalian.

�Misalnya, a + a = 2a, a + a + a = 3a, dan�Misalnya, a + a = 2a, a + a + a = 3a, dan

seterusnya. Hal tersebut berlaku juga pada

operasi matriks. Misalkan diketahui matriks:

−=

41

52A

� Oleh karena itu

AAA 241

522

82

104=

−⋅=

−=+

4182

−

−

� Jadi, perkalian matriks A dengan suatu bilangan

asli k adalah penjumlahan berulang matriks A

sebanyak k kali. Dengan kata lain, pengertian ini

dapat ditulis sebagai berikut. Jika k bilangan real

dan A matriks berordo m × n maka kA

didefinisikan dengan

CONTOH

� Diketahui

−=

−

−=

143

752

325

231BdanA

� Hitung :

� 2A + 5B

� 3A – 2B

−− 143325

SIFATSIFATSIFATSIFAT----SIFATSIFATSIFATSIFAT PERKALIANPERKALIANPERKALIANPERKALIAN SKALARSKALARSKALARSKALAR

� Jika A dan B adalah matriks-matriks berordo m × n, sedangkan k1 dan k2

adalah skalar, berlaku sifat-sifat berikut.

� a. k (A + B) = k A + k B� a. k1(A + B) = k1A + k1B

� b. (k1 + k2)A = k1A + k2A

� c. k1(k2A) = (k1k2)A

Perkalian Antar Matriks

� Operasi perkalian matriks dapat dilakukan pada duabuah matriks ( A dan B) jika jumlah kolom matriks A = jumlah baris matriks B.

� Aturan perkalian

Misalkan A dan B maka A B = C� Misalkan Amxn dan Bnxk maka Amxn Bnxk = Cmxk

dimana elemen – elemen dari C( cij) merupakanpenjumlahan dari perkalian elemen–elemen A barisi dengan elemen–elemen B kolom j

� Contoh :

� maka A2x3 B3x2 = C2x2 =

Contoh

� Diketahui matriks-matriks berikut :

Sifat Operasi Matriks

� A+B = B+A

� A+ ( B+C ) = ( A+B) + C

� AB ≠ BA

� A ( BC ) = ( AB ) C� A ( BC ) = ( AB ) C

� ( At )t = A

� ( AB )t = BtAt