kalkulus 1

DOSEN:ALAMAT:

HP:

DOSEN:ALAMAT:

HP:

Pertemuan Ke-3, 4 & 5SISTEM BILANGAN REAL

Pengubahan & Penjumlahan Bilangan Basis

SISTEM BILANGAN REAL

1. Bilangan Asli, {1, 2, 3, 4, 5, ...}2. Bilangan Bulat, {... -3, -2, -1, 0, 1,

2, 3 ...}3. Bilangan Rasional, {... -2, -3/2, -1,

-1/2, 0, ½, 1, 3/2, 2, ...}4. Bilangan Real, {...-2, -3/2, -1, -

1/2, √-2, 0, √2, ½, 1, 3/2, 2,...}

Hukum-hukum dalam Matematika1. Hukum Komutatif

a. Penjumlahan a + b = b + ab. Perkalian ab = ba

2. Hukum Asosiatifa. Penjumlahan a + (b + c) = (a + b) + c

3. Hukum Distributif a (b + c) = ab + ac

4. Elemen-elemen Identitas x . 0 = 0 x . 1 = x

5. Invers (Balikan) x Lawannya -x x + (-x) = 0 x Balikan x-1

Contoh 1.1. 4 – 3 (8 – 12) – 6 4). -1/3 {2/5 – 1/2 (1/3

– 1/5)}= 1 (-4) – 6 -1/3 {4/5 – 5/10(5/15 -3/15)}= -10 -1/3 {-1/10 (2/15)}

-1/3 {-2/150} = 2/450 = 1/225

2. 2 {3 – 2(4 – 8)}= 2{ 1 (-4)}= 2 (-4)= -8

3. 5/6 – (1/4 + 2/3) = 3/12 + 8/12 =11/125/6 – 11/12 = 10/12 - 11/12 = -1/12

5. ( √2 + √3 ) (√2 - √3 ) √2 (√2 - √3 ) + √3 (√2 - √3 ) √4 - √6 + √6 - √92 – 3 = -1

6.(√2 + √3 )²(√2 + √3 ) (√2 + √3 ) √2 (√2 + √3 ) + √3 (√2 + √3 ) √4 + √6 + √6 + √92 + 2 √6 + 3 = 5 + 2 √6

7.( 5/6 + 1/3 )-2

5/6 + 2/6 = (7/6)-2 = (1/(7/6)2) = 1/49/36

= 36/49

Sistem Pertidaksamaan

Sebuah himpunan bilangan Real dimana himpunan pemecahannya secara normal terdiri dari 1 bilangan atau mungkin sejumlah bilangan berhingga yang terdiri dari keseluruhan selang bilangan.

Contoh 1.

1. x2 – x < 6x2 – x – 6 < 6 – 6x2 – x – 6 < 0(x – 3) (x + 2) < 01). x – 3 < 0 2). x + 2 < 0

x < 3 x < -2

2. 3x2 – 11x – 4 ≤ 0( 3x + 1 ) ( x – 4 ) ≤ 01). x ≤ -1/3 2). x ≤ 4

Sistem Persamaan Linier Dua Variabel1.Eliminasi ( Penghilangan Sementara)Contoh:

3x – 2y = 4 | x 2 6x – 4y = 82x + 4y = 8 | x 36x + 12y = 24

-16y = -16 y = -16/-16 = 1

3x – 2(1) = 43x – 2 = 43x = 4 + 2x = 6/3 = 2

2. Substitusi ( Memasukkan)Contoh:1.2x + 4y = 8

2x = 8 – 4y x = 8/2 – 4/2y x = 4 – 2y

3x – 2y = 43 (4 – 2y) – 2y = 412 – 6y – 2y = 4-6y – 2y = 4 – 12-8y = -8 y = -8/-8 = 1

Himpunan Bagian (Subset)

Contoh:1.{1, 2, 3} Subset {1, 2, 3, 4, 5}2.{1, 2, 3} Subset {1, 2, 3}3.A = {p, q, r} bukan himpunan bagian dari B = {m, p, q, t, u} karena r Є A tetapi r Є B.

Notasi : A = B < > A himp. Bagian dari B dan B himp. Bagian dari AContoh:1. Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {5, 3, 8}, maka A = B2. Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {3, 8}, maka A = B

Himpunan Yang Sama

Himpunan Yang Ekivalen

Dikatakan Himpunan yang ekivalen jika dan hanya jika Himpunan A dan himpunan B memiliki kardinalitas yang sama. Notasi : A ~ B < > |A| = |B|

Contoh:1.Jika A = {1, 3, 5, 7} dan B = {a, b, c, d}, maka A ~ B < > |A| = |B| = 4

Himpunan Kuasa

Himpunan Kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

Contoh:1. Jika A = {1, 2}, maka P(A) = { , {1}, {2}, {1, 2}}

Himpunan Yang Ekivalen

Jenis operasi yang lazim digunakan terhadap terhadap himpunan adalah operasi irisan (intersection), gabungan (union), komplemen, selisih (different), perkalian kartesian (cartesian product).

a.IRISAN (intersection) Irisan dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B. Notasi : A B = {x | x Є A dan x Є B}Contoh:1. Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10}

U A B

2

8

4

1410

6 18

RELASI DAN FUNGSI

Relasi adalah kelompok pasangan berurutan antara 2 himpunan yang memungkinkan setiap anggota himpunan daerah asal atau dengan anggota himpunan daerah kawan.

Fungsi adalah pasangan berurutan antara 2 himpunan yang memisahkan setiap anggota himpunan daerah asal dengan tepat satu anggota himpunan daerah kawan.

D = Daerah Asal C = Daerah Kawan

Contoh :

1

4

9

1234

D CLebih Dari

12345

1491625

D CKuadrat Dari

A B Gambar A menunjukkan contoh dari sebuah Relasi,

dan Gambar B menunjukkan contoh dari sebuah Fungsi.

Relasi antara himpunan A dan B disebut Relasi Biner. Notasi : A x B = {(a,b) ; a € A

dan B

Contoh :1. Misalkan A = {Amir, Fajrin, Fathir} adalah himpunan

nama mahasiswa, dan B = {Ppkn, Fisika, Kalkulus, Mtmtk} adalah himpunan mata kuliah yang ada di Teknik Informatika. Perkalian kartesian antara A dan B menghasilkan himpunan pasangan terurut yang jumlah anggotanya adalah A . B = 3 . 4 = 12 buah, yaitu:

A x B = {(Amir, ppkn), (Amir, fisika), (Amir, kalkulus), (Amir, mtmtk), (Fajrin, ppkn), (Fajrin, fisika), (Fajrin, kalkulus), (Fajrin, mtmtk), (Fathir, ppkn), (Fathir, fisika), (Fathir, kalkulus), (Fathir, mtmtk)}

2. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita defenisikan relasi R dari P ke Q dengan (p,q) € R jika p habis membagi qmaka kita peroleh:R = {(2,2), (2,4), (4,4), (2,8), (4,8), (3,9), (3,15)}

2

3

4

248915

Pasangan berurut pada relasi dari himpunan P ke himpunan Q dapat digambarkan dengan diagram panah, seperti gambar berikut:

P Q

R = {(2,2), (2,4), (4,4), (2,8), (4,8), (3,9), (3,15)}

Representasi RelasiRepresentasi Relasi Dengan Tabel

Relasi Biner dapat direpresentasikan ke dalam Tabel. Kolom pertama tabel menyatakan Daerah Asal, sedangkan kolom kedua menyatakan Daerah Hasil.

P Q

2 2

2 4

4 4

2 8

4 8

3 9

3 15

P adalah daerah asalQ adalah daerah Hasil

Relasi Invers

Relasi Invers adalah kebalikan dari relasinya.Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R-1, adalah relasi dari B ke A yang didefenisikan oleh:

R-1 = {(b,a) (a,b) € R}

Contoh:1. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita defenisikan relasi R dari P ke Q dengan (p,q) € R jika p habis membagi q

maka kita peroleh:R = {(2,2), (2,4), (4,4), (2,8), (4,8), (3,9), (3,15)}

R-1 adalah invers dari relasi R, yaitu dari Q ke P, maka kita peroleh:

R-1 = {(2,2), (4,2), (4,4), (8,2), (8,4), (9,3), (15,3)}

Mengkombinasikan Relasi Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan berurut,

maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku.

Dengan kata lain, jika R1 dan R2 masing-masing adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka operasi R1 R2, R1 U R2, R1 – R2, juga adalah relasi dari A ke B.

Contoh:Misalkan A = {a, b, c} dan B ={a, b, c, d}. Relasi R1 = {(a,a),

(b,b), (c,c)} dan relasi R2 = {(a,a), (a,b), (a,c), (a,d)} adalah relasi dari A ke B. Kita dapat mengkombinasikan kedua buah relasi tersebut seperti berikut:

R1 R2 = {(a,a)}R1 U R2 = {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (a,c), (a,d)}R1 – R2 = {(b,b), (c,c)}R2 – R1 = {(a,b), (a,c), (a,d)}

Fungsi Fungsi adalah pasangan berurutan antara 2 himpunan

yang memisahkan setiap anggota himpunan daerah asal dengan tepat satu anggota himpunan daerah kawan.

Dapat dituliskan dengan notasi:

f : A BYang artinya, f memetakan A ke B.

Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.

a b

A B

f Fungsi f memetakan A ke B

Fungsi Invers Fungsi Invers adalah kebalikan dari fungsi awalnya.Misalkan F adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi F, dilambangkan dengan f-1.

Contoh:Misalkan Relasi f = {(1,u), (2,w), (3,v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoreponden satu-satu. Invers fungsi f adalah f-1 = {(u,1), (w,2), (v,3)}

Misalkan anggota himpunan A ={Irma, Wawan, Andi} dan anggota himpunan B = {1RA, 1RB, 1RC} adalah fungsi dengan koresponden satu-satu. Jika direlasikan dari A ke B = {(Irma, 1RA), (Wawan, 1RB), (Andi,1RC)}, maka Invers dari fungsi tersebut adalah:

f-1 = {(1Ra, Irma), (1RB, Wawan), (1RC, Andi)}

PERMUTASI & KOMBINASI

Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek.

Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi aturan perkalian.

Menurut kaidah perkalian permutasi dari n objek adalah:

n(n – 1) (n – 2) ... (2)(1) = n!

Contoh :

1. H = {a, b, c}Hitung permutasi yang terdapat pada himpunan H tersebut!

Jawab:3! = 3 x 2 x 1 = 6

Penjelasan:H = {a, b, c}I = {a, c, b} J = {b, a, c}K = {b, c, a}L = {c, a, b}M = {c, b, a}

Kombinasi adalah pengelompokan atau pemilihan dari semua / sebagian elemen dari suatu himpunan tanpa memperhatikan susunan pemilihannya.

Kombinasi adalah bentuk khusus dari Permutasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan. Urutan abc, bca, dan acb dianggap sama dan dihitung sekali.

Kaidah umum Kombinasi n objek adalah:

nC(n,r) = n! r! (n – r)!

Contoh :

1. Hitunglah : a. C (10, 5) b. C (7, 3)

Jawab:a. 10!

(10 – 5)! 5!= 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

5.4.3.2.1.5.4.3.2.130240 120

= = 252

b. 7!(7 – 3)! 3!

= 7.6.5.4.3.2.14.3.2.1.3.2.1

5040 24

= = 210

2. Seorang petani membeli 3 ekor sapi, 2 ekor kambing dan 4 ekor ayam dari seorang yang mempunyai 6 ekor sapi, 5 ekor kambing dan 8 ekor ayam. Ada berapa banyak pilihan petani tersebut?

Jawab: Sapi = C (6, 3)

= 6.5.4.3.2.1 3.2.1.3.2.1

= = 6!(6 – 3)! 3!

120 6

20 cara

= 8.7.6.5.4.3.2.1 4.3.2.1.4.3.2.1

= = 8!(8 – 4)! 4!

1680 24

70 cara

Ayam = C (8, 4)

= 4.3.2.1 2.1.2.1

= = 4!(4 – 2)! 2!

24 2

12 cara

Kambing = C (4, 2)

Sehingga banyaknya cara yang didapatkan dari kombinasi ini adalah:

20 x 70 x 12 = 16800 cara