integer linear programming

1

2

PPEMROGRAMAN LINEAR BULATEMROGRAMAN LINEAR BULAT (Integer Linear Programming - ILP)(Integer Linear Programming - ILP)

Apa yang dimaksud dengan Pemrograman Bulat ?

Solusi yang didapat optimal, tetapi mungkin tidak integer.

METODE SIMPLEKSMETODE SIMPLEKS

3

Integer Linear ProgrammingInteger Linear Programming

Misalnya saja kita ingin menentukan solusi

optimal dari satu lini perakitan televisi, yang

memproduksi beberapa tipe televisi.

Pembulatan matematis ? Mengganggu batasan

ILP

4

Jika model mengharapkan semua variabel basis bernilai integer (bulat positif atau nol), dinamakan pure integer programming.

Jika model hanya mengharapkan variabel-variabel tertentu bernilai integer, dinamakan mixed integer programming.

Jika model hanya mengharapkan nilai nol atau satu untuk variabelnya, dinamakan zero one integer programming.

Integer Linear ProgrammingInteger Linear Programming

5

SSOLUSI INTEGER PROGRAMMINGOLUSI INTEGER PROGRAMMINGPENDEKATAN PEMBULATANPENDEKATAN PEMBULATAN

Pendekatan ini mudah dan praktis dalam hal usaha, waktu dan biaya. Pendekatan pembulatan dapat merupakan cara yang sangat efektif untuk masalah integer programming yang besar dimana biaya-biaya hitungan sangat tinggi atau untuk masalah nilai-nilai solusi variabel keputusan sangat besar.

Contohnya, pembulatan nilai solusi jumlah pensil yang harus diproduksi dari 14.250,2 menjadi 14.250,0 semestinya dapat diterima.

Sebab utama kegagalan pendekatan ini adalah bahwa solusi yang diperoleh mungkin bukan solusi integer optimum yang sesungguhnya. Solusi pembulatan dapat lebih jelek dibanding solusi integer optimum yang sesungguhnya atau mungkin merupakan solusi tak layak.

6

PENDEKATAN PEMBULATANPENDEKATAN PEMBULATAN

Maksimumkan Z = 100 X1 + 90 X2

Dengan syarat 10 X1 + 7 X2 ≤ 70 5 X1 + 10 X2 ≤ 50 X1 ; X2 ≥ 0

Minimumkan Z = 200 X1 + 400 X2

Dengan syarat 10 X1 + 25 X2 ≥ 100 3 X1 + 2 X2 ≥ 12 X1 ; X2 ≥ 0

Maksimumkan Z = 80 X1 + 100 X2

Dengan syarat 4 X1 + 2 X2 ≤ 12 X1 + 5 X2 ≤ 15 X1 ; X2 ≥ 0

Masalah 1

Masalah 2

Masalah 3

7

Masalah Solusi dengan

Metode simpleks Dgn pembulatan

terdekat Bulat optimum sesungguhnya

1 X1 = 5,38 X1 = 5 X1 = 7

X2 = 2,31 X2 = 2 X2 = 0

Z = 746,15 Z = 680 Z = 700

2 X1 = 1,82 X1 = 2 X1 = 3, X2 = 3

X2 = 3,27 X2 = 3 X1 = 5, X2 = 2

Z = 1.672,73 Z tak layak Z = 1.800

3 X1 = 2,14 X1 = 2 X1 = 0

X2 = 1,71 X2 = 2 X2 = 3

Z = 343 Z tak layak Z = 300

Perbandingan antara solusi dengan metode simpleks tanpa pemba-tasan bilangan bulat, pembulatan ke bilangan bulat terdekat dan solusi integer optimum yang sesungguhnya untuk ketiga masalah diatas adalah :

8

PPENDEKATAN GRAFIK ENDEKATAN GRAFIK

Pendekatan ini identik dengan metode grafik LP dalam semua aspek, kecuali bahwa solusi optimum harus meme-nuhi persyaratan bilangan bulat.

Maksimumkan Z = 100 X1 + 90 X2

Dengan syarat 10 X1 + 7 X2 ≤ 70 5 X1 + 10 X2 ≤ 50 X1 ; X2 non negatif integer

9

Model ini serupa dengan model LP biasa. Perbedaanya hanya pada kendala terakhir yang mengharapkan bahwa variabel terjadi pada nilai non negatif integer.

Solusi grafik masalah ini ditunjukkan pada gambar dibawah ini. Ruang solusi layak adalah OABC. Solusi optimum masalah LP ditunjukkan pada titik B, dengan X1 = 5,38 dan X2 = 2,31 serta Z = 746,15. Untuk mencari solusi integer optimum masalah ini, garis Z (slope = -9/10) digeser secara sejajar dari titik B menuju titik asal.

Solusi integer optimum adalah titik integer pertama yang bersinggungan dengan garis Z. Titik itu adalah A, dengan X1 = 7 dan X2 = 0 serta Z = 700.

PENDEKATAN GRAFIKPENDEKATAN GRAFIK

10

A

B

C

O

5

10

X1107

X2

Z = 700

Z = 746,15

5X1 + 10X2 = 50

10X1 + 7X2 = 70

PENDEKATAN GRAFIK PENDEKATAN GRAFIK

11

PPENDEKATAN GOMORYENDEKATAN GOMORY ((CUTTING PLANE ALGORITHMCUTTING PLANE ALGORITHM))

Langkah-langkah prosedur Gomory diringkas seperti berikut :

1. Selesaikan masalah integer programming dengan meng-gunakan metode simpleks. Jika masalah sederhana, ia dapat diselesaikan dengan pendekatan grafik, sehingga pendekatan Gomory kurang efisien.

2. Periksa solusi optimum. Jika semua variabel basis memi-liki nilai integer, solusi optimum integer telah diperoleh dan proses solusi telah berakhir. Jika satu atau lebih variabel basis masih memiliki nilai pecah, teruskan ke tahap 3.

3. Buatlah suatu skala Gomory (suatu bidang pemotong atau cutting plane) dan cari solusi optimum melalui prosedur dual simpleks. Kembali ke tahap 2.

12

KENDALA GOMORY DALAM PURE INTEGER PROGRAMMINGKENDALA GOMORY DALAM PURE INTEGER PROGRAMMING

Tabel optimum masalah LP dibawah ini merupakan tabel solusi optimum kontinyu.

Basis X1 Xm W1 Wn Solusi

Z 0 . . . . . 0 c1. . . . . cn b0

X1 1 . . . . . 0 a11. . . . . a1n b1

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Xm 0 1 am1 amn b1

13

Variabel Xi (i =1,…, m) menunjukkan variabel basis. Variabel Xj (j = 1,..., n) adalah variabel non basis.

Perhatikan persamaan ke i dimana variabel Xi diasumsikan bernilai non integer.

Xi = bi – Σ aij Wj , dimana b non integer

Kemudian pisahkan bi dan aij menjadi bagian yang bulat dan bagian pecah non negatif seperti berikut :

bi = bi + f i jadi f i = bi - bi , dimana 0 ≤ f i ≤ 1aij = aij + f i jadi f i = aij - aij , dimana 0 ≤ f ij ≤ 1

KENDALA GOMORY DALAM PURE INTEGER PROGRAMMINGKENDALA GOMORY DALAM PURE INTEGER PROGRAMMING

14

KENDALA GOMORY DALAM PURE INTEGER PROGRAMMINGKENDALA GOMORY DALAM PURE INTEGER PROGRAMMING

Kendala Gomory yang diinginkan adalah : Sg - f ij Wj = - f i , Sg adalah variabel slack Gomory ke g. Pada umumnya, persamaan kendala yang berhubungan

dengan solusi pecah dipilih untuk menghasilkan suatu kendala Gomory. Namun, sebagai aturan main biasanya dipilih persamaan yang memiliki fi, maksimum.

bi bi f i aij aij f ij

3/2 1 ½ 7/3 - 3 2/3

7/8 0 7/8 - 1 - 1 0

7/3 2 1/3 - 2/5 - 1 3/5

15

Tabel baru setelah penambahan kendala Gomory menjadi :

Basis X1 Xm W1 Wn Sg Solusi

Z 0 . . . . . 0 c1. . . . . cn 0 b0

X1 1 . . . . . 0 a11. . . . . a1n . b1

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

Xm 0 1 am1 amn amn b1

Sg 0 . . . . . 0 - fi1 - fin 1 - fi

16

KENDALA GOMORY DALAM PURE INTEGER PROGRAMMINGKENDALA GOMORY DALAM PURE INTEGER PROGRAMMING

Jika diperoleh solusi primal optimum tetapi tidak layak maka digunakan metode dual simpleks.

Proses pembentukan kendala Gomory berakhir jika solusi baru semua berupa bilangan bulat.

Jika tidak, suatu kendala Gomory baru dibuat lagi dari tabel yang dihasilkan dan metode dual simpleks digunakan lagi untuk mengatasi ketidak layakan.

Jika pada setiap iterasi metode dual simpleks menunjukkan bahwa tidak ada solusi layak, berarti masalah itu tidak memiliki solusi integer yang layak.

17

KENDALA GOMORY DALAM PURE INTEGER PROGRAMMINGKENDALA GOMORY DALAM PURE INTEGER PROGRAMMING

Solusi kontinyu optimumnya diperoleh dalam tabel berikut :

Maksimumkan Z = 7 X1 + 9 X2

Dengan syarat - X1 + 3 X2 ≤ 6 7 X1 + X2 ≤ 35 X1 ; X2 non negatif integer

Basis X1 X2 S1 S2 Solusi

Z 0 0 28/11 15/11 63

X2 0 1 7/22 1/22 7/2

X1 1 0 - 1/22 3/22 9/2

18

Karena solusi tidak bulat, suatu kendala Gomory ditambah-kan pada tabel itu. Kedua persamaan (X1 dan X2) pada masalah ini memiliki nilai f i yang sama, yaitu f 1 = f 2 = ½ , sehingga salah satu dapat digunakan, misalkan digunakan persamaan X2 , ini menghasilkan : X2 + 7/22 S1 + 1/22 S2 = 7/2 atau X2 + (0 + 7/22) S1 + (0 + 1/22) S2 = (3 + ½)

Sehingga kendala Gomorynya adalah : Sg1 - 7/22 S1 – 1/22 S2 = - ½

KENDALA GOMORY DALAM PURE INTEGER PROGRAMMINGKENDALA GOMORY DALAM PURE INTEGER PROGRAMMING

19

KENDALA GOMORY DALAM PURE INTEGER PROGRAMMINGKENDALA GOMORY DALAM PURE INTEGER PROGRAMMING

Basis X1 X2 S1 S2 Sg1 Solusi

Z 0 0 28/11 15/11 0 63

X2 0 1 7/22 1/22 0 7/2

X1 1 0 - 1/22 3/22 0 9/2

Sg1 0 0 - 7/2 - 1/22 1 - ½

Tabel baru setelah penambahan kendala Gomory menjadi :

Dengan memakai metode dual simpleks diperoleh tabel baru yaitu :

Basis X1 X2 S1 S2 Sg1 Solusi

Z 0 0 0 1 8 59

X2 0 1 0 0 1 3

X1 1 0 0 1/7 - 1/7 32/7

S1 0 0 1 1/7 - 22/7 11/7

20

KENDALA GOMORY DALAM PURE INTEGER PROGRAMMINGKENDALA GOMORY DALAM PURE INTEGER PROGRAMMING

Karena solusi baru masih pecah, suatu kendala Gomory bary ditambahkan. Karena persamaan X1 memiliki f 1 terbesar (f 1 = 4/7), maka X1 dituliskan dalam bentuk :X1 + (0 + 1/7) S2 + (0+ 6/7) Sg1 = (4 + 4/7),

Menghasilkan kendala Gomory kedua :Sg2 – 1/7 S1 – 6/7 Sg1 = - 4/7, kemudian tambahkan pada tabel :

Basis X1 X2 S1 S2 Sg1 Sg2 Solusi

Z 0 0 0 1 8 0 59

X2 0 1 0 0 1 0 3

X1 1 0 0 1/7 - 1/7 0 32/7

S1 0 0 1 1/7 - 22/7 0 11/7

Sg2 0 0 0 - 1/7 - 6/7 1 - 4/7

21

Dengan menggunakan dual simpleks diperoleh hasil : Yang menghasilkan solusi bulat optimum X1 = 4, X2 =3 dan Z = 55

Basis X1 X2 S1 S2 Sg1 Sg2 Solusi

Z 0 0 0 0 2 7 55

X2 0 1 0 0 1 0 3

X1 1 0 0 0 -1 1 4

S1 0 0 1 0 - 4 1 1

Sg2 0 0 0 1 6 -7 4

KENDALA GOMORY DALAM PURE INTEGER PROGRAMMINGKENDALA GOMORY DALAM PURE INTEGER PROGRAMMING

22

MMETODE BRANCH DAN BOUNDETODE BRANCH DAN BOUND

Metode Branch dan Bound telah menjadi kode komputer standar untuk integer programming, dan penerapan- penerap-an dalam praktek tampaknya menyarankan bahwa metode ini lebih efisien dibanding dengan pendekatan Gomory. Teknik ini dapat diterapkan baik untuk masalah pure programming maupun mixed integer programming.

23

1. Selesaikan LP dengan metode simpleks biasa

2. Teliti solusi optimumnya. Jika variabel basis yang diharapkan bulat adalah bulat, solusi optimum bulat telah tercapai.

3. Nilai solusi pecah yang layak dicabangkan ke dalam sub-sub masalah. Tujuannya adalah untuk menghilangkan solusi kontinyu yang tidak memenuhi persyaratan bulat dalam masalah itu.

4. Untuk setiap sub-masalah, nilai solusi optimum kontinyu fungsi tujuan ditetapkan sebagai batas atas. Solusi bulat terbaik menjadi batas bawah (pada awalnya, ini adalah solusi kontinyu yang dibulatkan ke bawah). Sub-sub masalah yang memiliki batas atas kurang dari batas bawah yang ada, tidak diikut sertakan pada analisa selanjutnya. Suatu solusi bulat layak adalah sama baik atau lebih baik dari batas atas untuk setiap sub masalah yang dicari. Jika solusi yang demikian terjadi, suatu sub masalah dengan batas atas terbaik dipilih untuk dicabangkan. Kembali ke langkah 3.

Langkah-langkah metode Branch dan Bound untuk masalah maksimasi dapat dilakukan seperti berikut :

24

METODE BRANCH DAN BOUNDMETODE BRANCH DAN BOUND

Untuk memperoleh gambaran yang lebih jelas tentang metode Branch dan Bound, perhatikan contoh masalah berikut :

Maksimumkan Z = 3 X1 + 5 X2

Dengan syarat 2 X1 + 4 X2 ≤ 25 X1 ≤ 8 2 X2 ≤ 10 X1 ; X2 non negatif integer

Solusi optimum kontinyu masalah ini adalah X1 = 8, X2 = 2,26 dan Z = 35,25.

Solusi ini menunjukkan batas atas awal.

25

Batas bawah adalah solusi yang dibulatkan ke bawah X1 = 8, X2 = 2 dan Z = 34. Dalam metode Branch dan Bound, masalah itu dibagi ke dalam dua bagian untuk mencari nilai solusi bulat yang mungkin bagi X1 dan X2.

Variabel dengan nilai solusi pecah terbesar dipilih. Karena pada solusi ini hanya X2 yang memiliki bagian pecah, ia dipilih. Untuk menghilangkan bagian pecah dari nilai X2 = 2,25, dua kendala baru dibuat.

Kendala-kendala ini mewakili dua bagian baru dari masalah itu. Dua nilai bulat terdekat terhadap 2,25 adalah 2 dan 3. Sehingga diperoleh dua masalah baru melalui dua kendala mutually exclusive, X2 ≤ 2 dan X2 ≥ 3, yang akan diuraikan berikut ini se-bagai bagian A dan B. Kendala-kendala ini secara efektif menghi-langkan semua nilai pecah yang mungkin bagi X2, antara 2 dan 3. Pengaruhnya mereka mengurangi ruang solusi layak sehingga angka solusi bulat yang dievaluasi pada masalah ini makin sedikit

METODE BRANCH DAN BOUNDMETODE BRANCH DAN BOUND

26

Maksimumkan Z = 3 X1 + 5 X2

Dengan syarat 2 X1 + 4 X2 ≤ 25 X1 ≤ 8 2 X2 ≤ 10 X2 ≤ 2 X1 ; X2 ≥ 0

(berlebih)

Maksimumkan Z = 3 X1 + 5 X2

Dengan syarat 2 X1 + 4 X2 ≤ 25 X1 ≤ 8 2 X2 ≤ 10 X2 ≥ 3 X1 ; X2 ≥ 0

Bagian A :

Bagian B :

METODE BRANCH DAN BOUNDMETODE BRANCH DAN BOUND

27

Bagian A dan B diselesaikan tanpa pembatasan bilangan bulat dengan metode simpleks. Solusi simpleksnya adalah : Bagian A : X1 = 8, X2 = 2 dan Z = 34 Bagian B : X1 = 6,5, X2 = 3 dan Z = 34,5

Bagian A menghasilkan suatu solusi yang semuanya bulat. Untuk bagian A batas atas dan bawah adalah Z = 34. Solusi pecah bagian B membenarkan pencarian lebih lanjut karena menghasilkan nilai fungsi tujuan yang lebih besar dari batas atas bagian A. Sangat mungkin bahwa pencarian lebih lanjut dapat menghasilkan suatu solusi yang semuanya bulat dengan nilai fungsi tujuan melebihi batas atas bagian A = 34.

Bagian B dicabangkan ke dalam dua sub bagian, B1 dan B2, pertama dengan kendala X1 ≤ 6 dan yang lain dengan X2 ≥ 7.

METODE BRANCH DAN BOUNDMETODE BRANCH DAN BOUND

28

Maksimumkan Z = 3 X1 + 5 X2

Dengan syarat 2 X1 + 4 X2 ≤ 25 X1 ≤ 8 2 X2 ≤ 10 X2 ≥ 3 X1 ≤ 6 X1 ; X2 ≥ 0

Maksimumkan Z = 3 X1 + 5 X2

Dengan syarat 2 X1 + 4 X2 ≤ 25 X1 ≤ 8 2 X2 ≤ 10 X2 ≥ 3 X1 ≥ 7 X1 ; X2 ≥ 0

METODE BRANCH DAN BOUNDMETODE BRANCH DAN BOUND

Sub Bagian B1 :

Sub Bagian B2 :

(berlebih)

29

Solusi simpleksnya adalah : Sub-bagian B1 : X1 = 6, X2 = 3,25 dan Z = 34,25 Sub-bagian B2 : tidak layak.

Karena sub-bagian B1 menghasilkan nilai fungsi tujuan yang lebih besar dari 34 (batas atas bagian A), maka harus dica-bangkan lagi ke dalam dua sub masalah, dengan kendala X2 ≤ 3 dan X2 ≥ 4. Kedua kendala sub masalah diberi nama bagian B1a dan B2b.

METODE BRANCH DAN BOUNDMETODE BRANCH DAN BOUND

30

Maksimumkan Z = 3 X1 + 5 X2

Dengan syarat 2 X1 + 4 X2 ≤ 25 X1 ≤ 8 2 X2 ≤ 10 X2 ≥ 3 X2 ≥ 4 X1 ≤ 6 X1 ; X2 ≥ 0

Maksimumkan Z = 3 X1 + 5 X2

Dengan syarat 2 X1 + 4 X2 ≤ 25 X1 ≤ 8 2 X2 ≤ 10 X2 ≥ 3 X2 ≤ 3 X1 ≤ 6 X1 ; X2 ≥ 0

Bagian B1a :

Bagian B1b :

(berlebih)

(berlebih)

METODE BRANCH DAN BOUNDMETODE BRANCH DAN BOUND

31

METODE BRANCH DAN BOUNDMETODE BRANCH DAN BOUND

Solusi optimum dengan metode simpleks adalah :

Sub-bagian B1a : X1 = 6, X2 = 3 dan Z = 33 Sub-bagian B1b : X1 = 4,25, X2 = 4 dan Z = 33,5

Kedua solusi itu memiliki batas atas ( Z = 33 dan Z = 33,5) yang lebih buruk dibanding dengan solusi yang dihasilkan oleh bagian A. Karena itu, solusi bulat optimum adalah X1 = 8, X2 = 2 dan Z = 34 yang dihasilkan oleh bagian A.

Jika pencarian telah diselesaikan, solusi bulat dengan fungsi tujuan tertinggi (dalam masalah maksimasi) dipilih sebagai solusi optimum.

32

Kelemahan dasar dari metode ini adalah bahwa diperlukan pemecahan masalah LP untuk setiap pencabangan. Dalam masalah yang besar dapat memakan banyak waktu. Karena itu dalam prosedur pencabangan dan pencarian, analisa selanjutnya dihentikan jika :

1. Hasil dari sub-problem lebih jelek dibanding dengan batas atas yang sudah diidentifikasi

2. Pencabangan selanjutnya menghasilkan solusi tak layak.

METODE BRANCH DAN BOUNDMETODE BRANCH DAN BOUND

33

X1 = 8X2 = 2Z = 34

1

0

X1 ≤ 6

X1 ≥ 7

Solusi bulat optimum

X1 = 8X2 = 2,25Z = 35,25

2

Tak layak

X1 = 6,5X2 = 3Z = 34,5

X2 ≤ 2

X2 ≥ 3

inferior

inferior

X1 = 6X2 = 3,25Z = 34,25

X2 ≤ 3

X2 ≥ 4

METODE BRANCH DAN BOUNDMETODE BRANCH DAN BOUND

SSeluruh prosedur Branch dan Bound untuk contoh yang lalu dapat digambarkan seperti berikut :