hampiran linier menggunakan turunan ′ = f a h f a...
Post on 05-Feb-2018
1.102 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN
Materi:
• Hampiran linier menggunakan turunan
• Gerak benda sepanjang garis lurus
• Laju yang berkaitan
• Deret Taylor
• Maksimum dan minimum global dan lokal
• Kemonotonan dan kecekungan
• Menggambar grafik canggih
• Teorema Nilai Rata-rata untuk turunan
• Menghitung limit bentuk tak tentu
� Hampiran linier menggunakan turunan
h
afhafaf
h
)()(lim)( : turunandefinisi kembaliIngat
0
−+=′
→
2
Definisi tersebut menyatakan bahwa untuk nilai h yang cukup kecil, maka
)()()( Akibatnya
)()()(atau )()(
)(
afhafhaf
afhafhafh
afhafaf
′+≈+
′≈−+−+
≈′
101 nilai hampirilah n turunan,menggunakaDengan 1.Contoh
.05,1020
110
1002
1.1100101
yaitu ,)()()(
diperoleh makaturunan hampiran n Menggunaka
.2
1)(dan ,101)( maka 1 Jika
.10100)( maka ,100dan )(Misalkan :Jawab
=+=+≈
′+≈+
=′=+=
====
afhafhaf
xxfhafh
afaxxf
3
� Gerak Benda Sepanjang Garis Lurus
Bila posisi suatu benda yang bergerak sepanjang garis lurus setiap saat
dinyatakan oleh
Jelaskan bagaimana gerak benda tersebut .
tttts 249)( 23 +−=
Contoh 2: Hampirilah nilai sin 280
.47,0866,0.035,05,06
cos906
sin 28sin
)()()(
.90180
22 ,
630
,sin)( Berarti .)230(82 :Jawab
o
oo
oo
=−=ππ
−π
≈
′+≈+
π−=π⋅
−=−=
π==
=−=
afhafhaf
ha
xxf
4
saat. setiapkecepatan
perubahan yaitu ,percepatan menyatakan 186)(
sedangkan
saat, setiap bendagerak kecepatan menyatakan 24183)(
2
2
2
−===
+−==
tdt
sd
dt
dvta
ttdt
dstv
Benda bergerak ke kanan bila v(t) > 0 dan bergerak ke kiri bila v(t) < 0.
)4)(2(3 )86(324183)( 22 −−=+−=+−== ttttttdt
dstv
2 4
+ + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + +
Jadi, sebelum t = 2 dan sesudah t = 4 benda bergerak ke kanan,
sedangkan di antara t = 2 dan t = 4 benda bergerak ke kiri. Pada
saat t = 2 dan t = 4 benda berhenti (tidak bergerak)
5
Kecepatan benda berkurang bila a(t) < 0, yaitu bila t < 3.
Kecepatan benda bertambah setelah t = 3.
a(t)v(t)s(t)t
2445707
1824366
129205
60164
0-3183
-60202
-129161
-182400
-2445-34-1
6
-4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 s
t = 0 t = 1 t = 2
t = 3
t = 4 t = 5
t = 6
� Laju yang berkaitan
Contoh 1. Udara dipompakan ke dalam balon bundar sehingga volumenya bertambah dengan laju 100 cm3/detik. Seberapa cepat jari-jari balon bertambah ketika garis tengah balon 50 cm?
Jawab: Misalkan V(t) = volume balon pada saat t
dan r(t) = jari-jari balon pada saat t.
cmrdt
dr
cmdt
dV
25 ketika , :Ditanyakan
detik./100 :Diketahui 3
=
=
7
m. 50balon tengah garis
ketikam/detik 25
1laju dengan bertambah balon jari-jari Jadi
.25
1
25.4
100
25.410025
4
43.3
4dengan , :rantaiaturan Gunakan
.3
4)( :)(dan )( Hubungkan
2
2
2
22
3
π
ππ
π
π
ππ
π
==
=⇒=
=∴
===
=
dt
dr
dt
drr
dt
drr
dt
dV
rrdr
dV
dt
dr
dr
dV
dt
dV
rtVtrtV
Contoh 2. Sebuah tangga yang panjangnya 6 m bersandar pada dinding
tegak. Jika ujung bawah tangga bergeser menjauhi dinding
dengan laju 1 m/detik, seberapa cepat ujung atas tangga
bergeser ke bawah pada saat ujung bawah tangga berjarak 3
m dari dinding?
8
3untuk ,:Ditanyakan
1 : Diketahui
tanggaatas ujungdan lantai antarajarak )( dan
gabawah tang ujungdan dinding antarajarak )(Misalkan
=
=
=
=
xdt
dy
dt
dx
ty
tx
m. 3 dindingdengan gabawah tang ujung antarajarak ketika
m/detik 3
1laju dengan bawah kebergeser tanggaatas ujung Jadi
3
1 sehingga ,033.22.3.1kan substitusi
333363
,022 : erhadapTurunkan t
.36 :)(dan )( Hubungkan
2
22
−==+
=−=⇒=
=+
=+
dt
dy
dt
dy
yx
dt
dyy
dt
dxxt
yxtytx
y
x0
m/detik 1=dt
dx
6
9
Strategi menyelesaikan masalah laju yang berkaitan :
� Baca masalah dengan cermat
� Bila memungkinkan gambarkan situasi yang dihadapi
dengan diagram
� Kenali besaran-besaran yang berubah terhadap waktu,
berilah lambang (notasi)
� Nyatakan informasi yang telah diketahui dan apa yang
ditanyakan
� Tentukan hubungan antara besaran yang diketahui dan
besaran yang akan dihitung
� Diferensialkan hubungan yang diperoleh terhadap waktu
� Substitusikan informasi yang diketahui dan tentukan laju
yang tidak diketahui.
Contoh 3. Air dipompakan dengan laju 2 m3 ke dalam suatu tangki yang
berbentuk kerucut terbalik dengan alas berbentuk lingkaran.
Jika jari-jari alas kerucut 2 m dan tinggi kerucut 4 m, tentukan
laju bertambahnya tinggi permukaan air, pada saat kedalaman
air 3 m.
10
4
h
r
2Misalkan pada saat t
V(t) = volume air di tangki
r(t) = jari-jari permukaan air
h(t) = tinggi permukaan air
maka
hrV2
3
1π=
3h bila , :Ditanyakan
2 : Diketahui
=
=
dt
dh
dt
dV
Dengan memanfaatkan kesebangunan segitiga diperoleh
4
2=
h
rsehingga
2
hr = dan
3
2
1223
1hh
hV
ππ =
=
Akibatnya
.28,0 9
8 3
423
4
2
2
==⇒=⇒=
==
π
π
π
dt
dh
dt
dhh
dt
dhh
dt
dh
dh
dV
dt
dV
11
Contoh 4. Mobil A meluncur ke barat dengan laju 50 km/jam, dan mobil B
meluncur ke utara dengan laju 60 km/jam. Keduanya bergerak
lurus menuju ke persimpangan kedua jalan yang mereka lalui.
Dengan laju berapakah kedua mobil tersebut saling mendekat
ketika mobil A berada pada posisi 0,3 km sebelum
persimpangan dan mobil B berada pada posisi 0,4 km sebelum
persimpangan?
B
AC
x
y
z
12
.
)()()(
))(()()( diperoleh maka
,)()(
lim)(
:limit definisidigunakan linier hampiran dalam Jika
1(x)Pcmx
aafafxaf
axafafxf
ax
afxfaf
ax
=+=
′−+′=
−′+≈
−
−=′
→
� Hampiran fungsi menggunakan POLINOM TAYLOR
Perbaiki dengan hampiran kuadrat :
22 )(Misalkan CxBxAxP ++=
Dengan demikian nilai f(x) di sekitar a dapat dihampiri oleh garis
singgung f(x) di a. Hampiran ini cukup baik untuk nilai x yang dekat
dengan a. Namun tidak demikian untuk nilai x yang jauh dari a.
Perhatikan bahwa
)()(dan )()( 11 afaPafaP ′=′=
Akan ditentukan A, B, dan C sehingga P2(x) merupakan hampiran yang baik
untuk f(x), dengan syarat
)()(dan )()(),()( 222 afaPafaPafaP ′′=′′′=′=
13
)(2)()(
)(2)(2)(
)()()(
22
22
22
22
afCaPxP
afCaBaPCxBxP
afCaBaAaPCxBxAxP
′′==′′=′′
′=+=′⇒+=′
=++=⇒++=
2
22
222
2
22
)(2
)())(()(
)2(2
)())(()(
2
)())()((
2
)()()()(P Jadi
2
)()()(
2
)())()(()()(
)()(2)(
axaf
axafaf
aaxxaf
axafaf
xaf
xaafafaaf
aafafx
aaf
aafaf
aaf
aaafafafCaBaafA
aafafCaafB
−′′
+−′+=
+−′′
+−′+=
′′+′′−′+
′′+′−=
′′+′−=
′′−′′−′−=−−=
′′−′=−′=
Bila hampiran kuadrat masih kurang baik, dapat diperbaiki dengan
hampiran kubik, yaitu32
3 )( DxCxBxAxP +++=
)()(dan )()(),()(),()(
:syaratdengan
2233 afaPafaPafaPafaP ′′′=′′′′′=′′′=′=
14
dst ........)(
2
)()()(
2
)())()(()(32)(
,2
)()(
2
.2.3)(
2.3
)()()(2.3)(
)(.2.32)(.2.32)(
)(32)(32)(
)()()(
32
22
222
2
2
222
33
23
23
323
323
=−−−=
′′′+′′−′=
′′′−′′′−′′−′=−−′=
′′′−′′=
−′′=
′′′=⇒′′=′′′==′′′
′′=+=′′⇒+=′′
′=++=′⇒++=′
=+++=⇒+++=
DaCaBaafA
aaP
aafaf
aaP
aaaPafafDaCaafB
aaPafDaafC
aPDafaPDxP
afDaCaPDxCxP
afDaCaBaPDxCxBxP
afDaCaBaAaPDxCxBxAxP
3210
323
)(!3
)()(
!2
)()(
!1
)()(
!0
)(
)(2.3
)()(
2
)())(()()(P
Diperoleh
axaf
axaf
axaf
axaf
axaf
axaf
axafafx
−′′′
+−′′
+−′
+−=
−′′′
+−′′
+−′+=
15
Secara umum, bila perbaikan hampiran dilanjutkan, akan diperoleh
KK +−++−+
−′′′
+−′′
+−′+≈
nniv
axn
afax
af
axaf
axaf
axafaff(x)
)(!
)()(
!4
)(
)(!3
)()(
!2
)())(()(
)(4
32
Bentuk
KK +−++−′′
+−′+=
−=∑∞
=
nn
k
k
k
a)(xn!
(a)fax
afaxafa)f
axk
afT(x)
2
0
)(
)(!2
)())(((
)(!
)(
disebut uraian (ekspansi) Taylor dari f(x) di sekitar x = a. Bila a = 0, diperoleh
uraian Mac Laurin dari f(x), yaitu
KK +++′′
+′+==∑∞
=
nn
k
kk
xn!
)(fx
fxf)f
k
xfL(x)
0
!2
)0()0(0(
!
)0( 2
0
)(
16
1cos x5
0sin x4
-1-cos x3
0-sin x2
1cos x1
0sin x0
f(n)(0)f(n)(x)n
Contoh: ,sin)( Bila xxf = tentukan uraian Mac Laurin dari f(x).
KK +++′′
+′+≈ nn
xn!
)(fx
fxf)ff(x)
0
!2
)0()0(0( 2
∑∞
=
+
+
−=
+−+−+−=
+−+++−++≈
0
12
11119753
765432
)!12(
)1(
!11!9!7!5!3
!7.1
!6.0
!5.1
!4.0
!3.1
!2.0.10sin
k
kk
xk
xxxxxx
x
xxxxxxxx
K
K
17
18
∑∞
=
−=ο+−+−+−=
++−+++−+≈
0
212108642
765432
!2
)1( )(
!10!8!6!4!21
!7.0
!6.1
!5.0
!4.1
!3.0
!2.1.01cos
k
kk
xk
xxxxxx
xxxxxxxx K
� Nilai Maksimum dan Minimum Global (Lokal)
Definisi: Fungsi f dikatakan mencapai maksimum (minimum) global
di titik (c, f(c)) jika
)()( xfcf ≥ ( ))()( xfcf ≤ x∀, di daerah asal f.
Bila f mencapai maksimum atau minimum global di titik (c, f(c)) maka f(c)
disebut nilai ekstrim dari f, sedangkan titik (c, f(c)) disebut titik ekstrim
dari f.
Definisi: Fungsi f dikatakan mencapai maksimum (minimum) lokal di
titik (c, f(c)) jika )()( xfcf ≥ ( ),)()( xfcf ≤
x∀ di suatu selang buka yang memuat c.
19
xxf sin)( Fungsi 1. = mencapai maksimum global dan lokal di titik-titik
( ) K,3,2,1,0,1 ,22
=π+π nn
dan mencapai minimum global dan lokal di titik-titik
( ) K,3,2,1,0,1- ,22
3 =π+π nn
Contoh-contoh:
2)( Fungsi 2. xxf =
Mencapai minimum global di titik (0,0) namun tidak memiliki titik
maksimum global. Bila x pada selang [1,6] maka f(x) memiliki titik
minimum lokal di (1,1) dan maksimum lokal di titik (6,36).
3)( Fungsi 3. xxf =
Tidak memiliki titik minimum maupun maksimum global. Bila x pada
selang [-1,5] maka f(x) memiliki titik minimum lokal di (-1,-1) dan
maksimum lokal di titik (5,125).
20
� TEOREMA KEUJUDAN TITIK EKSTRIM
Jika f(x) kontinu pada selang tertutup [a,b] maka f(x) memiliki titil ekstrim
maksimum dan titik ekstrim minimum.
� PROSEDUR MENENTUKAN TITIK EKSTRIM
1. Kumpulkan semua titik kritis dari f(x) pada selang [a,b]
2. Hitung nilai f(x) pada setiap titik kritis tersebut. Nilai f(x) yang terbesar
menjadi titik ekstrim maksimum, sedangkan yang terkecil menjadi titik
ekstrim minimum
� TEOREMA TITIK KRITIS
Misalkan f(x) terdefinisi pada selang tertutup [a,b] dan c terletak di selang
[a,b]. Jika f(c) adalah nilai ekstrim maka (c,f(c)) haruslah suatu titik kritis,
yaitu (c,f(c)) mungkin berupa salah satu dari yang berikut ini
• (c,f(c)) adalah titik ujung selang
• (c,f(c)) adalah titik stasioner dari f, yaitu
• (c,f(c)) adalah titik singular dari f, yaitu tidak ada
0)( =′ cf
)(cf ′
21
Contoh:
1. Tentukan semua titik ekstrim dari fungsi f(x) = -2x3 + 3x2 pada selang
tertutup [-1/2,3].
Jawab:
Titik-titik kritis:
i. Titik-titik ujung: (-1/2,1) dan (3,-27).
ii. Titik-titik stasioner:
Jadi titik stasioner: (0,0) dan (1,1).
iii. Titik-titik singular: tidak ada sebab selalu ada.
Jadi titik-titik kritis: {(-1/2,1) , (3,-27), (0,0) , (1,1)}.
Titik ekstrim maksimum: (-1/2,1) dan (1,1).
Titik ekstrim minimum: (3,-27).
10
0)1(6
066)(
066)(
2
2
=∨=⇔
=−−⇔
=+−=′
=+−=′
cc
cc
cccf
xxxf
)(cf ′
22
2. Tentukan semua titik ekstrim dari fungsi f(x) = x2/3 pada selang [-1,2].
Jawab:
Titik-titik kritis:
i. Titik-titik ujung: (-1,1) dan .
ii. Titik-titik stasioner:
Tidak ada c yang memenuhi.
Jadi titik stasioner tidak ada.
iii. Titik-titik singular:
Jadi titik singular: (0,0).
Jadi titik-titik kritis: {(-1,1) , , (0,0) }.
Titik ekstrim maksimum:
Titik ekstrim minimum: (0,0).
( )3 4,2
03
2)(
3
2
3
2)(
3
331
==′
==′ −
ccf
xxxf
.0 bila ada tidak 3
2)(
3 c
ccf ==′
( )3 4,2
( )3 4,2
23
Prosedur menyelesaikan masalah maksimum-minimum:
1. Buatlah gambar / skema permasalahan
2. Buatlah rumus untuk besaran yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan,
misalkan F
3. Manfaatkan kondisi-kondisi yang diketahui untuk membuat F menjadi fungsi
yang hanya bergantung pada satu variabel saja, misalkan x
4. Tentukan selang untuk nilai-nilai x yang mungkin
5. Tentukan semua titik-titik kritis (calon titil ekstrim)
6. Di antara titik-titik kritis, tentukan titik ekstrim.
Contoh:
1. Sebuah kotak yang terbuka bagian atasnya akan dibuat dari selembar seng berbentuk segiempat dengan lebar 20 cm dan panjang 32 cm. Pada keempat sudut seng dipotong bujursangkar-bujursangkar kecil berukuran sama. Kemudian sisa seng dilipat ke atas sehingga terbentuk kotak. Tentukan ukuran kotak tersebut agar kapasitasnya maksimal.
2. Tentukan ukuran sebuah tabung lingkaran tegak dengan volume sebesar mungkin, yang dapat dimasukkan ke dalam sebuah kerucut lingkaran tegak setinggi 10 cm dengan jari-jari alas 4 cm.
3. Tentukan titik pada hiperbola y2 - x2 = 4 yang jaraknya paling dekat dengan titik (2,0).
24
TEOREMA:
Misalkan fungsi f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik
kritis (c,f(c))
1. Jika berubah dari negatif ke positif di titik c maka f(c) adalah nilai
minimum lokal
2. Jika berubah dari negatif ke positif di titik c maka f(c) adalah
nilai maksimum lokal
3. Jika tidak berubah tanda di titik c maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal
)(xf ′
)(xf ′
)(xf ′
TEOREMA: Uji ekstrim lokal untuk titik stasioner
Misalkan fungsi dan ada dan serta
1. Jika maka f(c) adalah nilai ekstrim maksimum lokal
2. Jika maka f(c) adalah nilai ekstrim minimum lokal
0)( =′ cf)(xf ′ )(xf ′′ ),( bax ∈∀ ),( bac∈
0)( <′′ cf
0)( >′′ cf
25
� KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN
Definisi kemonotonan : Misalkan f terdefinisi pada suatu selang, maka
1. f dikatakan monoton naik pada selang tersebut jika berlaku
jika
2. f dikatakan monoton turun pada selang tersebut jika berlaku
jika
21, xx∀)()( 21 xfxf < 21 xx <
21, xx∀)()( 21 xfxf > 21 xx <
Definisi kecekungan : Misalkan ada , maka
1. grafik fungsi f cekung ke atas pada selang (a,b) jika monoton naik pada
selang (a,b)
2. grafik fungsi f cekung ke bawah pada selang (a,b) jika monoton turun
pada selang (a,b)
)(xf ′ ),( bax ∈∀
)(xf ′
)(xf ′
Titik tempat berubahnya kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah
atau sebaliknya disebut TITIK BALIK atau TITIK BELOK
26
Teorema Kemonotan : Misalkan f kontinu pada selang (a,b) dan ada
1. Jika maka grafik fungsi f monoton naik pada selang (a,b)
2. Jika maka grafik fungsi f monoton turun pada selang (a,b)
)(xf ′ ),( bax ∈∀
0)( >′ xf
0)( <′ xf
Teorema Kecekungan : Misalkan f kontinu pada selang (a,b) dan ada
1. Jika maka grafik fungsi f cekung ke atas pada selang (a,b)
2. Jika maka grafik fungsi f cekung ke bawah pada selang (a,b)
)(xf ′′ ),( bax ∈∀
0)( >′′ xf
0)( <′′ xf
Contoh:
1. f(x) = x2 - 4 02)(dan 0 jika ,0
0 jika ,02)( >=′′
<<
>>=′ xf
x
xxxf
Jadi f(x) monoton turun pada selang monoton naik pada selang
dan cekung ke atas di mana-mana.
)0,(−∞ ),0( ∞
2. f(x) = 3x3 0 jika ,0
0 jika ,018)(dan 0, xbila 09)( 2
<<
>>=′′≠>=′
x
xxxfxxf
Jadi f(x) monoton naik di mana-mana, cekung ke bawah pada selang
cekung ke atas pada selang , dan (0,0) adalah titik belok.
)0,(−∞),0( ∞
27
� SKETSA GRAFIK CANGGIH
Langkah-langkah:
1. Tentukan tanda dari f(x) untuk melihat di mana grafik f(x) berada di atas sumbu
x dan di mana grafik f(x) berada di bawah sumbu x.
2. Tentukan tanda dari untuk melihat kemonotonan grafik f(x)
3. Tentukan tanda dari untuk melihat kecekungan grafik f(x)
4. Periksa kesimetrian
5. Periksa semua asimtot yang ada
6. Daftarlah titik-titik penting sebagai titik-titik bantuan
7. Sketsa grafik
)(xf ′
)(xf ′′
Contoh: Sketsalah grafik fungsi 32
203)(
35xx
xfy−
==
Langkah 1: Periksa tanda dari f(x)
( )( )32
203203
32
)203(
32
203)(
2232335 −+=
−=
−=
xxxxxxxxf
28
03
203
20−
--------------------+++++++++++++++ ----------------------------- +++++++++++++
Langkah 2: Periksa tanda dari )(xf ′
320atau 0x
320 bila 0)(dan
3200atau
320 bila 0)( Jadi ><<−><<−<< xxfxxxf
( )( )32
2215
32
)4(15
32
6015)(
22224 −+=
−=
−=′
xxxxxxxxf
Jadi f(x) monoton naik bila x < -2 atau x > 2, dan monoton turun bila -2 < x < 2.
0 22−
+++++++++++----------------------------------------------------------- +++++++++++++
29
Langkah 3: Periksa tanda dari )(xf ′′
( )( )32
2260
32
)2(60
32
12060)(
23 −+=
−=
−=′′
xxxxxxxxf
0 22−
--------------------+++++++++++++++ ----------------------------- +++++++++++++
2atau 0x2 bila atas ke cekung )(dan
20atau 2 bilabawah ke cekung )( Jadi
><<−
<<−<
xxf
xxxf
Langkah 4: Periksa kesimetrian
)(32
203
32
203
32
)(20)(3)(
353535
xfxxxxxx
xf −=−
−=+−
=−−−
=−
Karena f(-x) = -f(x) maka f(x) adalah fungsi ganjil sehingga grafiknya simetris terhadap
titik asal (0,0).
30
Langkah 5: Periksa asimtot: tidak ada asimtot.
Langkah 6: daftarkan titik-titik bantuan
-22
00
2-2
0
0
f(x)x
320−
320
2−
2
28
7
28
7−
31
Langkah 7: sketsa grafik berdasarkan informasi yang diperoleh
dari langkah-langkah sebelumnya.
Soal: Sketsalah grafik fungsi
].8,7[dengan 71232)( .2
)2()( .1
23
2
−∈+−−==
+==
xxxxxfy
x
xxfy
� Menghitung limit bentuk tak tentu
1. Bentuk tak tentu 0
0
Misalkan dan ada dan Jika)(af ′ )(ag′ .0)( ≠′ ag 0)(lim)(lim ==→→
xgxfaxax
maka
.)(
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
axax ′
′=
→→
32
2. Bentuk tak tentu ∞
∞
.)(
)(lim
)(
)(lim maka )(limdan )(lim Jika
xg
xf
xg
xfxgxf
axaxaxax ′
′=±∞=±∞=
→→→→
Menghitung limit bentuk tak tentu dengan cara tersebut dikatakan menggunakan
DALIL L’HOSPITAL
Contoh:
2
3
48
72lim
48
2472lim
824
2436lim
388
21212lim
7342
1243lim .3
4
)1(0
0)1.(1.4
)2cos(2)2sin(
)3cos()4sin(3)3sin()4cos(4lim
2sin
)3sin()4sin(lim .2
11
coslim
sinlim .1
2
2
3
23
24
34
22
00
==+
=
−
+=
+−
++=
−+−
−++
=−+
+−=
+
+=
==
∞→∞→
∞→∞→∞→
→→
→→
xx
xxx
xx
xx
x
x
x
xx
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xxxx
xx
xx
x
x
x
ππ
ππ
33
Soal-soal: Bila ada, tentukan nilai limit berikut ini.
22
1lim .9
22
1lim .8
1
11lim .7
coslim .6
1lim .5
123lim .4
lim .3
1lim .2
sin
tanlim .1
2
20
0
22
242
x
2
2
1
1
0
2
0
0
+−
−
+−
−
−−
−
+−−
−
−−
−
−
−
∞→
→
→
→
∞→
→
−
→
→
→
xx
x
xx
x
ex
x
x
xxx
xx
xx
x
e
x
e
xx
xx
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
ππ
34
� TEOREMA NILAI RATA_RATA (untuk turunan)
Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdiferensialkan di selang
terbuka (a,b) maka terdapat c, dengan a < c < b sehingga
)()()(
cfab
afbf′=
−
−
� Sifat turunan yang sama:
).,(,)()( sehingga maka ),(),()( Jika baxkxgxfkbaxxgxf ∈∀+=∃∈∀′=′
a bc a bcc c
?)( padaberlaku ratarata nilai oremaapakah te
,13 ,13)( Jika:Contoh 2
xf
xxxxf
−
≤≤−−+=
top related