fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

LOGO

Matematika-wajib Kelas XI MIA/ IIS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI

INVERS

Oleh: Any Herawati, M.Pd.

3.2 Memahami konsep fungsi dan menerapkan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) pada fungsi

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

3.3 Menganalisis konsep dan sifat suatu fungsi dan melakukan manipulasi aljabar dalam menentukan invers fungsi dan fungsi invers.

MATERI

KOMPETENSI DASAR

4.2 Mengolah data masalah nyata dengan menerapkan aturan operasi dua fungsi atau lebih dan menafsirkan nilai variabel yang digunakan untuk memecahkan masalah.

3.4 Memahami dan menganalisis sifat suatu fungsi sebagai hasil operasi dua atau lebih fungsi yang lain.

4.3 Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata terkait fungsi invers dan invers fungsi.

KOMPETENSI DASAR

KOMPETENSI DASAR

3.5 Memahami konsep komposisi fungsi dengan menggunakan konteks sehari-hari dan menerapkannya.

4.4 Merancang dan mengajukan masalah dunia nyata yang berkaitan dengan komposisi fungsi dan menerapkan berbagai aturan dalam menyelesaikannya.

MATERI YANG DIPELAJARI

Sifat-sifat fungsi

Aljabar fungsi

Macam-macam fungsi khusus

Fungsi komposisi

Fungsi invers

Fungsi invers dari fungsi komposisi

Pengertian Relasi dan Fungsi

Jika A dan B masing-masing menyatakan himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan dan , ditulis

Ax By

}dan ),{( ByAxyxBA

PRODUK CARTESIUS

{1,2}Bdan },,{ cbaA

)},2(),,2(),,2(),,1(),,1(),,1{(

)}2,(),1,(),2,(),1,(),2,(),1,{(

cbacbaAB

ccbbaaBA

Misalkan maka:

RELASI

RELASI

Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari

A B.

Notasi: R (A B).

a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungkan dengan b oleh R

a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R.

Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.

FUNGSI

FUNGSI

Fungsi Misalkan A dan B himpunan.

Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B.

Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan

f : A B

yang artinya f memetakan A ke B.

A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.

Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.

Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A

dihubungkan dengan elemen b di dalam B.

J ik a f(a ) = b , m ak a b d in am ak an b a y a n g a n ( im a g e ) d a ri a d an a d in am ak an p ra -b a y a n g a n (p re -im a g e ) d a ri b .

H im p u n an yan g b eris i sem u a n ila i p em etaan f d iseb u t je la ja h

(ra n g e ) d a ri f. P erh a tik an b ah w a je la jah d ari f ad a lah h im p u n an b ag ian (m u n g k in p ro p er su b se t) d a ri B .

a b

A B

f

Fungsi adalah relasi yang khusus: 1. Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh

prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f. 2. Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B”

berarti bahwa jika (a, b) f dan (a, c) f, maka b = c.

Materi

Notasi FungsiSuatu fungsi atau pemetaan

umumnya dinotasikan denganhuruf kecil.

Misal, f adalah fungsi dari A ke Bditulis f: A → B

A disebut domainB disebut kodomain

Materi

Range atau Daerah HasilJika f memetakan

x A ke y Bdikatakan y adalah peta dari x

ditulis f: x → y atau y = f(x).Himpunan y B

yang merupakan peta dari x Adisebut range atau daerah hasil

Materi

contoh 1Perhatikan gambar pemetaan 1 f : A → B

a 2 domain adalah

b 3 A = {a, b, c, d}

c 4 kodomain adalah

d 5 B = {1, 2, 3, 4, 5}

A B range adalah

R = {2, 3, 4, 5}

Vertical Line Test: Suatu relasi adalah fungsi jika suatu garis vertikal digambar melalui grafik tersebut berpotongan hanya di satu titik.

Contoh: manakah dari kedua grafik tersebut yang merupakan fungsi?

Berpotongan hanya di satu titik

Berpotongan di dua titik

Grafik tersebut adalah fungsi

Grafik tersebut bukan fungsi

Dari Grafik dibawah ini, manakah yang merupakan fungsi?

x 2 + y 2 = 1 y = x 2

Bukan Fungsi Fungsi

y 2 = x

a) b) c)

Bukan Fungsi

d)e)

x = | y – 2|

Bukan Fungsi FungsiBukan Fungsi

f)x=1

y=1

Apakah diagram berikut merupakan fungsi atau bukan?

Gambar 1

1234

abcd

A B

1234

abcd

A B

Gambar 2

Gambar 1 bukan fungsi karena ada anggota A yang tidak memiliki pasangan di B

Gambar 2 adalah fungsi karena setiap anggota A memiliki pasangan tepat satu di B

LANJUTAN

Gambar 3

1234

abcd

A B

Gambar 4

1234

abc

d

A B

Gambar 3 bukan fungsi karena ada anggota A yang tidak memiliki pasangan di B dan ada anggota A memiliki pasangan lebih dari satu

Gambar 4 bukan fungsi ada anggota A memiliki pasangan lebih dari satu di B

LANJUTAN

Gambar 5

1234

abcd

A B

Gambar 6

1234

abcd

A B

Gambar 5 bukan fungsi, karena ada anggota A memiliki pasangan lebih dari satu di B

Gambar 6 adalah fungsi karena setiap anggota A memiliki pasangan tepat satu di B

SIFAT-SIFAT

FUNGSI

SIFAT-SIFAT

FUNGSI

SIFAT – SIFAT FUNGSI ITU

APA SAJA YA ??

a. Fungsi Injektif (Fungsi satu-satu)adalah fungsi yang setiap elemen yang berbeda pada daerah asal dipetakan dengan elemen yang berbeda pada daerah kawan atau didefinisikan “untuk setiap a1, a2 ε A dan a1≠ a2 berlaku f(a1) ≠ f(a2)

Contoh DiagramFungsi Injektif

Sifat-sifat Fungsi

Terminology

F adalah fungsi satu-satu (atau Injektif) jika dan hanya jika x1,x2 X , F(x1) = F(x2) x1=x2

atau x1,x2 X x1≠x2 F(x1) ≠ F(x2)

F bukan fungsi satu-satu jika dan hanya jika

x1,x2X, (F(x1) = F(x2)) (x1 ≠ x2)

Teorema: Horizontal Line TestJika garis horizontal memotong grafik fungsi f hanya di satu titik, maka f adalah fungsi satu-satu (injektif).

Gunakan sketsa grafik untuk menentukan apakah fungsiadalah fungsi satu-satu (injektif)

Bukan fungsi injektif

Gunakan sketsa grafik untuk menunjukkan fungsi adalah fungsi injektif.

Fungsi injektif

b. Fungsi Surjektif (Fungsi Onto atau Fungsi Kepada)adalah fungsi yang daerah hasilnya sama dengan daerah kawan. Jika suatu fungsi dengan daerah hasil merupakan himpunan bagian murni dari himpunan B, maka disebut fungsi into atau fungsi kedalam.

Af

B

d

bc

1

23

d4

a

e

Af

B

d

ab

123

c4

Contoh DiagramFungsi Into

Contoh DiagramFungsi Onto

Terminology

F adalah fungsi Onto (atau Surjektif) jika dan hanya jika

y Y xX, F(x) = y

F adalah fungsi Into jika dan hanya jika

yY x X, F(x) y

c. Fungsi Bijektifadalah fungsi yang bersifat injektif sekaligus bersifat surjektif, biasa dinamakan korespondensi satu-satu

Contoh DiagramFungsi Bijektif

Af

B

d

a

b1

2

3 c

RANGKUMAN SIFAT FUNGSI

Surjektif(kepada)

Into(ke dalam)

Injektif(satu-satu)

Bijektif(pasangan)

Tiap elemen di Bpunya

pasangan di A

Ada elemen di Byg tidak punya pasangan di A

Tiap elemen di Bpunya pasangan

tepat satu di A

Tiap elemen di Bberpasangan

satu-satu dgn A

A B

abc

ef

abc

efg

abc

efgi

abc

efg

LATIHAN

Diketahui himpunan A = {a, b, c, d, e}, B = {0, 2, 4, 6} yang didefinisikan oleh f : A → B.

Manakah yang merupakan fungsi surjektif?

a. {(a,0), (b,0), (c,2), (d,4), (e,6)}

b. {(a,0), (b,0), (c,0), (d,2), (e,4)}

c. {(a,0), (b,2), (c,4), (d,6), (e,6)}

d. {(a,2), (b,2), (c,2), (d,4), (e,6)}

PENYELESAIAN

a. b.

Surjektif Into

c. d.

Surjektif Into

abcde

0246

abcde

0246

abcde

0246

abcde

0246

Manakah yang merupakan fungsi, fungsi injektif, surjektif atau pun bijektif ?

y

x

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

y

x

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

y

x

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

y

x

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

y

x

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

2

2

– 2

– 2

y

x

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

y

x

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

y

x

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

y

x

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

y

x

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

y

x

2

2

– 2

– 2

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

y

x

2

2

– 2

– 2

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

DOMAIN ASAL ALAMI

DOMAIN ASAL ALAMI

NO BENTUK SYARAT TERDEFINISI

1

2

3

MENENTUKAN DOMAIN ALAMI

)(xfy

)(

1

xfy

)(

1

xfy

0)( xf

0)( xf

0)( xf

Selain 3 bentuk di atas, }R|{D xxf

CONTOH 1

Tentukan DOMAIN ALAMI dari

5.1 xy7

1.2

xy

Syarat terdefinisi :

05 x

5x

Jadi, Domain Alami :

}5|{DA xx

Syarat terdefinisi :

07 x

7x

Jadi, Domain Alami :

}7|{DA xx

CONTOH 2: TENTUKAN DOMAIN ALAMI

9.3 2 xy6

1.4

2

xxy

Syarat terdefinisi :

092 x0)3)(3( xx

Jadi, Domain Alami :

}3atau 3|{DA xxx

Syarat terdefinisi :

0)3)(2( xx

Jadi, Domain Alami :

-3 3

+ - +

062 xx

+ - +

-2 3

}3atau 2|{DA xxx

LATIHAN

Tentukan DOMAIN ALAMI dari masing-masing fungsi berikut:

2.1 xy

12.2 xy

3

1.3

xy

62

1.4

xy

4.5 2 xy

xy 3.6

xy 24.7

xy

2

1.8

43

1.9

xy

23.10 2 xxy

ALJABAR FUNGSIALJABAR FUNGSI

ALJABAR FUNGSI

Definisi:

Misalkan fungsi f(x) dan fungsi g(x) masing-masing dengan daerah asal D dan D maka:

jumlah fungsi f(x) dan fungsi g(x) adalah (f + g)(x) = f(x) + g(x) dengan daerah asal D = D D ,

selisih fungsi f(x) dan fungsi g(x) adalah (f g)(x) = f(x) g(x) dengan daerah asal D = D D ,

perkalian fungsi f(x) dan fungsi g(x) adalah (f g)(x) = f(x) g(x) dengan daerah asal D = D D ,

pembagian fungsi f(x) dan fungsi g(x) adalah dengan daerah asal D - = D D dan g(x) 0.

f + g

gf

f g

f gf g

f gf g

fg

=fg

f(x)g(x)

(x)

fg

Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan Tentukan nilai fungsi-fungsi berikut, kemudian tentukan domain alaminya.a.(f + g) (x)b.(f – g) (x)c.(f x g) (x) d.(f/g)(x)e.f3 (x)

CONTOH

1x2 xg

Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan a.(f + g) (x) =

Domain asal alami Df+g = {x|x ≥ ½, x ε R}

PEMBAHASAN

1x2 xg

1x2102 x

Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan b. (f – g) (x) =

Domain asal alami Df-g = {x|x ≥ ½, x ε R}

PEMBAHASAN

1x2 xg

1x2102 x

Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan c. (f x g) (x) =

Domain asal alami Dfxg = {x|x ≥ ½, x ε R}

PEMBAHASAN

1x2 xg

1x2102 x

Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan d. (f/g) (x) =

Domain asal alami Df/g = {x|x > ½, x ε R}

PEMBAHASAN

1x2 xg

1x2

102

x

Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan e. f3 (x) =

Domain asal alami Df³ = {x|x ε R}

PEMBAHASAN

1x2 xg

10008001608102 233 xxxx

MACAM-MACAM FUNGSI KHUSUS

MACAM-MACAM FUNGSI KHUSUS

Notasinya : f(x) = k Apabila terdapat fungsi f : AB, Fungsi f disebut

fungsi konstan jika setiap anggota A dipetakan ke satu anggota B yang sama

Misalkan : f(x) = 2 dan x bil real Grafik fungsi ini berupa garis lurus sejajar

sumbu x

FUNGSI KONSTAN

FUNGSI IDENTITAS

F(x) = xContoh f(x) = 1

FUNGSI LINIER Notasinya : f(x) = mx+n Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan

gradien m dan melalui titik (0,n)

GRAFIK FUNGSI LINEARDiketahui :

f(x) = x+1 dimana domain dan kodomain berupa bil realMenuliskan fungsi dalam tabel

Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius

GRAFIK FUNGSI LINEAR

Diketahui :f(x) = 2x dimana domain dan kodomain berupa bil riilMenuliskan fungsi dalam tabel

Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius

LATIHAN SOALDiketahui :

1. f(x) = 2x-12. f(x) = -2x - 2 dimana domain { x | -3 ≤ x ≤ 3, x R }

Ditanya : 1. Tuliskan fungsi dalam bentuk tabel2. Tuliskan fungsi dalam grafik kartesius

FUNGSI KUADRAT

GRAFIK FUNGSI KUADRAT

Diketahui :f(x) = 2x² dimana domain dan kodomain berupa bil riil

Menuliskan fungsi dalam tabel

Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius :

x -2 -1 0 1 2

f(x) 8 2 0 2 8

FUNGSI KUBIKFungsi kubik: .

0,)( 3012

23

3 aaxaxaxaxf

FUNGSI PECAH

FUNGSI IRASIONAL

1. y = 2x

x -2 -1 0 1 2

y 1/4 1/2 1 2 4

2. y = 2x–1 + 4

Nilai dari 2x tidak mungkin nol atau negatif. Artinya 2x > 0.

Grafik y = 2x–1 bisa di gambar dulu lalu sumbu x di geser vertikal ke bawah 4 satuan untuk mendapatkan grafik y = 2x–1 + 4

½ 4,5

x -2 -1 0 1 2

2x–1 1/8 1/4 1/2 1 2

FUNGSI EKSPONEN

1. Fungsi floor (floor = lantai) : f(x) = x

x = menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari x

2. Fungsi ceiling (ceiling = langit-langit) : f(x) = x x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari x

x

x

x

x

FUNGSI FLOOR DAN FUNGSI CEILING

Fungsi Genap dan Ganjil

Fungsi, y = f(x) dikatakan:Genap, jika f(-x)=f(x)Ganjil, jika f(-x) = - f(x)

Contoh:Fungsi Genap

Grafik fungsi genap y = f(x) simetris terhadap sumbu y

Fungsi Genap dan Ganjil

Fungsi GanjilGrafik fungsi ganjil y = f(x) simetris

terhadap titik asal.

INVERS SUATU

FUNGSI

INVERS SUATU

FUNGSI

Fungsi Invers dan Invers Fungsi

a b

f

g

Jika ada fungsi g sedemikian hingga a = g(b) maka fungsi f mempunyai fungsi invers. f -1(x) = g(x).

Invers suatu fungsi hasilnya tidak selalu merupakan fungsi. Jika merupakan fungsi maka invers fungsi tersebut disebut FUNGSI INVERS.

FUNGSI INVERS

Suatu fungsi f : A → B mempunyai fungsi invers f-1 : B → A,jika dan hanya jika merupakan fungsi bijektif ( berkorespondensi satu-satu)

a.b.c.d.

.1

.2

.3

.4

.a

.b

.c

.d

1.2.3.4.

A B AB

INVERS FUNGSI Misalkan f : A →B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang

mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 dimana

f -1 : B → A. dengan kata lain,y = f(x) ↔x = f -1 (y)

Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.

A B

b=f(a)

f(a)

f -1(b)

f -1(b)=a

a.b.c.

CONTOH

Diketahui fungsi ƒ sebagai berikut: A B

Ditanyakan:1. Apakah ƒ-1 ada? Mengapa?2. Carilah (ƒ-1○ƒ)(a), dan (ƒ-1○ƒ)(b)3. Apakah ƒ-1○ƒ = I?Mengapa?

.1

.2

.3

1. CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya.PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertibeldengan f -1(1)=c, f -1(3)=b dan f -1(2)=a.

2. CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x2. Apakah f invertibel.PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektifmaka ia tidak invertibel. Jadi inversnya tidak ada.

Contoh

Jawab

Selidiki apakah g(x) = merupakan fungsi invers bagi f(x) = .

2x +1 x

1x 2

(g f)(x) = g(f(x)) = g = 1

x 2 1

x 2

1

x 22 + 1

=2 + x 1

x 2

1

x 2

= x = I(x)

(f g)(x) = f (g(x)) = g = 2x +1 x

1

2x +1

x

21=

2x +1 2 x

x

= x = I(x)

(g f)(x) = (f g)(x) = x = I(x), maka g(x) = 2x +1

xadalah fungsi invers dari

f(x) = 1

x 2

Menentukan Rumus Fungsi Invers

1. Ubahlah persamaan y = f(x) dalam bentuk x sebagai fungsi y.

2. Bentuk x sebagai fungsi y pada langkah 1 dinamai dengan f-1(y).

3. Gantilah y pada f-1(y) dengan x untuk mendapatkan f-

1(x)

f-1(x) adalah rumus fungsi invers dari fungsi f(x).

ContohTentukan fungsi invers dari f(x) = 3x + 6

1

3 f 1(x) = g(x) = (x 6).

y = f(x) = 3x + 6, maka x= (y 6) 1

3

x = f 1(y) = g(y) = (y 6) 1

3

y = f 1(x) = g(x) = (y 6) 1

3

Catatan:

Untuk memeriksa kebanaran bahwa f 1(x) yang diperoleh adalah fungsi invers dari f(x), maka cukup ditunjukkan bahwa (f f)(x) = (f f 1)(x) = x = I(x).

Jawab

GRAFIK FUNGSI INVERS

GRAFIK FUNGSI INVERS

Grafik fungsi invers

Tidak semua fungsi memiliki invers. Ada juga fungsi yang dapat memiliki invers jika terpenuhi syarat tertentu. Grafik fungsi invers dapat digambarkan dengan cara :a.dengan menentukan fungsi inversnya

terlebih dahulu,b.melalui pencerminan terhadap fungsi

identitas I(x) = x, cara ini didasarkan pada sifat fungsi identitas yang memiliki invers tetap.

Contoh Gambarlah grafik fungsi 1)( 2 xxf

Untuk semua nilai x, fungsi ini tidak memiliki invers, maka diberikan syarat dengan domain yang terbatas :

Pembahasan

RxxxD f ,0

1 2

2

4

1)(

:

1

1

1

2

xxf

berarti

yx

xy

Fungsi invers untuk domain ini memenuhi :

1 2

2

4

4

12 xy

1 xy

FUNGSI KOMPOSI

SI

FUNGSI KOMPOSI

SI

Pengertian Fungsi Komposisi

Fungsi g memetakan x menjadi g(x), kemudian fungsi f mengolah g(x) menjadi f(g(x)). Fungsi f(g(x)) ini adalah komposisi fungsi g dan fungsi f disebut sebagai fungsi komposisi yang dilambangkan oleh (f g)(x) dengan (f g)(x) = f(g(x)).

mesin l mesin ll x g(x) f(g(x))

FUNGSI KOMPOSISI

Definisi:

Misalkan diketahui fungsi-fungsi:g : A B ditentukan dengan rumus g(x)f : B C ditentukan dengan rumus f(x)maka komposisi dari fungsi g dan fungsi f ditentukan oleh rumus fungsi komposisi

(f g)(x) = f(g(x))Catatan:

Fungsi komposisi atau fungsi majemuk (f g)(x) = f(g(x)) seringkali juga disebut sebagai “fungsi bersusun” atau “fungsi dari fungsi”.

x

Mesin f

f(x)

Mesin g

g(f(x))

misal :mesin fungsi f adalah f : x 2x – 4 mesin fungsi g adalah g : x x2 + 1Jika nilai x = 3 maka : mesin f akan memproses 3 sebagai f : 3 2(3) – 4 = 2 mesin g akan memproses 2 sebagai g : 2 22 + 1 = 5

Proses 2 mesin dapat diringkas menjadi proses satu mesin sebagai berikut :(g ○ f)(x) = g(f(x)) = g(2x–4) = (2x–4)2+1 = 4x2–16x+17, maka (g ○ f)(2) = g(f(3)) = 4.(3)2 – 16(3) + 17 = 5

Hal yang sama berlaku untuk lebih dari dua mesin.Perhatikan bahwa urutan proses mesin diperhatikan, artinya tidak komutatif.

f ○ g ≠ g ○ f

lebih jelasnya…..

Definisi:

Misalkan diketahui fungsi-fungsi:f : A B ditentukan dengan rumus f(x)g : B C ditentukan dengan rumus g(x)maka komposisi dari fungsi g dan fungsi f ditentukan oleh rumus fungsi komposisi

(g f)(x) = g(f(x))Catatan:1. Nilai fungsi komposisi (f g)(x) dan (g f)(x) untuk x = a

ditentukan dengan aturan• (f g)(a) = f(g(a))• (g f)(a) = g(f(a))

2. Fungsi komposisi (f g)(x) dan (g f)(x) disebut fungsi komposisi diri, yaitu fungsi komposisi yang disusun dari dua buah fungsi yang sama.

KOMPOSISI FUNGSI Misalkan g: A B dan f: B C. Komposisi

fungsi f dan g, dinotasikan f ◦ g adalah fungsi f ◦ g: A C dengan (f ◦ g)(x) = f(g(x)).

Bila f: A B dan g: D E maka fungsi komposisi f ◦ g terdefinisi hanya bila f(A) D.

A B C

⊂

g f

f◦g

x A dipetakan oleh f ke y Bditulis f : x → y atau y = f(x)

y B dipetakan oleh g ke z Cditulis g : y → z atau z = g(y)

atau z = g(f(x))

A

x

C

z

B

yf g

KOMPOSISI FUNGSI

A B C

x zyf g

g o f

maka fungsi yang memetakanx A ke z C

adalah komposisi fungsi f dan gditulis (g o f)(x) = g(f(x))

KOMPOSISI FUNGSI

contoh 1

Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)).

Jika f(x) = 2x + p dan

g(x) = 3x + 120

maka nilai p = … .

Jawab:f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120

g(f(x)) = f(g(x))

g(2x+ p) = f(3x + 120)

3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) + p

6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p

3p – p = 240 – 120

2p = 120 p = 60

Sifat-Sifat Komposisi Fungsi

Tidak komutatif

Komposisi fungsi tidak bersifat komutatif f : A→ B dan g : B→ C, maka fog ≠ gof

CONTOH SOAL

Diketahui: ƒ(x)=2x + 1 dan g(x)=x2-3. Periksalah apakah (g○ƒ)(x)=(ƒ○g)(x)

Jawab:

(g○ƒ)(x) =g(ƒ(x) =g(2x+1) =(2x+1)2-3 =4x2 +4x –

2

(ƒ○g) (x) = ƒ(g(x)) = ƒ (x2-3) =2(x2-3) +

1 = 2x2 – 6 +

1 = 2x2 – 5

Dari contoh di atas ditunjukkan bahwa (g○ƒ) ≠ (ƒ○g) (x)

Sifat-Sifat Komposisi Fungsi

Assosiatif

Komposisi Fungsi bersifat asosiatif,yaitu

jika f : A → B dan g : B → C, dan h :C → D, maka h ○(g○f)=(h○g)○f

CONTOHFungsi ƒ,g,dan h didefinisikan sebagai

berikut : ƒ (x) =x + 2, g (x) =3x, dan h (x)=x. Tentukan :h○(g○ƒ) dan (h○g)○ƒ (x)

PENYELESAIAN

(g○ƒ) (x) =g(ƒ(x)) =g(x + 2) =3(x +2) =3x + 6 h ○(g○ƒ) (x) =h(3x + 6) =(3x + 6)2

=9x2 + 36x +36 ….1)

LANJUTAN …

(h ○ g) (x) = h(g(x))

= h(3x) =(3x)2

=9x2

(h○g)○ƒ (x) =(h ○ g)(ƒ(x)) =(h ○ g)(x +2) =9(x + 2)2

=9(x2 +4x+4) =9x2 +36x +36 ….2)

Dari persamaan 1) dan 2) disimpulkan bahwa: h○(g○ƒ) (x) = ((h○g)○ƒ) (x)

Sifat-Sifat Komposisi Fungsi

Sifat IdentitasJika I (x)=x, dan f (x) adalah suatu

fungsi, maka I ○f = f○I = f

Contoh : Diketahui :I(x) = x dan f(x) = x2

+ 1. Carilah:a.(I ○f)(x)b.(f○I) (x)c.Kesimpulan apakah yang dapat

kamu kemukakan?

PENYELESAIAN

a. (I○f)(x) =I(f(x) =I(x2 + 1) = x2 + 1b. (f○I)(x) =f(I(x)) =f(x) =x2 + 1c. I○f = f○I = f untuk setiap f

xg(x)

x g(x)f(g(x))

g f

f(g)

Domain dari g

Domain dari f

Range dari g Range dari f

Range dari f(g)

Perhatikan diagram berikut:

Syarat fungsi f dan g dapat dikomposisikan

untuk fog

Rg Df ≠ { }

D(fog) Dg

R(fog) Rf

Next …

untuk gof

Rf Dg ≠ { }

D(gof) Df

R(gof) Rg

Contoh

Misalkan fungsi f: R R dan g : R R di tentukan dengan aturan: f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x,Tentukan : a. (fog)(x) b. (gof)(x)

.

a. Jika di tentukan f(x) = dan g(x) = 2x ,Maka dengan rumus (fog)(x) = f(g(x)) didapat

3x – 1 2x

(fog)(x) = f(g(x))=f( )=f ( )2x

= .3 - 1

(fog)(x) = 6x - 1

Penyelesaian

Jawab:

Jika di tentukan f(x) = dan g(x) = 2x ,Maka dengan rumus (gof)(x) = g(f(x)) didapat

a. (gof)(x) = g(f(x))

3x – 1

=g3x – 1

)(=g (

2x

2 =

.(gof)(x) = 6x - 2

b. 3x – 1

)

.

3x – 1

( )

MENENTUKAN FUNGSI

JIKA FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI

LAIN DIKETAHUI

MENENTUKAN FUNGSI

JIKA FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI

LAIN DIKETAHUI

Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui

f(x) dan g(x)(f g)(x) atau(g f)(x)

f (x) dan (f g)(x) f (x) dan (g f)(x) g (x) dan (f g)(x) g(x) dan (g f)(x)

g (x)

g (x)

f (x)

f (x)

DIKETAHUI DAPAT DITENTUKAN

DIKETAHUI DAPAT DITENTUKAN

ContohFungsi komposisi (f g)(x) = 2x +3 dan fungsi f(x) = 4x – 1. Jawab

f (g(x) = (f g)(x) 4 g(x) – 1 = 2x + 3 sebab f(x) = 4x – 1

4 g(x) = 2x + 4

g(x) = 2x + 44

= 12

x + 1

Contoh

Misalkan fungsi Komposisi (fog)(x)= 4x - 5dan f(x) = 2x + 1,Carilah fungsi g(x)

PENYELESAIANFungsi komposisi (fog)(x) = dan f(x) = 2x + 1,Maka dengan rumus (fog)(x) = f(g(x)) didapat

(fog)(x) = 4x - 5f(g(x))

= 4x - 5

f(g(x)) = 4x - 5

2 + 1 = 4x - 5

2 g(x) + 1 = 4x – 5 -

2 = 4x - 6

g(x) = 4x - 6

g(x) = 2x - 3

2 g(x)

Misalkan fungsi Komposisi (fog)(x)= 4 - 2x

dan g(x) = 6x + 1,

Carilah fungsi f(x)

Contoh soal:

PENYELESAIAN(f o g)(x) = 4 – 2x dan g(x) = 6x + 1

(f o g)(x) = 4 – 2x

↔ f(g(x)) = -2x + 4

↔ f(6x + 1) = -2x + 4

↔ f(6x + 1) = (-⅓(6x + 1) + ⅓) + 4

↔ f(6x + 1) = - ⅓(6x + 1) + 4⅓

karena f(6x + 1) = - ⅓(6x + 1) + 4⅓ maka

f(x) = - ⅓x + 4⅓

Jadi, fungsi f(x) =- ⅓x + 4⅓

CONTOH

Diketahui fungsi (f o g)(x) = x2 – 6x + 3 dan g(x) = x - 1. Tentukan fungsi f(x)

PENYELESAIAN

(f o g)(x) = x2 – 6x + 3 dan f(x) = x – 1

(f o g)(x) = x2 – 6x + 3 ↔ f(x - 1) = x2 – 6x + 3 Untuk menentukan fungsi f(x)

ada dua cara

Cara 1Dari relasi f(x - 1) = x2 – 6x + 3 Ruas kiri dapat diubah menjadi

f(x - 1) = {(x – 1)2 – 2x - 1} – 6x + 3↔ f(x - 1) = (x – 1)2 – 4x + 2↔ f(x - 1) = (x – 1)2 – {4(x – 1) + 4} + 2↔ f(x - 1) = (x – 1)2 – 4(x – 1) – 2Karena f(x - 1) = (x – 1)2 – 4(x – 1) – 2 maka f(x) = x2 – 4x - 2 Sehingga, f(x) = x2 – 4x - 2

Cara 2

Dari relasi (x - 1) = x2 – 6x + 3 Misalkan p = x – 1 → x = p + 1Ruas kanan kita ganti variabel x dengan x = p + 1, diperoleh:f(p) = (p + 1)2 – 6(p + 1) + 3 ↔ f(p) = p2 + 2p + 1– 6p – 6 + 3↔ f(p) = p2 – 4p - 2 Jadi, f(x) = x2 – 4x - 2

FUNGSI INVERS

DARI FUNGSI

KOMPOSISI

FUNGSI INVERS

DARI FUNGSI

KOMPOSISI

(f g) 1Berdasarkan gambar maka dapat dinyatakan sebagai komposisi dari f 1(x) (bertindak sebagai pemetaan pertama) dan g 1(x) (bertindak sebagai pemetaan kedua).

Dengan demikian, diperoleh hubungan:

Fungsi invers dari fungsi komposisi ditentukan oleh

(f g)1(x) = (g1 f 1(x)

(g f)1(x) = (f1 g 1(x)

x y z

g f

(f g)

x y z

g 1

(f g) 1

f 1

FUNGSI INVERS DARI FUNGSI KOMPOSISI

Invers dari Fungsi Komposisi

(g○ƒ)-1 (x)= (ƒ-1○ g-1)(x)

(ƒ○ g)-1 (x)= (g-1○ ƒ-1)(x)

Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa fungsi invers dari komposisi fungsinya yaituDapat pula diperoleh dengan cara menentukan fungsi komposisi dan sehingga berlaku hubungan :

)()( 1 xfg

)(1 xg )(1 xf

Contoh 1,

1

1)(

x

xxfDiketahui dan 2)( xxg

)()( 1 xfg Tentukan .

)()( 1111 gffgh

Pembahasan

))(()( xfgxh

1,1

32

21

1

1

1

xx

x

x

xg

2

3

3)2(

321

32

y

yx

yyx

xyyxx

xy

)()()( 1 xfgxh

2,2

3)(1

xx

xxhberarti

Jika ditentukan terlebih dahulu masing – masing dan didapatkan :

)(1 xf

)(1 xg

x

xxf

y

yx

yyxx

y

xxf

1)(

1

11

11

1)(

1

2)(

2

2

2)(

1

xxg

yx

xy

xxg

LOGO

Don’t forget to review today’s topic at home …