buku ajar matematika diskrit · 2018-04-04 · sinyal keluaran sangat tergantung oleh sinyal...
Post on 19-Aug-2018
236 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
BUKU AJAR
MATEMATIKA DISKRIT
Disusun oleh :
SUCIPTO BASUKI, S.Kom, MT
NIDN : 0405108402
STMIK INSAN PEMBANGUNAN
Jl. Raya Serang Km.10 Bitung – Tangerang
Banten Telp. (021) 59492836 Fax. (021) 59492837
Home page : http://www.ipem.ac.id Email : info@ipem.ac.id
2015
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 2
KATA PENGANTAR
Puji syukur kita panjatkan kepada Allah SWT, atas rahmat dan hidayahnya kita bisa
menyelesaikan Buku Ajar dengan judul “MATEMATIKA DISKRIT” . Tak lupa sholawat serta
salam kita curah limpahkan kepada junjungan kita, ulil azmi nabi Muhammad SAW.
Buku ajar ini dibuat berdasarkan tuntutan tugas salah satu mata kuliah
“MATEMATIKA DISKRIT” yang di bimbing oleh dosen Bp. Sucipto basuki. Buku ajar ini
berisikan rangkuman materi-materi yang telah disampaikan beliau dari pertemuan pertama
sampai pertemuan terakhir sebelum UTS (ulangan tengah semester), buku ajar ini
membahas sedikit tentang :
1. Logika (tipe data bolean)
2. Gerbang logika
3. Fungsi
4. Relasi
5. Matriks – biner
Harapan kami, buku ajar ini dapat bermanfaat sebagai acuan belajar para mahasiswa
khusus nya mahasiswa STMIK Insan Pembangunan. Kami sadari buku ajar ini masih banyak
sekali kekurangan, baik dalam bentuk maupun isinya, oleh karena itu kami berharap kepada
pembaca yang budiman untuk memberikan komentar, kritik dan masukan untuk
memperbaiki buku ajar ini dikemudian hari.
Terimakasih kepada pihak-pihak yang terlibat dalam pembuatan buku ajar ini, tanpa
adanya bantuan pihak lain, kami tidak bisa menyusun buku ajar ini.
Tangerang, 08 November 2015
Sucipto Basuki
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 3
DAFTAR ISI
Kata Pengantar……………………………………………………………… 2
Daftar isi…………………………………………………………………….. 3
Uraian Materi………………………………………………………………… 5
1. Logika………………………………………………………………. 5
1.1. And…………………………………………………………. 5
1.2. Or……………………………………………………………. 5
1.3. Not………………………………………………………….. 6
1.4. Nand…………………………………………………………. 6
1.5. Nor…………………………………………………………… 7
1.6. X-Or………………………………………………………….. 7
1.7. N-Xor………………………………………………………… 7
2. Logic gate……………………………………………………………. 10
2.1. Logic gate Inverter…………………………………………… 10
2.2. Logic gate non inverter………………………………………. 10
2.2.1. Logic gate And…………………………………………… 11
2.2.2. Logic gate Or……………………………………………... 11
2.2.3. Logic gate Not……………………………………………. 12
2.2.4. Logic gate Nand………………………………………….. 12
2.2.5. Logic gate Nor……………………………………………. 13
2.2.6. Logic gate X-Or…………………………………………... 13
2.2.7. Logic gate N-Xor…………………………………………. 14
3. Operasi himpunan…………………………………………………….. 17
4. Irisan dan gabungan dua himpunan…………………………………… 18
5. Matriks………………………………………………………………… 29
5.1. Jenis-jenis Matriks……………………………………………... 30
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 4
5.1.1. Matriks bujur sangkar……………………………………… 30
5.1.2. Matriks nol…………………………………………………. 30
5.1.3. Matriks diagonal…………………………………………… 30
5.1.4. Matriks identity……………………………………………. 30
5.1.5. Matriks scalar………………………………………………. 31
5.1.6. Matriks segitiga bawah……………………………………. 32
5.1.7. Matriks segitiga atas………………………………………. 32
5.1.8. Matriks simetris……………………………………………. 32
5.1.9. Matriks anti simetris………………………………………. 33
5.1.10. Matriks hermitian………………………………………….. 33
5.1.11. Matriks invers……………………………………………… 33
5.1.12. Matriks komutatif…………………………………………. 34
5.1.13. Matriks idempoten,periodik,nilpoten……………………… 34
5.1.14. Matriks logika……………………………………………… 35
5.1.14.1. Definisi…………………………………………. 35
5.1.14.2. Matriks logika………………………………… 35
6. Relasi …………………………………………………………………. 38
6.1. Seleksi…………………………………………………………. 40
6.2. Proyeksi……………………………………………………….. 41
6.3. Join…………………………………………………………….. 42
Kesimpulan……………………………………………………………………. 43
Penutup……………………………………………………………………….. 45
Daftar Pustaka………………………………………………………………... 46
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 5
BAB 1
LOGIKA
Definisi Logika yaitu penalaran terhadap suatu pernyataan, atau pernyataan yang
bernilai benar atau salah di sebut proposisi.
Didalam Logika terdapat sebuah tabel kebenaran, yaitu tabel yang menyatakan nilai benar
atau salah.
Contoh Dari sebuah logika :
1. Ketua kelas SI2 adalah Tarjo, pernyataan ini dikatakan salah karena ketua kelas SI2
adalah Roy
2. 5 x 5 = 25, pernyataan ini dikatakan benar
3. 2a + 5 = 15, Pernyataan tersebut bukan proposisi karena bisa benar bisa salah
4. Berapa Harga baju itu?, pernyataan tersebut bukan proposisi
Macam – macam Logika :
1.1. AND (Dan)
Logika AND dapat dilambangkan dengan symbol A*B, A^B atau A.B
Logika AND ialah logika yang akan menghasilkan nilai benar / satu jika kedua inputan
bernilai benar / satu, dan akan menghasilkan nilai salah / nol jika salah satu inputan bernilai
salah / nol.
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 6
Tabel kebenaran
A B A*B
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
1.2. OR (Atau)
Logika OR dapat dilambangkan dengan symbol A +B atau AVB
Logika OR ialah logika yang akan menghasilkan nilai benar jika salah / nol satu inputan
bernilai benar / satu, dan akan menghasilkan nilai salah / nol jika kedua inputan bernilai
salah / nol.
Tabel kebenaran
A B A+B
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
1.3. NOT (Tidak)
Logika NOT dapat dilambangkan dengan symbol –A, A’ atau Ᾱ
Logika NOT ialah kebalikan dari nilai asal, jika inputan benar / satu maka akan menghasilkan
nilai salah/nol dan jika inputan salah/nol maka akan menghasilkan nilai benar/satu.
Tabel kebenaran
A B -A -B
1 0 0 1
0 1 1 0
1.4. NAND (Not And)
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 7
Logika NAND ialah hasil kebalikan dari AND (A*B), jika salah satu inputan bernilai
salah/nol maka akan menghasilkan nilai benar/satu, dan jika kedua inputan bernilai
benar/satu maka akan menghasilkan nilai salah/nol.
Tabel kebenaran
A B A NAND B
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 1
1.5. NOR (Not Or)
Logika NOR ialah hasil kebalikan dari OR (A+B), jika salahsatu inputan bernilai benar/satu
maka akan menghasilkan nilai salah/nol, jika kedua inputan bernilai salah/nol maka akan
menghasilkan nilai benar/satu.
Tabel kebenaran
A B A NOR B
1 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1.6. XOR (Exclusive OR)
Logika XOR ialah logika yang menghasilkan nilai benar/satu jika kedua inputan bernilai
berbeda, jika kedua inputan bernilai sama maka kan menghasilkan nilai salah/nol.
Tabel kebenaran
A B A XOR B
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
1.7. N XOR (No Exclusive Or)
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 8
Logika N XOR ialah logika yang menghasilkan nilai benar/satu jika kedua inputan
bernilai sama, dan akan menghasilkan nilai salah/nol jika kedua inputan berbeda, logika N
XOR merupakan kebalikan dari logika XOR.
Tabel kebenaran
A B A N XOR B
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
CONTOH SOAL
1. A^B^C
2. –(A^B) + C
3. (P+Q+R) + (P’+R’)
4. (P’+Q’+R’) * (PQR)
5. –(P’+Q’+R’) * -(PQR)
Cara Penyelesaian :
1. A^B^C
A B C A^B^C
1 1 1 1
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 0
0 1 1 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
2. –(A^B) + C
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 9
A B C C' A^B -(A^B) -(A^B)+C
1 1 1 1 1 0 1
1 1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 0 1 1
1 0 0 0 0 1 1
0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 0 1 1
0 0 1 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1 1
3. (P+Q+R) + (P’+R’) = Y
P Q R P' R' P+Q+R P'+R' Y
1 1 1 0 0 1 0 1
1 1 0 0 0 1 1 1
1 0 1 0 1 1 0 1
1 0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 0 1 1 1
0 1 0 1 0 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 0 1 1
4. (P’+Q’+R’) * (PQR) = Y
P Q R P' Q' R' PQR P'+Q'+R' Y
1 1 1 0 0 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 0 1 0
1 0 1 0 1 0 0 1 0
1 0 0 0 1 1 0 1 0
0 1 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 0 0 1 0
0 0 0 1 1 1 0 1 0
5. –(P’+Q’+R’) * -(PQR) = Y
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 10
P Q R P' Q' R' PQR P'+Q'+R' Y
1 1 1 0 0 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 0 1 0
1 0 1 0 1 0 0 1 0
1 0 0 0 1 1 0 1 0
0 1 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 0 0 1 0
0 0 0 1 1 1 0 1 0
Latihan Soal :
1. AvBvC
2. –(AvB) + C
3. (P*Q*R) + (P’+R’)
4. (P’*Q’*R’) * (PQR)
5. –(P’*Q’+R’) * -(PQR)
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 11
BAB 2
LOGIC GATE
2.1. Inverter (Pembalik)
Inverter merupakan gerbang logika dengan satu nilai masukan dan satu keluaran di
mana nilai keluaran selalu berlawanan dengan nilai masukan.
Tabel Logic
Input (A) Output(Y)
0 1
1 0
Gambar Simbol Inverter (Not)
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 12
2.2. Logic Gate Non Inveter
Berbeda dengan gerbang logika inverter yang sinyal masukan hanya satu, untuk
gerbang logika Non inverter sinyal masukannya ada dua atau lebih sehingga hasil (Output)
sinyal Keluaran sangat tergantung oleh sinyal masukannya dan gerbang logika yang di
laluinya (NOT,AND,OR,NAND,NOR,XOR,XNOR) yang termasuk logic gate non inverter
adalah:
2.2.1. Logic Gate And
Gerbang And ialah gerbang yang menghasilkan nilai 1 jika semua inputan bernilai 1,
tetapi apabila semua atau salah inputannya bernilai 0 maka outputnya bernilai 0.
Tabel Logic (AND)
Input (A) Input (B) Output (Y)
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Gambar Logic(AND)
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 13
2.2.2. Logic Gate OR
Gerbang OR akan menghasilkan nilai 1 apabila salah satu atau semua inputan yang di
masukan bernilai 1 dan apabila semua inputan bernilai 0 maka akan menghasilkan keluaran
nilai 0.
Table Logic (OR)
Input (A) Input (B) Output (Y)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Gambar Logic OR
2.2.3. Logic NAND
Logic NAND ialah gerbang yang apabila semua inputan bernilai 1 maka akan
menghasilkan nilai 0, tetapi apabila semua inputannya bernilai 0 maka keluarannya akan
menghasilkan nilai 1.
Tabel Logic (NAND)
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 14
Input (A) Input (B) Output (Y)
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Gambar Logic (NAND)
2.2.4. Logic Gate N OR
Gerbang N OR merupakan logika yang outputnya akan bernilai 1 apabila semua
inputanny bernilai 0 dan outputnya akan bernilai 0 apabila semua atau salah satu inputnya
bernilai 1.
Tabel Logic (NOR)
Input
(A)
Input
(B)
Output
(Y)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Gambar Logic NOR
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 15
2.2.5. Logic Gate XOR
Logic XOR merupakan kepanjang dari Exclusive OR yang mana keluarannya akan
bernilai 1 apabila inputannya berbeda, namun apabila semua inputannya sama maka akan
menghasilkan nilai 0.
Tabel Logic (XOR)
Input
(A)
Input
(B)
Output
(Y)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Gambar Logic (XOR)
2.2.6. Logic Gate (XNOR)
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 16
Gerbang XNOR merupakan kepanjangan Exculisive NOR yang mana keluarannya akan
bernilai 1 apabila semua inputannya sama,namun apabila inputannya berbeda maka akan
memberikan kelaran yang bernilai 0.
Tabel Logic (XNOR)
Input
(A)
Input
(B)
Output
(Y)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Gambar Logic XNOR
Latihan soal 1!
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 17
Misalkan kita memiliki inputan sebagai berikut :
A=1
B=1
C=1
JAWAB
D= jika inputan 1dan 1 melewati logic AND maka outputnya adalah 1
E= jika inputan 1 melewati logic NOT makao outputnya adalah 0
F= jika inputan 1 melewati logic NOT maka outputnya adalah 0
G= jika inputan 1 dan 1 melewati logic AND maka outputnya adalah 1
H= jika inputan 0 dan 1 melewati logic OR maka outputnya adalah 1
I= jika inputan 0 dan 1 melewati logic XOR maka outputnya adalah 1
J= jika inputan 1 dan 1 melewati logic NXOR maka outputnya adalah 1
K= jika inputan 1 dan 1 melewati logic NAND maka outputnya adalah 0
L= jika inputan 1 dan 0 melewati logic NOR maka outputnya adalah 0
Latihan soal 2!
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 18
Misalkan kita memiliki inputan sebagai berikut :
A=0
B=0
C=0
JAWAB:
E= Jika inputan 0 melewati logic NOT maka outputnya adalah 1
F= Jika inputan 0 melewati logic NOT maka outputnya adalah 1
G= Jika inputan 0 melewati logic NOT maka outputnya adalah 1
H= Jika inputan 0 melewati logic NOT maka outputnya adalah 1
I= Jika inputan 1 dan 1 melewati logic NAND maka outputnya adalah 0
J= Jika inputan 0 dan 1 melewati logic NXOR maka outputnya adalah 0
K= Jika inputan 0 dan 1 melewati logic OR maka outputnya adalah 1
1. OPERASI HIMPUNAN
Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu
kesatuan dengan keterangan yang jelas.
Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan huruf kapital A, B, C, …
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 19
Sedangkan untuk menyatakan anggotanya menggunakan huruf kecil, a, b, c, …
Terdapat 4 cara untuk menyatakan suatu himpunan:
a. Enumerasi, yaitu dengan mendaftarkan semua anggotanya yang diletakkan di dalam
sepasang tanda kurung kurawal dan diantara setiap anggotanya di pisahkan dengan
tanda koma.
Contoh :
A = {a, i, u ,e, o}.
b. Simbol baku, yaitu dengan menggunakan simbol tertentu yang telah di sepakati.
Contoh:
P adalah himpunan bilangan bulat positif dan R adlah himpunan bilangan Riil.
c. Notasi pembentukan himpunan, yaitu dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-
sifat umum dari anggota.
Contoh :
A= {x|x adalah himpunan bilangan bulat positif}
d. Diagram venn, yaitu dengan menyajikan himpunan secara grafis dari tiap-tiap
himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta yang di
gambarkan dengan segiempat.
Contoh:
S A B
5 8
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 20
4
2. IRISAN DAN GABUNGAN DUA HIMPUNAN
2.1 Irisan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanyamerupakan
anggota himpunan A dan sekaligus merupakan anggota himpunan B. Notasi:
AND= A ∩ B = {x | x € A dan x € B}
Simbol = ∩ A ∩ B
Misal:
A = {1,2,3,4,5}
B = {2,3,6,7}
A ∩ B = {2,3}
4.2. Gabungan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya
merupakan anggota A saja, anggota B saja, dan anggota persekutuan A dan B.
Gabungan = OR = { x | x € A atau x € B}
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 21
Simbol = Ư A Ư B
Misal:
A= {1,2,3,4,5}
B= {2,3,6,7}
A Ư B = {1,2,3,4,5,6,7}
4.2.1. Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya
merupakan anggota S tetapi bukan anggota A.
Notasi:
A ͨ = {x|x € S dan x € A}
Komplemen = NOT
Simbol = “ – “ - A
Misal:
S/U = {1,2,3,4,5,6,7,8}
A = {1,2,3,4,5}
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 22
-A = {6,7,8}
Contoh soal .
1. Kelas SI2 terdiri dari 35 orang. Setelah di survey di dapat:
12 orang menyukai PHP (A)
20 orang menyukai Java (B)
1 orang yang tidak menyukai keduanya.
Berapa orang yang menyukai keduanya?
Jawab:
Diketahui: n(U) = 35
n(A) = 12
n(B) = 20
n-(A&B) = 1
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 23
Jawab:
A B
12-x 20-x
x
1
n(AƯB) = 35 – 1 = 34
34 = (12-x) + x + (20-x)
34 = 32 – x
x = 32 – 34
x = -2
1. Dari 1200 mahasiswa IT.
582 menguasai Linux (A)
627 menguasai Windows (B)
543 menguasai Ubuntu (C)
227 menguasai Linux dan Windows
307 menguasai Linux dan Ubuntu
250 menguasai Windows dan Ubuntu
222 menguasai ketiganya
a.) Berapa orang yang tidak menguasai ketiganya?
b.) Berapa orang yang hanya menguasai 1 jenis operasi system saja?
Jawab:
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 24
Diketahui: n(S/U) = 1200
n(A) = 582
n(B) = 627
n(C) = 543
n(A∩B) = 227
n(A∩C) = 307
n(B∩C) = 250
n(A∩B∩C)= 222
Jawab:
A
x
c 222 a
z b y
C B
a = n(A) – n(A∩B∩C)
= 582 – 222 = 5
b = n(B) – n(A∩B∩C)
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 25
= 627 – 222 = 28
c = n(C) – n(A∩B∩C)
= 307 – 222 = 85
x = n(A) – (a + n(A∩B∩C) + c)
= 582 – (5 + 222 + 85)
= 582 – (312) = 270
y = n(B) – (a + n(A∩B∩C) + b)
= 627 – (5+ 222 + 28)
= 627 – 255 = 372
z = n(C) – (b + n(A∩B∩C) + c)
= 543 – (28 + 222 + 85)
= 543 – 335 = 208
AƯBƯC = n(A∩B∩C) + a + b + c + x + y + z
= 222 + 5 +28 + 85 + 270 + 372 + 208
= 1190
a.) n-( AƯBƯC) = n(S/U) – n(AƯBƯC)
= 1200 – 1190 = 10
b.) 270 + 372 + 208 = 850
Jadi yang haya menguasai 1 jenis operasi system adalah 850 mahasiswa.
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 26
Latihan .
1. Kelas SI 2 belajar maple dan matlab. 20 orang belajar maple dan 25% belajar juga
matlab. Jika perbandingannya 5:4 .
Berapa jumlah mahasiswa di kelas SI 2 ?
Berapa mahasiswa yang belajar maple saja ?
2. Hasil survey input data kelas SI 2 di dapat :
32 suka mouse (A)
20 suka touchscreen (B)
45 suka keyboard (C)
15 suka mouse dan keyboard
7 suka maouse dan touchscreen
10 suka keyboard dan touchscreen
5 suka ketiganya
a.) Berapa jumlah mahasiswa ?
b.) Berapa mahasiswa yang suka mouse saja?
Jawaban.
1. Diket : maple (A) , matlab (B)
n(A) = 20
n(A∩B) = 25% x n(A)
perbandingan A:B = 5 : 4
Ditanya: n(S) ?
Yang belajar maple saja?
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 27
Jawab:
n(A∩B) = x 20 = 5
n(B) = x 20 = 16
a = n(A) – n(A∩B)
= 20 – 5 = 15
b = n(B) – n(A∩B)
= 16 – 5 = 11
n(S) = a + b + n(A∩B)
= 15 + 11 + 5 = 31.
Jadi yang belajar maple saja = 20 – 5 = 15 mahasiswa.
2. Diketahui: n(A) = 32
n(B) = 20
n(C) = 45
n(A∩C) = 15
n(A∩B) = 7
n(B∩C) = 10
n(A∩B∩C) = 5
Ditanya: n(S) ?
Yang suka mouse saja?
Jawab:
A B
a b 5
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 28
A
a
x y
5
c z b
C B
x = n(A∩C) - n(A∩B∩C)
= 15 – 5 = 10
y = n(A∩B) - n(A∩B∩C)
a = n(A) – (x + n(A∩B∩C) + y)
= 32 – (10 + 5 + 2)
= 32 – 17 = 15
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT Page 29
b = n(B) – (y + n(A∩B∩C) + z)
= 20 – (2 + 5 + 5)
= 20 – 12 = 8
c = n(C) – (x + n(A∩B∩C) + z)
= 45 – ( 10 + 5 + 5)
= 45 – 20 = 25
= 7 – 5 = 2
z = n(B∩C) - n(A∩B∩C)
= 10 – 5 = 5
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S. Kom, MT Page 30
n(S) = n(A∩B∩C) + a + b + c + x + y + z
= 5 + 15 + 8 + 25 + 10 +2 + 5
= 70
Yang suka mouse saja yaitu:
a = n(A) – (x + n(A∩B∩C) + y)
= 32 – (10 + 5 + 2)
= 32 – 17 = 15 mahasiswa.
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S. Kom, MT Page 31
5. Matriks
Matriks adalah suatu jajaran bilangan atau elemen yang di susun dalam bentuk baris dan lajur berbentuk persegi empat.
Ukuran atau ordo sebuah matriks adalah banyaknya baris(horizontal) dan banyaknya kolom(vertikal) dalam matriks tersebut.
Syarat-syarat matriks:
Berbentuk persegi empat dan di tempatkan dalam kurung siku
Unsur-unsur atau elemen elemenya terdiri dari bilangan-bilangan
Mempunyai baris dan lajur / kolom
Kegunaan matriks:
Memudahkan dalam membuat analisa mengenai suatu masalah ekonomi yang mengandung macam-macam variabel.
Untuk memecahkan masalah oerasi penyeledikan,seperti masalah penyelidikan sumber daya alam,perhitungan / kalkulasi,dll.
Mendukung berkaitan dengan penggunaan program linier,analisis input /output baik bidang ekonomi,statistik,maupun bidang-bidang pendidikan,manajemen dan tehknik.
Contoh matriks:
A= matriks A mempunyai ordo (ukuran) 3×2 sebab memiliki 3 baris dan 2 kolom.
B= matriks B mempunyai ordo 1×4
C= matriks C mempunyai ordo 3×3
Matriks yang hanya berukuran 1×1 disebut skalar.
Sedangkan matriks yang mempunyai banyak baris dan banyak kolom (n×n) di sebut matriks bujur sangkar.
Untuk menyatakan (menyimbolkan) matriks,digunakan huruf besar.Sedangkan untuk menyatakan (menyimbolkan) element matriks,digunakan huruf kecil.
A = element matrik dinyatakan dengan huruf kecil
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S. Kom, MT Page 32
Nama matriks A,dinyatakan dengan huruf besar
a. Beberapa jenis matriks khusus
i. Matriks bujur sangkar
Matriks bujur sangkar ialah suatu matriks dengan banyaknya baris = banyak kolom = n . Barisan elemen a11,a12,.....,ann disebut diagonal utama dari matriks bujur sangkar A tersebut. Contoh:
A = adalah matriks bujur sangkar berukuran 2
B = adalah matriks bujur sangkar berukuran 3
ii. Matrik nol Matriks nol adalah matrik yang semua elemennya 0 (di tulis matrik 0).
Sifat-sifatnya : a. A + 0 = A (bila ukuran A = ukuran 0) b. A0 = 0 ; 0A = 0 (kalau syarat=syarat perkalian terpenuhi)
iii. Matriks diagonal
Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemenya di luar diagonal
utama adalah nol.Dengan perkataan lain: (αij) adalah matriks diagonal bila αij = 0 untuk i ≠ j.
contoh:
adalah matrik diagonal
iv. Matriks identity
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S. Kom, MT Page 33
Matrik identity (satuan) adalah matrik diagonal yang elemen-elemen diagonal
utamanya semua = 1,dengan perkataan lain : (αij) adalah matriks identity, bila αij = 1 dan
= 0 untuk i ≠ j.matriks biasanya ditulis I atau In dimana n menunjukan ukuran matrik bujur sangkar tersebur. Contoh:
I3 = ,I5 = dan lain lain
Sifat matriks identity adalah seperti bilangan 1 (satu) dalam operasi-operasi dengan bilangan biasa,yaitu: AI = A IA = A(bila syarat-syarat terpenuhi) Contoh:
A = , I3 =
Maka AI = = A
v. Matriks skalar
Matriks skalar adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utamanya sama = K.matrik I adalah bentuk khusus dari matriks skalar,dengan K = I.
Contoh:
, adalah matriks skalar dapat di tuliskan pula sebagai
4I =
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S. Kom, MT Page 34
vi. Matriks segitiga bawah (lower triangular) Matriks segitiga bawah (lower triangular) matriks bujur sangkar yang semua elemen
di atas diagonal utama = 0.Dengam perkataan lain (αij) adalah matriks segitiga bawah bila
αij = 0,untuk i < j.
Contoh:
adalah matriks segitiga bawah
vii. Matriks segitiga atas (upper triangular)
Matriks segitiga atas (uppr triangular) adalah matriks bujur sangkar yang semua
elemen di bawah diagonal utama = 0.dengan perkataan lain (αij) adalah matriks sgitiga atas
bila αij = 0,i > j.
Contoh:
adalah matriks segitiga atas.
viii. Matriks simetris
Matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya
sendiri,dengan kata lain bila A = AT atau αij = αij untk semua i dan j.jelas bahwa matriks
simetris adalah bujur sangkar.
Contoh:
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S. Kom, MT Page 35
A = dan AT =
ix. Matriks antisimetris
Matriks antisimetris adalah matriks yang tramposenya adalah negatifnya,dengan
perkataan lain bila AT = -A atau αij = - αij untuk seua i dan j.mudah di pahami bahwa
semua elemen diagonal utama matriks antisimetris adalah = 0.
Contoh:
A = , AT =
x. Matriks hermitian Matriks A disebut matriks hermitian bila transpose hermitianya =dirinya
sendiri,dengan kata lain bila AH = A.Mudah dimengerti bahwa matriks yang simetris adalah matriks hermitian.Disebut antihermitian bila AH = -A. Contoh:
A = dan AH =
xi. matriks invers (kebalikan)
kalau A dan B matrik-matrik bujur sangkar berordo n dan berlaku AB = BA = I maka dikatakan B invers A dan di tulis B = A-1,sebaliknya A adalah invers B,dan ditulis A =B-1.
Catatan :tidak semua matriks bujur sangkar mempunyai invers.sebuah matriks yang invernya adalah dirinya sendiri,dengan perkataan lain AA = I,disebut matriks yang involutory.
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S. Kom, MT Page 36
Contoh:
Matriks A =
Mempunyai invers A-1 =
Karena AA-1 = A-1 A = =
xii. matriks komutatif
kalau A dan B matriks-matrik bujur sangkar dan berlaku AB = BA,maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain.jelas bahwa setiap matriks bujur sangkar berkomutatif dengan I (yang ukuran sama) dan dengan inversnya (bila ada).
Contoh :
A = dan B = berkomutatif karena
AB = =
Sedangkan :
BA = =
Catatan : matriks bujur sangkar N disebut normal bila berlaku NNH = NHN,yaitu bila N berkomutatif ddngan tranpose hermitianya.jelas bahwa matriks hermitian merupakan juga matriks normal.
xiii. Matriks idempoten,periodik,nilpoten
Bila berlaku AA = A2 = A,dikatakan matrks bujur sangkar A adalah matriks yang idempoten.
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S. Kom, MT Page 37
Secara umum bila p bilangan asli (bulat positif) terkecil sehingga berlaku AAA....A = AP = A,maka dikatakan A matriks periodik dengan periode p – 1. Kalau A-1 = 0, dikatakan A nilpotent dengan indeks r (dimana r adalah bilangan bulat positif terkecilyang memenuhi hubungan di atas).
Contoh:
A = adalah nilpoten dengan indeks = 3.
Karena A-1=
= = = 0
xiv. Matriks logika
a. Definisi
A = (αij)
I = Baris
J = Kolom
5.1.14.2.1 Matriks logika
Matriks yang mengandung perintah kelompok. Contoh:
A =
Tentukan perintah pokok dari matriks A : (1,1) = 1 (1,2) = 4 (1,3) = 9 (1,4)= 16 (2,1) = 3 (2,2) = 2 (2,3) = 9 (2,4) = 16 (3,1) = 4 (3,2) = 5 (3,3) = 3 (3,4) = 16 (4,1) = 5 (4,2) = 6 (4,3) = 7 (4,4) = 4
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S. Kom, MT Page 38
Perintah pokoknya adalah :
1) Jika i = j,maka αij = i atau j (diagram)
2) Jika i < j,maka αij = j2 atau j×j (segitiga atas)
3) Jika i > j,maka αij = i + j (segitiga bawah)
Latihan 4:
1) Buatlah matrik berordo 5 × 5 dengan perintah pokok sebagai berikutn :
1 Jika i = j,maka αij = 1 + 2
2 Jika i < j,maka αij = j + 2
3 Jika i > j,maka αij = j2
Jawab
(1,1) = 3 (1,2) = 4 (1,3) = 6 (1,4)= 7 (2,1) = 1 (2,2) = 4 (2,3) = 6 (2,4) =7 (3,1) = 1 (3,2) = 4 (3,3) = 6 (3,4) =7 (4,1) = 1 (4,2) = 4 (4,3) = 16 (4,4) =7
X =
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S. Kom, MT Page 39
2) Tentukan perintah pokok dari matriks berikut :
X =
Y =
Jawab
( X )
(1,1) = 2 (1,2) = 1 (1,3) = 2 (1,4) = 3 (2,1) = 3 (2,2) = 2 (2,3) = 2 (2,4) = 3 (3,1) = 4 (3,2) = 4 (3,3) = 2 (3,4) = 3 (4,1) = 5 (4,2) = 5 (4,3) = 5 (4,4) = 2
Perintah pokoknya adalah :
1 Jika i = j,maka αij = i × 2 atau j × 2
2 Jika i < j,maka αij = j - 2
3 Jika i > j,maka αij = i + 1
( Y )
(1,1) = 1 (1,2) = 0 (1,3) = 1 (1,4) = 2 (2,1) = 4 (2,2) = 4 (2,3) = 1 (2,4) = 2 (3,1) = 9 (3,2) = 9 (3,3) = 9 (3,4) = 2 (4,1) = 16 (4,2) = 16 (4,3) = 16 (4,4) = 16
Perintah pokoknya adalah :
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S. Kom, MT Page 40
1 Jika i = j,maka αij = j2 atau i2
2 Jika i < j,maka αij = j - 2
3 Jika i > j,maka αij = i2
6. RELASI
Jika di kehidupan nyata ada yang namanya suatu hubungan (relasi) antara indivudu dan
indivudu didalam suatu kelompok. Atau hubungan unsur lain terhadap unsur atau hal lain,
misal, hubungan antar tetangga, hubungan mahasiswa dengan mata kuliah, ataupun
hubungan dosen dengan pelajaran yang diampunya, dan lain-lain. Di materi relasi ini, kita
akan membahas tentang hubungan atau relasi, hubungan antara ua unsur atau
himpunanyang tidak kosong dengan satu aturan hubungan/perkaitan tertentu, penjelasan
yang akan kami jelaskan meliputi definisi dan fungsi, operasi dan sifatnya.
Kita misalkan E dan F sebagai himpunan, hubungan antara himpunan E dan F merupakan
himpunan yang memiliki pasangan atau huruf/angka yang berurutan, tetapi mengikuti
aturan tertentu. Dengan demikian hubungan biner R antar himpunan E dan F, merupakan
himpunan dari E x F / R C (E x F).
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S. Kom, MT Page 41
Contoh : misal E ={2,4,6} dan F = {2,4,6,8}. Jika didefinisikan relasi R dan E ke F menggunakan
aturan seperti, (e,fb) € R jika factor dari f, dan seperti yang kalian pelajari sebelumnya atau
yang sudah kalian ketahui,
E x F menjadi :
E x F = { (2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (4,2), (4,4), (4,6), (4,8), (6,2), (6,4), (6,6), (6,8)}.
Jika menggunakan aturan relasi/hubungan diatas, relasi R dari E ke F yang mengikuti aturan
tadi menjadi,
R = {(2,2),(2,4),(2,6),(2,8)}.
Hubungan/relasi bisa juga terjadi hanya pada sau atau sebuah himpunan, yaitu hubungan
pada E, yang merupakan himpunan E x E.
Contoh :
Misal R a/ relasi pada E = {2,3,4,8,9} yang diumpamakan : ( X,Y ) € R dan bila X habis dapat
dibagi oleh Y.
Relasi R pada E yang mengikuti aturan tersebut a/ seperti dibawah ini.
R= { (2,2), (4,4), (4,2), (8,8), (8,2), (8,4), (3,3), (9,9), (9,3) }
Contoh Relasi :
E : Nama, Subyek/Domain
SORA
JUMSO
KANGPARK
SALAD
PASTA
STEAK
E R
F
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S. Kom, MT Page 42
F : Obyek / Kodomain
R : Relasi atau hubungan antar makanan favorite
Kesimpulan : Relasi adalah hubungan antara 2 atau lebih himpunan. Symbol Relasi adalah σ
Operasi himpunan relasi terdiri dari :
1. Seleksi
2. Proyeksi
3. Join
Setiap mahasiswa terkait dengan Nim, Nama, Matkul, Nilai. Maka kita buat tabel sebagai
berikut :
Nim Nama Matkul Nilai
01 Sule Mat. Diskrit A
01 Sule English B
02 Aziz Mat. Diskrit A
02 Aziz English B
03 Parto Mat. Diskrit A
03 Parto Sruktur data B
04 Nunung English B
05 Andre Struktur data B
Latihan :
a. σ Matkul “Mat. Diskrit” (Mhs):
Nim Nama Matkul Nilai
01 Sule Mat. Diskrit A
02 Azis Mat Diskrit A
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S. Kom, MT Page 43
03 Parto Mat.Diskrit A
Operasi himpunan terdiri dari :
4. Seleksi
5. Proyeksi
6. Join
6.1. Seleksi
Menyeleksi baris dengan aturan tertentu, seleksi dapat disimbolkan dengan lambang σ
Contoh:
Nim Nama Matkul Nilai
01 Sule Mtk.diskrit A
01 Sule English B
02 Azis Mtk.diskrit A
02 Azis English B
03 Parto Mtk.diskrit A
03 Parto Struktur data B
04 Nunung English B
05 Andre struktur data B
Tentukan hasil :
a. σ matkul “ mtk diskrit ” (mhs) :
jawab
Nim Nama Matkul Nilai
01 Sule Mtk diskrit A
02 Azis Mtk diskrit A
03 Parto Mtk diskrit A
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S. Kom, MT Page 44
b. σ Nama “Parto” (Mhs)
Nim Nama Matkul Nilai
3 parto Mtk diskrit A
3 parto struktur data B
6.2. Proyeksi
Proyeksi adalah operasi yang meilih kolom dari suatu tabel, jika ada beberapa
baris yang sama nilainya maka hanya diambil satu kali.
Simbol : π
Contoh : misalkan untuk relasi Mhs kita ingin menampilkan daftar nama mahasiswa
mata kuliah dan nilai operasi proyeksinya adalah πNama,Matakul,Nilai(Mhs).
Nama Matkul Nilai
Sule Mtk.diskrit A
Sule English B
Azis Mtk.diskrit A
Azis English B
Parto Mtk.diskrit A
Parto Struktur data B
Nunung English B
Andre struktur data B
6.3. Join
Operasi join adalah operasi yang menggabungkan 2 buah tabel menjadi 1. Bila kedua
tabel mempunyai attribut yang sama.
Operator untuk menuliskan join adalah Ʈ.
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S. Kom, MT Page 45
Misal kita mempunyai 2 buah tabel (Mhs dan Mhs2)
Tabel Mhs.
Nim Nama Matkul Nilai
01 Sule Mtk.diskrit A
01 Sule English B
02 Azis Mtk.diskrit A
02 Azis English B
03 Parto Mtk.diskrit A
03 Parto Struktur data B
04 Nunung English B
05 Andre struktur data B
Tabel Mhs2
Nim Nama JK Matkul Nilai
01 Sule L Mtk.diskrit A
01 Sule L English B
02 Azis L Mtk.diskrit A
02 Azis L English B
03 Parto L Mtk.diskrit A
03 Parto L Struktur data B
04 Nunung P English B
05 Andre L struktur data B
Kita akan gabungkan kedua tabel diatas, maka perintahnya adalah :
ƮNim,Nama(Mhs)(Mhs2) :
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S. Kom, MT Page 46
Nim Nama JK Matkul Nilai
01 Sule L Mtk.diskrit A
01 Sule L English B
02 Azis L Mtk.diskrit A
02 Azis L English B
03 Parto L Mtk.diskrit A
03 Parto L Struktur data B
04 Nunung P English B
05 Andre L struktur data B
PENUTUP
A. Kesimpulan
1. Logika
Definisi Logika yaitu penalaran terhadap suatu pernyataan, atau pernyataan
yang bernilai benar atau salah di sebut proposisi.
Di dalam ilmu computer, logika sangatlah penting untuk membuat suatu
program.
2. Logika Gate
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S. Kom, MT Page 47
Logika gate atau gerbang logika adalah dasar pembentuk Simstem
Elektronika Digital yang berfungsi untuk mengubah satu atau beberapa input
(masukan) menjadi sebuah sinyal output (keluaran) logis.
3. Operasi himpunan
Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup
dalam satu kesatuan dengan keterangan yang jelas.
4. Irisan gabungan dua himpunan
Irisan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang
anggotanyamerupakan anggota himpunan A dan sekaligus merupakan
anggota himpunan B
5. Matriks
a. Matriks adalah sekelompok bilangan yang di susun dalam suatu jajaran
bentuk persegi atau persegi panjang yang terdiri atas baris-baris atau
kolom-kolom
b. Matriks di dalam matematika diskrit, matriks digunakan untuk
mempersentasikan struktur diskrit
6. Relasi
Jika di kehidupan nyata ada yang namanya suatu hubungan (relasi)
antara indivudu dan indivudu didalam suatu kelompok. Atau hubungan unsur
lain terhadap unsur atau hal lain, misal, hubungan antar tetangga, hubungan
mahasiswa dengan mata kuliah, ataupun hubungan dosen dengan pelajaran
yang diampunya, dan lain-lain
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S. Kom, MT Page 48
DAFTAR PUSTAKA
http://genius.smpn1-
mgl.sch.id/file.php/1/ANIMASI/matematika/irisan%20Dan%20Gabungan%20
Dua%20Himpunan/materi02.html
http://rumus-matematika.com/teori-himpunan
http://opensource.telkomspeedy.com/repo/abba/v12/sponsor/sponsor-
pedamping/praweda/Matematika/0371%20Mat%20201-4a.html
Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S. Kom, MT Page 49
http://rumus-matematika.com/matriks
http://teknikelektronika.com/pengertian-gerbang-logika
top related