bab iv hitung diferensial pendahuluan · pdf filetrigonometri, fungsi logaritma, fungsi...
Post on 02-Feb-2018
295 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 33
2013
BAB IV HITUNG DIFERENSIAL
(Pertemuan ke 5 s/d 8)
PENDAHULUAN
Diskripsi singkat
Pada bab ini dibahas tentang derivatif macam-macam fungsi, yaitu fungsi aljabar, fungsi
trigonometri, fungsi logaritma, fungsi eksponensial, fungsi siklometri, dan fungsi hiperbolik. Selain
itu derivatif tingkat tinggi, derivatif yang dinyatakan dalam persamaan parameter, deriatif parsiil.
serta arti derivatif suatu fungsi.
Manfaat
Untuk menentukan derivatif fungsi aljabar, fungsi trigonometri, fungsi logaritma, fungsi
eksponensial, fungsi siklometri, fungsi hiperbol, baik tingkat satu maupun tingkat tinggi. Untuk
menentukan koefisien arah garis singgung dan garis normal. Untuk menghitung lau-laju
perubahan.
Relevansi
Arti deriatif sangat luas bila diterapkan di bidang mesin. Selain bermakna sebagai koefisien
arah garis singgung dan berkaitan juga dengan garis normal, pada terapannya dalam bidang
teknik berhubungan dengan laju-laju perubahan. Penerapannya dalam mata kuliah yang lain juga
sangat besar, misalnya digunakan dalam fisika, perpindahan kalor dan lainnya.
Learning Outcomes
Mahasiswa dapat menentukan garis singgung suatu kurva dan mampu mencari derivatif
berbagai fungsi. Serta mahasiswa mampu menerapkan pengertian derivatif dalam bidang mesin
dan mata kuliah lainya.
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 34
2013
PENYAJIAN
Diketahui kontinu dan berharga tunggal dalam interval a x b. Bila x
berubah sebesar ∆x maka y berubah sebesar ∆y, sehingga berubah menjadi
, atau:
Jika ∆y dibagi dengan ∆x, maka:
∆y dan ∆x disebut diferensi dan disebut hasil bagi diferensi.
Bila untuk ∆x 0, kemudian hasil bagi diferensi dilimitkan, dan ternyata hasilnya
ada, maka limit ini disebut derivatif dari ke peubah x.
dy dan dx disebut “diferensial”. Operasi mencari derivatif disebut “menurunkan” atau
“mendiferensialkan”.
Aturan rantai
Jika dan , maka derivatif dari y tehadap peubah x, yaitu ,
dapat diperoleh dari aturan rantai berikut:
.
Secara umum aturan rantai ditulis sebagai:
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 35
2013
Peran aturan rantai menjadi sangat penting terutama untuk pemecahan soal-soal
yang begitu kompleks. Karena dengan pemisalan terhadap komponen soal, serta
menerapkan aturan rantai ini, soal-soal yang dipecahkan akan mengarah kepada rumus-
rumus yang ada.
Arti derivatif suatu fungsi
Garis singgung & garis normal
Telah dibahas pada limit dan fungsi, bahwa koefisien arah suatu garis lurus sama
dengan tangent α. Bila garis lurus itu adalah garis singgung pada suatu kurva, berarti Δx
→0. Maka:
Persamaan garis singgung pada kurva di titik (xo, yo), adalah:
Sedangkan persamaan garis normalnya adalah:
Laju perubahan
Misalkan x dan y adalah dua kuantitas fisik yang dihubungkan oleh fungsi
. Maka adalah laju perubahan rata-rata dari y terhadap x dalam interval Δx. Limit
untuk Δx mendekati nol, jika ada, disebut laju perubahan (sesaat) dari y terhadap x,
maka
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 36
2013
Cara mencari derivatif
Misalnya diketahui , maka apa derivatif pertamanya?
Jawab:
→
___________________________ _
Jadi derivatif pertama dari adalah y’ = 2x.
Rumus-Rumus Derivatif
1. Derivatif Fungsi Aljabar
Jika c dan k masing-masing adalah konstanta, sedangkan u, v dan w masing-masing
adalah merupakan fungsi dengan peubah x, maka :
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 37
2013
Contoh soal dan penyelesaian
1. Carilah turunan pertama dari
Jawab:
2. Carilah turunan pertama dari
Jawab:
3. Carilah turunan pertama dari
Jawab:
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 38
2013
Soal-soal
Carilah turunan pertama dari:
a.
b.
c.
d.
e. Tentukan persamaan garis singgung terhadap grafik fungsi, ,
pada titik (1,4). Gambarkan fungsinya dan tunjukkan garis singgung tersebut.
f. Tentukan persamaan garis singgung terhadap grafik fungsi, , pada
titik (1,2). Gambarkan fungsinya dan tunjukkan garis singgung tersebut.
g. Apakah garis singgung pada grafik , di (1,1) melalui titik (2,5) ?
h. Sebuah pesawat pembom terbang dari arah kanan menuju ke kiri menurut kurva
. Jika bom yang diluncurkan bergerak menurut garis lurus (pada bidang x-
y), dimana pilot harus melepaskan bom jika sasaran berada pada titik (1,0) ?
i. Volume bola adalah V=4πR3/3. Jika radius bola berubah dari R menjadi R+ΔR,
tentukan a) perubahan volume, b) laju perubahan rata-rata volume terhadap
radius, dan c) laju perubahan volume terhadap radius.
j. Sebuah kubus metal dengan panjang sisi x, mengembang secara proporsional,
jika dipanaskan. Tentukkan a) laju perubahan rata-rata volume kubus terhadap
sisinya, jika bertambah dari 2 cm menjadi 2,01 cm, b) laju perubahan sesaat
volume kubus terhadap sisinya, pada x = 2 cm.
2. Derivatif Fungsi Logaritma
Jika diketahui fungsi logaritma , dan y berubah dengan Δy karena x
berubah dengan Δx, maka:
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 34
2013
Jika persamaan pertama dikurangkan dengan persamaan yang kedua, maka
hasilnya adalah:
Ingat bahwa: atau
Bilangan Napier,
,71828…
Maka:
Jadi:
Jika dan , dan jika , maka atau dapat ditulis sebagai
.
Jika , maka atau dapat ditulis sebagai . Domain dari x
adalah bilangan riil.
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 35
2013
y y y
0 1 x 1 1
0 x 0 x
Contoh soal dan penyelesaian
1. Carilah turunan pertama dari
Jawab:
Misalkan, , maka , maka:
Gambar 4-1
a.
b.
c.
d.
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 36
2013
2. Carilah turunan pertama dari
Jawab:
3. Carilah turunan pertama dari
Jawab: misalkan
, misalkan , maka
Soal-soal
Carilah turunan pertama dari:
1.
2.
3.
4.
5.
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 33
2013
6. Laju aliran kalor radial melewati isolator berbentuk silinder, dinyatakan oleh
persamaan: , dengan L, ri, k, h, To & T adalah konstanta. Carilah
: turunan pertama dari q ke peubah ro, yaitu ?
3. Derivatif Fungsi Eksponensial
Jika diketahui , dengan a = konstanta, berapakah turunannya?
Maka: . Jika persamaan ini diturunkan ke peubah u, maka:
Jadi dari au adalah:
Rumus-rumus untuk turunan fungsi eksponensial, adalah disajikan sebagai berikut:
Contoh soal dan penyelesaian
1. Carilah turunan pertama dari
Jawab:
a.
b.
c.
d.
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 34
2013
2. Carilah turunan pertama dari
Jawab:
, misalkan , maka
3. Carilah turunan pertama dari
Jawab:
, misalkan dan , maka
Soal-soal. Carilah turunan pertama dari:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 34
2013
4. Derivatif Fungsi Trigonometri (Goniometri)
Rumus-rumus untuk turunan fungsi Trigonometri, adalah disajikan sebagai
berikut:
Contoh soal dan penyelesaian
1. Carilah turunan pertama dari
Jawab
2. Carilah turunan pertama dari
Jawab
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 35
2013
3. Carilah turunan pertama dari
Jawab
Soal-soal
Carilah turunan pertama dari:
1.
2.
3.
4.
5.
5. Derivatif Fungsi Siklometri
Funggsi siklometri disajikan dengan hubuungan arcus, dan merupakan kebalikan
dari fungsi goniometri.
Ambillah : , diubah menjadi
Jika diturunkan, hasilnya:
Dengan melihat hubungan pada segitiga
di samping, maka:
Jadi :
1 u
y
Gambar 4-2
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 36
2013
atau
Rumus-rumus untuk turunan fungsi siklometri, adalah disajikan sebagai berikut:
Contoh soal dan penyelesaian
1. Carilah turunan pertama dari
Jawab
2. Carilah turunan pertama dari
Jawab
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 37
2013
3. Carilah turunan pertama dari
Jawab:
Soal-soal
Carilah turunan pertama dari:
1.
2.
3.
4.
5.
6. Derivatif Fungsi Hiperbolik
Rumus-rumus untuk turunan fungsi Hiperbolik, adalah disajikan sebagai berikut:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 38
2013
Contoh soal dan penyelesaian
1. Carilah turunan pertama dari
Jawab
2. Carilah turunan pertama dari
Jawab
3. Carilah turunan pertama dari
Jawab
Soal-soal
Carilah turunan pertama dari:
1.
2.
3.
4.
5.
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 39
2013
Derivatif Tingkat Tinggi
Jika diderivatifkan akan didapatkan y’. Jika y’ masih merupakan fungsi x,
maka masih dapat diderivatifkan lagi, hasil derivatif ini disebut derivatif ke-dua atau
turunan ke-dua.
Notasi :
, (dengan ) derivatif tinkat (order) satu,
derivatif tinkat (order) dua,
derivatif tinkat (order) tiga,
derivatif tinkat (order) ke-n.
Pada ungkapan turunan (tingkat satu saja) di atas ada tiga macam notasi yang
digunakan, yaitu notasi aksen ( ), notasi d ( ) dan notasi Leibniz ( ).
Contoh: tentukan derivatif tingkat tiga, dari:
Jawab:
Soal-soal
Tentukan:
1) , dari:
2) , dari:
3) , dari:
4) , dari:
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 40
2013
Derivatif fungsi-fungsi yang dinyatakan dalam persamaan parameter
Bila untuk menyatakan hubungan antara y sebagai fungsi x digunakan peubah ke-
tiga (disebut parameter), maka derivatif y ke peubah x ditentukan dengan aturan sebagai
berikut:
contoh:
Carilah jika diketahui &
Jawab:
,
, , maka:
Soal-soal: Tentukan dari
a) &
b) &
Jika: dan , maka
a)
b)
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 41
2013
Derivatif Parsiil
Derivatif parsiil: derivatif fungsi dengan dua peubah atau lebih.
Misalkan , dengan x dan y adalah variabel bebas.
1. Z bertambah dengan ∆z oleh karena x bertambah dengan ∆x, sedangkan y tetap,
maka:
___________________________ (-)
= derivatif parsiil tingkat satu ke-x, sedangkan y = konstan.
2. Z bertambah dengan ∆z oleh karena y bertambah dengan ∆y, sedangkan x tetap,
maka:
___________________________ (-)
= derivatif parsiil tingkat satu ke-y, sedangkan x = konstan.
Derivatif parsiil tingkat tinggi
Derivatif parsiil tingkat dua diperoleh dari derivatif parsiil tingkat satu ( & ),
masing-masing diturunkan ke peubah x dan y. Maka menghasilkan:
a.
b.
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 42
2013
c.
d.
Derivatif parsiil tingkat tiga diperoleh dari derivatif parsiil tingkat dua ( , ,
& ) , masing-masing diturunkan ke peubah x dan y. Maka menghasilkan:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Dapat dibuktikan bahwa:
Contoh
1. Tentukan derivatif parsiil tingkat satu dari:
2. Tentukan derivatif parsiil tingkat satu dari:
=
Dapat dibuktikan bahwa:
&
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 43
2013
Soal-soal
Tentukan derivatif parsiil tingkat satu dari:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. Suhu pada (x, y, z) dari sebuah bola yang berpusat di titik asal, diberikan oleh
persamaan berikut: , dengan pemeriksaan , putuskan di
bagian mana yang paling panas ?
12. Hitung harga: , bila
13. Hitung: , bila
14. Tentukan , bila
15. Tentukan derivatif parsiil tingkat dua dari:
16. Hitung harga , bila , dimana
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 44
2013
Diferensial Total
Jika fungsi dengan dua variabel bebas, z berubah dengan Δz karena x berubah
dengan Δx dan y berubah dengan Δy, maka:
Persamaan terakhir di atas dapat ditulis menjadi:
Turunan kedua:
Turunan ketiga:
Diferensial total Turunan pertama
Suku 1 Suku 2
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 45
2013
Turunan tingkat ke-n:
Bila persamaan menggunakan parameter: & , maka derivatif
total menjadi:
Derivatif fungsi implisit.
Deriatif fungsi implisit dengan satu peubah
Contoh fungsi implisit:
Jika:
Turunan pertama:
Turunan kedua:
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 46
2013
Contoh: Tentukan & dari:
dapat dicari menggunakan rumus yang telah tersedia, atau langsung diturunkan dari
yang sudah diperoleh, sebagai berikut:
Tugas pertemuan ke 5, carilah turunan pertama dari soal-soal 1 & 2 berikut.
1.
2.
3. Tentukan persamaan garis singgung terhadap grafik fungsi, ,
pada titik (1,4). Gambarkan fungsinya dan tunjukkan garis singgung tersebut.
Latihan untuk pertemuan ke 5, selesaikan soal-soal berikut.
1. Carilah turunan pertama dari
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 47
2013
2. Tentukan persamaan garis singgung terhadap grafik fungsi, , pada
titik (1,2). Gambarkan fungsinya dan tunjukkan garis singgung tersebut.
Petunjuk.
1. Misalkan dan , selanjutnya gunakan rumus derivatif
fungsi aljabar berikut: . jawabnya:
2. Turunkan dulu: , maka .Turunan ini, yaitu: ,
yaitu koefisien arah garis singgung. Karena garis singgung melalui titik (1,2), maka
masukkan nilai x pada m. selanjutnya ggunakan persamaan garis melalui suatu
titik (xo, yo) dan mempunyai koefisien arah m, yaitu: .
Jawabnya: .
Tugas pertemuan ke 6, carilah turunan pertama dari soal-soal berikut.
1.
2.
Latihan untuk pertemuan ke 6, carilah turunan pertama dari soal-soal berikut.
1.
2.
Petunjuk.
1. Misalkan , maka . Selanjutnya y turunkan ke peubah w,
menghasilkan . Selanjutnya dimisalkan dulu , dan ,
kemudian dihitung . Selanjutnya y diturunkan ke peubah x, dengan
menggunakan aturan rantai, yaitu .
2. Untuk menyelesaikan soal: , dimisalkan dulu ,
sehingga . Selanjutnya y turunkan ke peubah u, menghasilkan: .
Kemudian u turunkan ke x, menghasilkan: . Untuk
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 48
2013
mempermudah misalkan , maka dapat dicari. Sehingga:
. Selanjutnya .
Tugas pertemuan ke 7, carilah turunan pertama dari soal-soal berikut.
1.
2.
Latihan untuk pertemuan ke 7, carilah turunan pertama dari soal-soal berikut.
1.
2.
Petunjuk.
1. Untuk menyelesaikan , dimisalkan dan ,
sehingga . Kemudian masing-masing diturunkan ke x menghasilkan dan
, Maka .
2. Untuk menyelesaikan , dimisalkan , maka .
Sehingga & dapat dicari. Dengan aturan rantai maka: .
Tugas pertemuan ke 8.
1. Carilah dari: &
2. Tentukan derivatif parsiil dari:
Latihan untuk pertemuan ke 8.
1. Tentukan derivatif parsiil dari:
2. Hitung: , bila
Petunjuk.
1. Untuk menyelesaikan , dimisalkan , dan , sehingga
. Maka:
Matematika Teknik 1,Bab 3
s.johanes, dtm sv ugm 49
2013
2. Untuk menyelesaikan soal nomer 2, dicari ,
dan .
PENUTUP
Tes formatif dan kunci tes formatif
1. Tentukan dari . Kuncinya:
2. Tentukan dari . Kuncinya:
3. Tentukan dari & . Kuncinya:
4. Tentukan , bila . Kuncinya:
Petunjuk penilaian dan umpan balik
Penilaian hasil tugas, latihan dan ujian debiri skor (nilai) antara 0 sampai dengan 100.
Kesahan hasil akhir bukanlan merupakan kesalahan yang fatal, kalaupun dikurangi skornya, hanya
sedikit saja (atau bahkan tak perlu dikurangi), tetapi kesalahan proses itu yang perlu pengurangan
nilai .
Tindak lanjut
Bagi mahasiswa yang skornya kurang dari 50, wajib mempelajari lagi uraian di depan, dan
selanjutnya diuji lagi.
top related