bab ii teori dasarrepo.itera.ac.id/assets/file_upload/sb2009140067/...5 bab ii teori dasar 2.1...
Post on 10-Aug-2021
2 Views
Preview:
TRANSCRIPT
5
BAB II
TEORI DASAR
2.1 Gelombang Seismik
Energi yang tersimpan di dalam bumi berbentuk tegangan pada batuan yang secara
tiba-tiba terlepas sehingga ini disebut sebagai proses terjadinya gempabumi. Energi
tersebut diteruskan ke bagian muka bumi melalui gelombang seismik. Gelombang
seismik merupakan suatu energi berupa gelombang yang menjalar di dalam permukaan
bumi disebabkan oleh adanya gangguan di dalam kerak bumi, misalnya terdapat
ledakan atau deformasi struktur berupa tekanan ataupun tarikan karena sifat kerak bumi
yang elastis[31]. Berdasarkan jenis gelombang yang merambat di dalam bumi,
gelombang seismik dibagi menjadi dua, yaitu gelombang P (primer) dan gelombang S
(sekunder).
Gelombang seismik pada keadaan tidak teredam dapat dinyatakan dengan persamaan:
βΒ²π = 1
π£Β² πΒ²π
ππ‘Β² (2.1)
dengan
β = πΜ π
ππ₯+ πΜ
π
ππ¦+ οΏ½ΜοΏ½
π
ππ§ (2.2)
dimana π adalah fungsi gelombang yang menjalar, π£ adalah kecepatan gelombang
(m/s), t adalah waktu (s). Dapat dilihat pada Gambar 2. 1 bahwa komponen tegangan
yang bekerja pada volume yang sangat kecil mengelilingi suatu titik di dalam suatu
padatan yang elastis.
Gambar 2. 1 Komponen tegangan yang bekerja pada volume[26]
6
Gambar 2. 2 Perpindahan komponen regangan yang mengalami pergeseran
(Shearing)[26]
Gambar 2. 3 Komponen regangan pada benda yang mengalami perpindahan secara
rotasional[26]
7
Gambar 2. 4 Kombinasi komponen regangan yang mengalami pergeseran dan
rotasional[26]
Untuk mempertahankan volume padat seperti yang digambarkan pada Gambar 2. 1
maka dibutuhkan sembilan komponen tegangan yang membentuk tensor tegangan
(Stress) yaitu pada persamaan (2.3) dan tensor regangan (Strain) pada persamaan (2.4).
{πα΅’β±Ό} = (
ππ₯π₯ ππ₯π¦ ππ₯π§
ππ¦π₯ ππ¦π¦ ππ¦π§
ππ§π₯ ππ§π¦ ππ§π§
) (2.3)
{πα΅’β±Ό} = (
ππ₯π₯ ππ₯π¦ ππ₯π§
ππ¦π₯ ππ¦π¦ ππ¦π§
ππ§π₯ ππ§π¦ ππ§π§
) (2.4)
Dalam bentuk tiga dimensi, perpindahan komponen regangan (x, y, dan z) dituliskan
dengan (u, v, dan w). Sehingga untuk regangan normal dapat dituliskan dengan
persamaan:
ππ₯π₯ = ππ’
ππ₯ ; ππ¦π¦ =
ππ£
ππ¦ ; ππ§π§ =
ππ€
ππ§ (2.5)
Regangan yang mengalami pergeseran (Shearing) ditunjukan pada Gambar 2. 2 dan
untuk persamaannya dapat dituliskan:
ππ₯π¦ =1
2 (
ππ£
ππ₯+
ππ£
ππ¦) ; ππ¦π§ =
1
2 (
ππ€
ππ¦+
ππ£
ππ§) ; ππ§π₯ =
1
2 (
ππ’
ππ§+
ππ€
ππ₯) (2.6)
Sedangkan untuk komponen regangan yang mengalami perpindahan secara rotasional
ditunjukkan pada Gambar 2. 3 dan dapat dituliskan dalam persamaan:
ππ₯π§ = β 1
2(ππ€
ππ₯β
ππ’
ππ§) ; ππ₯π¦ = β
1
2(
ππ£
ππ₯β
ππ’
ππ¦) ; ππ¦π§ = β
1
2(ππ€
ππ¦β
ππ£
ππ§) (2.7)
8
Perubahan dimensi yang disebabkan oleh regangan normal akan mengakibatkan
perubahan volume. Perubahan volume per satuan volume disebut dilatasi (β)[26]
β = ππ₯π₯ + ππ¦π¦ + ππ§π§ = ππ’
ππ₯+
ππ£
ππ¦+
ππ€
ππ§ (2.8)
Hubungan antara tegangan dan regangan menimbulkan suatu perubahan geser yang
disebut dengan modulus rigiditas dinyatakan dalam persamaan:
π = ππππππππ πππ ππ
ππππππππ =
ππ₯π₯
ππ₯π₯=
ππ¦π¦
ππ¦π¦=
ππ§π§
ππ§π§ (2.9)
Hubungan antara konstanta elastik pada medium homogen isotropik membentuk
persamaan:
π = π
2(π + π) (2.10)
dimana π dan π merupakan konstanta Lame, dan π merupakan hambatan regangan
geser. Persamaan untuk penjalaran gelombang P dan S dapat diturunkan dari Hukum
Hooke yang menyatakan hubungan tegangan (gaya per satuan luas) dan regangan
(perubahan dimensi) yaitu:
πππ = πβ + 2π πππ ; π = π₯, π¦, π§ (2.11)
πππ = π πππ ; π = π₯, π¦, π§ πππ π β π (2.12)
Berdasarkan Hukum II Newton, jika terjadi ketidaksetimbangan pada gaya-gaya yang
bekerja maka akan terdapat perubahan momentum. Gaya adalah perkalian antara massa
(m) dan percepatan (a).
βπΉπ₯ = π . π = π. ππ₯. ππ¦. ππ§ .πΒ²π’
ππ‘Β² (2.13)
dimana π adalah densitas. Persamaan (2.14), (2.15) dan (2.16) adalah stress yang
terjadi pada sumbu x dengan pergeseran u, sumbu y dengan pergeseran v, dan sumbu z
dengan pergeseran w.
π πΒ²π’
ππ‘Β²= ( π + π)
πβ
ππ₯+ πβΒ²π’ (2.14)
π πΒ²π£
ππ‘Β²= ( π + π)
πβ
ππ¦+ πβΒ²π£ (2.15)
π πΒ²π€
ππ‘Β²= ( π + π)
πβ
ππ§+ πβΒ²π€ (2.16)
Dimana βΒ² merupakan Laplacian.
βΒ² = (πΒ²
ππ₯Β²+
πΒ²
ππ¦Β²+
πΒ²
ππ§Β²) (2.17)
9
Untuk menentukan persamaan gelombang, persamaan (2.14), (2.15), dan (2.16)
masing-masing dideferensialkan terhadap x, y, dan z sehingga diperoleh beberapa
persamaan:
π π
ππ₯(πΒ²π’
ππ‘Β²) = ( π + π)
πΒ²β
ππ₯Β²+ π
π
ππ₯(πΒ²π’
ππ₯Β²+
πΒ²π’
ππ¦Β²+
πΒ²π’
ππ§Β²) (2.18)
π π
ππ¦(πΒ²π£
ππ‘Β²) = ( π + π)
πΒ²β
ππ¦Β²+ π
π
ππ¦(πΒ²π£
ππ₯Β²+
πΒ²π£
ππ¦Β²+
πΒ²π£
ππ§Β²) (2.19)
π π
ππ§(πΒ²π€
ππ‘Β²) = ( π + π)
πΒ²β
ππ§Β²+ π
π
ππ§(πΒ²π€
ππ₯Β²+
πΒ²π€
ππ¦Β²+
πΒ²π€
ππ§Β²) (2.20)
Dari persamaan (2.18), (2.19), dan (2.20) dilakukan penjumlahan, menjadi:
π π2
ππ‘2(ππ’
ππ₯+
ππ£
ππ¦+
ππ€
ππ§) = ( π + π) (
π2β
ππ₯2+
π2β
ππ¦2+
π2β
ππ§2) + πβΒ² (ππ’
ππ₯+
ππ£
ππ¦+
ππ€
ππ§) (2.21)
π2β
ππ‘2= (
( π + π)
π) + βΒ²β (2.22)
Sehingga didapatkan persamaan gelombang P yaitu:
ππ = β(π + π)
π (2.23)
Untuk mendapatkan persamaan gelombang S pada sumbu x, maka persamaan (2.15)
diturunkan terhadap z.
ππΒ²
ππ‘Β²(ππ£
ππ§) = (π + π)
πΒ²β
ππ¦ππ§+ πβΒ² (
ππ£
ππ§) (2.24)
dan persamaan (2.16) diturunkan terhadap y.
ππΒ²
ππ‘Β²(ππ€
ππ¦) = (π + π)
πΒ²β
ππ§ππ¦+ πβΒ² (
ππ€
ππ¦) (2.25)
Dari persamaan (2.24) dan (2.25) dilakukan pengurangan menjadi:
2 πΒ² (ππ€ππ¦
βππ£ππ§
)
ππ‘Β²= 2
π
πβΒ² (
ππ€
ππ¦β
ππ£
ππ§) (2.26)
πΒ² βπ₯
ππ‘Β²=
π
πβΒ² βπ₯ (2.27)
Sehingga didapatkan persamaan gelombang S yaitu:
ππ = βπ
π (2.28)
10
Berdasarkan tempat penjalaran gelombangnya, gelombang seismik dibagi menjadi dua
yaitu gelombang tubuh (Body Wave) dan gelombang permukaan (Surface Wave).
Gambar 2. 5 Pembagian gelombang seismik pada media padat menurut arah
perambatannya: gelombang tubuh P, gelombang tubuh S, gelombang permukaan love
dan gelombang permukaan Rayleigh[5]
2.1.1 Gelombang Badan
Gelombang badan merupakan gelombang yang merambat melalui bagian dalam bumi
yang terdiri dari gelombang kompresional (longitudinal atau Primer wave dan
transversal atau Sekunder Wave). Gelombang ini juga merupakan gelombang yang tiba
sebelum gelombang permukaan dipancarkan oleh gempa bumi dan memiliki frekuensi
yang besar. Ciri pada gelombang primer yaitu arah gerak partikel dalam medium
bergerak searah dengan arah perambatan gelombangnya dapat dilihat pada Gambar 2.5.
Kecepatan pada gelombang primer dapat mencapai 4-6 km per detik, tergantung dari
sifat medium yang dilewatinya. Gelombang ini adalah gelombang yang pertama kali
tiba di stasiun seismik. Kecepatan penjalaran gelombang P dinyatakan dalam
persamaan (2.23).
Sedangkan gelombang sekunder yaitu arah pergerakan partikel akan tegak lurus dengan
arah rambat gelombang. Kecepatan gelombang sekunder mencapai 3-4 per detik dan
hanya mampu bergerak melalui batuan padat (tidak dapat melewati media cair).
Kecepatan penjalaran gelombang S dinyatakan dalam persamaan (2.28).
11
Gelombang S terdiri dari dua komponen yaitu gelombang SV dan gelombang SH.
Gelombang SV adalah gelombang S yang gerakan partikelnya terpolarisasi pada bidang
vertikal, sedangkan gelombang SH adalah gelombang S yang gerakan partikelnya
horizontal.
2.1.2 Gelombang Permukaan
Gelombang permukaan merupakan gelombang yang rambatannya hanya melalui
permukaan bumi. Gelombang permukaan berdasarkan dari sifat gerakan partikel media
elastik merupakan gelombang kompleks dengan amplitudo besar dan frekuensi rendah
yang menjalar karena adanya efek free surface dan perbedaan sifat elastik. Gelombang
permukaan dibagi menjadi dua jenis yaitu gelombang Rayleigh dan gelombang
Love[39].
Gelombang Love terjadi karena adanya refleksi total gelombang SH dalam lapisan
antara permukaan bebas dan lapisan internal dan refleksi tersebut secara berulang dan
berinterferensi membentuk gelombang baru.
Gambar 2. 6 Penjalaran Gelombang Permukaan (Love Wave)[39]
Sedangkan gelombang Rayleigh yaitu pergerakan partikelnya ke belakang (bawah maju
atas mundur) dan gelombang ini menjalar melalui permukaan medium yang homogen.
Gelombang Rayleigh terjadi karena adanya interaksi gelombang datang P dan SV
dengan permukaan bebas dan berinterferensi membentuk gelombang baru yang
menjalar sepanjang permukaan.
12
Gambar 2. 7 Penjalaran Gelombang Permukaan (Rayleigh Wave)[39]
Perubahan nilai densitas terhadap kedalaman biasanya kecil apabila dibandingkan
dengan perubahan modulus geser[6]. Persamaan yang menggambarkan perambatan
gelombang Rayleigh dalam bentuk homogen, isotropik, elastis media diperoleh dengan
memecahkan persamaan gerak dengan tepat kondisi batas[20].
Gelombang Rayleigh diasumsikan selaras dengan frekuensi dominan π dan bilangan
gelombang k. Potensi perpindahan, π· dan π dapat diasumsikan mempunyai
persamaan[16]:
π·(π₯, π§, π‘) = π(π§)ππ(ππ₯βππ‘) (2.29)
π(π₯, π§, π‘) = π(π§)ππ(ππ₯βππ‘) (2.30)
di mana f (z) dan g (z) menggambarkan variasi antara amplitudo gelombang dengan
kedalaman dan i = ββ1. Dengan mengkorelasikan Persamaan (2.29) dan (2.30) ke
dalam Persamaan (2.23) dan (2.28), maka diterapkan batas kondisi yang sesuai
(misalnya tegangannya nol pada permukaan bebas) dan solusi yang memungkinkan
untuk amplitudo gelombang menjadi tak terbatas dengan kedalaman, berikut ini
persamaan karakteristik yang diperoleh:
π6 β 8π4 + (24 β 16π2) π2 + 1(π2 β 1) = 0 (2.31)
dimana
π =π
π½ dan π =
π½
πΌ= (
πΊ
π+2πΊ)0.5
= (1β2π£
2(1βπ£))0.5
(2.32)
Kecepatan rambat Gelombang Rayleigh dilambangkan dengan c. Solusi Persamaan
(2.31) tidak bergantung pada frekuensi, yang menunjukkan bahwa gelombang Rayleigh
tidak menyebar pada medium homogen. Solusi perkiraan Persamaan (2.31), yaitu[27]:
13
π β 0.87 + 1.12π£
1 + π£ π½ (2.33)
2.2 Multichannel Analysis of Surface Waves (MASW)
Metode seismik adalah salah satu metode eksplorasi yang didasarkan pada pengukuran
respon gelombang seismik (suara) yang dimasukkan ke dalam tanah dan kemudian
direfleksikan atau direfraksikan sepanjang perbedaan lapisan tanah atau batas-batas
batuan. Multichannel Analysis of Surface Waves (MASW) adalah metode seismik
konvensional yang memanfaatkan gelombang permukaan sebagai sinyal utamanya.
Gelombang permukaan mempunyai amplitudo yang sangat besar dibandingkan dengan
gelombang badan. Hal ini menyebabkan gelombang permukaan adalah gelombang
yang paling kuat diantara gelombang lainnya. Selain itu, gelombang permukaan
merambat sangat lambat dengan waktu rambat yang panjang di dalam tanah. Hal inilah
yang menyebabkan MASW mempunyai S/N ratio lebih tinggi dibandingkan metode
seismik lainnya [25].
Metode MASW dapat menghitung nilai kecepatan dari gelombang geser (Vs)
berdasarkan kecepatan gelombang permukaan Rayleigh. Gelombang permukaan
Rayleigh akan lebih mudah diamati menggunakan peralatan seismik dengan geophone
vertikal, karena sifat ground roll pada gelombang Rayleigh memberikan energi seismik
sebanyak 2/3 untuk membentuknya sehingga gelombang seismik akan menampung
sebagian besar energi seismik[19]. Kecepatan gelombang Rayleigh yang terukur dalam
pengukuran MASW akan sangat merepresentasi kecepatan gelombang geser, karena
kecepatan fase pada gelombang Rayleigh sekitar 92% dari kecepatan gelombang
geser[21].
Metode gelombang permukaan merupakan metode karakterisasi seismik yang
berdasarkan analisis dispersi geometrik dari gelombang permukaan, di mana distribusi
vertikal modulus geser dinamik suatu lapisan bawah permukaan dapat diperoleh dengan
metode ini. Prosedurnya terdiri dari estimasi sifat dispersi suatu daerah, dan kemudian
memodelkan data-data tersebut untuk mengestimasi sifat bawah permukaan. Hasil yang
didapatkan merupakan profil vertikal dari kecepatan gelombang geser.
14
Gambar 2. 8 Profil vertikal dari gelombang geser[35]
Gelombang permukaan merupakan gelombang seismik yang merambat secara paralel
ke permukaan bumi tanpa adanya penyebaran energi ke dalam interior bumi.
Amplitudonya akan berkurang secara eksponensial terhadap kedalaman, dan
kebanyakan energi merambat pada daerah dangkal yang setara dengan satu panjang
gelombang. Gelombang permukaan Rayleigh sering menjadi hal yang dominan pada
rekaman data seismik yang menyebarkan energi ke semua arah. Hal ini disebabkan
energinya lebih banyak dan penyebaran secara geometri lebih rendah dari gelombang
badan[2].
2.3 Dispersi Gelombang Rayleigh
Dalam menentukan kecepatan gelombang geser sebagai fungsi kedalaman maka
digunakan gelombang permukaan. Sejak tahun 1980-an, gelombang permukaan
dimanfaatkan untuk memodelkan struktur bawah permukaan dikarenakan mudah dan
dapat diaplikasikan pada bidang geoteknik yaitu memanfaatkan gelombang Rayleigh
untuk karakterisasinya. Digunakannya gelombang Rayleigh karena gelombang ini
mempunyai sifat yang unik, dimana gelombang akan mengalami dispersi pada setiap
perambatan gelombangnya yang melewati batas lapisan material bumi. Sifat dispersi ini
yaitu variasi panjang dan kecepatan gelombang yang memiliki velocity phase dan
kecepatan grup yang berbeda sehingga kecepatan fase pada gelombang Rayleigh
bergantung pada frekuensi.
15
Gelombang dengan berbagai frekuensi tersebut dapat saling interferensi dalam satu
paket gelombang (wave packet) atau deret gelombang (wave train) yang merambat
dalam kecepatan yang berkelompok yang dikenali sebagai kecepatan kelompok (group
velocity). Kecepatan gelombang fase sendiri merupakan kecepatan dari setiap
gelombang harmonik. Hubungan antara kecepatan kelompok (U) dan kecepatan fase
(V) dapat dituliskan dalam ekspresi matematik[28]:
π = ππ
ππ(π)= π + π
ππ
ππ= π β π
ππ
ππ (2.34)
Dari persamaan (2.34) dapat dijelaskan bahwa pada sifat dispersi gelombang
permukaan yang normal dimana kecepatan fase merupakan fungsi berkurangan
terhadap frekuensi, kecepatan fase merambat lebih cepat berbanding kecepatan
kelompok. Pada kurva kecepatan fase yang tidak berdispersi (media homogen),
kecepatan fase dan kelompok adalah bernilai sama dan bersifat konstan.
Gambar 2. 9 Kurva hubungan antara kecepatan fasa dan kecepatan grup dengan
periode pada Gelombang Love dan Gelombang Rayleigh[9]
Gelombang seismik merambat secara mekanik ke dalam medium lapisan bumi yang
merupakan gelombang elastis atau mekanis yang ditimbulkan akibat regangan medium
elastis. Energi gelombang seismik 67% berupa energi gelombang permukaan[3].
Gelombang permukaan ini, digunakan untuk estimasi kecepatan gelombang geser
sebagai fungsi kedalaman. Selanjutnya, nilai gelombang geser ini, dapat digunakan
untuk mengetahui sifat (porositas, densitas, saturasi air dan jenis batuan) struktur bawah
permukaan. Sejak tahun 1980-an, gelombang permukaan dapat mencitrakan struktur
bawah permukaan dengan mudah yang diaplikasikan pada karakterisasi geoteknik,
16
yakni gelombang Rayleigh. Sebab, gelombang Rayleigh mempunyai sifat yang unik,
dimana setiap perambatan gelombang ini yang melewati batas lapisan material bumi
mengalami dispersi.
Pembuatan kurva dispersi gelombang Rayleigh dapat dilakukan dengan cara
mengkorelasikan gelombang Rayleigh pada fungsi frekuensi yang terdeteksi geophone
dengan jarak sebesar D meter.
πΊπ¦1π¦2 = π1(π) β π2 (2.35)
Dimana * menandakan kompleks konjugat. Estimasi selanjutnya berupa perbedaan
sudut (f) dan t(f) waktu yang dibentuk oleh penjalaran kedua gelombang Rayleigh
dengan pendekatan persamaan:
ππ¦1π¦2 = π‘ππβ1ππ(πΊπ¦1π¦2)
π π(πΊπ¦1π¦2) (2.36)
π‘(π) =ππ¦1π¦2(π)
2ππ (2.37)
dimana ππ¦1π¦2(π) adalah perbedaan sudut dan t(f) waktu penjalaran gelombang.
Selanjutnya dilakukan estimasi kecepatan sudut gelombang Rayleigh dengan
menggunakan persamaan berikut:
π(π) =π·
π‘(π) (2.38)
Dimana π(π) adalah kecepatan sudut gelombang Rayleigh, D adalah jarak geophone
dan t(f) waktu rambat gelombang. Kecepatan sudut gelombang Rayleigh jika dibuat
grafik sebagai fungsi dari frekuensi, nampak seperti pada Gambar 14. Grafik yang
demikian, sering kali disebut sebagai dispersi gelombang Rayleigh atau kurva dispersi.
Gambar 2. 10 Grafik kecepatan sudut gelombang Rayleigh sebagai fungsi frekuensi[3]
17
2.4 Transformasi Fourier
Sebelum dilakukannya Transformasi Fourier, data seismik yang diperoleh dari
lapangan perlu ditransformasikan terlebih dahulu untuk menghasilkan citra spektrum
dispersi kecepatan fase. Salah satu metode yang dapat digunakan dalam tahapan ini
adalah metode transformasi geser fase (phase shift transformation) yang
direkomendasikan oleh Park tahun 1998. Metode ini memiliki beberapa keunggulan
untuk mengidentifikasi dan memisahkan jenis gelombang seismik dan sinyal derau.
Setelah itu dilakukan Transformasi Fourier yang digunakan untuk mengubah data dari
domain waktu menjadi domain frekuensi. Transformasi Fourier membagi sebuah sinyal
menjadi frekuensi yang berbeda-beda dalam fungsi eksponensial yang kompleks.
Fungsi-fungsi ini terkait dengan persamaan:
πππ = πππ π + π sin π (2.39)
cos π = 1
2 (πππ + πβππ) dan π sin π =
1
2π (πππ β πβππ)
Misalnya π(π)adalah sebuah fungsi yang bernilai kompleks
π(π) = π(π + 2π) (2.40)
Dimana π periodik dengan periode 2π, π(π) dapat diuraikan dalam bentuk deret
fourier sebagai[14]:
π(π) = 1
2 π0 + β (ππ cos ππ + ππ sin ππ)β
π=1 (2.41)
Dimana 1
2 π0 adalah koefisien, untuk n = 0 maka cos 0 = 1 dan sin 0 = 0, sehingga π0 =
0. Dengan menggunakan fungsi eksponensial, persamaan menjadi:
π(π) = πΆπ β (βπ=ββ ππππ) (2.42)
Persamaan (2.42) digunakan untuk menentukan koefisien Fourier dengan mengalihkan
kedua sisi dengan πβπππ
π(π)πβπππ = πΆπ β (βπ=ββ ππππ πβπππ) (2.43)
Sehingga koefisien Fourier dari sinyal periodik dengan interval π sampai β π diperoleh
dengan mengintergralkan kedua sisi dengan batas π sampai β π.
β« π(π)πβππππ
βπ
ππ = β« β πΆπ
β
π=ββ
ππ(πβπ)π ππ)π
βπ
(2.44)
Dengan
β« ππ(πβπ)π ππ) = {2π, π = π0, π β π
}π
βπ (2.45)
18
Sehingga persamaan (2.44) hanya mempunyai nilai saat n = k, dengan 2 π = π0, dan
diperoleh persamaan:
β« π(π)πβππππ
βπ
ππ = πΆπ π0 (2.46)
Dengan π = π0π‘ maka koefisien Fourier πΆπ dari sinyalperiodik dengan interval βπ0
2<
π‘ < π0
2 didefinisikan sebagai:
πΆπ = 1
π0β« π(π)πβπππ0π‘
π02β
βπ02β
ππ (2.47)
Saat π0 bertambah besar, maka π0 akan bertambah kecil sehingga jarak antar koefisien
Fourier akan semakin kecil. Saat π0 mendekati tak hinga, maka koefisien Fourier dapat
dinyatakan menjadi:
πΆππ0 = β« π(π)πβπππ0π‘β
ββ
ππ ; ββ < π < β (2.48)
Dengan k adalah indeks domain frekuensi, π0 = 2π
π0 adalah frekuensi dalam radian per
sekon, 1
π0= π0 adalah frekuensi. Persamaan transformasi Fourier diperoleh dengan
mengubah πΆππ0 = π(π) dan π = π0π menjadi:
π(π) = β« π₯(π‘)πβπ2πππ‘ ππ‘β
ββ
(2.49)
Dengan x(t) adalah sinyal dalam domain waktu, πβπ2πππ‘ adalah fungsi kernel, X(f)
adalah fungsi dalam domain frekuensi, serta f adalah frekuensi. Persamaan ini
digunakan untuk mentransformasikan sinyal dari domain waktu ke dalam domain
frekuensi.
Pada pertengahan hingga akhir tahun 1990-an, Park, Miller, Zia dan lainnya di Kansas
Geological Survey mulai mengembangkan perangkat lunak SurfSeis yang sekarang
populer untuk pemrosesan data gelombang permukaan multi-saluran dari aplikasi
geoteknik. Selama perkembangan itu, ditemukan bahwa dua metode transformasi
konvensional, f-k dan p-f, tidak memberikan resolusi yang memadai medan gelombang
dalam kasus dimana ada sejumlah kecil saluran rekaman[7]. Karena itu aplikasi
geoteknik diharapkan menggunakan array kecil.
19
Metode ini terdiri dari 4 langkah:
a. Menerapkan 1D Fourier Transform (FFT) ke bidang gelombang di sepanjang
sumbu waktu, ini untuk memisahkan medan gelombang menjadi komponen dengan
frekuensi yang berbeda. Data yang direkam diubah dari domain (x-t) ke domain (x-
f): U(x,t)βU(x,f)
b. Normalisasi U(x,f) ke satuan amplitudo:
U(x,f)βπ(π₯,π)
|π(π₯,π)| (2.50)
c. Ubah satuan amplitudo dalam domain (x-f) menjadi domain (k-f) sebagai berikut:
untuk yang ditentukan frekuensi (f) dan bilangan gelombang (k), amplitudo
dinormalisasi pada x dikalikan dengan ππππ₯ dan kemudian dijumlahkan di seluruh
sumbu offset. Ini diulangi pada kisaran bilangan gelombang untuk masing-masing
frekuensi, dan kemudian semua frekuensi untuk menghasilkan spektrum 2D dari
amplitudo yang dinormalisasi dalam domain f-k. ini dapat disajikan oleh:
π(π, π) = β ππππ₯
π₯
.π(π₯, π)
|π(π₯, π)| (2.51)
d. Ubah V(k,f) ke fase domain kecepatan-domain frekuensi: V(k,f)βV(v,f) dengan
mengubah variabel sedemikian rupa sehingga:
π(π) =2ππ
π (2.52)
2.5 Modulus Geser
Dalam masalah deformasi, modulus yang berlaku hanya Modulus Young (modulus
elastisitas), Modulus Bulk dan Modulus Shear (modulus rigiditas). Modulus Young
merupakan kemampuan suatu besar regangan yang ditunjukkan oleh perubahan
panjang, sedangkan Modulus Bulk merupakan kemampuan suatu regangan yang
dialami suatu benda yang ditunjukkan oleh perubahan volume dan Modulus Shear
merupakan kemampuan antara regangan dan tegangan yang menimbulkan pergeseran
sehingga mengalami perubahan bentuk.
Pada metode MASW, modulus yang sering digunakan adalah Modulus Shear
dikarenakan Modulus Shear merupakan salah satu parameter penting yang diperlukan
dalam analisis respon dinamik tanah. Parameter lainnya seperti kecepatan gelombang
geser (Vs) dan rasio redaman (D). Sifat kekakuan dari lapisan tanah dapat ditentukan
20
dari kecepatan gelombang geser karena keduanya menunjukkan hubungan elastik yang
linier. Jika nilai kecepatan gelombang geser yang semakin besar akan menyebabkan
nilai kekakuan tanahnya semakin besar pula yang mengidentifikasikan semakin keras
dan padat lapisan tanahnya. Kecepatan gelombang geser (Vs) hanya berkaitan dengan
kekakuan dari struktur tanah, sedangkan untuk pengaruh tingkat kejenuhan tanahnya
lebih berkaitan dengan kepadatan tanah. Semakin rendah tingkat kejenuhan tanah,
maka akan semakin tinggi nilai Vs dan G[9].
Terdapat kurva yang menunjukkan modulus geser pada tanah bergantung pada tingkat
regangan. Jika deformasi geser yang dihasilkan kecil maka perilaku tanah hampir
mendekati elastis yaitu modulus geser dapat diasumsikan menjadi konstan pada nilai
maksimumnya (Gmaks). Sedangkan jika deformasi mengalami peningkatan maka
kekakuan tanah akan menjadi berkurang seperti ditunjukkan oleh kurva tegangan-
regangan pada Gambar 2.11 yaitu:
Gambar 2. 11 Kurva tegangan-regangan dengan variasi modulus geser (G)[22]
Modulus geser tanah adalah salah satu parameter tanah yang harus diketahui untuk
mengetahui penjalaran getaran akibat gempabumi. Parameter dinamis tanah modulus
geser dapat ditentukan dengan persamaan berikut:
πΊβββ = ππβΒ² (2.53)
dimana Gmax adalah modulus geser, Ο adalah kerapatan massa dan Vs adalah kecepatan
gelombang geser.
21
2.6 Kecepatan Gelombang Geser (Vsββ)
Vsββ adalah kecepatan gelombang geser hingga pada kedalaman 30 meter dari
permukaan tanah. Nilai Vsββ dipergunakan dalam menentukan standar bangunan tahan
gempa dan juga digunakan untuk penentuan klasifikasi batuan berdasarkan kekuatan
getaran dari gempabumi akibat efek lokal[18]. Hal tersebut karena lapisan-lapisan
batuan sampai kedalaman 30 meter saja yang menentukan pembesaran gelombang
gempa[41]. Untuk menentukan nilai kecepatan gelombang geser hingga kedalaman 30
m (Vsββ) dihitung menggunakan persamaan:
ππ ββ = 30
β (βππ£π)
ππ=1
(2.54)
Dimana hα΅’ adalah ketebalan (dalam meter) dan Vα΅’ adalah kecepatan gelombang geser
(dalam m/s) pada lapisan ke-i dari total N lapisan di atas 30 meter.
Tabel 1. 1 Klasifikasi Tanah menurut (NEHRP, 1998)
Site
Class Soil Profile Name
Average Properties in Top 100 feet
(as per 2000 IBC section 1615.1.5)
Soil Shear Wave Velocity, Vs
Feet/second Meters/second
A Hard rock Vs > 5000 Vs > 1524
B Rock 2000 < Vs β€ 5000 762 < Vs β€ 1524
C Very dense soil and soft rock 1200 < Vs β€ 2500 366 < Vs β€ 762
D Stiff soil profile 600 < Vs β€ 1200 183 < Vs β€ 366
E Soft soil profile Vs < 600 Vs < 183
Tabel 1. 2 Stratigrafi berdasarkan tipe tanah (Eurocode, 2005)
Tipe
Tanah Uraian Gambaran Stratigrafi
A Batuan atau formasi batuan lainnya
B
Endapan sand atau clay yang sangat padat, gravel pada ketebalan
beberapa puluh meter, ditandai dengan peningkatan sifat mekanik
terhadap kedalaman
C Endapan sand padat atau setengah padat yang sangat tebal, gravel
atau clay padat hingga ketebalan beberapa puluh meter hingga
22
ratusan meter
D Endapan tanah kohesi rendah sampai sedang, atau terutama pada
tanah kohesi rendah
E
Lapisan tanah terdiri atas alluvium pada permukaan tanah dengan
nilai Vs pada tipe c dan d ketebalan bervariasi antara 5 m dan 20
m, di bawah tanah ini berupa material keras dengan Vs > 800 m/s
2.7 Forward Modelling
Pemodelan kedepan atau Forward Modelling adalah suatu proses perhitungan data
secara teoritis yang akan teramati di permukaan bumi. Apabila diketahui parameter
model bawah permukaan tertentu maka melalui proses pemodelan ke depan dapat
dihitung data yang secara teoritis akan teramati di permukaan bumi. Jika respon suatu
model sesuai dengan data, maka model yang digunakan untuk memperoleh respon
tersebut dapat dianggap mewakili kondisi bawah permukaan di lokasi pengukuran.
Untuk perhitungan kurva dispersi teoritis, solusi dari persamaan Rayleigh yaitu:
πΉπ (Ξ»(π§), πΊ(π§), π(π§), π, π) = 0 (2.55)
Dimana,
πΉπ ( ) : Fungsi Dispersi
Ξ»(π§) : Parameter Konstanta Lame (dari media elastis heterogen secara vertikal)
πΊ(π§) : Modulus Geser
π(π§) : Kepadatan Massa (densitas)
π : Bilangan Gelombang
π : Frekuensi Sudut
Untuk model bumi berlapis yang digunakan dalam analisis pemodelan, persamaan
Rayleigh dapat ditulis sebagai[9]:
πΉπ ,π(ππ , πΆπ , π½, πΌ, π, β) = 0 π = 1,β¦ , π (2.56)
Dimana,
Q = Jumlah titik di mana kurva dispersi teoritis dihitung
n = Jumlah lapisan ketebalan hingga dalam model. (Lapisan n +1 adalah setengah
spasi)
ππ = Frekuensi sudut titik q
23
ππ = Frekuensi titik q
ππ = Kecepatan fase gelombang Rayleigh pada frekuensi ππ
ππ = Panjang gelombang pada frekuensi ππ
ππ =2πππ
ππ=
ππ
ππ (2.57)
π½ = [π½1, π½2, β¦ , π½π, π½π+1]π Vektor kecepatan gelombang geser (gelombang S)
πΌ = [πΌ1. πΌ2, β¦ , πΌπ, πΌπ+1]
π Gelombang vektor kecepatan gelombang (gelombang
P)
π = [π1. π2, β¦ , ππ, ππ+1]π Vektor kepadatan massa
β = [β1. β2, β¦ , βπ]π Vektor ketebalan lapisan
Secara umum, matriks lapisan diperoleh untuk masing-masing dari lapisan n +1 dalam
model, termasuk setengah ruang. Matriks lapisan kemudian dirakit untuk membangun
sistem matriks (global) yang mengatur masalah. Metode yang bervariasi berdasarkan
bagaimana matriks lapisan diformulasikan dan bagaimana dirakit untuk membentuk
suatu sistem matriks. Perhitungan misfit untuk menyelesaikan permasalahan geofisika
yaitu berdasarkan persamaan di bawah ini:
πππ πππ‘ = β1
π β (
π·α΅’ β πα΅’
πα΅’)2
π
π=1 (2.58)
Dimana N adalah jumlah titik data, Dα΅’ adalah data hasil inversi, Mα΅’ adalah model
struktur tanah dan Οα΅’ adalah standar deviasi dari data hasil proses modelling dengan 1β€ i
β€ N.
Jika nilai misfit belum sampai ke nilai terkecil maka dilakukan proses data dari model
awal kembali. Hal ini dikarenakan masalah utama pada pendekatan modelling adalah
teknik optimisasi untuk mencari model awal yang paling mungkin diantara banyak
model lain dengan seefisien mungkin.
24
Gambar 2. 12 Diagram Alir Proses Forward Modelling
Untuk teknis Forward Modelling pada MASWaves terbagi menjadi 3 tahap yaitu:
A. Estimasi awal parameter model
1. Estimasi Ξ² dan h berdasarkan kurva dispersi eksperimental rata-rata (ππ,π,Ξ»π,π)
(q = 1,...,Q).
2. Estimasi Ο dan Ξ± (atau v) berdasarkan pengetahuan dari test site.
B. Perhitungan kurva dispersi teoritis
Mendapatkan rentang bilangan gelombang Q yang mana kurva dispersi teoritis
dihitung:
ππ‘,π =2π
ππ,π (q = 1,β¦,Q). Ulangi nomor3 sampai 6 untuk q=1,β¦,Q.
3. πΆπ‘ππ π‘ = menguji kecepatan fase (πΆπ‘ππ π‘,πππ β€ πΆπ‘ππ π‘ β€ πΆπ‘ππ π‘,πππ₯).
4. Menghitung matriks kekakuan di lapisan ππ,π untuk lapisan i=1,β¦,n+1 lalu
gabungkan ke dalam matriks sistem kekakuan K.
5. Variasikan πΆπ‘ππ π‘ dan ulangi langkah nomor 2 untuk πΉπ (πΆπ‘ππ π‘, ππ‘,π)=det(K)=0.
6. Sehingga ππ‘,π= πΆπ‘ππ π‘
25
C. Estimasi error dan minimalisasi misfit (ketidakcocokan)
7. Hitung RMS error
Ο΅ = β1
πβ (ππ‘,π β ππ,π)
π
π=1
2
(2.59)
8. Ο΅πππ₯= RMS error maksimum. Periksa jika Ο΅ < Ο΅πππ₯
9. Periksa apakah jumlah iterasi maksimum telah tercapai.
10. Jika langkah nomor 8 dan 9 benar maka berhenti, jika langkah nomor 8 dan 9
salah maka update Ξ² dan ulangi dari proses nomor 3 sampai 10.
2.8.1 Metode Thomson β Haskell (Metode matriks transfer)
Thomson dan Haskell pertama kali merumuskan dan mempresentasikan masalah
propagasi dan dispersi gelombang permukaan dalam media berlapis vertikal. Metode
Thomson-Haskell yaitu untuk menentukan kurva dispersi gelombang permukaan
berdasarkan penggunaan matriks transfer dalam domain frekuensi-gelombang nomor
(π-k) dan dengan demikian juga sering disebut sebagai metode matriks transfer. Di
sini, aspek utama dari notasi Buchen dan Ben-Hador akan dipraktekan. Untuk lapisan i,
bidang perpindahan π’π = [π’π , π£π , π€π]π dapat diperoleh sebagai:
π’π = π’π(π₯, π§, π‘) =ππ·π
ππ₯+
πππ
ππ§ (2.60)
π£π = π£π(π₯, π§, π‘) = 0 (2.61)
π€π = π€π(π₯, π§, π‘) =ππ·π
ππ§β
πππ
ππ₯ (2.62)
di mana potensi π·π = π·π(π₯, π§, π‘) dan ππ = ππ (x,z,t) adalah solusi dari persamaan
gelombang dua dimensi untuk lapisan ke-i
β2π·π =1
πΌπ2
πΌ2π·π
ππ‘2 β2ππ =1
π½π2
πΌ2ππ
ππ‘2 (2.63)
Bidang tegangan vertikal terkait ππ = [ππ₯π§,π, ππ¦π§,π, ππ§π§,π, π]πselanjutnya diperoleh
sebagai berikut:
ππ₯π§,π(π₯, π§, π‘) = ππ = πΊπ (2π2π·π
ππ₯ππ§+
π2ππ
π2π§β
π2ππ
π2π₯) (2.64)
ππ¦π§,π(π₯, π§, π‘) = 0 (2.65)
ππ§π§,π(π₯, π§, π‘) = ππ = πΊπ (πΌπ
2
π½π2
π2π·π
π2π§+ (
πΌπ2
π½π2 β 2)
π2π·π
π2π₯β 2
π2ππ
ππ₯ππ§) (2.66)
Potensi π·π dan ππ untuk lapisan ke-i dapat ditulis sebagai:
π·π(π₯, π§, π‘) = (π΄ππβππππ§ + π΄π
β²πππππ§ cos(ππ₯ β ππ‘)) (2.67)
26
ππ(π₯, π§, π‘) = (π΅ππβππ ππ§ + π΅π
β²πππ ππ§ sin(ππ₯ β ππ‘)) (2.68)
dimana π΄π dan π΄πβ² adalah amplitudo gelombang P naik dan turun, π΅π dan π΅π
β² adalah
amplitudo gelombang Sv naik dan turun, k adalah panjang gelombang, π adalah
frekuensi sudut, c = π/π adalah kecepatan fase gelombang Rayleigh
ππ = β1 βπ2
πΌπ2 π π = β1 β
π2
π½π2 untuk π < πΌπ dan π < π½π (2.69)
π¦1(π)
= πππ¦π+1(π)
π = 1,β¦ . , π (2.70)
Untuk semua lapisan dalam model bumi yang menghubungkan perpindahan dan
tekanan di permukaan ke perpindahan dan tekanan di bagian atas setengah ruang
meskipun matriks dari semua matriks transfer lapisan T = π1, π2, β¦ , ππβ1ππ
π¦1(π)
= (π1, π2, β¦ , ππβ1ππ)ππ¦π+1(π)
(2.71)
πΉπ (π, π) = det(πππ) = 0 (2.72)
di mana U dan V adalah matriks kondisi batas yang didefinisikan sebagai:
πΌ = [0 0 1 00 0 0 1
] π½ =
[
1 ππ+1
ππ+1 12πΊπ+1ππ+1
πΊπ+1 (2 βπ2
π½π+12 )
πΊπ+1 (2 βπ2
π½π+12 )
2πΊπ+1π π+1 ]
(2.73)
2.8.2 Metode matriks kekakuan
Metode ini menyajikan formulasi alternatif dari matriks transfer metode disebut matriks
kekakuan, hamper sama dengan yang digunakan dalam konvensional analisis struktural
(metode elemen hingga)[15]. Elemen matriks kekakuan diperoleh untuk setiap lapisan
dalam model bumi. Elemen matriks kekakuan elemen di setiap lapisan yang berbeda
menghubungkan tegangan pada antarmuka lapisan atas dan bawah ke perpindahan yang
sesuai. Untuk model multi-layered, kekakuan sistem matriks dirakit menggunakan
lapisan umum antarmuka (derajat kebebasan). Matriks kekakuan sistem kemudian
dapat digunakan, bersama dengan tekanan eksternal yang ditentukan pada antarmuka
lapisan, untuk menyelesaikan perpindahan dengan teknik yang dianalogikan dengan
yang digunakan dalam metode elemen hingga.
Rumus rekursif Thomson-Haskell, menghubungkan vektor yang diberikan lapisan
antarmuka π¦π+1(π)
ke vektor keadaan pada antarmuka sebelumnya π¦π(π)
melalui matriks
transfer ππ = ππ(βπ) yang merupakan fungsi dari sifat material dari Lapisan ke-i.
27
Kebalikan dari matriks transfer untuk lapisan ke-i, dilambangkan dengan π»π, diperoleh
sebagai berikut :
π»π = (ππ(βπ))β1
= ππ(ββπ) (2.74)
Oleh karena itu, rumus Thomson-Haskell dapat ditulis ulang sebagai:
π¦π+1(π)
= π»ππ¦π(π) π = 1, β¦ , π (2.75)
Kausel dan RoΓ«sset (1981) mempartisi matriks π»π menjadi empat submatriks berukuran
sama yang dilambangkan dengan π»11,π, π»12,π, π»21,π, dan π»22,π.
π»π = [π»11,π π»12,π
π»21,π π»22,π] (2.76)
Vektor pada lapisan antarmuka atas dari lapisan ke-i dipartisi sebagai:
π¦π(π)
= [π₯π
π§π] (2.77)
di mana π₯π dan π§π adalah vektor perpindahan dan tegangan pada lapisan antarmuka atas
lapisan ke-i. Untuk penyederhanaan dalam notasi, (π) dan (B) dihilangkan dari vektor
π₯π dan π§π. Vektor π₯π+1 dan π§π+1 sebagai vektor perpindahan dan tegangan pada
antarmuka lapisan atas π +1 dan vektor perpindahan dan tegangan pada antarmuka
bawah lapisan ke- π-th.
Rumus rekursif Thomson-Haskell, dengan demikian menjadi:
[π₯π+1
π§π+1] = [
π»11,π π»12,π
π»21,π π»22,π] [
π₯π
π§π] (2.78)
Muatan eksternal diterapkan pada batas atas dan bawah dari lapisan ke-i diwakili oleh
elemen eksternal vektor beban ππ,π = [ππ , ππ+1]π. Kesetimbangan kondisi untuk lapisan
ke- πβth menjadi:
[ππ
ππ+1] = [
π§π
βπ§π+1] (2.79)
Pemecahan untuk elemen vektor beban eksternal ππ,π menghasilkan:
[ππ
ππ+1] = [
βπ»12,πβ1 π»11,π π»12,π
β1
π»22,ππ»12,πβ1 π»11,π β π»21,π βπ»22,ππ»12,π
β1 ] [π₯π
π₯π+1] (2.80)
ππ,π = πΎπ,ππ’π,π (2.81)
di mana matriks πΎπ,π disebut sebagai matriks kekakuan elemen dari lapisan ke- π-th dan
π’π,π = [π₯ππ₯π+1]π adalah vektor perpindahan elemen dari lapisan ke- π-th. Persamaan
tersebut disebut sebagai persamaan matriks elemen dari lapisan ke- π-th. Persamaan
elemen matriks diperoleh untuk setiap lapisan model bumi kemudian dirakit di
antarmuka lapisan umum untuk membentuk sistem persamaan. Matriks K disebut
28
sebagai matriks kekakuan sistem dari lapisan model bumi. Vektor p dan u adalah vektor
gaya sistem dan sistem vektor perpindahan.
π = πΎπ’ (2.82)
Mode alami perambatan gelombang Rayleigh diperoleh dengan mempertimbangkan
suatu sistem tanpa pemuatan eksternal, yaitu di mana p = 0. Dengan demikian menjadi
πΎπ’=0.
Untuk solusi nontrivial, penentu matriks kekakuan sistem K harus hilang. Oleh karena
itu, bilangan gelombang yang mewakili solusi modal di berbagai frekuensi diperoleh
sebagai solusi dari:
πΉπ (π, π) = det(πΎ) = 0 (2.83)
top related