bab i materi matematika sma kelas x semester 1

1.1 BENTUK PANGKAT

MENU UTAMA

1.2 BENTUK AKAR

1.4 PERSAMAAN KUADRAT

1.5 FUNGSI KUADRAT

1.6 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT

1.3 BENTUK LOGARITMA

BAB I MATERI MATEMATIKA SMA

KELAS X SEMESTER 1

BENTUK PANGKAT

Sebelum mempelajari materi pangkat bulat negatif, perlu diingat kembali sifatsifat yang berlaku pada pangkat bulat positif.

MENU UTAMAKE MATERI

Sifat 1.1: Jika m, n adalah sebarang bilangan bulat positif, dan

a sebarang bilangan real maka nmnm aaa

Sifat 1.2: Jika m, n bilangan bulat positif, bilangan real dan 0a

maka

nmn

m

aa

a jika m > n dan mnn

m

aa

a

1 jika m < n

a

Sifat 1.3: Jika m, n bilangan bulat positif, dan bilangan real maka

mnnm aa a

BENTUK PANGKAT

MENU UTAMAKE MATERI

Sifat 1.4: Jika m, n bilangan bulat positif, dan a, b bilangan real maka

mmm baab Sifat 1.5: Jika m, n bilangan bulat positif, dan a, b bilangan real, 0b

maka

m

mm

b

a

b

a

BENTUK PANGKAT

Selain pangkat bulat positif, akan didefinisikan pula pangkat nol.

MENU UTAMAKE MATERI

Definisi 1.1: Jika a bilangan real dan maka 10 a

Definisi 1.2 : nn

aa

1

( dan n bilangan bulat positif)0a

0a

BENTUK AKAR

Kita akan memperluas operasi perpangkatan, sehingga berlaku untuk pangkat pecahan atau disebut juga pangkat rasional.

MENU UTAMAKE MATERI

Definisi 1.3 Misalkan a dan b bilangan real, n bilangan bulat positif, dan antara a, b dan n terdapat hubungan bn = a. Bilangan b dinamakan akar pangkat n dari a

Definisi 1.4 nn aa 1

asalkan n a ada

Definisi 1.5 n mnmnm

n

m

aaaa 11

BENTUK LOGARITMA

Definisi 1.6

Logaritma x dengan basis (pokok) a, a > 0, dilambangkan loga x, ialah pangkat atau eksponen yang akan dimiliki oleh x seandainya ia dituliskan sebagai suatu bilangan berpangkat dengan basis a. Dengan kata lain, loga x = y

bermakna bahwa x =ay. Karena ay > 0 untuk semua bilangan nyata y bila a > 0, maka haruslah x > 0. Jadi loga x hanya didefinisikan bila x > 0. Bila basis a = 10, log10 x biasanya cukup ditulis sebagai log x saja. Logaritma dengan basis 10 dinamakan logaritma biasa. Jadi, log x = y bermakna bahwa x = 10y. Di Indonesia loga x lebih sering ditulis alog x. Namun untuk membiasakan dengan notasi yang digunakan di dunia internasional, kita akan menggunakan notasi loga x.

KE MATERI MENU UTAMA

BENTUK LOGARITMA

Berikut ini sifat-sifat pokok logaritma yang diperlukan untuk memecahkan berbagai soal yang berkaitan dengan logaritma.

MENU UTAMAKE MATERI

Teorema 1.1 Jika x adalah sembarang bilangan nyata positif, maka

xa xa log

Bukti: Misalkan ya xa log . Menurut definisi logaritma, ax = ay

xa xa logyang berimplikasi x = y, maka

BENTUK LOGARITMA

MENU UTAMAKE MATERI

Teorema 1.2 Jika x adalah sembarang bilangan nyata positif, maka

xa xa log

Bukti: misalkan p = xalog

maka x = ap. Dengan mensubstitusikan p ke dalampersamaan x = ap akan diperoleh x =

xaa logatau xa xa log

BENTUK LOGARITMA

MENU UTAMAKE MATERI

Teorema 1.3 Hukum Logaritma untuk Perkalian. Jika x dan y adalah sembarang bilangan nyata positif,

maka yxxy aaa logloglog

.dan makaN,logdan Mlog N M ayaxyx aa

Dengan demikian N M aaxy NMa

Oleh karenanya,

yxaxy aaaa loglogNMloglog NM .

Bukti: Misalkan

=

BENTUK LOGARITMA

Teorema 1.4 Hukum Logaritma untuk Pembagian. Jika x dan y adalah sembarang bilangan nyata positif,

maka

yxy

xaaa logloglog

Bukti: Misalkan

.dan maka N,logdan Mlog N M ayaxyx aa

Dengan demikian N

M

a

a

y

x

=

NMa Oleh karenanya,

yxay

xaaaa loglogNMloglog NM

MENU UTAMAKE MATERI

=

BENTUK LOGARITMA

MENU UTAMAKE MATERI

Teorema 1.5 : Jika x dan n adalah bilangan nyata dan x > 0, maka

xnx an

a loglog

Bukti: Misalkan . maka M,log Maxxa

Dengan demikian, M M nnn aax Jadi

xnax an

an

a lognMloglog M .

BENTUK LOGARITMA

Teorema 1.6 : Jika x dan n adalah bilangan nyata dan x > 0, maka

xn

x an

a log1

log

Bukti: Misalkan . Maka . Mlog Maxxa Dengan demikian

nnnn aaxxM1

M1

J

adi x

nnax an

an

a log1M

loglogM

.

MENU UTAMAKE MATERI

MENU UTAMAKE MATERI

PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum Persamaan Kuadrat

0;02 acbxax

Persamaan kuadrat merupakan persamaan yang pangkat tertinggi peubahnya sama dengan dua. Persamaan kuadrat mempunyai akar-akar yang dapat dicari dengan:

1. PEMFAKTORAN2. MELENGKAPKAN BENTUK KUADRAT SEMPURNA3. MENGGUNAKAN RUMUS (abc)

PERSAMAAN KUADRAT

• PEMFAKTORAN

02 cbxax

xax 2 mempunyai faktor yang sama dengan cx

Dalam sistem bilangan nyata berlaku ab = 0 a = 0 atau b = 0 untuk sembarang bilangan nyata a dan b. Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan menjadikan salah satu ruas bernilai nol dan ruas yang lain berbentuk perkalian yaitu dari bentuk umum

mencari dua bilangan yang hasil kalinya sama dengan hasil kali a dan c, dan jumlahnya sama dengan b. Misalnya akar-akar tersebut dan , kemudian ubahlah bx menjadi x + x, sehingga

dan selanjutnya dapat difaktorkan dengan menggunakan sifat distributif.

MENU UTAMAKE MATERI

PERSAMAAN KUADRAT

MELENGKAPKAN BENTUK KUADRAT SEMPURNA

MENU UTAMAKE MATERI

Persamaan 0,0 real, konstanta,,;2 qaadalahqpadanqpax

dapat diselesaikan dengan mudah setelah diubah menjadi bentuk yang ekuivalen dengannya yaitu qpax

Bentuk 2pax disebut bentuk kuadrat sempurna.

02 cbxax dapat diubah menjadi

02 qpxa Oleh karena itu 02 cbxax

dapat diselesaikan dengan cara mengubahnya menjadi

02 qpxa.

Persamaan kuadrat

PERSAMAAN KUADRAT

MENGGUNAKAN RUMUS (ABC)

MENU UTAMAKE MATERI

Rumus ini biasanya ditulis sebagai

a

acbbx

2

42

2,1

dan dikenal sebagai rumus abc.

PERSAMAAN KUADRAT

Diskriminan Persamaan Kuadrat

Dari rumus abc ini tampak bahwa banyaknya akar persamaan kuadrat hanya ditentukan dari hasil perhitungan ungkapan aljabar yang ada di dalam tanda akar. Oleh karena itu, ungkapan aljabar ini disebut diskriminan persamaan kuadrat dan ditulis sebagai

D = b2 – 4ac. Dengan demikian, diperoleh sifat berikut:

MENU UTAMAKE MATERI

PERSAMAAN KUADRAT

• mempunyai akar kembar (bilangan rasional) jika dan hanya jika D = 0;

• mempunyai dua akar (berbeda) jika dan hanya jika D > 0; (dalam hal D merupakan kuadrat sempurna, maka akar-akarnya merupakan bilangan rasional, sedangkan dalam hal lainnya kedua akarnya merupakan bilangan irasional);

• tidak mempunyai akar (bilangan nyata) jika dan hanya jika D < 0.

Sifat 1.7 Persamaan kuadrat 02 cbxax

MENU UTAMAKE MATERI

PERSAMAAN KUADRATSifat 1.8: Bilangan x1

dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan

kuadrat

02 cbxax

(atau 02 a

cx

a

bx ) jika dan hanya jika

a

bxx 21 dan x1. x2 =

a

c.

MENU UTAMAKE MATERI

Fungsi

Kuadrat

untuk bilangan-bilangan nyata a, b, dan c merupakan konstanta serta a 0 disebut fungsi kuadrat dari x dan grafiknya disebut parabol.Titik maksimum atau minimum parabol disebut titik ekstrem fungsi kuadrat atau puncak atau titik balik parabol.

Grafik Fungsi KuadratDefinisi 1.7 : Fungsi y = f (x) = 02 cbxax

MENU UTAMAKE MATERI

Fungsi Kuadrat

MENU UTAMAKE MATERI

Sifat 1.9 Fungsi kuadrat y = f(x) = cbxax 2

dapat disajikan dalam bentuk

y = f(x) = 2

22

4

4

2 a

acb

a

bxa

Fungsi Kuadrat

• minimum jika dan hanya jika a > 0. Parabolnya dikatakan cekung ke atas

• maksimum jika dan hanya jika a < 0 . Parabolnya dikatakan cekung ke bawah

Sifat 1.10 Fungsi kuadrat y = f(x) = cbxax 2

mempunyai:

MENU UTAMAKE MATERI

Fungsi Kuadrat

MENU UTAMAKE MATERI

Sifat 1.11 Titik ekstrem atau puncak parabola fungsi kuadrat y = f(x) = cbxax 2

ialah

2

2

4

4,

2 a

acb

a

b

sedangkan sumbu setangkupnya ialah garisa

bx

2

Jadi sumbu setangkupnya selalu melalui titik ekstremnya dan sejajar sumbu Y

Fungsi Kuadrat

MENU UTAMAKE MATERI

Sifat 1.12 Grafik fungsi kuadrat y = f(x) = cbxax 2

bersifat:

~ Memotong sumbu X pada dua titik berlainan jika dan hanya jika D > 0.

~ Tidak memotong sumbu X jika dan hanya jika D < 0.

~ Menyinggung sumbu X jika dan hanya jika D = 0.

Fungsi Kuadrat

MENU UTAMAKE MATERI

Sifat 1.13 Grafik fungsi kuadrat y = f(x) = cbxax 2

dapat diperoleh dengan menggeser grafik fungsi kuadrat

y = g (x) = ax2 sejauha

b

2

satuan dalam arah mendatar dan

2

2

4

4

a

acb satuan dalam arah tegak, sedangkan arah pergeserannya ialah:

a. dalam arah sumbu X positif jika dan hanya jika ab < 0 ( a dan b berlawanan tanda)b. dalam arah sumbu X negatif jika dan hanya jika ab > 0 ( a dan b bertanda sama)c. dalam arah sumbu Y positif jika dan hanya jika D < 0d. dalam arah sumbu Y negatif jika dan hanya jika D > 0

MENU UTAMAKE MATERI

Jadi dapat disimpulkan bahwa banyaknya titik potong dengan sumbu X bergantung pada nilai-nilai a, b, dan c, akibatnya letak parabol terhadap sumbu X juga bergantung pada nilai-nilai a, b, dan c. Grafik fungsi kuadrat f(x) =

02 cbxaxdapat dilukis dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:a. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu Y, jika x = 0.b. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu X, jika y = 0 atau mencari akar persamaan 02 cbxax

c. Menentukan puncak parabola a

Dy

a

bxyx pppp 4

dan 2

;,

d. Lukislah beberapa titik yang dianggap perlu dengan mengingat posisi setangkupnya terhadap garis

a

bx

2

e. Telusuri jejak titik-titik tersebut. Kedudukan fungsi kuadrat terhadap sumbu X dapat dilihat dari nilai a dan diskriminan seperti pada sifat berikut.

untuk mempermulus jejaknya.

Membentuk Fungsi Kuadrat

MENU UTAMAKE MATERI

Fungsi kuadrat dapat ditentukan berdasarkan sifat-sifat yang ada yaitu;a.Melalui koordinat titik balik yang diketahui

2

2

4

4,

2 a

acb

a

b

dapat dibentuk fungsi kuadrat yaitu y = f(x) =2

22

4

4

2 a

acb

a

bxa

b. Jika diketahui titik potong dengan sumbu X di (,0) dan (0,) dapat dibentuk fungsi kuadrat dengan menggunakan

xxay

c. Jika diketahui tiga titik sebarang dapat dibentuk fungsi kuadrat menggunakan

cbxaxy 2

.

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

• Persamaan Linear dan Persamaan Linear• Persamaan Linear dan Persamaan Kuadrat• Persamaan Kuadrat dan Persamaan Kuadrat

MENU UTAMAKE MATERI

Persamaan Linear dan Persamaan Linear

Bentuk umum persamaan linear dua peubah adalah ax + by = c;dimana x, y adalah peubah; a, b 0. Persamaan linear dua peubah dapat dibentuk melalui titik (x1, y1) dengan gradien = m, diperoleh persamaan y = m (x x1) + y1. Selain itu, dapat juga ditentukan melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) sehingga diperoleh persamaan

0;0; 121212

1

12

1

xxyyxx

xx

yy

yy

Melalui titik (a, 0) dan (0, b) diperoleh persamaan

0;0;0 bab

y

a

x

MENU UTAMAKE MATERI

Persamaan linear tiga peubah mempunyai bentuk umum ax + by + cz = d; x, y dan z adalah peubah; a 0, b 0, dan c 0.

Sistem persamaan linear dibedakan menjadi sistem persamaan linear homogen dan non homogen. Sistem persamaan linear dikatakan homogen jika beberapa persamaan linear pada saat bersamaan c1 = c2 = 0 untuk sistem persamaan linear dua peubah dan d1 = d2 = d3 = 0 untuk persamaan linear tiga peubah.

Sistem persamaan linear non homogen jika beberapa persamaan linear pada saat bersamaan c1, c2 0 untuk sistem persamaan linear dua peubah dan d1, d2, d3 0 untuk persamaan linear tiga peubah.

KE MATERI MENU UTAMA

Persamaan Linear dan Persamaan Linear

Sistem persamaan linear dan linear dapat diselesaikan dengan:(a) Metode Subtitusi Substitusi artinya penggantian. Persamaan linear dua peubah a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2 dapat diselesaikan dengan langkah sebagai berikut: 1. Ubahlah salah satu persamaan menjadi y = f (x) atau x = f (y) 2. Substitusikan f (x) ke peubah y atau f (y) ke peubah x pada persamaan lain sehingga terbentuk satu persamaan linear dengan satu peubah 3. Selesaikan persamaan linear yang terbentuk 4. Substitusikan hasilnya ke salah satu persamaan semula untuk mendapat nilai peubah yang lain.

MENU UTAMAKE MATERI

Persamaan Linear dan Persamaan Linear

MENU UTAMAKE MATERI

Persamaan linear dua peubah a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2 dapat diubah dengan langkah

1

1

1

1

a

cy

a

bx

kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan yang kedua a2x + b2y = c2 didapat

2121

2121

2121

2121

abba

acca

baab

accay

dan

2121

2121

abba

cbbcx

Himpunan penyelesaiannya adalah:

2121

2121

2121

2121 ,abba

acca

abba

cbbc

.

Persamaan Linear dan Persamaan Linear

Persamaan linear tiga peubah a1x + b1y + c1z = d1, a2x + b2y + c2z = d2 dan a3x + b3y + c3z = d3 dapat diselesaikan dengan cara yang sama seperti persamaan linear dua peubah, akan diperoleh

122131331223321

122131331223321

122131331223321

122131331223321

122131331223321

122131331223321

cbcbacbcbacbcba

dbdbadbdbadbdbaz

cbcbacbcbacbcba

cdcdacdcdacdcday

cbcbacbcbacbcba

cbcbdcbcbdcbcbdx

Dari penyelesaian tersebut di atas, nilai x, y, z mempunyai penyebut yang sama, dimana nilai penyebut ini tidak boleh

samadengan nol.

MENU UTAMAKE MATERI

Persamaan Linear dan Persamaan Linear

MENU UTAMAKE MATERI

(b) Metode Eliminasi Untuk menyelesaikan dengan jalan mengubah koeffisien salah satu peubah menjadi 0. Dengan cara ini akan terbentuk dua persamaan, yang masing-masing hanya mengandung satu peubah. Caranya ialah dengan mengalikan masing-masing persamaan dengan koeffisien masing-masing peubah.

Persamaan Linear Dan Persamaan Linear

(c) Metode Determinan Matrik Sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan determinan matrik. Sistem persamaan linier dua peubah digunakan determinan matrik 22 sedangkan sistem persamaan linier tiga peubah digunakan determinan matrik 33.

A =

dc

ba, determinan A dinotasikan A = ad – bc .

A =

333

222

111

cba

cba

cba

, determinan A dinotasikan

= A 321321321321321321 cabbcaabcbacacbcba Sistem persamaan linier a1x + b1y = c1

dan a2x + b2y = c2 mempunyai penyelesaiannya D

Dydan

D

Dx yx

KE MATERI MENU UTAMA

Persamaan Linear dan Persamaan Linear

MENU UTAMAKE MATERI

122122

111221

22

111221

22

11 ;; cacaca

caDbcbc

bc

bcDbaba

ba

baD yx

Jadi 1221

1221

1221

1221

baba

cacaydan

baba

bcbcx

Persamaan linear tiga peubah a1x + b1y + c1z = d1; a2x + b2y + c2z = d2; dan a3x + b3y + c3z = d3 dapat diselesaikan dengan cara yang sama seperti sistem persamaan linear dua peubah, yaitu

D

Dz

D

Dy

D

Dx zyx ;;

.

Persamaan Linear dan Persamaan Kuadrat

MENU UTAMAKE MATERI

Penyelesaian sistem persamaan adalah titik potong kedua grafik tersebut. Persamaan kuadrat y = ax2 + bx + c = 0 dan persamaan linier y = mx + n digambarkan dalam bentuk grafik sebagai berikut.

Persamaan Linear dan Persamaan Kuadrat

MENU UTAMAKE MATERI

Untuk menentukan titik potong kedua grafik digunakan metodesubstitusi, kemudian mencari akar persamaan kuadrat.

a

ncambmbxx

ncxmbax

ncmxbxax

nmxcbxax

2

4)()(,

0

0

2

21

2

2

2

Harga x disubstitusikan terhadap y sehingga diperoleh titik potong kedua grafik tersebut.

Persamaan Kuadrat dan Persamaan Kuadrat

MENU UTAMAKE MATERI

Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat merupakan penyelesaian dari dua persamaan kuadrat yang merupakan titik potong kedua grafik dari persamaan tersebut. Persamaan y = ax2 + bx + c dan y = px2 + qx + r digambarkan dalam grafik sebagai berikut.

Persamaan Kuadrat dan Persamaan Kuadrat

Cara menyelesaikannya dengan metode substitusi yaitu:

0)()()( 2

22

rcxqbxpa

rqxpxcbxax

Harga x didapat dengan mencari akar-akar persamaan kuadrat,selanjutnya disubstitusikan ((ke peubah y, sehingga diperoleh titik potong kedua kurva.

MENU UTAMAKE MATERI