bab i himpunan - pakbisri.files.wordpress.com · a) himpunan bilangan asli yang kurang dari atau...
Post on 20-Nov-2020
28 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
BAB I
HIMPUNAN
PENDAHULUAN
Dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai sesuatu yang mempunyai
konsep himpunan. Himpunan sangat bermanfaat dalam perbagai persoalan
matematika diantaranya untuk memahami sifat-sifat bilangan cacah, untuk
mendefinisikan kejadian dalam teori peluang dan dalam geometri ruang.
Himpunan sangat membantu untuk memahami banyak topik-topik matematika,
yang menjadi lebih mudah untuk mempelajarinya dari pada menggunakan teori-
teori yang lain.
A. Pengertian Himpunan
Suatu himpunan atau suatu kumpulan benda-benda terjadi, bila kita
mengelompokkan benda benda itu menjadi himpunan atau suatu kumpulan.
Misalnya himpun buku-buku di dalam suatu perpustakaan, suatu tim olah raga,
siswa-siswa dalam suatu kelas dan sebagainya. Dengan mengerti himpunan
seorang anak dengan mudah dapat menentukan apakah mainannya hilang dari
keranjang mainannya, dan iapun dapat menentukan berapa banyak mainannya.
Biasanya kita memerlukan suatu definisi dari suatu pengertian agar kita
dapat memastikan apa yang hendak kita maksud. Namun pengalaman
menunjukkan bahwa tidak semua pengertian dapat didefinisikan, sebab apabila
didefinisikan, mungkin pengertian yang mudah dipahami menjadi sangat panjang
dan mungkin juga kalimatnya menjadi berulang sehingga artinya menjadi kabur.
Karena itu dipergunakan himpunan sebagai suatu pengertian yang tidak
didefinisikan namun sudah diketahui maksudnya.
Walaupun himpunan tidak didefinisikan namun harus diketahui dengan
jelas bahwa yang dibicarakan adalah kumpulan objek-objek atau simbol-simbol
yang mempunvai sifat yang dapat menunjukkan apakah objek itu menjadi anggota
atau bukan anggta dari himpunan tersebut.
2
Dari pengertian himpunan yang dikemukakan tersebut dapat diartikan, bila
ditetapkan suatu obyek, maka dapat ditentukan keanggotaan obyek tersebut dalam
suatu himpunan yang rnaksud.
Untuk menyatakan suatu himpun dapat dengan cara menyebutkan semua
anggotanya. Cara ini disebut dengan tabulasi. Unsur-unsur himpunan tersebut
dinyatakan di antara dua kurung kurawal dan untuk memisahkan anggota yang
satu dengang yang lain digunakan tanda koma.
Contoh 1 : Himpunan enam bilangan cacah yang pertama ditulis {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Contoh 2 : Himpunan huruf hidup abjad latin ditulis {a, i, u, e, o}
Suatu himpunan biasanya diberi nama dengan huruf besar misalnya : A, B,
C, dan sebagainya.
Himpunan semua bilangan ganjil diberi nama misalnya A = {1, 3, 5, 7, 9,
... }. Tiga titik pada lambang ini digunakan untuk menunjukkan bahwa barisan
bilangan tersebut berarti tak terhingga, dapat dibaca dan seterusnya.
Tiga titik dipergunakan juga untuk menunjukkan himpunan yang
anggotanya terlalu banyak untuk ditulis semuanya.
Contoh 3 : Himpunan bilangan prima kurang dan 100 ditulis (2, 3, 5, 7, ... , 97).
Contoh 4 : Himpunan bilangan genap kurang dan 1000 ditulis (0, 2, 4, … , 998).
Penlu diperhatikan bahwa yang dapat ditulis dengan menggunakan tiga
titik adalah himpunan-himpunan yang anggota-anggotanya memiliki urutan
tertentu. Misalnya untuk menyatakan himpunan semua gunung berapi di
Indonesia, maka tidak dapat hanya dituliskan tiga gunung berapi di Sumatera,
kemudian tiga titik dan diakhiri dengan gunung berapi di Irian Jaya.
Cara lain untuk menyatakan suatu himunan ialah dengan menyebutkan
syarat keanggotaannya, sedangkan anggotanya dinyatakan dengan suatu variabel.
Contoh 5 : Hirnpunan semua bilangan cacah genap ditulis {x│x bilangan cacah
genap} atau {bilangan cacah genap}.
Contoh 6 : Himpunan semua bilangan asli mulai dari 10 sampai dengan 20
ditulis { x│x ≤ x ≤ 20, x bilangan asli} atau (bilangan asli 10 sampai dengan 20).
3
Suatu himpunan dimungkinkan tidak rnempunyai anggota, mempunyai
anggota terhingga atau tak terhingga. Hirnpunan kosong adalah himpunan yang
tidak mempunyai anggota dilambangkan dengan { } atau ɸ.
Gontoh 7 : Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2 adalah bimpunan
kosong.
Contoh 8 : Himpunan orang yang tingginya lebih dan 1000 m, adalah himpunan
kosong.
Untuk menyatakan keanggotaan dari suatu himpunan digunakan lambang
“€”. Misalnya a € {a, b, c} artinya a anggota himpunan {a, b, c}. Lambang €
dapat dibaca elemen, anggota atau termasuk di dalam. Sebaliknya untuk
menyatakan bukan anggota dituliskan dengan lambang “¢“. Misalnya p bukan
anggota dari {a, b, c} dituliskan p ¢ {a, b, c).
Untuk penulisan x € A berarti x anggota A, sedangkan x ¢ A dapat
diartikan x bukan anggota A.
LATIHAN
Kerjakan soal-soal latihan berikut ini!
1. Berilah tiga contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari.
2. Buatlah kalimat sendiri yang dapat menjelaskan arti himpunan.
3. Jika A adalah himpunan bilangan asli yang kurang dan 16, nyatakan pernyataan
berikut benar atau salah.
(a) 11 € A (b) {5} € A (c) 14 € A
(d) 81 € A (e) A € A (f) 16 € A
(g) {1,2,3, … ,16} € A (h) 0 € A (i) { } € A
4. Tulislah dengan rnenggunakan notasi pembentuk himpunan.
a) Himpunan bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan 16.
b) Himpunan bilangan genap.
c) Himpunan penari wanita dari Jawa.
5. Sebutkan bagian buku Matematika Sekolah Dasar (jilid dan Kelas) yang
menyajikan pengajaran topik himpunan pada bab ini, dan buatlah inti isi
pelajarannya.
4
B. Diagram Venn
Untuk menggambarkan himpunan kita dapat menggunakan diagram
yang disebut dengan diagram Venn. Perkataan Venn diambil dan nama John
Venn (1834-1923) ahli logika berkebangsaan Inggris.
Suatu himpunan digambarkan dengan daerah yang dibatasi kurva
tertutup, sedangkan untuk himpunan semesta biasanya digambarkan dengan
daerah persegi panjang. Untuk menggambarkan anggota-anggota himpunan
dapat digunakan noktah-noktah. Tetapi seandainya himpunan tersebut
mempunyai anggota yang cukup banyak, anggota-anggota himpunan tersebut
tidak usah digambarkan. (Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat
semua unsur yang dibicarakan).
Contoh 1 : S = {1, 2, 3, ... , 8}
A = {1, 2, 3, 4}
Gambar diagram vennnya berikut :
Contoh 2 : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
Gambar diagram vennnya berikut :
5
Contoh 3 : S = {bilangan bulat}
A = {fbilangan cacah}
B = {bilangan prima}
Karena himpunan-himpunan ini banyak anggotanya tidak terhingga,
anggota-anggota himpunan tersebut tidak digambarkan dengan noktah
sehingga gambarnya :
Contoh 4 : S = {bunga}
A = {bunga melati}
B = {bunga mawar}
6
Gambar diagram vennnya berikut :
C. Hubungan Antar - Himpunan
1. Himpunan Bagian (subset)
Definisi : Himpunan A dikatakan himpunan bagian B dilambangkan
dengan A C B jika dan hanya jika setiap anggota A adalah
anggota B.
Contoh 1: Jika A {x,y} dan B {w,x,y,z) maka A C B, karena setiap
anggota A merupakan anggota B.
Contoh 2: Jika P = {4,7} dan Q = {4,7} maka P C Q, karena setiap
anggota P adalah anggota Q, dan juga Q C P, karena setiap
anggota Q adalah anggota P.
Contoh 3: A = Himpunan bilangan asli dan C = Himpunan bilangan
cacah, maka A C C karena setiap bilangan asli adalah bilangan
cacah.
Contoh 4: D = {12, 2
2, 3
2, 4
2} dan E = {1,4,9,16} maka D C E karena
setiap anggota D adalah anggota E dan E C D karena setiap
anggota E adalah anggota D.
Contoh 5: H = {1,3,5,7) dan I = {3,5,7,9). H bukan himpunan bagian I
karena ada anggota H yaitu 1 yang bukan anggota I.
7
2. Himpunan Bagian Murni (Proper Subset)
Definisi : Himpunan A dikatakan himpunan bagian murni (proper subset) B
ditulis A C B jika dan hanya jika setiap anggota A adalah anggota
B dan sedikitnya ada satu anggota B yang buan anggota A.
Contoh 1 : Diberikan himpunan A = {m, n, o, p} dan B = {m, n, o, p, q},
maka A C B kaena setiap anggota A adalah anggota B dan ada
anggota B yiang bukan anggota A yaitu q.
Contoh 2 : P = {x, y, z) dan Q = {y, x, z} maka P C Q (P bukan himpunan
bagian murni Q) karena tidak ada anggota Q yang bukan anggota
P.
Contoh 3 : C = {0,2,4,6, … ) dan D = {n | n bilangan cacah genap}, C bukan
hmpunan bagian murni D karena tidak ada anggota D yang bukan
anggota C.
Contoh 4: P = himpunan segi tiga, dan Q himpunan segitiga siku-siku, maka
Q C P, karena setiap segitiga siku-siku adalah suatu segitiga dan
ada segitiga yang tidak siku-siku. misalnya segtiga lancip dan
segitiga tumpul.
Untuk penulisan lambang himpunan bagian dan himpunan bagian
murni sering kali tidak dibdakan, yaitu menggunakan lambang “C” yang
diartikan sebagai himpunan bagian.
3. Himpunan Sama
Definisi : Dua himpunan A dan B dikatakan sama ditulis A = B, jika dan
hanya jika A C B dan B C A.
Concoh 1: A = {1, 2, 3, 4} dan B = {1, 2, 3, 4}. Dan kedua himpunan mi
jelas terlihat A C B dan B C A, sehingga dapat disimpulkan A =
B.
Contoh 2 : {l x 1, 2 x 2, 3 x 3} sama dengan {1, 4, 9}.
Dengan kata lain dapat dikatakan bahwa dua himpunan adalah sama
jika dan hanya jika mempunyai anggota yang sama.
4. Semesta Pembicaraan
8
Definisi : Semesta Pembicaraan atau himpunan Semesta adalah suatu
himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan. Pada
umumnya semesta pembicaraan dilambangkan dengan S atau U.
Contoh : Himpunan A = {1,3,5,7} Semesta pembicaraan yang mungkin
untuk himpunan A adalah himpunan bilangan ganjil, himpunan
bilangan cacah, himpunan bilangan asli dan sebagainya.
Himpunan ayam, semesta pembicaraan yang mungkin adalah
himpunan binatang, himpunan makhluk hidup dan sebagainya.
5. Himpunan yang Ekuivalen
Definisi : Jika A dan B himpunan yang terhingga (finite) maka himpunan A
dikatakan ekuivalen dengan himpunan B, bila setiap anggota A
dapat dipasangkan, (dikorespondensikan) satu-satu dengan setiap
anggota B. Atau dua himpunan yang terhingga dikatakan
ekuivalen jika kedua himpunan tersebut mempunyai anggota yang
sama banyak. A ekuivalen B ditulis A ~ B.
Contoh 1 : A = {a, b, c} dan B = {p, q, r}. Karena dapat dikorespondensikan
satu-satu sebagai berikut,
A = {a, b, c}
B = (p, q, r}
maka dapat dikatakan A ~ B
Contoh 2 : P = {a, i, u, e, o}, Q = {2, 4, 6, 8, 10}.
Karena,
P = {a, i, u, e, o}
Q = { 2, 4, 6, 8, 10}
maka dapat dikatakan P ~ Q
9
6. Himpuan-himpunan Terpisah (disjoint)
Definisi : Himpunan A dikatakan terpisah dengan himpunan B, jika tidak
ada anggota A yang menjadi anggota B dan tidak ada anggota B
yang menjadi anggota A.
Contoh 1 : A = {5, 6, 7} dan B = {1, 3}, maka A terpisah dengan B.
Contoh 2 : P = {tiga huruf pertama pada abjad} Q = {empat huruf terakhir
pada abjad}P terpisah dengan Q.
Untuk menunjukkan dua himpunan yang terpisah dapat dilihat pada
diagram Venn berikut :
A terpisah dengan B
LATIHAN
Kerjakan soal-soal latihan berikut ini!
1. Nyatakan pernyataan beriku benar atau salah
a) {z, r} C {x, y, z, r} b) {Santi, Dina, Mari} C {Santi}
c) {7, 2, 6,} C {2, 6, 7} d) 6 C {4, 5, 6, 7}
e) {2, 5, 6} C {7, 5, 2} f) {p, q, r) € {p, q, r, s}
2. Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, . . . ) A = {0, 2, 4, 6, . . .) C = {0, 3,6,9, . .
.) Isilah dengan tanda € atau ¢ sehinga terdapat pernyataan yang benar
a) 10 . . . A b) 5. . . B
c) 30 . . . C d) 0 . . . A
e) 172 . . . B f) 111 . . . C
10
3. Tulislah semua himpunan bagian {a, b, c}
4. Gambarlah diagram Venn untuk himpunan-himpunan berikut
a) S = {0,1,2,3,4} A = {0,1} B = {3,4}
b) S = {a,b,c,d,e} P = (a,b,c) Q = {a,b}
c) S = {bilangan cacah} C = {bilangan genap}
D = {bilangan ganjil}
d) S = {bilangan cacah} R = {bilangan kelipatan 4}
T = {bilangan kelipatan 3}
e) S = {bilangan cacah} E = {bilangan kelipatan 3}
F = {bilangan kelipatan 6}
5. Sebutkan anggota-anggota himpunan yang ditunjukkan gambar berikut :
a) Himpunan A
b) Himpunan B
c) Himpunan anggota S yang bukan anggota A atau bukan anggota B
6. Tentukanlah kompiemen himpunan berikut, jika diketahui Semesta
pembicaraan dan himpunannya.
a) S = {huruf dalam abjad latin}, A = {Vokal}
b) S = {bilangan cacah}, B = {bilangan genap}
c) S = {bilangan cacah}, C = {bilangan prima}
7. a) Apakah 2 himpunan yang sama tentu ekuivalen? Apa sebabnya? Berilah
sebuah contoh!
b) Apakah 2 himpunan yang ekuivalen tentu sama? Apa sebabnya? Berilah
sebuah contoh!
11
8. Tentukan himpunan-himpunan yang ekuivalen:
(bilangan genap antara 5 dan 8), (1,2,3,4)
{bilangan ganji antara 0 dan 8), {p}, {x,y,z}
{tiga bilangan genap yang pertama}, {10,11,12}
9. Tentukan apakah pasangan-pasangan himpunan berikut terpisah?
a) {bilangan ganjil} dan {bilangan genap}
b) {bilangan asli} dan {bilangan cacah}
c) {bilangan prima} dan {bilangan genap}
d) {a,b,c,d) dan {huruf hidup}.
D. Bilangan Kardinal dan Bilangan Ordinal
1. Bilangan Kardinal
Perhatikan himpunan A = {kuda, kerbau, kambing} dan himpunan B
= {mawar, melati, anggrek}. Anggota-anggota hirnpunan A dan B tidaklah
sama. Apabila diadakan pemasangan, misalnya sebagai berikut:
A = { kuda, kerbau, kambing }
B = {mawar, melati, anggrek }
maka terjadi korespondensi satu-satu antara anggota himpunan A dengan
anggota hiinpunan B. Antara kedua himpunan tersebut ada sesuatu yang sama
yaitu banyaknya anggota. Untuk menyatakan banyaknya anggota himpunan
itu digunakan bilangan. Untuk himpunan A dan B tersebut, bilangan yang
dimaksud disebut tiga. Demikian juga semua bilangan lain yang ekuivalen
dengan A dan B mempunyai bilangan yang sama. Bilangan yang menyatakan
banyaknya anggota suatu himpunan disebut bilangan Kardinal.
Bilangan kardinal himpunan P = {a, b, c, d} adalah empat. Pernyataan
mi ditulis dengan n(P) = 4.
Himpunan (1,2,3, .. .} disebut himpunan bilangan hitung atau
himpunan bilangan asli. Kita dapat mengadakan korespondensi satu-satu
antara himpunan yang terhingga dengan himpunan bagian dan hinipunan
12
bilangan asli. Bilangan asli yang terakhir menunjukkan bihangan kardinal dan
himpunan tersebut.
Khusus untuk himpunan kosong yang tidak ada anggotanya dikatakan
mempunyai bilangan kardinal nol, dinyatakan n (ɸ) = 0. Dengan kata lain 0
adalah bilangan yang menyatakan banyaknya anggota himpunan kosong.
Contoh 1 : A = { a, b, c, d, e}
B = { 2, 4, 6, 8, 10) dapat dilihat bahwa A ekuivalen dengan B
dan dapat ditulis n(A) = n(B).
Contoh 2 : Tentukan bilangan Kardinal {p, q, r, s, t)
Penyelesaian : {p, q, r, s, t}
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . .}
Bilangan kardinal {p, q, r, s, t) adalah 5.
2. Bilangan Ordinal
Untuk memahami pengertian bilangan ordinal, marilah kita perhatikan
contoh berikut: Pak Budi mempunyai 3 anak, anak pertama bernama Lusi,
kedua bernama Desi, dan ketiga bernama Andri.
Dari contoh ini dapat kita lihat adanya korespondensi satu-satu antara
himpunan bilangan asli yang menunjukkan urutan, dengan himpunan anak.
Bilangan yang menunjukkan urutan atau letak ini disebut dengan bilangan
ordinal.
Contóh : Di suatu pusat pertokoan mempunyai 4 lantai, toko pakaian
terletak pada lantai keempat toko elektronik tenletak pada lantai
ketiga.
Kesatu (pertama), kedua, ketiga, keempat, . . . disebut bilangan ordinal.
LATIHAN
Kerjakan tugas berikut sebagai latihan.
1. Tentukan mana yang menunukkan konsep bilangan Kardinal dan mana
yang menunjukkan konsep bilangan Ordinal?
13
a) Tujuh han dalam satu minggu
b) Satu dosin pensil
c) Halaman keseratus
d) Peniode kedua
e) Tingkat tiga
f) Bulan kesepuluh
g) 12 bulan dalam satu tahun.
2. Berilah contoh yang menunjukkan konsep bilangan kardinal dan konsep
bilangan ordinal masing-masing lima buah.
3. Tunjukkanlah pada SD kelas berapa, konsep bilangan kardinal dan ordinal
mi diajarkan buatlah inti pelajarannya.
E. Operasi Himpunan
1. Irisan Dua Himpunan
Definisi : Irisan himpunan A dan B (dilambangkan A ∩ B) adalah himpunan
semua anggota yang menjadi anggota A dan juga menjadi anggota
B.
Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan
A ∩ B = {x | x € A dan x € B}
A ∩ B dibaca A irisan B atau Irisan himpunan A dan B.
Contoh 1: Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {4, 5, 6, 7} maka A ∩ B {4, 5}
Contoh 2 : Jika P = {1, 2, 3, 4} dan Q ={(2, 3, 4} maka P ∩ Q = {2, 3, 4}
Contoh 3: Jika E = {1, 2, 3} dan F = {a, b, c}, maka E ∩ F = { }.
Diagram Venn contoh 1, 2, dan 3 adalah sebagal berikut:
14
Contoh 4 : Jika A = {a,b,c,d,e}, B = {c,d,e,f} dan C = {d, e, f, g} maka A ∩
B = (c, d, e}, (A ∩) ∩ C = {d, e}.
Contoh 5 : Daerah yang diarsir pada diagram Venn berikut menunjuk A ∩ B,
dengan relasinya antara A dan B.
Contoh 6 : Jika S = {bilangan cacah}
A = {kelipatan 2}
B = {kelipatan 3}
C = {kelipatan 5}
Daerah yang diarsir pada diagram Venn gambar 1.8.a menunjukkan A
∩ B dan diagram Venn gambar 1.8.b menunjukkan (A ∩ B) ∩ C
2. Gabungan Dua Himpunan
Definisi : Gabungan dua himpunan A dan B (dilambangkan AUB) adalah
himpunan semua elemen himpunan A atau B.
Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan ditulis A U B = {x
| x € A atau x € B). A U B dibaca A gabungan B atau gabungan A dan B
15
Contoh 1 : Jika A = {a, b, c} dan B = {d, e}, maka
A U B = {a, b, c, d, e}
Contoh 2 : Jika E = {2, 4, 6, 8} dan F = {2}, maka
E U F = {2, 4, 6, 8}
Contoh 3 : Jika G = {p, q, r) dan H = {q, r, s}, maka
G U H = {p, q, r, s),
Contoh 4: Daerah yang diarsir pada diagram Venn gambar 1.9 menunjukkan
gabungan antara dua himpunan dengan berbagai relasi sebagai
berikut :
Contoh 5 : Jika P = {1, 2, 3, 4}, Q = {4, 5, 6} dan R = {6, 7}
P U Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(P U Q) U R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Jika banyaknya elemen himpunan A dinyatakan dengan n(A),
banyaknya elemen himpunan B dinyatakan dengan n(B). Berapakah
banyaknya elemen AU B yang ditulis dengan n(A U B)? Untuk menjawab
pertanyaan mi perhatikan diagram Venn gambar 1.11.
16
Pada diagram Venn mi dapat dilihat banyaknya elemen padamasing-
masing daerah tertutup yang dinyatakan dengan (a), (b), (c), dan (d), jadi
n(A U B) = (a) + (b) + (c)
n(A) = (a) + (b)
n(B) = (b) + (c)
n(A ∩ B) = (b).
Dapat disimpulkan banyaknya elemen himpunan A atau B adalah
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
Contoh 1 : Diketahui n(E) = 13
n(M) = 12
n(E ∩ M) = 7
Tentukan : n(E U M)
Penyelesaian : n(E U M) = n(E) + n(M) - n(E ∩ M)
= 13 + 12 - 7
= 18
Contoh 2 : Dalam suatu kelas terdapat 40 anak, 25 anak menyukai olah raga,
23 anak menyukai kesenian berapakah banyaknya anak yang
menyukai keduanya.
Penyelesaian : n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
40 = 25 + 23 - n(A ∩ B)
n(A ∩ B) = - 40 + 25 + 23
= 8
Banyaknya anak yang menyukai olahraga dan kesenian 8 anak.
Contoh 3 : Di dalam ruangan terdapat 10 anak berbaju putih dan 12 anak
bersepatu hitam. Jika banyaknya anak yang berbaju putih dan
17
bersepatu hitam ada 5. Berapakah banyaknya anak dalam ruangan
tersebut?
Penyelesaian : Jika A himpunan anak berbaju putih, B himpunan anak
bersepatu hitam, maka A U B himpunan anak dalam ruangan.
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
= 10 + 12 - 5
= 17
Jadi. banyaknya anak di dalam ruangan tersebut ada 17 anak.
3. Komplemen Suatu Himpunan
Definisi : Komplemen himpunan A adalah himpunan semesta yang bukan
elemen A. elemen himpunan
Jika A adalah himpunan bagian S. maka komplemen A dapat ditulis
dengan notasi à = (x | x € S dan x ɇ A)
Contoh 1 : Jika S = {a, b, c, d} dan A = {b, c}, maka A = {a, d}
Contoh 2 : Jika S = {bilangan asli)
dan B = {bilangan asli ganjil)
maka B’ = (bilangan asli genap)
Contoh 3 : Jika S = {siswa kelas I}
dan P = {siswa kelas I yang berkaca mata}
maka P’ = {siswa kelas I yang tidak berkaca mata}.
Pada diagram Venn gambar 1.12 daerah yang diarsir menunjukkan
komplemen dari himpunan Q
18
Contoh 4 :Jika S = {1, 2, 3, . . . , 8}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
Karena A ∩ B = {3, 4} maka,
(A ∩ B)’ = {1, 2, 5, 6, 7, 8)
Karena A’ = {5, 6, 7, 8}
B’ = {1, 2, 7, 8},
maka. B’ ∩ A’ = {7, 8}
A’ U B’ = {1, 2, 5, 6, 7, 8}
4. Selisih Dua Himpunan
Definisi : Selisih himpunan B dan. himpunan A (dilambangkan B - A)
adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen B
yang bukan elemen A.
Jika dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan, maka
B - A = {x | x € B dan x ɇ A)
Contoh 1 :Jika A = {x, y, z, w} dan B = {u, v, x, y}
Mska B – A = {u, v}
A - B = {z, w}
B – B = { }
Contoh 2 : Daerah yang diarsir pada diagram Venn berikut menunjukkan A -
B dalam berbagai relasi antara A dan B.
19
Terdapat sifat-sifat khusus untuk operasi irisan dan gabungan pada
himpunan. Untuk memperoleh sifat-sifat operasi irisan dan gabungan pada
himpunan kerjakan tugas berikut.
LATIHAN
Kerjakanlah soal-soal berikut ini1
1. Tentukan irisan dan gabungan dan pasangan himpunan berikut.
a) R = {5, 10, 15} dan T = {15, 20}
b) N = {0, 1, 2, 3} dan N = {101, 102, 103}
c) A = {0, 10, 100, 1000} dan B = {10, 100}
d) G = (x | x adalah bilangan ganjil yang kurang dan 100)
H = (y | y adalah bilangan ganjil antara 1 dan 31)
e) P = {x, y, z, t}, Q = {x, y, r, s}.
2. Pada diagram Venn berikut arsirlah daerah yang menunjukkan masing masing
himpunan yang diberikan.
a) A ∩ B b) A’ ∩ C
d) A ∩ B e) A ∩ (B ∩ C)
c) A U B f) A U (B U C)
g) A ∩ (B U C) h) AU (B ∩ C)
i) (AU B) ∩ (A ∩ C)
3. Jika semesta pembicaraan adalah himpunan semua mobil, C adalah
himpunan mobil berwarna merah, dan D himpunan mobil buatan 1980.
Nyatakan dengan kalimat tiap-tiap himpunan berikut.
a) C’ b) C ∩ D
20
c) C’ ∩ D d) C’ U D’
e) C U D f) (C ∩ D)’
4. Pada tiap-tiap soal, gambarlah himpunan A, B, C dalam satu diagram Venn.
a) A Ϲ B, C ∩ B ≠ ɸ, A ∩ C = ɸ
b) A ∩ B ≠ ɸ, C C(A ∩ B)
c) B ∩ C = ɸ, A’ ∩ C = C, A ∩ B ≠ ɸ
d) B C A, C C A, B ∩ C ≠ ɸ.
5. Nyatakan daerah yang diarsir pada bagian Venn berikut dengan. menggunakan
lambang himpunan
6. Arsirlah daerah himpunan berikut pada diagram Venn yang menu.njukkan
tiap-tiap
a) A ∩ (B U C) b) (A ∩ B) U (A ∩ C)
c) (A U B)’ d) A’ ∩ B’
e) (A ∩ B)’ f) A’ U B’
g) A U A’ h) A ∩ C
i) A U ɸ j) ɸ’
k) A’ l) A ∩ ɸ
21
7. Pada tiap-tiap kalimat berikut, tentukan C ∩ D dan C U D (petunjuk : tulis
beberapa anggota tiap-tiap himpunannya)
a) C = {4n + 1 | n adalah bilangan asli}
D = (2n + l | n adalah bilangan ganjil}
b) C = (2n + l | n adalah bilangan Ganil}
D = {2n – l | n adalah bilangan genap}
8. Tentukan A - B untuk pasangan himpunan A dan B berikut
a) A = {1, 2, 3, 4, 5) B = {1, 2, 3}
b) A = {3, 4, 5} B = {6, 7, 8}
c) A = {a, b, c, d) B = {a, i, u, e, o}
9. Arsirlah daerah yang menunjukkan A - B (jika mungkin).
10. Di suatu kelas terdapat 27 anak yang gemar memasak 23 gemar menjahit,
ada 10 anak yang gemar keduanya. Ada berapa anak dalam kelas tersebut?
22
5. Perkallan Silang Dua Himpunan
Sebelum membicarakan perkalian silang, terlebih dahulu didefinisikan
apa yang dimaksud dengan pasangan berurutan dari dua unsur. Yang dimaksud
pasangan berurutan dua unsur adalah pasangan yang urutannya diperhatikan;
dalam hal ini urutan mempunyai arti penting. Pasangan berurutan dua unsur, a
dan b, ditulis (a, b) dan (a, b) ≠ (b, a) karena urutannya berbeda; pasangan
berurutan dua unsur (5, 3) ≠ (3, 5).
Selanjutnya perkalian silang didefinisikan sebagai berikut :
Definisi : Perkalian silang dua himpunan A dan B adalah himpunan semua
pasangan berurutan yang unsur pertamanya adalah anggota A dan
unsur yang kedua adalah anggota B.
Dengan notasi himpunan ditulis A x B = {(a,b) | a € A dan b € B).
Contoh 1: A = {1, 2, 3}, B = {1, 2}), maka
A x B = {(1,1) , (l,2), (2,l), (2’,2), (3,l), (3,2)}
Dalam bidang koordinat digambarkan sebagai benikut:
Contoh 2: P = {a, b, c} Q = {1, 2} R = {3}
P x Q = {(a, 1), (a, 2) , (b, l), (b,2), (c,l), (c,2)}
(P x Q) x R = {((a,1) , 3), ((a,2) ,3) , ((b,1) ,3), ((b,2) ,3 ) , ((c,1) ,3)
((c,2) ,3))
Contoh 3: Perjalanan dari kota P ke kota Q dapat ditempuh dengan
menggunakan bis, kereta api, dan kapal terbang. Dan Q ke R
dapat tempuh dengan menggunakan bis dan taksi. Sebutkan
23
macam dan berapa cara yang dapat ditempuh jika seseorang pergi
dari kota P ke kota R?
Penyelesaian:
Jika A = (bis, kereta api, kapal terbang) dan B = (bis, taksi), maka
himpunan pasangan berurutan yang menyatakan jenis kendaraan yang
berbeda yang dapat dinaiki dari kota P ke kota R, dinyatakan dengan A x B
yang disebut perkalian silang himpunan A dan B. Himpunan pasangan
berurutan tersebut dapat dilihat pada daftar yaitu:
{(bis, bis), (bis taksi), (kereta api, bis), (kerata api, taksi), (kapal terbang, bis),
(kapal terbang, taksi)}.
Jadi ada 6 macam cara untuk memperoleh perjalan dari P ke R.
Untuk menyelidiki sifat-sifat pada perkalian silang himpunan
himpunan, kerjakan soal-soal berikut:
a. Jika A = {1, 2}, B = (4, 5} maka
A x B = ………….
B x A = ………….
apakah A x B = B x A?
b. Jika A = {1, 3}, B = {2, 4} dan C = {6, 7}, maka
A x (B x C) = ………….
(A x B) x C = ………….
Apakah A x (B x C) = (A x B) x C?
c. Jika A = {1, 2}, B = {2, 3} dan C = {1,5}, maka
(A U B) x C = ………….
A x C =………….
B x C = ………….
(A x B) U ((B x C) = ………….
24
Apakah (A U B) x C = (A x C) U (B x C)?
C x (A U B) = ………….
C x A = ………….
C x B = ………….
(C x A) U (C x B) = ………….
Apakah C x (AUB) (C x A)U(C x B)?
d. Jika A = {a,b}
maka A x ɸ =………….
ɸ x A = ………….
apakah yang Anda simpulkan perkalian himpunan dengan ɸ?
Dari pengerjaan soal di atas dugaan apakah yang dapat anda peroleh sifat
operasi x?
LATIHAN
Kerjakan soal-soal berikut ini!
1. Jika A = {a, b, c) dan B = {r, s, t), tentukan
a) A x B b) A x A c) B x B
2. Tentukan B x C untuk tiap pasangan himpunan berikut :
a) B ={3} C = {O}
b) B = (3} C = { }
3. Jika E x F ditunjukkan pada himpunan berikut, tentukan himpunan E dan F
a) {(1,1), (1,2), (1,3), (4,1), (4,2), (4,3)}
b) {(1,4), (1,5), (0,4), (0,5)}
c) {(6,6), (6,7), (6,8)}
d) {(x,x) , (x,y) , (x,z) , (y,x) , (y,y) , (y,z) , (z,x) , (z,y) , (z,z)}.
4. Di suatu perguruan tinggi terdapat 3 guru besar dan 3 asisten. Jika seorang
guru besar selalu dibantu dengan seorang asisten, tentukan semua
kemungkinan pasangan dan guru besar dan asistennya dengan
menggunakan P x R, jika himpunan guru besar P = (Mardi, Joni, Budi}
dan himpunan asisten Q = {Rani, Nisa, Rikha)
25
5. Jika A = (a1, a2,a3, a4) dan B = (b1,b2,b3}, tentukan pernyataan berikut
benar atau salah.
a) (a1,b2) € A x B b) {(a2,b1), (a2,b3), (a2, b3)) C B x A
c) (b3,a2) € B x A d) A x B = B x A
e) (b1,b2) € B x B f) (a1,(b1,a1)) € (A x B) x A
6. Jika A = {1, 2}, B = {3, 4, 5} dan C = {4, 5}, tentukan hasil perkalian
silang berikut.
a) B x (C x A) b) (A x B) x C
c) A x (B x C) d) (B x C) x C
7. Diberikan himpunan A = {1, 2, 3, 4), B = {3, 4, 5} dan C = {4, 5, 6},
tentukan himpunan berikut:
a) (A x A) U (B x B) b) (C x A) ∩ (C x B)
c) (A x A) ∩ (B x B) d) (A x B) U (B x A).
8. a) Jika A = B, apakah A x B = B x A
b) Jika A ≠ ɸ, dan B ≠ ɸ dan A x B = B x A, apakah A = B?
c) Jika A ≠ ɸ, dan B ≠ B dan A x B = C x D, apakah A = C dan B = D
d) Jika a < b gunakan definisi “<“ untuk menunjukkan a + c < b + c.
top related