bab 3 penyl numerik aljabar tunggal
Post on 30-Jul-2015
94 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
28/10/2013
Matematika Teknik Kimia II
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
2
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Dalam prakteknya, metode numerik sering digunakan untuk
menentukan akar-akar persamaan aljabar yang bentuknya
cukup kompleks.
Metode pendekatan:
• Penentuan akar pendekatan
• Perulangan perhitungan pendekatan hingga mencapai
ketepatan yang diinginkan
3
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
4
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
5
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
6
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
7
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Contoh 3.1:
Dua kurva yang masing-masing dinyatakan dengan persamaan y1 = ex
dan y2 = 3x saling berpotongan di dua titik. Tentukan koordinat
kedua titik potong tersebut.
Penyelesaian:
y1=ex
y2=3x
Titik potongnya adalah ex=3x atau f(x)= ex-3x=0
Dengan cara iterative, perlu dibuat persamaan x=y(x), sehingga:
3
ex
x
3
ex
xi
1i
perlu dibuat persamaan x=y(x), sehingga:
ex=3x →
Jadi, persamaan iterasinya adalah
8
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
333.03
ex
0
1 465.03
ex
0.333
2 53.03
ex
0.465
3
Dengan memisalkan titik awal, x0=0, maka hasil iterasi:
46.23
ex
2
1 91.33
ex
2.46
2 7.163
ex
3.91
3
Bila titik awal diambil x0 = 2, maka:
Untuk mengetahui, mana nilai titik awal, x0 yang memberikan hasil
yang konvergen, maka digunakan syarat untuk konvergen : │g’(x)│< 1
sehingga
3
e x< 1 → x < 1.1
Berdasarkan syarat di atas, maka diambil titik awal x0 = 0.
9
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Penjelasan metode ini dijabarkan dalam gambar berikut:
y=f(x)
X y=f(x) x0
f(x0)
Koef
arah
f’(x0)
x1
X
y
Dari gambar di atas terlihat bahwa untuk mendapatkan harga x ditarik
garis singgung kurva pada titik x = x0, y = f(x0) sehingga memotong
sumbu x. Selanjutnya untuk memperoleh perhitungan diulangi dengan
titik awal x = x1, y = f(x1) dan ditarik pula garis singgung pada titik ke-2
tersebut dengan koefisien f’(x1) hingga memotong sumbu x pada x2.
Perhitungan iterative dilanjutkan sehingga mencapai x
.
10
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Δx
)f(x)(xf' 0
0 )(xf'
)f(xx
0
0
)(xf'
)f(xxx
0
0
01
Dari gambar 3.2 terlihat bahwa:
x1 = x0 - ∆x
koefisien awal garis singgung kurva pada titik (x0, f(x0)) adalah:
Sehingga :
Jika persamaan disubstitusikan ke dalam persamaan
Jadi persamaan iterative Newton-Raphson adalah:
)(xf'
)f(xxx
i
ii1i
Cara Newton-Raphson memberikan hasil dengan langkah iterasi yang
lebih singkat daripada metode iterative sebelumnya. (Buktikan
sendiri!)
11
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Contoh:
Gunakan metode Newton-Rapshon untuk menaksir akar-akar dari e-x – x
menggunakan sebuah tebakan awal x0 = 0.
Penyelesaian:
Turunan pertama dari fungsi dapat dievaluasi sebagai:
f’(x) = -e-x – 1
disubstitusikan ke persamaan Newton-Rapshon adalah
1e-
exx
i
i
x-
-x
i1i
ix
Dengan tebakan awal x0 = 0, persamaan iterative ini dapat digunakan
untuk menghitung: Iterasi, i xi Error, %
0 0 100
1 0,500000000 11,8
2 0,566311003 0,147
3 0,567143165 0,0000220
4 0,567143290 < 10-8
12
Program Studi Teknik Kimia
UNLAM
Matematika Teknik Kimia II
Pendekatan di atas konvergen secara tepat pada akar
sebenarnya
Tentukan akar real dengan cara metode Newton Raphson pada
persamaan 4 + 5x2 – x3 = 0 sampai 3 desimal, dengan tebakan awal
x=5
top related