aproksimasi

Menerapkan Konsep Kesalahan Pengukuran

Aproksimasi Hal.: 2

APROKSIMASIStandart Kompetensi :

Memecahkan masalah berkaitan dengan konsepAproksimasi kesalahan

Kompetensi Dasar :Menerapkan konsep kesalahan pengukuran

Indikator :1. Membedakan pengertian membilang dan mengukur2. Menghitung kesalahan (salah mutlak dan salah relatif), prosentase kesalahan, toleransi hasil suatu pengukuran

Aproksimasi Hal.: 3

Ruang Lingkup Pengertian Aproksimasi

Pembulatan

Macam-macam Kesalahan

Toleransi

Operasi Hasil Pengukuran

Pecahan Berantai

Aproksimasi Hal.: 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Pengertian Aproksimasi

Bagaimana perbedaan bilangan dari kalimat. misalnya: Panjangnya uang kertas seratus ribuan adalah 15 cm. Rombongan yang datang kemarin sebanyak 15 orang.

Aproksimasi Hal.: 5

Aproksimasi

Menyatakan suatu bilangan atau ukuran yang diperoleh dari kegiatan yang berdasar hasil pendekatan atau pembulatan Mengukur :

Memperkirakan Hasilnya tidak pasti ( pendekatan)

Membilang :

Hasilnya eksak ( pasti )

Aproksimasi Hal.: 6

Pembulatan Semua hasil pengukuran menyatakan nilai “pendekatan “ Hasil-hasil pengukuran panjang, massa, waktu, luas dan sebagainya harus diberikan menurut ketelitian yang diperlukan.Pembulatan dilakukan dengan aturan:

Jika angka berikutnya 5 atau lebih dari 5 maka nilai angka di depannya ditambah satu Jika angka berikutnya kurang dari 5 maka angka tersebut dihilangkan dan angka di depannya tetap.

Ada tiga macam cara pembulatan, yaitu : a. pembulatan ke satuan ukuran

terdekat b. pembulatan ke banyaknya angka desimal

c. pembulatan ke banyaknya angka-angka signifikan

Aproksimasi Hal.: 7

Pembulatan ke Satuan Ukuran Terdekat

Dalam hal pembulatan ke ukuran satuan yang terdekat, ditetapkan lebih dahulu satuan terkecil yang dikehendaki oleh yang mengukur

Contoh : 165,5 cm = 166 cm , dibulatkan ke cm terdekat

2, 43 kg = 2 kg , dibulatkan ke kg terdekat

14,149 detik = 14,15 detik, dibulatkan ke ratusan detik terdekat

14,16 detik = 14,2 detik, dibulatkan ke persepuluh detik terdekat

14,149 detik = 14,1 detik, dibulatkan ke persepuluh detik terdekat

Aproksimasi Hal.: 8

Pembulatan ke Banyaknya Angka Desimal

Untuk mempermudah pekerjaan, kadang-kadang perlu diadakan pembulatan suatu bilangan desimal sampai ke sekian banyak tempat desimal sesuai dengan maksud yang dikehendaki

5,47035 = 5,4704 dibulatkan sampai empat tempat desimal = 5,470 dibulatkan sampai tiga tempat

desimal = 5,47 dibulatkan sampai dua tempat desimal = 5,5 dibulatkan sampai satu tempat desimal

Bagaimana hasilnya apabila 5,44735 dibulatkan sampai satu tempat desimal

5,44735 = 5,4 dibulatkan sampai satu tempat desimal

Aproksimasi Hal.: 9

Pembulatan ke Banyaknya Angka-angka yang Signifikan

Pembulatan dengan cara menetapkan banyaknya angka yang signifikan. Significant berarti “ bermakna “ penting

64,5 cm mempunyai 3 angka signifikan

Jika diketahui suatu bilangan, berikut adalah aturan-aturan untuk menentukan angka-angka mana yang signifikan :

1). Angka yang tidak nol selalu signifikan, mis: 472,513 6 angka signifikan

2). Angka “0” signifikan jika letaknya di antara angka-angka yang signifikan, mis: 807003 6 angka signifikan 3) Angka “ 0 “ signifikan jika muncul setelah tanda tempat desimal dan

angka- angka lain yang signifikan, mis: 20,080 5 angka signifikan

5) Angka “ 0 “ signifikan jika ditandai “strip “ atau “ bar

4). Angka “ 0 “ itu tidak pernah signifikan jika mendahului angka-angka yang

bukan nol meskipun muncul setelah tanda tempat desimal, mis: 043,00 m 4 angka signifikan; 0,0720 km 3 angka signifikan

Aproksimasi Hal.: 10

Macam-macam Kesalahan

8 April 2023

Panjangnya lebih dekat ke 15 cm dari pada 14 cm atau 16 cm Panjang sebenarnya terletak antara 14,5 cm dan 15,5 cm. Hal ini kesalahan yang masih diterima dari pengukuran ini adalah 0,5

cmatau salah mutlaknya ialah 0,5 cm.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Aproksimasi Hal.: 11

Macam-macam Kesalahan Salah Mutlak = ½ x satuan ukuran terkecil

Batas Atas = Hasil Pengukuran + Salah Mutlak

Batas Bawah = Hasil Pengukuran – Salah Mutlak

Salah Relatif =

Persentase Kesalahan = Salah relatif x 100 %

pengukuranhasilmutlaksalah

Aproksimasi Hal.: 12

Toleransi

Toleransi dalam pengukuran ialah selisih antara

pengukuran

terbesar yang dapat diterima dan pengukuran yang

terkecil

yang dapat diterima.

Aproksimasi Hal.: 13

Contoh 1 :Diketahui hasil pengukuran tinggi tiang bendera 3,5 meter, carilah satuan pengukuran terkecil, salah mutlak, salah relatif, prosentase kesalahan dan toleransi

Jawab :Hasil pengukuran 3,5 mSatuan pengukuran terkecil = 0,1 mSalah mutlak = 0,5 x 0,1 m = 0,05 mSalah relatif = 0,05 / 3,5 = 0,014Persentase kesalahan = 0,014 x 100% = 1,4%Batas atas pengukuran = (3,5 + 0,05)m = 3,55mBatas bawah pengukuran : (3,5 – 0,05)m = 3,45mToleransi pengukuran : (3,55 – 3,45)m = 0,10m

Operasi Hasil Pengukuran :

Jumlah hasil PengukuranJika dua pengukuran atau lebih dijumlahkan , maka salah mutlaknya adalah jumlah salah mutlak dari pengukuran-pengukuran asalJumlah maksimum = b. a pengukuran I + b. a pengukuran IIJumlah minimum = b. b pengukuran I + b. b pengukuran II

Selisih hasil PengukuranJika dua pengukuran atau lebih dikurangkan , maka salah mutlak selisihnya adalah jumlah salah mutlak dari pengukuran asal Selisih maksimum = b. a pengukuran I - b. b pengukuran II Selisih minimum = b. b pengukuran I - b. a pengukuran II

Hasil kali dua PengukuranHasil kali maksimum = b. a pengukuran I x b. a pengukuran IIHasil kali minimum = b. b pengukuran I x b. b pengukuran II

Aproksimasi Hal.: 15

Contoh 2 :Suatu hasil pengukuran dinyatakan dengan ( 15 ± 0,5 ) gram. Berikan pengukuran maksimum dan minimum yang dapat diterima, kemudian carilah toleransinya ?

Jawab :

Toleransi yang diperkenankan adalah ( 15 ± 0,5 ) gram, berarti:

Pengukuran maksimum yang dapat diterima:15 + 0,5 = 15,5 gram

Pengukuran minimum yang dapat diterima: 15 – 0,5 = 14,5 gram

Sehingga toleransinya adalah 1 gram

Aproksimasi Hal.: 16

Contoh soalDiketahui dua hasil pengukuran yaitu : 12cm dan 19cmTentukan :

a. Jumlah maksimum dan minimumSelisih maksimum dan minimumHasil kali maksimum dan minimumJumlah salah mutlak dan selisih salah mutlak dari pengukuran-pengukuran diatas

Aproksimasi Hal.: 17

Jawab :Hasil pengukuran I = 12cmHasil pengukuran II = 19cmSalah mutlak pengukuran I = 0,5cmSalah mutlak pengukuran II = 0,5cmBatas atas pengukuran I : (12 + 0,5)cm = 12,5cmBatas bawah pengukuran I : (12 – 0,5)cm = 11,5cmBatas atas pengukuran II : (19 + 0,5)cm = 19,5cmBatas bawah pengukuran II : (19 – 0,5)cm = 18,5cm

Jumlah Maksimum : (12,5 + 19,5)cm = 32cmJumlah Minimum : (11,5 + 18,5)cm = 30cm

a.

Selisih Maksimum : (19,5 - 11,5)cm = 8cmSelisih Minimum : (18,5 + 12,5)cm = 6cm

b.

Aproksimasi Hal.: 18

Jawab :Hasil pengukuran I = 12cmHasil pengukuran II = 19cmSalah mutlak pengukuran I = 0,5cmSalah mutlak pengukuran II = 0,5cmBatas atas pengukuran I : (12 + 0,5)cm = 12,5cmBatas bawah pengukuran I : (12 – 0,5)cm = 11,5cmBatas atas pengukuran II : (19 + 0,5)cm = 19,5cmBatas bawah pengukuran II : (19 – 0,5)cm = 18,5cm

Hasil kali Maksimum : (12,5 x 19,5)cm = 243,75cm2

Hasil kali Minimum : (11,5 x 18,5)cm = 212,75cm2 c.

Jumlah salah mutlak : 0,5cm + 0,5cm = 1 cmSelisih salah mutlak : 0,5cm + 0,5cm = 1 cm

d.

Aproksimasi

Kompetensi DasarMenerapkan konsep operasi hasil pengukuran

Indikator1. Menghitung jumlah dan selisih hasil

pengukuran2. Menghitung hasil kali maksimum dan minimum

hasil pengukuran

Hal.: 19

APROKSIMASI

Aproksimasi Hal.: 20

Aproksimasi Pecahan

Pecahan dapat didekati nilainya dengan pecahan lain dengan teknik pecahan berantai

n

nn q

px

...1

1

32

1

aa

ax

Misal : dapat ditulis dengan pecahan

berantai sbb:

q

px

Untuk pendekatan ke-n

dengan pn=anpn-1+pn-2 dan qn=anqn-1+qn-2

Aproksimasi Hal.: 21

Untuk Menentukan Pendekatan Dapat Dengan Tabel

Hasil bagi pecahan berantai

a1 a2 a3 …... an-1 an

0 1

1 0

a1a2.a1 +1

pn

qn

Aproksimasi Hal.: 22

Contoh: 1

Tentukan pecahan yang mendekati: 99

224

Aproksimasi Hal.: 23

Kita Buat Pembagian Bersusun 99 / 224 \ 2 = a1

198 26 / 99 \ 3 = a2

78 21 / 26 \ 1 = a3

21 5 / 21 \ 4 = a4

20 1 / 5 \ 5 = a5

5 0

99

224

5

14

11

13

12

Dapat ditulis:

Jadi Pecahan yang mendekati adalah: 3

72

4

9

19

43

99

224

Aproksimasi Hal.: 24

Untuk Menentukan Pendekatan Dapat Dengan Tabel

Hasil bagi pecahan berantai

2 3 1 4 5

0 1

1 0

2 7 9 43 224

1 3 4 19 99

x

2+

2

x0

+1

Jadi Pecahan yang mendekati adalah: 3

72

4

9

19

43

99

224

Aproksimasi Hal.: 25

Contoh: 2

Tentukan pecahan yang mendekati:

213

7979 / 213 \ 2 158 55 / 79 \ 1 55

24 / 55 \ 2 48 7 / 24 \ 3 21

3 / 7 \ 2 6 1 / 3\ 3

3 0

Aproksimasi Hal.: 26

Dengan Tabel

Hasil bagi pecahan berantai

2 1 2 3 2 3

1 0

0 1

1 1 3 10 23

2 3 8 27 62

x0

+1

x2

+2

79

213

Jadi Pecahan yang mendekati adalah :3

1

8

3

27

10

62

232

1

213

79

Aproksimasi Hal.: 27

Contoh:

Pada mesin bubut yang mempunyai kisar transportir 5 mm akan dibuat ulir dengan kisar 2,06 mm. Persediaan roda gigi pengganti mempunyai gigi 20-120 dan merupakan kelipatan dari 5. Tentukan perbandingan roda gigi penggantinya sehingga menghasilkan ulir yang paling mendekati ukuran sebenarnya dan berapa persentase kesalahannya!

Aproksimasi Hal.: 28

Penyelesaian :

Jika roda gigi yang menggerakkan adalah DR dan roda gigiyang digerakkan DN, maka:

250

103

5

06,2

mm

mm

DN

DR

Untuk mencari harga yang mendekati harga asal kita gunakan pecahan berantai sebagai berikut:

103 / 250 \ 2 206 44 / 103 \ 2 88

15 / 44 \ 2 30 14 / 15 \ 1

14 1 / 14 \ 14

14 0

Aproksimasi Hal.: 29

Untuk Menentukan Pendekatan Dapat Dengan Tabel

Hasil bagi pecahan berantai

2 2 2 1 14

1 0

0 1

1 2 5 7 103

2 5 12 17 250

x

0+

1

x

1+

0

Jadi Pecahan yang mendekati adalah: 5

2

12

5

17

7

250

1032

1

Selamat Bergoyang

Aproksimasi Hal.: 31