4-ruang-vektor
Post on 08-Apr-2018
233 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/6/2019 4-ruang-vektor
1/8
Ruang VektorTujuan:
1. Mengingat kembali persamaan garis dan bidang di ruang.
2. Memahami aksioma ruang vektor, kombinasi linier danruang bagian.
3. Mengingat kembali pengertian bebas dan bergantung linier,
basis dan dimensi.
Arti geometris dari determinanJika A matriks 2x2, |det(A)| = area dari jajaran genjang
dibentuk oleh 2 vektor.Jika A matriks 3x3, |det(A)| = volume dari parallepipedumdibentuk oleh 3 vektor.
Persamaan garis dan bidang di ruang
Garis di ruang dimensi 2: persamaannya adalah
y a = m (x b)
(jadi diperlukan kemiringan m dan titik yang dilalui (a,b))
Bidang di ruang dimensi 3:
Diperlukan inklinasi (kemiringan) dan titik yang dilalui.
Untuk menyatakan inklinasi adalah satu vektor yang tegaklurus terhadap bidang.
n
http://www.docu-track.com/buy/http://www.docu-track.com/buy/ -
8/6/2019 4-ruang-vektor
2/8
Misal suatu bidang melalui titik 0 0 0 0( , , )P x y z dan mempunyai
vektor normal n
=(a b c). Misal P(x,y,z) suatu titik berada pada
bidang.1. Persamaan bidangnya adalah
00n P P
2. atau bentuk normal persamaan bidang:
0 0 0( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z
3. atau bentuk vektor persamaan bidang:
0( ) 0n r r
di mana 0 0 ,r OP r OP
4. atau bentuk parameter persamaan bidang:
0 0 0, , x x ta y y tb z z tc
di mana titik 0 0 0 0( , , )P x y z
dilalui bidang dan vektor( , , )v a b c
paralel dengan bidang.
Contoh:
Cari persamaan bidang yang melalui titik (3,-2,1) dan tegak
lurus terhadap vector n
=(1 2 2). Gambar pada koordinatCartesius.
Bila diketahui SPL berikut:
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
Apa arti geometrisnya?
http://www.docu-track.com/buy/http://www.docu-track.com/buy/ -
8/6/2019 4-ruang-vektor
3/8
Yang tidak memiliki solusi: (a), (b), (c)Yang memiliki banyak solusi: (d), (e)
Yang memiliki solusi tunggal: (f)
http://www.docu-track.com/buy/http://www.docu-track.com/buy/ -
8/6/2019 4-ruang-vektor
4/8
Ruang Vektor
Ruang vektor V adalah himpunan vektor tak kosong di mana 2
operasi berlaku: penjumlahan dan perkalian dengan skalar.
Setiap dua vektor a
dan b
dan kombinasi liniernya ba
, dan bilangan real, merupakan anggota dari V, dan
memenuhi sifat berikut:untuk operasi penjumlahan:
0)(.4
0.3)().(2
.1
aa
aacbacba
abba
untuk perkalian dengan skalar:
aa
ackakc
akacakc
bcacbac
1.4
)()(.3
).(2
)(.1
Contoh ruang vektor:n, ruang vektor (matriks) 22xM , ruang
vektor mxnM .
Ruang bagian :
Diketahui W himpunan bagian tak kosong dari V. W disebut
ruang bagian jika W adalah ruang vektor dengan operasi yang
sama digunakan di V.
Contoh: Himpunan garis yang melewati titik origin adalah
ruang bagian dari3
.
http://www.docu-track.com/buy/http://www.docu-track.com/buy/ -
8/6/2019 4-ruang-vektor
5/8
Kombinasi Linier
Suatu vektor w disebut kombinasi linier dari vektor-vektor
maaa
,...,, 21 jika dapat dituliskan
mmacacacw
2211
dimana mccc ,,, 21 adalah skalar.
Contoh: Diketahui vektor u = (1,2,-1) dan v =(6,4,2) di3R .
Apakah vektor berikut kombinasi linier dari u dan v ?
(a) w =(9,2,7),
(b) y =(4,-1,8).
Span (membangun) ruang vektorHimpunan vektor S={ maaa
,...,,21 } di sebut membangun V
jika setiap v anggota dari V dapat dinyatakan dalam
kombinasi linier dari maaa
,...,, 21 , yaitu
mm acacacv
2211
http://www.docu-track.com/buy/http://www.docu-track.com/buy/ -
8/6/2019 4-ruang-vektor
6/8
-
8/6/2019 4-ruang-vektor
7/8
B asisJika V adalah ruang vektor dan S={ maaa
,...,,21 } adalah
himpunan vektor di V. S adalah basis dari V jika1. S bebas linier2. S membangun V.
Ruang vektor dapat mempunyai lebih dari satu basis.
Contoh: Standard basis
Di3R : i =(1,0,0), j =(0,1,0), k(0,0,1).
Din
: 1e =(1,0,0,,0), 2e =(0,1,0,,0) , , ne =(0,0,,0,1)
Di ruang matriks
10
00,
01
00,
00
10,
00
01:
22xM
D imensiHimpunan vektor V disebut berdimensi hingga jika memuat
himpunan vektor berhingga naaa
,...,, 21 yang merupakan basis
dari V. Dimensi dari V adalah n.
Latihan:
1. Tunjukan vektor-vektor berikut bebas linier: (-1 4 0), (8 4
-3),(0 6 -9)Pilih sembarang vektor (u v w), apakah keempat vektor
bebas linier?
http://www.docu-track.com/buy/http://www.docu-track.com/buy/ -
8/6/2019 4-ruang-vektor
8/8
2. Diketahui1 2
1 2
. (2,1), (0,3),
. (3,9), ( 4,12)
a u u
b w w
.Tunjukan mana
himpunan yang merupakan basis di 2 .
3. Tunjukan himpunan vektor2
1 21 , 1 p x x p x
bukan merupakan basis di ruang vektor 2P .4. Tentukan basis dan dimensi untuk ruang solusi dari SPL
homogen berikut:
1 2 3
1 2 3
1 3
0,
2 2 0,
0.
x x x
x x x
x x
http://www.docu-track.com/buy/http://www.docu-track.com/buy/
top related