2 fungsitransenden.pdf
Post on 18-Jan-2016
10 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Fungsi Transenden
F U N G S I T R A N S E N D E N
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember
6 Februari, 2014
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi Transenden
Fungsi Transenden
1 Fungsi Invers
2 Fungsi Logaritma Asli (y = ln(x))
3 Fungsi Eksponen Asli (y = ex )
4 Fungsi Eksponen Umum (y = ax)
5 Fungsi Logaritma Umum (y = a log x)
6 Fungsi Invers Trigonometri
7 Fungsi Hiperbolik
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi Transenden
Fungsi Transenden
1 Fungsi Invers
2 Fungsi Logaritma Asli (y = ln(x))
3 Fungsi Eksponen Asli (y = ex )
4 Fungsi Eksponen Umum (y = ax)
5 Fungsi Logaritma Umum (y = a log x)
6 Fungsi Invers Trigonometri
7 Fungsi Hiperbolik
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi Transenden
Fungsi Transenden
1 Fungsi Invers
2 Fungsi Logaritma Asli (y = ln(x))
3 Fungsi Eksponen Asli (y = ex )
4 Fungsi Eksponen Umum (y = ax)
5 Fungsi Logaritma Umum (y = a log x)
6 Fungsi Invers Trigonometri
7 Fungsi Hiperbolik
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi Transenden
Fungsi Transenden
1 Fungsi Invers
2 Fungsi Logaritma Asli (y = ln(x))
3 Fungsi Eksponen Asli (y = ex )
4 Fungsi Eksponen Umum (y = ax)
5 Fungsi Logaritma Umum (y = a log x)
6 Fungsi Invers Trigonometri
7 Fungsi Hiperbolik
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi Transenden
Fungsi Transenden
1 Fungsi Invers
2 Fungsi Logaritma Asli (y = ln(x))
3 Fungsi Eksponen Asli (y = ex )
4 Fungsi Eksponen Umum (y = ax)
5 Fungsi Logaritma Umum (y = a log x)
6 Fungsi Invers Trigonometri
7 Fungsi Hiperbolik
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi Transenden
Fungsi Transenden
1 Fungsi Invers
2 Fungsi Logaritma Asli (y = ln(x))
3 Fungsi Eksponen Asli (y = ex )
4 Fungsi Eksponen Umum (y = ax)
5 Fungsi Logaritma Umum (y = a log x)
6 Fungsi Invers Trigonometri
7 Fungsi Hiperbolik
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi Transenden
Fungsi Transenden
1 Fungsi Invers
2 Fungsi Logaritma Asli (y = ln(x))
3 Fungsi Eksponen Asli (y = ex )
4 Fungsi Eksponen Umum (y = ax)
5 Fungsi Logaritma Umum (y = a log x)
6 Fungsi Invers Trigonometri
7 Fungsi Hiperbolik
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Invers
Definisi 1
Fungsi y = f (x) disebut satu-satu jika f (u) = f (v) maka u = vatau jika u 6= v maka f (u) 6= f (v).
Secara geometri, grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajardengan sumbu x berpotongan di satu titik.
Teorema 1
Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai invers yangdinotasikan f−1.
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Invers
Definisi 1
Fungsi y = f (x) disebut satu-satu jika f (u) = f (v) maka u = vatau jika u 6= v maka f (u) 6= f (v).
Secara geometri, grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajardengan sumbu x berpotongan di satu titik.
Teorema 1
Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai invers yangdinotasikan f−1.
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Invers
Definisi 1
Fungsi y = f (x) disebut satu-satu jika f (u) = f (v) maka u = vatau jika u 6= v maka f (u) 6= f (v).
Secara geometri, grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajardengan sumbu x berpotongan di satu titik.
Teorema 1
Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai invers yangdinotasikan f−1.
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Invers
Hubungan f dengan f−1
f−1(f (x)) = x
f (f−1(y)) = y
Df−1 = Rf , Rf−1 = Df
Teorema 2
Jika f monoton murni (selalu naik / selalu turun) maka fmempunyai invers.
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Invers
Hubungan f dengan f−1
f−1(f (x)) = x
f (f−1(y)) = y
Df−1 = Rf , Rf−1 = Df
Teorema 2
Jika f monoton murni (selalu naik / selalu turun) maka fmempunyai invers.
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Invers
Hubungan f dengan f−1
f−1(f (x)) = x
f (f−1(y)) = y
Df−1 = Rf , Rf−1 = Df
Teorema 2
Jika f monoton murni (selalu naik / selalu turun) maka fmempunyai invers.
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Invers
Hubungan f dengan f−1
f−1(f (x)) = x
f (f−1(y)) = y
Df−1 = Rf , Rf−1 = Df
Teorema 2
Jika f monoton murni (selalu naik / selalu turun) maka fmempunyai invers.
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Invers
Hubungan f dengan f−1
f−1(f (x)) = x
f (f−1(y)) = y
Df−1 = Rf , Rf−1 = Df
Teorema 2
Jika f monoton murni (selalu naik / selalu turun) maka fmempunyai invers.
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh Grafik Fungsi
−5 0 5−5
0
5
← y = x
−5 0 5−5
0
5
← y = −x
−5 0 50
5
10
15
20
25
← y = x2
Figure: Grafik Fungsi
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Diketahui f (x) = x−1x+2
Apakah f mempunyai invers
Jika ada maka tentukan inversnya
Jawab
f′
(x) = 1(x+2)−1(x−1)(x+2)2 = 3
(x+2)2 > 0,∀x ∈ Df
Karena f selalu naik (monoton murni) maka f mempunyaiinvers.
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Diketahui f (x) = x−1x+2
Apakah f mempunyai invers
Jika ada maka tentukan inversnya
Jawab
f′
(x) = 1(x+2)−1(x−1)(x+2)2 = 3
(x+2)2 > 0,∀x ∈ Df
Karena f selalu naik (monoton murni) maka f mempunyaiinvers.
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Diketahui f (x) = x−1x+2
Apakah f mempunyai invers
Jika ada maka tentukan inversnya
Jawab
f′
(x) = 1(x+2)−1(x−1)(x+2)2 = 3
(x+2)2 > 0,∀x ∈ Df
Karena f selalu naik (monoton murni) maka f mempunyaiinvers.
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Diketahui f (x) = x−1x+2
Apakah f mempunyai invers
Jika ada maka tentukan inversnya
Jawab
f′
(x) = 1(x+2)−1(x−1)(x+2)2 = 3
(x+2)2 > 0,∀x ∈ Df
Karena f selalu naik (monoton murni) maka f mempunyaiinvers.
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Diketahui f (x) = x−1x+2
Apakah f mempunyai invers
Jika ada maka tentukan inversnya
Jawab
f′
(x) = 1(x+2)−1(x−1)(x+2)2 = 3
(x+2)2 > 0,∀x ∈ Df
Karena f selalu naik (monoton murni) maka f mempunyaiinvers.
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Jawab
Misalkan y = x−1x+2 , x 6= −2
xy + 2y = x − 1⇔ xy − x = −2y − 1⇔ x = −2y−1
y−1
f−1(y) = −2y−1y−1
f−1(x) = −2x−1x−1
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Jawab
Misalkan y = x−1x+2 , x 6= −2
xy + 2y = x − 1⇔ xy − x = −2y − 1⇔ x = −2y−1
y−1
f−1(y) = −2y−1y−1
f−1(x) = −2x−1x−1
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Tidak Mempunyai Invers
Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerahasalnya dapat dibuat mempunyai invers dengan caramembatasi daerah asalnya.
Contoh
f (x) = x2
Untuk x ∈ R, f−1 tidak ada.Agar mempunyai invers maka dibatasi daerah asalanya.Sehingga untuk x > 0, maka f−1 ada, dan untuk x < 0, makaf−1 ada.
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Tidak Mempunyai Invers
Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerahasalnya dapat dibuat mempunyai invers dengan caramembatasi daerah asalnya.
Contoh
f (x) = x2
Untuk x ∈ R, f−1 tidak ada.Agar mempunyai invers maka dibatasi daerah asalanya.Sehingga untuk x > 0, maka f−1 ada, dan untuk x < 0, makaf−1 ada.
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik Fungsi Invers
Titik (x , y) terletak pada grafik fTitik (y , x) terletak pada grafik f−1
Titik (x , y) dan Titik (y , x) simetri terhadap garis y = xSehingga Grafik f dan f−1 simetri terhadap garis y = x
Figure: Grafik Fungsi InversAhmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Turunan Fungsi Invers
Teorema
Misalkan fungsi f monoton murni dan mempunyai turunan padaselang I. Jika f−1 6= 0, x ∈ I maka f−1 dapat diturunkan diy = f (x) danf−1′(y) = 1
f ′(x)
Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai dxdy = 1
dy/dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Turunan Fungsi Invers
Teorema
Misalkan fungsi f monoton murni dan mempunyai turunan padaselang I. Jika f−1 6= 0, x ∈ I maka f−1 dapat diturunkan diy = f (x) danf−1′(y) = 1
f ′(x)
Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai dxdy = 1
dy/dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Diketahui f (x) = x5 + 2x + 1 tentukan (f−1)′(4).
Jawab
f ′(x) = 5x4 + 2, y = 4 jika dan hanya jika x = 1(f−1)′(4) = 1
f ′(1) = 17
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Diketahui f (x) = x5 + 2x + 1 tentukan (f−1)′(4).
Jawab
f ′(x) = 5x4 + 2, y = 4 jika dan hanya jika x = 1(f−1)′(4) = 1
f ′(1) = 17
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Logaritma Asli (y = ln(x))
1 Fungsi Logaritma Asli (ln) didefinisikan sebagai:
ln(x) =
∫ x
1
1t
dt , x > 0
2 Dengan Teorema Dasar Kalkulus, diperoleh:
Dx [ln(x)] = Dx(
∫ x
1
1t
dt) =1x
3 Secara umum, jika u = u(x) maka
Dx [ln(u)] = Dx(
∫ u(x)
1
1t
dt) =1u
dudx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Logaritma Asli (y = ln(x))
1 Fungsi Logaritma Asli (ln) didefinisikan sebagai:
ln(x) =
∫ x
1
1t
dt , x > 0
2 Dengan Teorema Dasar Kalkulus, diperoleh:
Dx [ln(x)] = Dx(
∫ x
1
1t
dt) =1x
3 Secara umum, jika u = u(x) maka
Dx [ln(u)] = Dx(
∫ u(x)
1
1t
dt) =1u
dudx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Logaritma Asli (y = ln(x))
1 Fungsi Logaritma Asli (ln) didefinisikan sebagai:
ln(x) =
∫ x
1
1t
dt , x > 0
2 Dengan Teorema Dasar Kalkulus, diperoleh:
Dx [ln(x)] = Dx(
∫ x
1
1t
dt) =1x
3 Secara umum, jika u = u(x) maka
Dx [ln(u)] = Dx(
∫ u(x)
1
1t
dt) =1u
dudx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Logaritma Asli (y = ln(x))
1 Fungsi Logaritma Asli (ln) didefinisikan sebagai:
ln(x) =
∫ x
1
1t
dt , x > 0
2 Dengan Teorema Dasar Kalkulus, diperoleh:
Dx [ln(x)] = Dx(
∫ x
1
1t
dt) =1x
3 Secara umum, jika u = u(x) maka
Dx [ln(u)] = Dx(
∫ u(x)
1
1t
dt) =1u
dudx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Logaritma Asli
Contoh
Diketahuif (x) = ln(sin(4x + 2))
maka
f ′(x) =1
sin(4x + 2)Dx (sin(4x + 2))
=4cos(4x + 2)
sin(4x + 2)
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Integral Fungsi Logaritma Asli
Jika y = ln |x |, x 6= 0
y = ln(x), x > 0 → y ′ =1x
y = ln(−x), x < 0 → y ′ =−1−x
=1x
Jadi,d(ln |x |)
dx=
1x
, x 6= 0
Dari sini diperoleh∫ 1
x dx = ln |x | + C
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Sifat-Sifat Logaritma Asli
1
ln 1 = 0
2
ln(ab) = ln a + ln b
3
ln(a/b) = ln a − ln b
4
ln ar = r ln a
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Sifat-Sifat Logaritma Asli
1
ln 1 = 0
2
ln(ab) = ln a + ln b
3
ln(a/b) = ln a − ln b
4
ln ar = r ln a
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Sifat-Sifat Logaritma Asli
1
ln 1 = 0
2
ln(ab) = ln a + ln b
3
ln(a/b) = ln a − ln b
4
ln ar = r ln a
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Sifat-Sifat Logaritma Asli
1
ln 1 = 0
2
ln(ab) = ln a + ln b
3
ln(a/b) = ln a − ln b
4
ln ar = r ln a
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Sifat-Sifat Logaritma Asli
1
ln 1 = 0
2
ln(ab) = ln a + ln b
3
ln(a/b) = ln a − ln b
4
ln ar = r ln a
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Hitung∫ 4
0
x2
x3 + 2dx
Jawab
Misal u = x3 + 2 → du = 3x2dx → 1/3du = x2dx
∫
x2
x3 + 2dx =
∫
1u
du3
=13
∫
1u
du =13
ln |u| + c
=13
ln |x3 + 2| + cAhmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Hitung∫ 4
0
x2
x3 + 2dx
Jawab
Misal u = x3 + 2 → du = 3x2dx → 1/3du = x2dx
∫
x2
x3 + 2dx =
∫
1u
du3
=13
∫
1u
du =13
ln |u| + c
=13
ln |x3 + 2| + cAhmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Lanjut....
sehingga∫ 4
0
x2
x3 + 2dx
=
(
13
ln |x3 + 2|)4
0
=13(ln 66 − ln 2)
=13
ln 33
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik Fungsi Logaritma Asli
1
f (x) = ln(x) =
∫ x
1
1t
dt , x > 0
2
f ′(x) =1x
> 0,∀x ∈ Df
f selalu monoton naik pada Df
3 f ′′(x) = −1x2 < 0,∀x ∈ Df Grafik selalu cekung kebawah
4
f (1) = 0
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik Fungsi Logaritma Asli
1
f (x) = ln(x) =
∫ x
1
1t
dt , x > 0
2
f ′(x) =1x
> 0,∀x ∈ Df
f selalu monoton naik pada Df
3 f ′′(x) = −1x2 < 0,∀x ∈ Df Grafik selalu cekung kebawah
4
f (1) = 0
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik Fungsi Logaritma Asli
1
f (x) = ln(x) =
∫ x
1
1t
dt , x > 0
2
f ′(x) =1x
> 0,∀x ∈ Df
f selalu monoton naik pada Df
3 f ′′(x) = −1x2 < 0,∀x ∈ Df Grafik selalu cekung kebawah
4
f (1) = 0
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik Fungsi Logaritma Asli
1
f (x) = ln(x) =
∫ x
1
1t
dt , x > 0
2
f ′(x) =1x
> 0,∀x ∈ Df
f selalu monoton naik pada Df
3 f ′′(x) = −1x2 < 0,∀x ∈ Df Grafik selalu cekung kebawah
4
f (1) = 0
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik Fungsi Logaritma Asli
1
f (x) = ln(x) =
∫ x
1
1t
dt , x > 0
2
f ′(x) =1x
> 0,∀x ∈ Df
f selalu monoton naik pada Df
3 f ′′(x) = −1x2 < 0,∀x ∈ Df Grafik selalu cekung kebawah
4
f (1) = 0
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik Fungsi Logaritma Asli
Figure: Grafik Fungsi Logaritma AsliAhmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Eksponen Asli (y = ex)
Fungsi logaritma asli merupakan fungsi monoton murni,sehingga mempunyai invers. Invers dari fungsi logaritma aslidisebut fungsi eksponen asli. Jadi berlaku hubungan
y = exp(x) ⇔ x = ln(y)
sehingga
y = exp(ln(y))
danx = ln(exp(x))
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Eksponen Asli
Definisi
Bilangan e adalah bilangan real positif yang bersifat ln(e) = 1.
Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh
er = exp(
ln(
er)) = exp(r ln(e)) = exp(r)
Sehingga exp(x) = ex
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Eksponen Asli
Definisi
Bilangan e adalah bilangan real positif yang bersifat ln(e) = 1.
Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh
er = exp(
ln(
er)) = exp(r ln(e)) = exp(r)
Sehingga exp(x) = ex
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Turunan dan Integral Fungsi Eksponen Asli
Turunan
y = ex ⇔ x = ln(y)⇒ dx
dy = 1y
⇒ dydx = 1
dxdy
= y = ex
sehingga Dx (ex) = ex
Secara umum Dx (eu(x)) = euu′
Integral
Sehingga∫
exdx = ex + C
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Turunan dan Integral Fungsi Eksponen Asli
Turunan
y = ex ⇔ x = ln(y)⇒ dx
dy = 1y
⇒ dydx = 1
dxdy
= y = ex
sehingga Dx (ex) = ex
Secara umum Dx (eu(x)) = euu′
Integral
Sehingga∫
exdx = ex + C
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik Fungsi Eksponen Asli
Karena fungsi eksponen asli merupakan invers dari fungsilogaritma asli, maka grafi fungsi eksponen asli diperolehdengan cara mencerminkan grafik fungsi logaritma asliterhadap garis y = x .
Figure: Grafik Fungsi Eksponen AsliAhmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Turunan
Tentukan Dx(e3x ln(x))= e3x ln(x)Dx(3x ln(x))= e3x ln(x)(3 ln(x) + 3)
Integral
Tentukan∫
e3x
x2 dx
Misal u = 3x ⇒ du = −3
x2 dx ⇒ 1x2 dx = −1
3 du
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Turunan
Tentukan Dx(e3x ln(x))= e3x ln(x)Dx(3x ln(x))= e3x ln(x)(3 ln(x) + 3)
Integral
Tentukan∫
e3x
x2 dx
Misal u = 3x ⇒ du = −3
x2 dx ⇒ 1x2 dx = −1
3 du
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Lanjut...
Integral
Sehingga∫
e3/x
x2 dx
∫
−13eudu = −1
3eu + c = −13e3/x + c
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Latihan
A. Tentukan y’
1. y = sec e2x − e2 sec x 6. y = ln(x2 − 5x + 6)
2. y = x5e−3 ln x 7. y = ln(cos 3x)
3. y = tan e√
x 8. y = ln xx2
4. y2e2x + xy3 = 1 9. y = ln(sin x)
5. ey = ln(x3 + 3y) 10. y = sin(ln(2x + 1))
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Latihan
B. Selesaikan Intergral Tak Tentu dibawah ini
1.∫ 4
2x+1dx 8.∫
e−x sec2(2 − e−x)dx
2.∫ ln2 3x
x dx 9.∫
(cos x)esin xdx3.
∫ x3
x2+1dx 10.∫
e2 ln xdx
4.∫ tan(ln x)
x dx 11.∫
x2e2x3dx
5.∫ 2
x(ln x)2 dx 12.∫ e2x
ex+3dx
6.∫ 4x+2
x2+x+5dx 13.∫ e3x
(1−2e3x )2 dx
7.∫
(x + 3)ex2+6xdx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Latihan
C. Selesaikan Integral Tentu dibawah ini
1.∫ 4
13
1−2x dx 6.∫ ln(2)
0 e(−3x)dx
2.∫ 4
1 √x(1+
√x)
dx 7.∫ 2
1e
3x
x2 dx
3.∫ ln(3)− ln(3)
ex
ex +4dx 8.∫ 2
0 xe4−x2dx
4.∫ ln(5)
0 ex (3 − 4ex)dx 9.∫ e2
edx
x(ln(x))2 dx
5.∫ 1
0 e2x+3dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Eksponen Umum (y = ax)
Fungsi f (x) = ax , a > 0, a 6= 1 disebut fungsi eksponen umum.Untuk x > 0, a 6= 1 dan x ∈ R, didefinisikan ax = ex ln(a)
Turunan dan Integral Fungsi Eksponen
Dx(ax ) = Dx(ex ln(a)) = ex ln(a) ln(a) = ax ln(a)Jika u = u(x), makaDx(au) = Dx(eu ln(a)) = eu ln(a) ln(a)u′ = auu′ ln(a)Dari sini diperoleh
∫
axdx =ax
ln(a)+ C, a 6= 1
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Eksponen Umum (y = ax)
Fungsi f (x) = ax , a > 0, a 6= 1 disebut fungsi eksponen umum.Untuk x > 0, a 6= 1 dan x ∈ R, didefinisikan ax = ex ln(a)
Turunan dan Integral Fungsi Eksponen
Dx(ax ) = Dx(ex ln(a)) = ex ln(a) ln(a) = ax ln(a)Jika u = u(x), makaDx(au) = Dx(eu ln(a)) = eu ln(a) ln(a)u′ = auu′ ln(a)Dari sini diperoleh
∫
axdx =ax
ln(a)+ C, a 6= 1
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Sifat-sifat Fungsi Eksponen Umum
Untuk a > 0,b > 0, x , y bilangan riil berlaku:1
axay = ax+y
2
ax
ay = ax−y
3 (ax )y = axy
4
(ab)x = axbx
5(a
b
)x=
ax
bx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Sifat-sifat Fungsi Eksponen Umum
Untuk a > 0,b > 0, x , y bilangan riil berlaku:1
axay = ax+y
2
ax
ay = ax−y
3 (ax )y = axy
4
(ab)x = axbx
5(a
b
)x=
ax
bx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Sifat-sifat Fungsi Eksponen Umum
Untuk a > 0,b > 0, x , y bilangan riil berlaku:1
axay = ax+y
2
ax
ay = ax−y
3 (ax )y = axy
4
(ab)x = axbx
5(a
b
)x=
ax
bx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Sifat-sifat Fungsi Eksponen Umum
Untuk a > 0,b > 0, x , y bilangan riil berlaku:1
axay = ax+y
2
ax
ay = ax−y
3 (ax )y = axy
4
(ab)x = axbx
5(a
b
)x=
ax
bx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Sifat-sifat Fungsi Eksponen Umum
Untuk a > 0,b > 0, x , y bilangan riil berlaku:1
axay = ax+y
2
ax
ay = ax−y
3 (ax )y = axy
4
(ab)x = axbx
5(a
b
)x=
ax
bx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Hitung turunan pertama dari f (x) = 32x+1 + 2sin 2x
Jawab
f ′(x) = (2)32x+1 ln 3 + (2)2sin 2x ln 2 cos 2x
Hitung∫
4x2xdx
Jawab
Misal u = x2 ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = 12du
∫
4x2xdx =
∫
4u du2 = 1
24u
ln4 + C = 4x2
2ln4 + C
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Hitung turunan pertama dari f (x) = 32x+1 + 2sin 2x
Jawab
f ′(x) = (2)32x+1 ln 3 + (2)2sin 2x ln 2 cos 2x
Hitung∫
4x2xdx
Jawab
Misal u = x2 ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = 12du
∫
4x2xdx =
∫
4u du2 = 1
24u
ln4 + C = 4x2
2ln4 + C
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Hitung turunan pertama dari f (x) = 32x+1 + 2sin 2x
Jawab
f ′(x) = (2)32x+1 ln 3 + (2)2sin 2x ln 2 cos 2x
Hitung∫
4x2xdx
Jawab
Misal u = x2 ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = 12du
∫
4x2xdx =
∫
4u du2 = 1
24u
ln4 + C = 4x2
2ln4 + C
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Hitung turunan pertama dari f (x) = 32x+1 + 2sin 2x
Jawab
f ′(x) = (2)32x+1 ln 3 + (2)2sin 2x ln 2 cos 2x
Hitung∫
4x2xdx
Jawab
Misal u = x2 ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = 12du
∫
4x2xdx =
∫
4u du2 = 1
24u
ln4 + C = 4x2
2ln4 + C
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik Fungsi Eksponen Umum
1 f (x) = ax , a > 0, Df = (−∞,∞)
2 f ′(x) =
{
ax ln a < 0, 0 < a < 1;
ax ln a > 0, a > 1;
f monoton naik jika a > 1f monoton turun jika 0 < a < 1
3 f ′′(x) = ax (ln a)2 > 0,∀x ∈ Dfgrafik f cekung keatas
4 f (0) = 1
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik Fungsi Eksponen Umum
1 f (x) = ax , a > 0, Df = (−∞,∞)
2 f ′(x) =
{
ax ln a < 0, 0 < a < 1;
ax ln a > 0, a > 1;
f monoton naik jika a > 1f monoton turun jika 0 < a < 1
3 f ′′(x) = ax (ln a)2 > 0,∀x ∈ Dfgrafik f cekung keatas
4 f (0) = 1
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik Fungsi Eksponen Umum
1 f (x) = ax , a > 0, Df = (−∞,∞)
2 f ′(x) =
{
ax ln a < 0, 0 < a < 1;
ax ln a > 0, a > 1;
f monoton naik jika a > 1f monoton turun jika 0 < a < 1
3 f ′′(x) = ax (ln a)2 > 0,∀x ∈ Dfgrafik f cekung keatas
4 f (0) = 1
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik Fungsi Eksponen Umum
1 f (x) = ax , a > 0, Df = (−∞,∞)
2 f ′(x) =
{
ax ln a < 0, 0 < a < 1;
ax ln a > 0, a > 1;
f monoton naik jika a > 1f monoton turun jika 0 < a < 1
3 f ′′(x) = ax (ln a)2 > 0,∀x ∈ Dfgrafik f cekung keatas
4 f (0) = 1
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik Fungsi Eksponen Umum
1 f (x) = ax , a > 0, Df = (−∞,∞)
2 f ′(x) =
{
ax ln a < 0, 0 < a < 1;
ax ln a > 0, a > 1;
f monoton naik jika a > 1f monoton turun jika 0 < a < 1
3 f ′′(x) = ax (ln a)2 > 0,∀x ∈ Dfgrafik f cekung keatas
4 f (0) = 1
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik Fungsi Eksponen Umum
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Logaritma Umum (y = a log x)
Fungsi eksponen umum monoton murni sehingga adainversnya. Invers dari fungsi eksponen umum disebut FungsiLogaritma Umum (logaritma dengan bilangan pokok a).Notasinya a log x , sehingga berlakuy = a log x ⇔ x = ay , a > 0, dan a 6= 1Dari hubungan ini didapatln x = ln ay = y ln a ⇒ y = ln x
ln a ⇒a log x = ln xln a
Turunan Fungsi Logaritma Umum
Dx(alog x) = Dx( ln xln a ) = 1
x ln a
Jika u = u(x), maka Dx (alog u) = Dx( ln uln a ) = u′
u ln a
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Tentukan turunan pertama dari f (x) =3 log(x2 + 1)
Jawab
3 log(x2 + 1) =ln(x2 + 1)
ln 3
⇒ f ′(x) =2x
x2 + 11
ln 3
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Tentukan turunan pertama dari f (x) =3 log(x2 + 1)
Jawab
3 log(x2 + 1) =ln(x2 + 1)
ln 3
⇒ f ′(x) =2x
x2 + 11
ln 3
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Tentukan turunan pertama dari f (x) =4 log(x+1x−1 )
Jawab
4 log(x + 1x − 1
) =ln(x+1
x−1)
ln 4
⇒ f ′(x) =1
ln 41
x+1x−1
Dx (x + 1x − 1
)
=1
ln 4x − 1x + 1
x − 1 − (x + 1)
(x − 1)2 =1
ln 4−2
(x + 1)(x − 1)
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Tentukan turunan pertama dari f (x) =4 log(x+1x−1 )
Jawab
4 log(x + 1x − 1
) =ln(x+1
x−1)
ln 4
⇒ f ′(x) =1
ln 41
x+1x−1
Dx (x + 1x − 1
)
=1
ln 4x − 1x + 1
x − 1 − (x + 1)
(x − 1)2 =1
ln 4−2
(x + 1)(x − 1)
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik Fungsi Logaritma Umum
Grafik fungsi logaritma umum diperoleh dengan mencerminkangrafik fungsi eksponen umum terhadap garis y = x
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Soal Latihan
A. Tentukan y ′ dari
1 y = 32x4−4x
2 y = 10 log(X 2 + 9)
3 x 3 log(xy) + y = 2
B. Hitung
1∫
105x−1dx
2∫
x 2x2dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Soal Latihan
A. Tentukan y ′ dari
1 y = 32x4−4x
2 y = 10 log(X 2 + 9)
3 x 3 log(xy) + y = 2
B. Hitung
1∫
105x−1dx
2∫
x 2x2dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Soal Latihan
A. Tentukan y ′ dari
1 y = 32x4−4x
2 y = 10 log(X 2 + 9)
3 x 3 log(xy) + y = 2
B. Hitung
1∫
105x−1dx
2∫
x 2x2dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Soal Latihan
A. Tentukan y ′ dari
1 y = 32x4−4x
2 y = 10 log(X 2 + 9)
3 x 3 log(xy) + y = 2
B. Hitung
1∫
105x−1dx
2∫
x 2x2dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Soal Latihan
A. Tentukan y ′ dari
1 y = 32x4−4x
2 y = 10 log(X 2 + 9)
3 x 3 log(xy) + y = 2
B. Hitung
1∫
105x−1dx
2∫
x 2x2dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Soal Latihan
A. Tentukan y ′ dari
1 y = 32x4−4x
2 y = 10 log(X 2 + 9)
3 x 3 log(xy) + y = 2
B. Hitung
1∫
105x−1dx
2∫
x 2x2dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Soal Latihan
A. Tentukan y ′ dari
1 y = 32x4−4x
2 y = 10 log(X 2 + 9)
3 x 3 log(xy) + y = 2
B. Hitung
1∫
105x−1dx
2∫
x 2x2dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Penggunaan Fungsi Logaritma Asli
Menghitung Turunan Fungsi Berpangkat Fungsi
Diketahui f (x) = (g(x))h(x)
Tentukan f ′(x) =?ln(f (x)) = h(x) ln(g(x))Dx(ln(f (x))) = Dx(h(x) ln(g(x)))f ′(x)f (x) = h′(x) ln(g(x)) + h(x)
g(x)g′(x)
f ′(x) =(
h′(x) ln(g(x)) + h(x)g(x)g′(x)
)
f (x)
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Penggunaan Fungsi Logaritma Asli
Menghitung Turunan Fungsi Berpangkat Fungsi
Diketahui f (x) = (g(x))h(x)
Tentukan f ′(x) =?ln(f (x)) = h(x) ln(g(x))Dx(ln(f (x))) = Dx(h(x) ln(g(x)))f ′(x)f (x) = h′(x) ln(g(x)) + h(x)
g(x)g′(x)
f ′(x) =(
h′(x) ln(g(x)) + h(x)g(x)g′(x)
)
f (x)
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Tentukan turunan fungsi f (x) = (sin x)4x
Jawab
Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsidengan menggunakan fungsi logaritma asli
ln(f (x)) = ln(sin x)4x = 4x ln(sin(x))
Turunkan kedua ruas Dx (ln f (x)) = Dx(4x ln(sin(x)))f ′(x)f (x) = 4 ln(sin(x)) + 4x
sin x cosx = 4 ln(sin(x)) + 4x cot x
f ′(x) = (4 ln(sin(x)) + 4x cot x) (sin x)4x
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Tentukan turunan fungsi f (x) = (sin x)4x
Jawab
Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsidengan menggunakan fungsi logaritma asli
ln(f (x)) = ln(sin x)4x = 4x ln(sin(x))
Turunkan kedua ruas Dx (ln f (x)) = Dx(4x ln(sin(x)))f ′(x)f (x) = 4 ln(sin(x)) + 4x
sin x cosx = 4 ln(sin(x)) + 4x cot x
f ′(x) = (4 ln(sin(x)) + 4x cot x) (sin x)4x
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Invers Trigonometri
Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidaksatu-satu, jika daerah asalnya dibatasi maka fungsi trigonometribisa dibuat menjadi satu-satu sehingga mempunyai invers.
a. Invers Fungsi Sinus
Diketahui f (x) = sin x , −π2 ≤ x ≤ π
2Karena pada −π
2 ≤ x ≤ π2 , f (x) = sin x monoton murni maka
inversnya ada.Invers dari fungsi sinus disebut arcus sinus,notasinya arc sin(x) atau sin−1(x). Sehingga berlakuy = sin x ⇔ x = sin−1 y
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Invers Trigonometri
Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidaksatu-satu, jika daerah asalnya dibatasi maka fungsi trigonometribisa dibuat menjadi satu-satu sehingga mempunyai invers.
a. Invers Fungsi Sinus
Diketahui f (x) = sin x , −π2 ≤ x ≤ π
2Karena pada −π
2 ≤ x ≤ π2 , f (x) = sin x monoton murni maka
inversnya ada.Invers dari fungsi sinus disebut arcus sinus,notasinya arc sin(x) atau sin−1(x). Sehingga berlakuy = sin x ⇔ x = sin−1 y
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Invers Trigonometri
Turunan dan Integral
Dari hubungan y = sin−1 x ⇔ x = sin y , −1 ≤ x ≤ 1,−π2 ≤ y ≤ π
2 dan rumus turunan fungsi invers diperolehdydx = 1
dx/dy = 1cos y = 1√
1−sin2 y= 1√
1−x2, |x | < 1 atau
Dx(sin−1 x) = 1√1−x2
Jika u = u(x), maka Dx (sin−1u) = u′√1−u2
Dari rumus turunan diperoleh∫
dx√1 − x2
= sin−1 x + C
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Invers Trigonometri
b. Invers Fungsi Cosinus
Fungsi f (x) = cos x , 0 ≤ x ≤ π monoton murni (selalu monotonturun) sehingga inversnya ada.Invers dari fungsi cosinusdisebut arcus cosinus, notasinya arc cos(x) atau cos−1(x).Sehingga berlakuy = cos−1 x ⇔ x = cos y
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Invers Trigonometri
Turunan dan Integral
Dari hubungan y = cos−1 x ⇔ x = cos y , −1 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ π dan rumus turunan fungsi invers diperolehdydx = 1
dx/dy = −1sin y = −1√
1−cos2 y= −1√
1−x2, |x | < 1 atau
Dx(cos−1 x) = −1√1−x2
Jika u = u(x), maka Dx (cos−1u) = −u′√1−u2
Dari rumus turunan diperoleh∫
dx√1 − x2
= − cos−1 x + C
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Dx(sin−1(x2)) = 1√1−(x2)2
Dx(x2) = 2x√1−x4
Dx(cos−1(tan x)) = −1√1−(tan x)2
Dx(tan x) = −sec2x√1−tan2 x
∫ 1√4−x2
dx =∫ 1q
4(1− X24 )
dx = 1/2∫ 1q
(1−( X2 )2
dx
Misalkan u = x/2 → du = 1/2dx → dx = 2du=
∫ 1√4−x2
dx = 1/2∫ 2√
1−u2du = sin−1 u +C = sin−1(x/2)+C
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Invers Trigonometri
c. Invers Fungsi Tangen
Dx(tan−1(x)) = 11+x2
Jika u = u(x), makaDx(tan−1u) = u′
1+u2
Dari rumus turunan diperoleh∫
dx1 + x2 = tan−1 x + C
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Hiperbolik
Definisi
a. Fungsi cosinus hiperbolik :
f (x) = cosh x =ex + e−x
2
b. Fungsi sinus hiperbolik :
f (x) = sinh x =ex − e−x
2
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Hiperbolik
Definisi
c. Fungsi tangen hiperbolik :
f (x) = tanh x =sinh xcosh x
=ex − e−x
ex + e−x
d. Fungsi cotangen hiperbolik :
f (x) = coth x =cosh xsinh x
=ex + e−x
ex − e−x
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Hiperbolik
Definisi
e. Fungsi secan hiperbolik :
f (x) = sechx =1
cosh x=
2ex + e−x
f. Fungsi cosecan hiperbolik :
f (x) = cschx =1
sinh x=
2ex − e−x
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Hiperbolik
Persamaan identitas pada fungsi hiperbolik
cosh x + sinh x = ex (1)
cosh x − sinh x = e−x (2)
Persamaan dan menjadi Persamaan
cosh2 x − sinh2 x = 1 (3)
1 − tanh2 x = sech2x (4)
coth2 x − 1 = csch2x (5)
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Fungsi Hiperbolik
Turunan dan Integral
Dx(cosh x) = Dx
(
ex+e−x
2
)
= ex−e−x
2 = sinh x ⇒∫
sinh xdx = cosh x + c
Dx(sinh x) = Dx
(
ex−e−x
2
)
= ex+e−x
2 = cosh x ⇒∫
cosh xdx = sinh x + cDx(tanh x)
= Dx(sinh xcosh x
) =cosh2 x − sinh2 x
cosh2 x=
1
cosh2 x= sech2x
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Lanjut...
Turunan dan Integral
Dx(coth x) = Dx (cosh xsinh x ) = sinh2 x−cosh2 x
sinh2 x
=−(cosh2 x − sinh2 x)
sinh2x=
−1
sinh2 x= −csch2x
Dx(sechx) = Dx ( 1cosh x ) = − sinh x
cosh2 x= −sechx tanh x
Dx(cschx) = Dx ( 1sinh x ) = − cosh x
sinh2 x= −cschx coth x
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik f (x) = cosh x
Diketahui1 f (x) = cosh x = ex+e−x
2 , x ∈ R
2 f ′(x) = ex−e−x
2f ′(x) > 0, x < 0, f monoton turun, danf ′(x) < 0, x > 0, f monoton naik
3 f ′′(x) = ex+e−x
2 > 0,∀x ∈ Rgrafik f selalu cekung keatas
4 f (0) = 1
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik f (x) = cosh x
Diketahui1 f (x) = cosh x = ex+e−x
2 , x ∈ R
2 f ′(x) = ex−e−x
2f ′(x) > 0, x < 0, f monoton turun, danf ′(x) < 0, x > 0, f monoton naik
3 f ′′(x) = ex+e−x
2 > 0,∀x ∈ Rgrafik f selalu cekung keatas
4 f (0) = 1
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik f (x) = cosh x
Diketahui1 f (x) = cosh x = ex+e−x
2 , x ∈ R
2 f ′(x) = ex−e−x
2f ′(x) > 0, x < 0, f monoton turun, danf ′(x) < 0, x > 0, f monoton naik
3 f ′′(x) = ex+e−x
2 > 0,∀x ∈ Rgrafik f selalu cekung keatas
4 f (0) = 1
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik f (x) = cosh x
Diketahui1 f (x) = cosh x = ex+e−x
2 , x ∈ R
2 f ′(x) = ex−e−x
2f ′(x) > 0, x < 0, f monoton turun, danf ′(x) < 0, x > 0, f monoton naik
3 f ′′(x) = ex+e−x
2 > 0,∀x ∈ Rgrafik f selalu cekung keatas
4 f (0) = 1
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik f (x) = cosh x
Diketahui1 f (x) = cosh x = ex+e−x
2 , x ∈ R
2 f ′(x) = ex−e−x
2f ′(x) > 0, x < 0, f monoton turun, danf ′(x) < 0, x > 0, f monoton naik
3 f ′′(x) = ex+e−x
2 > 0,∀x ∈ Rgrafik f selalu cekung keatas
4 f (0) = 1
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik f (x) = cosh x
−4 −2 0 2 40
2
4
6
8
10
12
Figure: Grafik Fungsi Cosinus Hiperbolik
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik f (x) = sinh x
Diketahui1 f (x) = sinh x = ex−e−x
2 , x ∈ R
2 f ′(x) = ex+e−x
2 > 0f selalu monoton naik
3 f ′′(x) = ex−e−x
2f ′′(x) > 0, x > 0, Grafik f selalu cekung keatasf ′′(x) < 0, x < 0, Grafik f selalu cekung kebawah
4 f (0) = 0
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik f (x) = sinh x
Diketahui1 f (x) = sinh x = ex−e−x
2 , x ∈ R
2 f ′(x) = ex+e−x
2 > 0f selalu monoton naik
3 f ′′(x) = ex−e−x
2f ′′(x) > 0, x > 0, Grafik f selalu cekung keatasf ′′(x) < 0, x < 0, Grafik f selalu cekung kebawah
4 f (0) = 0
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik f (x) = sinh x
Diketahui1 f (x) = sinh x = ex−e−x
2 , x ∈ R
2 f ′(x) = ex+e−x
2 > 0f selalu monoton naik
3 f ′′(x) = ex−e−x
2f ′′(x) > 0, x > 0, Grafik f selalu cekung keatasf ′′(x) < 0, x < 0, Grafik f selalu cekung kebawah
4 f (0) = 0
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik f (x) = sinh x
Diketahui1 f (x) = sinh x = ex−e−x
2 , x ∈ R
2 f ′(x) = ex+e−x
2 > 0f selalu monoton naik
3 f ′′(x) = ex−e−x
2f ′′(x) > 0, x > 0, Grafik f selalu cekung keatasf ′′(x) < 0, x < 0, Grafik f selalu cekung kebawah
4 f (0) = 0
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik f (x) = sinh x
Diketahui1 f (x) = sinh x = ex−e−x
2 , x ∈ R
2 f ′(x) = ex+e−x
2 > 0f selalu monoton naik
3 f ′′(x) = ex−e−x
2f ′′(x) > 0, x > 0, Grafik f selalu cekung keatasf ′′(x) < 0, x < 0, Grafik f selalu cekung kebawah
4 f (0) = 0
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Grafik f (x) = sinh x
−5 0 5−100
−50
0
50
100
Figure: Grafik Fungsi Sinus Hiperbolik
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Tentukan y’ dari1. y = tanh(x2 + 1)2. x2sinhx + y2 = 8
Jawab1 y ′ = sech2(x2 + 1)Dx(x2 + 1) = 2xsech2(x2 + 1)
2 Dx(x2 sinh x + y2) = Dx(8)2x sinh x + x2 cosh x + 2yy ′ = 0
y ′ = −2x sinh x + x2 cosh x2y
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Tentukan y’ dari1. y = tanh(x2 + 1)2. x2sinhx + y2 = 8
Jawab1 y ′ = sech2(x2 + 1)Dx(x2 + 1) = 2xsech2(x2 + 1)
2 Dx(x2 sinh x + y2) = Dx(8)2x sinh x + x2 cosh x + 2yy ′ = 0
y ′ = −2x sinh x + x2 cosh x2y
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Tentukan y’ dari1. y = tanh(x2 + 1)2. x2sinhx + y2 = 8
Jawab1 y ′ = sech2(x2 + 1)Dx(x2 + 1) = 2xsech2(x2 + 1)
2 Dx(x2 sinh x + y2) = Dx(8)2x sinh x + x2 cosh x + 2yy ′ = 0
y ′ = −2x sinh x + x2 cosh x2y
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Contoh
Tentukan y’ dari1. y = tanh(x2 + 1)2. x2sinhx + y2 = 8
Jawab1 y ′ = sech2(x2 + 1)Dx(x2 + 1) = 2xsech2(x2 + 1)
2 Dx(x2 sinh x + y2) = Dx(8)2x sinh x + x2 cosh x + 2yy ′ = 0
y ′ = −2x sinh x + x2 cosh x2y
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Latihan
A. Tentukan turunan pertama dari:
1 f (x) = tanh 4x2 g(x) = sinh2x3 g(x) = 1−cosh x
1+cosh x
4 h(t) = coth√
1 + t2
5 g(t) = ln (sinh t)6 f (x) = x cosh x2
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Latihan
A. Tentukan turunan pertama dari:
1 f (x) = tanh 4x2 g(x) = sinh2x3 g(x) = 1−cosh x
1+cosh x
4 h(t) = coth√
1 + t2
5 g(t) = ln (sinh t)6 f (x) = x cosh x2
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Latihan
A. Tentukan turunan pertama dari:
1 f (x) = tanh 4x2 g(x) = sinh2x3 g(x) = 1−cosh x
1+cosh x
4 h(t) = coth√
1 + t2
5 g(t) = ln (sinh t)6 f (x) = x cosh x2
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Latihan
A. Tentukan turunan pertama dari:
1 f (x) = tanh 4x2 g(x) = sinh2x3 g(x) = 1−cosh x
1+cosh x
4 h(t) = coth√
1 + t2
5 g(t) = ln (sinh t)6 f (x) = x cosh x2
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Latihan
A. Tentukan turunan pertama dari:
1 f (x) = tanh 4x2 g(x) = sinh2x3 g(x) = 1−cosh x
1+cosh x
4 h(t) = coth√
1 + t2
5 g(t) = ln (sinh t)6 f (x) = x cosh x2
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Latihan
A. Tentukan turunan pertama dari:
1 f (x) = tanh 4x2 g(x) = sinh2x3 g(x) = 1−cosh x
1+cosh x
4 h(t) = coth√
1 + t2
5 g(t) = ln (sinh t)6 f (x) = x cosh x2
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Latihan
A. Tentukan turunan pertama dari:
1 f (x) = tanh 4x2 g(x) = sinh2x3 g(x) = 1−cosh x
1+cosh x
4 h(t) = coth√
1 + t2
5 g(t) = ln (sinh t)6 f (x) = x cosh x2
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Referensi
Purcell, E. J dan Varberg, D. 1987. Kalkulus dan GeometriAnalitis,Jilid 1. Jakarta: Penerbit Airlangga.
Fungsi Transenden, MA1114 KALKULUS I. STTTelkom.
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Referensi
Purcell, E. J dan Varberg, D. 1987. Kalkulus dan GeometriAnalitis,Jilid 1. Jakarta: Penerbit Airlangga.
Fungsi Transenden, MA1114 KALKULUS I. STTTelkom.
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli
Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum
Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik
Referensi
Purcell, E. J dan Varberg, D. 1987. Kalkulus dan GeometriAnalitis,Jilid 1. Jakarta: Penerbit Airlangga.
Fungsi Transenden, MA1114 KALKULUS I. STTTelkom.
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
top related