ahmad basyir najwan jln. mr. cokrokusumo no.54 rt.015/005 ...Β Β· pembahasan : a. kita gunakan...
TRANSCRIPT
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 1
Kalimantanβs Phisics Competetion 2018
KalPhiCo 2018
Olimpiade SMA
Pembahasan Soal Tahap II
Number 1 : Analisa Grafik
Dua mobil A dan B bergerak melalui jalan yang sama dan berangkat dari titik awal yang
sama secara bersamaan. Kurva kecepatan π£ kedua mobil sebagai fungsi waktu π‘ diberikan
pada gambar di samping.
Tentukan:
a. persamaan jarak tempuh mobil A dan B sebagai fungsi dari waktu.
b. Jika setelah menempuh jarak 60 m mobil A melambat dengan besar perlambatan yang
sama dengan percepatan ketika awal perjalanan, kapan dan dimana mobil B berhasil
menyusul kembali mobil A?
Pembahasan :
a. Mobil A melakukan gerak lurus berubah beraturan dengan kecepatan awal π£π΄,0 =
2 m/s dan percepatan
π =Ξπ£
Ξπ‘=4 β 2
4 β 0=1
2 m/s
Kecepatan mobil A sebagai fungsi waktu adalah
π =ππ£
ππ‘=1
2
β« ππ£π£π΄(π‘)
π£π΄,0=2
= β«1
2ππ‘
π‘
0
π£π΄(π‘) β 2 =1
2π‘ βΉ π£π΄(π‘) = 2 +
1
2π‘
Jarak tempuh mobil A sebagai fungsi waktu adalah
π£π΄(π‘) =ππ₯π΄ππ‘
= 2 +1
2π‘
π£(m/s)
π‘(s) 4
2
4
mobil A
mobil B
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 2
β« ππ₯π΄
π₯π΄(π‘)
0
= β« (2 +1
2π‘) ππ‘
π‘
0
βΉ π₯π΄(π‘) = 2π‘ +1
4π‘2
Mobil B melakukan gerak lurus beraturan (percepatannya nol) dengan kecepatan
konstan π£π΅ = 4 m/s, maka jerak tempuh mobil B sebagai fungsi waktu adalah
π£π΅ =ππ₯π΅ππ‘
= 4
β« ππ₯π΅
π₯π΅(π‘)
0
= β« 4ππ‘π‘
0
βΉ π₯π΅(π‘) = 4π‘
b. Ketika mobil A mencapai jarak 60 meter berarti π‘ = 12 s (silahkan buktikan) dan saat
itu kecepatannya adalah 8 m/s (silahkan buktikan). Kemudian pada saat itu pula
mobil B telah menempuh jarak 48 m. Posisi kedua mobil sekarang sebagai fungsi
waktu akan menjadi
π₯π΄(π‘) = π₯π΄,0β² + π£0,π΄
β² π‘β² +1
2ππ΄β² π‘β²
2= 60 + 8π‘β² β
1
4π‘β²2
π₯π΅(π‘) = π₯π΅,0β² + π£0,π΅
β² π‘β² +1
2ππ΅β² π‘β²
2= 48 + 4π‘β²
Saat kedua mobil bertemu, dia berada di posisi yang sama, misal terjadi saat π‘β² = π
π₯π΄(π) = π₯π΅(π)
60 + 8π β1
4π2 = 48 + 4π
1
4π2 β 4π β 12 = 0
π2 β 16π β 48 = 0
Dengan rumus kuadrat
π =β(β16) Β± β(β16)2 β 4(1)(β48)
2(1)
π =16 Β± β256 + 192
2
π =16 Β± β448
2=16 Β± 8β7
2
π = 8 Β± 4β7
π = 8 + 4β7 β 18,6 s atau π = β2,6 s
Solusi yang fisis adalah π = 18,6 s sedangkan π = β2,6 s bukanlah solusi yang
diharapkan, nilai negatif menandakan kejadian yang terjadi sebelum acuan kondisi
awal kita, yaitu π‘ = 12 s. Hal ini karena adanya perubahan arah percepatan pada
mobil A. Kita tahu dari grafik pada c bahwa setelah bertemu untuk pertama kalinya,
mobil A akan berada di depan mobil B sehingga ketika diperlambat, mobil A dan B
hanya akan berpapasan satu kali.
Jika dihitung dari saat awal, maka kedua mobil akan bertemu kembali saat
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 3
π = π‘ + π = 12 + 18,6 = 30,6 s
Posisi kedua mobil saat itu dihitung dari posisi awal adalah
π₯π΅(π) = π₯π΄(π) = 48 + 4(30,6 ) = 170,4 m
Number 2 : Tangga yang Meluncur
Sebuah tangga pejal homogen dengan massa π dan panjang π bersandar pada dinding
licin dan berada di atas lantai yang juga licin. Mula-mula tangga di sandarkan HAMPIR
menempel dengan dinding dan dalam keadaan diam. Setelah di lepas tangga itu pada
bagian atasnya merosot ke bawah, dan tangga bagian bawah bergerak ke kanan, seperti
ditunjukkan pada gambar di bawah.
Tentukan Kecepatan pusat massa dari tangga tersebut selama bergerak!
Pembahasan :
a. Kita gunakan definisi dari soal bahwa sudut antara tangga dan dinding adalah π.
Kecepatan pusat tangga berubah-ubah dan kita bisa menyatakannya sebagai fungsi
dari sudut π. Hal ini boleh dilakukan karena soal menanyakan kecepatan pusat massa
batang selama bergerak, sedangkan nilainya berubah-ubah, maka kita bisa
menyatakannya sebagai satu buah variabel yang berubah dan dalam hal ini kita pilih
π. Sebenarnya bisa juga kita nyatakan dalam variabel lain seperti tinggi titik sentuh
tangga dengan dinding, atau jarak titik sentuh tangga dengan lantai terhadap dinding,
namun bentuk yang cukup sederhana adalah ketika kita nyatakan sebagai fungsi π.
Soal ini lebih mudah kita kerjakan menggunakan Hukum Kekekalan Energi Mekanik
(yap betul, energi mekanik sistem kekal karena tidak ada gaya non konservatif yang
bekerja pada tangga, hal ini juga karena seluruh permukaan licin). Kita jadikan lantai
sebagai acuan energi potensial sama dengan nol, energi mekanik awal sistem adalah
πΈππ =1
2πππΏ
Kemudian kita tinjau energi tangga ketika sudah bergerak dan membentuk sudut π
terhadap dinding. Hal yang perlu diamati di sini adalah energi kinetik batang. Batang
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 4
memiliki komponen kecepatan pusat massa arah horizontal π£π₯ dan arah vertikal π£π¦
serta batang juga berotasi terhadap pusat massanya sendiri dengan kecepatan sudut
π. Sehingga energi tangga akan menjadi
πΈππ =1
2πππΏ cos π +
1
2π(π£π₯
2 + π£π¦2) +
1
2πΌπ2
Selanjutnya kita cari dulu hubungan π£π₯, π£π¦, dan π.
Dapat kita lihat bahwa ujung atas tangga hanya bergerak dalam arah vertikal dan
ujung bawah tangga hanya bergerak dalam arah vertikal. Kita tinjau gerak pusat
massa arah horizontal relatif terhadap ujung atas tangga akan kita dapatkan
π£π₯ =ππΏ
2cos π
Kemudian tinjau gerak pusat massa arah vertikal relatif terhadap ujung bawah tangga
akan kita dapatkan pula
π£π¦ =ππΏ
2sin π
Kita modifikasi menjadi
π£π₯2 + π£π¦
2 = (ππΏ
2cos π)
2
+ (ππΏ
2sin π)
2
=π2πΏ2
4
Juga kita tahu bahwa π£π₯2 + π£π¦
2 = π£2 adalah kecepatan pusat massa batang sehingga
π2 =4π£2
πΏ2
momen inersia batang terhadap pusat massanya adalah πΌ =1
12ππΏ2
πΈππ =1
2πππΏ cos π +
1
2ππ£2 +
1
2(1
12ππΏ2) (
4π£2
πΏ2)
πΈππ =1
2πππΏ cos π +
2
3ππ£2
Hukum Kekekalan Energi mekanik
πΈππ = πΈππ
π£π₯
π£π¦
π£π΄
π£π΅ π π
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 5
1
2πππΏ =
1
2πππΏ cos π +
2
3ππ£2
1
2ππΏ(1 β cos π) =
2
3π£2
π£2 =4ππΏ
3(1 β cos π) βΉ π£ = β
3ππΏ
4(1 β cos π)
Number 3 : Sistem Katrol dan Dua Silinder Pejal
Pada sistem di bawah ini, benda berupa silinder dengan jari-jari luar π , jari-jari dalam π
terletak pada bidang miring. Sedangkan massa yang tergantung adalah silinder yang juga
berjari-jari π. Abikan massa katrol pada bidang miring. Gunakan momen inersia silinder
1/2 ππ 2. Tinjau kasus bidang miring licin. Tentukan percepatan π terhadap bumi.
Pembahasan :
Perhatikan gambar di bawah ini!
Percepatan pusat massa silinder π terhadap tanah adalah ππ
Percepatan sudut silinder π terhadap tanah adalah πΌπ
Percepatan pusat massa silinder π terhadap tanah adalah ππ
Percepatan sudut silinder π terhadap tanah adalah πΌπ
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
ππ
ππ
π π
ππ
π
πΌπ
πΌπ
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 6
Hukum II Newton Untuk gerak silinder π
Translasi
ππ sin π β π = πππβ¦(1)
Rotasi
ππ =1
2ππ 2πΌπ βΉ π =
1
2πππ 2πΌπβ¦(2)
Hukum II Newton Untuk gerak silinder π
Translasi
ππ β π = πππβ¦(3)
Rotasi
ππ =1
2ππ2πΌπ βΉ π =
1
2πππΌπ β¦(4)
Jika diperhatikan percepatan silinder π adalah percepatan tali ditambah percepatan
pusat massa silinder π terhadap tali yang besarnya adalah πΌππ (silider π dapat dianggap
menggelinding tanpa silip pada tali). Sekarang berapa nilai percepatan tali. Kita amati
silinder π. Tali dipercepat ke kanan bawah sejajar bidang miring dengan percepatan ππ
namun juga dipercepat ke kiri atas sejajar bidang miring dengan percepatan πΌππ. Jika
kita asumsikan tali lebih cenderung bergerak ke kiri atas atau nilai πΌππ > ππ maka
percepatannnya adalah ππ‘πππ = πΌππ β ππ dan jika pun sebaliknya yaitu tali lebih
cenderung bergerak ke kanan bawah atau nilai πΌππ < ππ maka percepatannya adalah
ππ‘πππ = ππ β πΌππ. Jika kita hubungkan dengan percepatan silinder π akan menjadi
Untuk asumsi pertama πΌππ > ππ (arah percepatan tali searah dengan percepatan
silinder π)
ππ = πΌππ + ππ‘πππ = πΌππ + πΌππ β ππ
Untuk asumsi kedua πΌππ < ππ (arah percepatan tali berlawanan arah dengan
percepatan silinder π)
ππ = πΌππ β ππ‘πππ = πΌππ β (ππ β πΌππ) = πΌππ + πΌππ β ππ
Dan hasilnya sama saja, jadi dapat kita simpulkan hubungan antar percepatannya adalah
ππ = πΌππ + πΌππ β ππ β¦(5)
Subtitusi persamaan (4) ke (3)
ππ β1
2πππΌπ = πππ βΉ πΌππ = 2π β 2ππβ¦(6)
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 7
Subtitusi persamaan (2) ke (3)
ππ β1
2πππ 2πΌπ = πππ βΉ πΌππ =
2ππ2
ππ 2(π β ππ)β¦ (7)
Kurangkan persamaan (1) dengan (3)
ππ sin π β π = πππππ β π = πππ
(π sin π β π)π = πππ βπππβ
ππ =(π sin π βπ)π +πππ
πβ¦(8)
Subtitusi persamaan (6), (7), dan (8) ke (5)
ππ = 2π β 2ππ +2ππ2
ππ 2(π β ππ) β
(π sin π β π)π +ππππ
ππ 2ππ = 2ππ 2π β 2ππ 2ππ + 2ππ
2π β 2ππ2ππ β (π sin π β π)π 2π βππ 2ππ
ππ 2ππ + 2ππ 2ππ + 2ππ
2ππ +ππ 2ππ = 2ππ
2π + 2ππ2π β (π sin π β π)π 2π
[3ππ 2 +π(2π2 + π 2)]ππ = [π(2π2 + π 2) + (2 β sin π)ππ 2]π
ππ =π(2π2 + π 2) + (2 β sin π)ππ 2
3ππ 2 +π(2π2 + π 2)π
Number 4 : Osilasi Sistem Dua Massa Dengan Gaya Gravitasi sebagai Gaya Pemulihnya
Tinjau sebuah sistem terisolasi yang terdiri dari 2 benda, π1
dan π2. Dalam sistem ini gaya gravitasi lain dari benda lain
di luar sistem dapat diabaikan. Massa π1 terpasang pada tali
tak bermassa sepanjang d dan membentuk sebuah bandul
yang dipasang tetap pada titik O. Massa π1 hanya
mengalami gaya gravitasi dengan bola homogen bermassa
π2 berjari-jari π yang posisinya tetap dimana pusat bola
berjarak πΏ dari titik O. Nilai πΏ hanya sedikit lebih besar dari
π + π . Sudut antara tali dan garis vertikal yang melalui titik
O adalah π, dimana diasumsikan π kecil. Tentukan periode
osilasi π1.
Petunjuk : kita bisa menyelesaikan soal ini dengan metode energi maupun metode gaya.
Pembahasan :
Cara 1 : Metode Gaya
Karena gerak massa π1 berayun, kita akan lebih mudah menentukan persamaan
geraknya dengan meninjau gerak rotasinya. Torsi pemulih yang bekerja pada massa π1
π π
πΏ π1
π
π2
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 8
diberikan oleh gaya gravitasi akibat adanya bola π2 dan arah gaya ini selalu menuju pusat
bola π2. Perhatikan gambar di bawah ini!
Gaya gravitasi bekerja pada massa π1adalah
πΉπ =πΊπ1π2
π 2
Menggunakan hukum dua neton tentang gerak rotasi akan kita dapatkan
πΉπ sin(π + π)π = π1π2πΌ
πΊπ2
ππ 2(sin π cosπ + sinπ cos π) = πΌβ¦ (1)
Perhatikan lagi gambar di atas, kita bisa mendapatkan nilai π dengan menggunakan
phytagoras
π 2 = (πΏ β π cos π)2 + π2 sin2 π
π 2 = πΏ2 β 2πΏπ cos π + π2 cos2 π + π2 sin2 π
π 2 = πΏ2 β 2πΏπ cos π + π2(sin2 π + cos2 π)
π 2 = πΏ2 β 2πΏπ cos π + π2
Dengan menggunakan aturan dasar trigonometri akan kita dapatkan
sinπ =πππππ
ππππππ=π sin π
π
cosπ =π ππππππ
ππππππ=πΏ β π cos π
π
πΉπ sin(π + π)
πΉπ
π π
πΏ π1
π π2
π cos π
πΏ β π cos π
π π
π sin π
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 9
Karena kita asumsikan simpangan sudut π sangat kecil, kita bisa menggunakan hampiran
berikut
sin π β π dan cos π β 1, maka akan kita dapatkan
π 2 = πΏ2 β 2πΏπ + π2 = (πΏ β π)2
π = πΏ β π
sinπ =ππ
π
cosπ =πΏ β π
π
Subtitusi hasil ini ke persamaan (1)
πΊπ2
ππ 2(ππΏ β π
π +ππ
π ) = πΌ
πΊπ2πΏ
ππ 3π = πΌ
πΊπ2πΏ
π(πΏ β π)3π = πΌβ¦(2)
Perhatikan bahwa arah simpangan π adalah berlawanan arah jarum jam dari titik
setimbangnya sedangkan arah percepatan sudut nya searah jarum jam, berarti
percepatan sudut massa π1 adalah negatif(karena berlawanan arah) dari turunan kedua
simpangan sudutnya atau
πΌ = βπ2π
ππ‘2= βοΏ½ΜοΏ½
Subtitusi hasil ini ke persamaan dua dan kita akan dapatkan persamaan gerak harmonik
sederhana sistem
πΊπ2πΏ
π(πΏ β π)3π = βοΏ½ΜοΏ½
οΏ½ΜοΏ½ +πΊπ2πΏ
π(πΏ β π)3π = 0
Persamaan terakhir analog dengan persamaan umum gerak harmonik sederhana yang
berbentuk οΏ½ΜοΏ½ + π2π = 0, maka kecepatan sudut osilasi sistem adalah
π = βπΊπ2πΏ
π(πΏ β π)3
Dan periode osilasinya akan menjadi
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 10
π =2π
πβ π = 2πβ
π(πΏ β π)3
πΊπ2πΏ
Cara 2 : Metode Energi
Sebenarnya menggunakan cara energi untuk sistem ini akan lebih cepat namun
terkadang ada soal yang lebih mudah menggunakan cara gaya ataupun cara energi, jadi
kita harus bisa keduanya dan tentunya harus bisa memilih cara mana yang paling efisien.
Untuk menggunakan cara ini kita harus
tentukan energi total sistem terlebih dahulu.
Karena tidak ada gaya udara dan gaya luar
non-konservatif yang bekerja pada sistem,
maka energi total sistem kekal. Untuk
mendapatkan persamaan geraknya, kita cukup
menurun persaan energinya satu kali terhadap
waktu dan karena energi kekal atau konstan,
turunannya ini akan sama dengan nol. Baik
akan saya contohkan caranya.
Energi total sistem adalah energi
mekanik(πΈπ) yang terdiri dari energi
kinetik(πΈπΎ) dan energi potensial(πΈπ)nya.
πΈπ = πΈπ + πΈπΎ
πΈπ = βπΊπ1π2
π +1
2π1π
2 (ππ
ππ‘)2
π = (πΏ2 β 2πΏπ cos π + π2)12
πΈπ = βπΊπ1π2
(πΏ2 β 2πΏπ cos π + π2)12
+1
2π1π
2 (ππ
ππ‘)2
Turunan pertama energi sistem terhadap waktu sama dengan nol karena energi kekal
atau konstan atau bisa juga dikatakan energi sistem tidak berubah, sehingga
perubahannya nol.
π(πΈπ)
ππ‘= 0
π
ππ‘(β
πΊπ1π2
(πΏ2 β 2πΏπ cos π + π2)12
+1
2π1π
2 (ππ
ππ‘)2
) = 0
π π
πΏ π1
π π2
π cos π
πΏ β π cos π
π π
π sin π
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 11
π
ππ‘(βπΊπ1π2(πΏ
2 β 2πΏπ cos π + π2)β12 +
1
2π1π
2 (ππ
ππ‘)2
) = 0
1
2πΊπ1π2(πΏ
2 β 2πΏπ cos π + π2)β32 (2πΏπ sin π
ππ
ππ‘) +
1
2π1π
22ππ
ππ‘
π2π
ππ‘2= 0
πΊπ2πΏ
π(πΏ2 β 2πΏπ cos π + π2)32
sin π +π2π
ππ‘2= 0
Gunakan kembali pendekatan sin π β π dan cos π β 1
π2π
ππ‘2+
πΊπ2πΏ
π(πΏ2 β 2πΏπ + π2)32
π = 0
π2π
ππ‘2+
πΊπ2πΏ
π(πΏ β π)3π = 0
π = βπΊπ2πΏ
π(πΏ β π)3 dan π = 2πβ
π(πΏ β π)3
πΊπ2πΏ
Number 5 : Roket Berpindah Orbit
Sebuah roket bermassa total π mengelilingi bumi pada
low earth orbit berbentuk lingkaran dengan jari-jari orbit
π 1. Roket ini akan berpindah orbit menuju orbit menuju
orbit berjari jari π 2 > π 1 dengan cara mengubah bentuk
orbitnya dalam bentuk orbit elips seperti yang
ditunjukkan oleh garis tebal pada gambar disamping.
Manuver orbit ini dicapai dengan membuang bahan
bakar sebanyak Ξπ1 > 0 sehingga memberika laju Ξπ£1
searah kecepatan orbit pada orbit rendah. Kemudian
roket membuang lagi bahan bakar sebanyak Ξπ2 > 0
sehingga memberikan tambahan laju Ξπ£2 searah kecepatan orbit pada orbit tinggi. Laju
orbit roket untuk orbit rendah adalah π£π 1 . Bahan bakar roket memiliki laju buang
konstan π£πrelatif terhadap roket. Tentukan tambahan laju Ξπ£1 yang dibutuhkan untuk
mengubah orbit dari lingkaran berjari-jari π 1 menjadi elips (nyatakan dalam π£π 1 , π 1, π 2).
Pembahasan :
Kecepatan roket ketika berada di orbit π 1 adalah π£π 1. Dengan menggunakan persamaan
gaya sentripetal dimana gaya gravitasilah yang berperan sabagai gaya sentripetal di sini,
kita bisa menyatakan π£π 1 ulang sebagai berikut
πΉπΊ = πΉπ
π 2
π 1
π
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 12
πΊππ΅π
π 12 =
ππ£π 12
π 1
π£π 12 =
πΊππ΅π 1
β π£π 1 = βπΊππ΅π 1
Roket kemudian membuang bahan bakarnya sehingga kecepatannya bertambah dan
lintasan roket berubah menjadi elips. Ketika penambahan kecepatan ini terjadi, roket
berada di perihelium atau jarak terdekatnya dengan bumi yaitu π 1 dan kecepatannya di
sini adalah π£π. Planet terus bergerak sampai suatu ketika dia berada di aphelium atau
jarak terjauhnya dari bumi dalam lintasan elips ini yaitu π 2 dan kecepatannya di sini
adalah π£π . Kita bisa mencari π£π dan π£π dari hukum kekekalan momentum sudut dan
hukum kekekalan energi. Pada kasus gerak melingkar terhadap dengan gaya gravitasi
sebagai gaya sentripetalnya momentum sudut sistem akan kekal karena arah gaya
gravitasi dan jari-jarinya sejajar, karena torsi adalah perkalian silang antara keduanya
maka nilai torsi eksternal pada sistem bernilai nol. Alhasil momentum sudut sistem kekal.
Kita gunakan hukum kekekalan momentum sudut untuk keadaan perihelium dan
aphelium
πΏπ = πΏπ
(π β Ξπ1)π£ππ 2 = (π β Ξπ1)π£ππ 1
π£π =π 1π 2π£π
Kemudian kita gunakan hukum kekekalan energi untuk dua keadaan seperti sebelumnya
βπΊππ΅(π β Ξπ1)
π 2+1
2(π β Ξπ1)π£π
2 = βπΊππ΅(π β Ξπ1)
π 1+1
2(π β Ξπ1)π£π
2
1
2(π β Ξπ1) (
π 1π 2π£π)
2
β1
2(π β Ξπ1)π£π
2 = βπΊππ΅(π β Ξπ1)
π 1+πΊππ΅(π β Ξπ1)
π 2
π 12 β π 2
2
π 22 π£π
2 = 2πΊππ΅π 2 β π 1π 1π 2
(π 1 β π 2)(π 1 + π 2)
π 22 π£π
2 = 2πΊππ΅π 1 β π 2π 1π 2
π£π2 =
2π 2π 2 + π 1
πΊππ΅π 1
π£π = β2π 2
π 2 + π 1βπΊππ΅π 1
π£π = β2π 2
π 2 + π 1π£π 1
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 13
π£π =π 1π 2π£π =
π 1π 2β
2π 2π 2 + π 1
π£π 1
Penambahan kecepatan Ξπ£1 ketika orbit planet berubah dari orbit awal berjari-jari π 1
menjadi orbit elips adalah
Ξπ£1 = π£π β π£π 1 = β2π 2
π 2 + π 1π£π 1 β π£π 1
Ξπ£1 = π£π 1 (β2π 2
π 2 + π 1β 1)
Number 6 : Perbandingan Energi Kinetik Roda Luar dan Dalam
Sebuah mobil roda empat membelok pada suatu tikungan berbentuk lingkaran. Lintasan
tengah poros roda belakang membentuk lingkaran terhadap pusat tikungan tersebut
dengan jari-jari π . Panjang poros atau jarak antara kedua roda belakang adalah π». Massa
masing-masing roda belakang adalah π. Roda belakang dapat diasumsikan sebagai suatu
cakram dengan jari-jari π. Ambil nilai π = 10 meter, π» = 2 meter dan π = 0,5 meter.
Jika perbandingan energi kinetik total antara roda belakang luar dengan roda belakang
dalam adalah π, tentukan nilai π.
Pembahasan :
Misalkan
Kecepatan pusat massa dan kecepatan sudut roda belakang dalam π£1 dan π1
Kecepatan pusat massa dan kecepatan sudut roda belakang luar π£2 dan π2
Kecepatan sudut bagian tengah poros kedua roda belakang terhadap pusat lintasan Ο
Energi kinetik roda daalam adalah
πΈπΎ1 =1
2ππ£1
2 +1
2(1
2ππ2)π1
2
Gerakan roda adalah menggelinding tanpa slip maka akan berlaku
π£1 = π1π
πΈπΎ1 =3
4ππ2π1
2
Dengan cara yang sama energi kinetik roda luar adalah
πΈπΎ2 =3
4ππ2π2
2
Hubungan π1 dengan π
π£1 = π1π = π (π β1
2π») βΉ π1 =
2π β π»
2ππ
Hubungan π2 dengan π
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 14
π£2 = π2π = π (π +1
2π») βΉ π2 =
2π + π»
2ππ
Energi kinetik kedua roda menjadi
πΈπΎ1 =3
16π(2π β π»)2π
πΈπΎ2 =3
16π(2π + π»)2π
Perbandingan energi kinetik roda luar dan dalam adalah
πΈπΎ2πΈπΎ1
=
316π
(2π + π»)2π
316π
(2π β π»)2π
πΈπΎ2πΈπΎ1
= (2π + π»
2π β π»)2
Sampai disini, menurut kamu apakah hasil ini benar? So far, sebenarnya ada hal yang lupa
dipertimbangkan sehingga hasil ini tidak benar. Hasil tadi akan benar jika roda bukanlah
benda tegar, namun kenyataannya di sini, ukuran roda tidak bisa kita abaikan. So mari
kita tinjau ulang.
Gerakan roda belakang dalam dan luar sebenarnya adalah seperti berikut
Kita buat permisalan yang baru. Misalkan
Kecepatan sudut roda belakang luar terhadap pusat lintasan dan pusat massanya sendiri
adalah Ξ©1 dan π1
Kecepatan sudut roda belakang dalam terhadap pusat lintasan dan pusat massanya
sendiri adalah Ξ©2 dan π2
Kecepatan sudut bagian tengah poros kedua roda belakang terhadap pusat lintasan Ο
Energi kinetik roda belakang bagian luar dan dalam adalah
πΈπΎ1 =1
2πΌpl1Ξ©1
2 +1
2πΌpmπ1
2
πΈπΎ2 =1
2πΌpl2Ξ©2
2 +1
2πΌpmπ2
2
π π»
π§
π¦
π₯
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 15
Dengan πΌpm adalah momen inersia roda terhadap pusat massanya dan roda berputar
terhadap sumbu π§ sedangkan πΌpl1 dan πΌpl2 adalah momen inersia masing-masing roda
terhadap pusat lintasan.
πΌpm = πΌπ§ =1
2ππ2
Untuk menghitung πΌpl1 dan πΌpl2 kita hitung dulu momen inersia roda untuk rotasi pada
sumbu π¦ menggunakan teorema sumbu tegak lurus
πΌπ§ = πΌπ₯ + πΌπ¦
Karena roda simetri πΌπ₯ = πΌπ¦ maka
πΌπ¦ =1
2πΌπ§ =
1
4ππ2
Momen inersia roda luar dan dalam terhadap pusat lintasan dapat kita cari menggunakan
teorema sumbu sejajar
πΌpl1 = πΌπ¦ +π(π +1
2π»)
2
=1
4ππ2 +π(π +
1
2π»)
2
=1
4π[π2 + (2π + π»)2]
πΌpl2 = πΌπ¦ +π(π β1
2π»)
2
=1
4ππ2 +π(π β
1
2π»)
2
=1
4π[π2 + (2π β π»)2]
Hubungan π1, Ξ©1, dan π adalah
π1π = π (π +1
2π») βΉ π1 =
1
2π(2π + π»)π
Ξ©1 (π +1
2π») = π (π +
1
2π») βΉ Ξ©1 = π
Hubungan π2, Ξ©2, dan π adalah
π2π = π (π β1
2π») βΉ π2 =
1
2π(2π β π»)π
Ξ©2 (π β1
2π») = π (π β
1
2π») βΉ Ξ©2 = π
Energi kinetik roda belakang bagian luar akan menjadi
πΈπΎ1 =1
2(1
4π[π2 + (2π + π»)2])π2 +
1
2(1
2ππ2)
1
4π2(2π + π»)2π2
πΈπΎ1 =1
16π[2π2 + 3(2π + π»)2]π2
Dengan cara yang sama untuk roda belakang bagian dalam
πΈπΎ2 =1
16π[2π2 + 3(2π β π»)2]π2
Maka rasio energi kinetik roda belakang bagian luar dan dalam
π =πΈπΎ1πΈπΎ2
=
116π
[2π2 + 3(2π + π»)2]π2
116π
[2π2 + 3(2π β π»)2]π2
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 16
π =2π2 + 3(2π + π»)2
2π2 + 3(2π β π»)2
Dengan memasukkan nilai π = 10 m, π» = 2 m, dan π = 0,5 m akan kita dapatkan
π =2(0,5)2 + 3(2.10 + 2)2
2(0,5)2 + 3(2.10 β 2)2=1452,5
972,5= 1,49357326β¦
π = 1,49
Number 7 : Peluncur Barang
Gambar di bawah memperlihatkan sebuah peluncur barang (slipway) yang sangat
panjang, dan berbentuk bidang miring yang membentuk sudut π½ terhadap arah
mendatar. Bidang miring tersebut dilengkapi dengan sangat banyak roda (roller) identik,
dengan dua roda terdekat berada pada jarak π satu sama lain (lihat gambar). Semua roda
tersebut memiliki sumbu-sumbu rotasi mendatar dan merupakan silinder-slinder baja
pejal yang permukaannya diselubungi dengan lapisan karet yang tipis dan diabaikan
massanya. Masing-masing silinder tersebut bermassa π dan berjari-jari π. Sebilah papan
dengan massa π dan panjang jauh lebih besar daripada π, mulai dilepas dari puncak
peluncur barang tersebut. Abaikan gesekan udara dan gesekan pada poros-poros roda
tersebut. Tentukan kelajuan akhir (terminal speed) π£max papan tersebut.
Pembahasan :
Misalkan papan sudah bergerak sejauh π sepanjang bidang miring sampai akhirnya
antara roda dan papan tidak terjadi slip lagi. Penurunan energi potensial papan sebesar
πππ sin π½. Maka sebanyak π/π buah roda akan memiliki kecepatan linier permukaan
yang sama dengan kecepatan papan, yaitu π£max. Maka kecepatan sudut tiap roda yang
bergerak pada saat ini menjadi πmax = π£max/π.
Momen inersia tiap roda adalah
πΌ =1
2ππ2
Penurunan energi potensial papan ini diubah menjadi energi kinetik roda.
π
π½ π
π
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 17
πππ sin π½ =π
π
1
2πΌπmax
2
πππ sin π½ =π
π
1
2(1
2ππ2) (
π£maxπ)2
πππ sin π½ =π
π
1
4ππ£max
2β¦(1)
π£max = β4πππ sin π½
π
Sebenarnya hasil di atas salah, karena kita melupakan kalor yang ditimbulkan akibat
gesekan antara permukaan roda dan papan sebelum akhirnya papan mencapai kecepatan
terminal. Jadi sebenarnya soal ini agak sedikit rumit, namun tidak tidak terlalu rumit juga
sih. Okey kita cari dulu energi yang hilang sebagai kalor.
Misalkan ππ adalah gaya gesek kinetik antara permukaan papan dan roda. Dalam interval
waktu yang singkat Ξπ‘, akan terjadi perubahan momentum sudut pada tiap roda sebesar
πΌΞπ = πππΞπ‘
Dengan menjumlahkan semua perubahan momentum sudut roda, akan kita dapatkan
momentum sudut akhir roda (kecepatannya maksimum pada saat akhir ini)
πβππΞπ‘ = πΌπmax = πΌπ£maxπ
Usaha yang dilakukan gaya gesek kinetik ini pada selang Ξπ‘, akan memunculkan kalor
sebesar Ξπ dan besar usaha ini sama dengan gaya gesek kinetik di kalikan dengan besar
pergeseran relatif antara kedua permukaan tersebut
Ξπ = ππ(π£ β ππ)Ξπ‘
Dengan menjumlahkan semua kalor Ξπ akan kita dapatkan kalor yang ditimbulakn oleh
gesekan antara papan dengan sebuah roda
π =βΞπ
π =βππ(π£ β ππ)Ξπ‘
π =βπππ£Ξπ‘ ββππππΞπ‘
π =βππΞπ‘βπ£ β πΌβπΞπ
π =βππΞπ‘βππ β πΌβπΞπ
Ingat hubungan diferensial berikut
π(π2) = 2πππ
Karena selang waktu Ξπ‘ sangat singkat, kita bisa lakukan pendekatan
ππ β Ξπ dan π(π2) β Ξ(π2)
Ξ(π2) = 2πΞπ βΉ πΞπ =1
2Ξ(π2)
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 18
π = πβππΞπ‘β πΌπmax
βπβ πmax
βπΌ
2βΞ(π2)β πmax2
π = πΌπmax2 β
1
2πΌπmax
2
π =1
2πΌπmax
2 =1
2(1
2ππ2) (
π£maxπ)2
π =1
4ππ£max
2
Tambahkan faktor π ini pada persamaan (1) (ingat bahwa π adalah energi kinetik tiap
roda)
πππ sin π½ =π
π
1
4ππ£max
2 +π
ππ
πππ sin π½ =π
π
1
4ππ£max
2 +π
π
1
4ππ£max
2 βΉ π£max = β2πππ sin π½
π
Number 8 : Kapasitor dan Dielektrik
Sebuah kapasitor keping sejajar mempunyai luas lempeng π΄ terpisah sejauh π. Serta
tinggi π. Ruang di antara kapasitor berisi udara dengan permitivitas yang bisa dianggap
sama dengan ruang hampa yaitu π0. Kapasitor kemudian dihubungkan dengan sebuah
baterai yang memiliki tegangan π0. Kemudian baterai diputuskan, muatan pada kapasitor
dipertahankan tetap sebesar π0, kemudian sebuah lembaran dielektrik padat dengan
luas π΄ dan tebal π (dimana π <d) serta konstanta dielektrik πΎ1 disisipkan tepat di tengah
kapasitor. Hitung :
a. Muatan induksi pada dielektrik!
b. Medan listrik pada ruang diantara dielektrik dan plat!
c. Medan listrik pada dielektrik!
d. Beda potensial kapasitor setelah dielektrik di masukkan!
Pembahasan :
a. Medan listrik awal pada kapasitor sebelum ada dielektrik adalah
πΈ0 =π0π0=π0π΄π0
Ketika dielektrik dimasukkan, kapasitansi kapasitor akan meningkat namun medan
listrik total di dalamnya akan berkurang menjadi πΈ dimana
πΈ =πΈ0πΎ1
Pengurangan medan listrik ini terjadi karena adanya medan listrik dari dielektrik
yang melawan medan listrik awal (baca Fisika untuk Sains dan Teknik Jilid 2 oleh
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 19
Paul. A Tipler halaman 114). Maka medan listrik pada dielektrik adalah selisih πΈ dan
πΈ0.
πΈD = πΈ0 β πΈ
πΈD = πΈ0 (1 β1
πΎ1)
πindπ0
=π0π0(1 β
1
πΎ1) βΉ πind = π0 (1 β
1
πΎ1)
b. Medan listrik pada ruang di antara dielektrik dan plat sama dengan medan listrik awal
kapasitor
πΈ0 =π0π΄π0
c. Medan listirk pada dielektrik adalah
πΈD =π0
π΄πΎ1π0
d. Beda potensial pada kapasitor adalah
π = ββ« οΏ½βοΏ½ Μ. ππ = πΈ0(π β π) + πΈDπ
π = πΈ0(π β π) +πΈ0πΎ1π βΉ π =
π0π΄π0
[π β π (1 β1
πΎ1)]