92009-9-830271333124

Hiperbola –Univ.Mercubuana

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Sumardi, Hs. MATEMATIKA DASAR 1

MATEMATIKA DASAR

HIPERBOLA

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik

tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu itu disebut titik fokus. ( TF2 –TF1 = k )

13.1. Hiperbola yang mempunyai persamaan paling sederhana:

x2 - y2 = 1

Dari gambar diatas, titik O merupakan pusat hiperbola, titik F1 & F2 adalah fokus hiperbola,

titik puncak ( -a,0) & (a,0), panjang sumbu mayor = 2a dan panjang sumbu minor = 2b.

O(0,0)

xy xy Y

(1,0)

(0, -1)

( 0,1)

)

T (x,y)

F2(-√2,0)

F1 (√2,0)

X

(-1,0)

09



13.2. Persamaan Hiperbola

A. Persamaan Hiperbola yang berpusat di ( 0,0 )

1. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu x, persamaan hiperbolanya

adalah :

Dari gambar diatas, titik O merupakan pusat hiperbola, titik F1 & F2 adalah fokus hiperbola,

titik puncak ( -a,0) & (a,0), panjang sumbu mayor = 2a dan panjang sumbu minor = 2b.

Dengan : - a2 + b2 = c2

- Pusat ( 0,0 )

- Titik fokus F1( -c,0 ) & F2 ( c,0 )

- Titik puncak ( -a,0 ) & ( a,0 )

- Panjang sumbu mayor = 2a

- Panjang sumbu minor = 2b

- Persamaan asimptot : b

y xa

2 22 2 2 2 2 2

2 21

x yb x a y a b atau

a b

O

xa

by x

a

by Y

( a,0 )

( 0, -b

)

( 0,b)

)

T (x,y)

. F2 ( -c,0)

. F1 ( c,0)

X

(- a,0 )



- Persamaan direktriks : 2a

xc

- Eksentrisitas: c

ea

- Panjang lactus rectum 22b

a

2. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu y, persamaan hiperbolanya

adalah :

Y

(0,-a)

Dengan :

- Pusat O( 0,0 )

- Titik fokus F1( 0,-c ) & F2 ( 0,c )

- Titik puncak ( 0,-a ) & ( 0,a )



2 22 2 2 2 2 2

2 21

y xb y a x a b atau

a b

O

xb

ay x

b

ay Y

(b,0 )

( 0, -b

)

( 0,a)

)

T (x,y) F2 ( 0,-c)

F1 ( 0,c)

X

(-b,0 )



- Persamaan asimptot : a

y xb

- Persamaan direktriks : 2a

yc

Contoh 1 :

Diketahui persamaan hiperbola 1916

22

yx

, tentukan :

a. Koordinat titik puncak

b. Koordinat titik fokus

c. Persamaan asimptot

d. Persamaan direktriks

e. Eksentrisitas

f. Panjang lactus rectum

Jawab :

Dari persamaan hiperbola

2 2

116 9

x y , diperoleh a2=16 a=4 dan b2=9 b=3

2 2 2 24 3 16 9 25 5c a b

a. koordinat titik puncak : ( - a, 0 ) = ( - 4,0) & ( a,0 ) = (4,0)

b. koordinat titik fokus : ( - c, 0 ) = ( -5,0 ) & ( c,0 ) = ( 5,0 )

c. persamaan asimptot : 3

4

by x x

a

d. persamaan direktriks :

2 24 16 13

5 5 5

ax

c

e. eksentrisitas : 5

4

ce

a

f. panjang lactus rectum

2 22 2.3 9 14

4 2 2

b

a



a.

b.

Contoh 2 :

Tentukan persamaan hiperbola yang puncaknya (0,3) & (0,-3) serta fokusnya (0,5)

& (0,-5).

Jawab :

Dari puncak (0,3) & (0,-3) diperoleh a=3, dari fokus (0,5) & (0,-5)

diperoleh c = 5.

2 2 2 25 3 25 9 16 4b c a

Jadi persamaan hiperbolanya adalah

2 2 2 2 2 2

2 2 2 21 1 1

3 4 9 16

y x y x y x

a b

O(0,0)

xy43 xy

43

Y

(4,0)

(0, -3)

( 0,3)

)

T (x,y)

F2(-5,0)

F1 (5,0)

X

(-4,0)



B. Persamaan hiperbola yang berpusat di P( α,β )

1. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu x, persamaan

hiperbolanya adalah :

Dengan :

- Pusat ( α,β )

- Titik fokus F1( α - c, β ) & F2 ( α + c, β )

- Titik puncak ( α - a, β ) & ( α + a, β )



- Persamaan asimptot : b

y xa

- Persamaan direktriks :

2ax

c

2. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu y, persamaan

hiperbolanya adalah :

2 2

2 21

x y

a b

2 2

2 21

y x

a b

P(α,β)

)( xa

by )( x

a

by Y

(α+ a,β)

( α,β -b )

( α,β+b)

T (x,y)

. F2 (α-c,β)

. F1 (α+ c,β)

X

(α- a,β)



Dengan :

- Titik Pusat ( α, β )

- Titik fokus F1( α , β - c ) & F2 ( α, β + c )

- Titik puncak ( α , β - a ) & ( α, β + a )



- Persamaan asimptot : a

y xb

- Persamaan direktriks :

2ay

c

Contoh 3 :

Diketahui persamaan hiperbola 2 24 3 24 18 27 0x y x y . Tentukan:

a. koordinat titik pusat

b. koordinat titik puncak

c. koordinat titik fokus

d. persamaan asimptot

e. persamaan direktriks

Jawab :

Nyatakan terlebih dahulu persamaannya ke dalam bentuk baku

2 2

2 21

x y

a b

Dari 2 24 3 24 18 27 0x y x y diperoleh

........................................................

2 24 6 3 6 27x x y y

2 22 24 3 3 3 3 3 27x y

.........................................................

2 2

4 3 36 3 3 27 27x y

........................................................

2 2

4 3 3 3 36x y

2 2

4 3 3 3 36x y



2 2

3 31

9 12

x y

Dari persamaan diatas, diperoleh 3 3dan , a2=9, maka a=3 dan b2=12,

maka b= 2 3 , 2 2 9 12 21c a b

c. Koordinat titik pusat ( α, β )=(-3,3)

d. Koordinat titik puncak ( α - a, β )=( -3-3, -3 )=( -6,-3 ) & ( α + a, β )=( -3+3,-3 )=(0,-3)

e. Koordinat titik fokus : F1( α - c, β )=( -3- 21 ,3 ) & F2 ( α + c, β )=( -3+ 21 , 3 )

f. Persamaan asimptot : 2 3

3 33

by x y x

a

g. Persamaan direktriks :

2 23 9 33 3 3 21

721 21

ax x x x

c



SOAL-SOAL LATIHAN

1. Tentukan koordinat titik pusat, koordinat titik fokus, koordinat titik puncak dan

persamaan asimptot dari persamaan hiperbola berikut. Gambarlah grafiksnya

a.

2 2

1144 25

x y

Jawab :

Grafiks

b. 2 29 4 36x y

Jawab :

Grafiks

c.

2 22 1

116 4

y x

Jawab :

Grafiks



d. 2 24 9 8 18 41 0x y x y

Jawab :

Grafiks

2. Tentukan persamaan hiperbola yang memenuhi ketentuan berikut :

a. Titik fokus : (8,0) dan (-8,0); titik puncak

(6,0) dan (-6,0)

Jawab :

Grafiks

b. Titik fokus : (3,0) dan (-3,0); persamaan

asimptot 2y x .

Jawab :

Grafiks



c. Titik puncak : (6,0) dan (-6,0);

persamaan

asimptot 1

2y x

Jawab :

Grafiks

SOAL TES FORMATIF !

1. Tentukan koordinat titik pusat, koordinat titik fokus, koordinat titik puncak dan persamaan

asimptot dari persamaan hiperbola berikut :

a.

22 61

4 8

yx

Jawab :

b.

2 25 3

120 16

x y



c. 2 24 56 2 191 0x y x y

Jawab :

d. 2 24 9 16 18 29 0y x y x

Jawab :

2. Tentukan persamaan hiperbola, jika diketahui hal-hal berikut ini :

a. Pusat (3,-5); puncak di (7,5) dan

fokusnya di (8,-5)

Jawab :

b. Pusat (-2,-1);salah satu fokusnya di titik

(-2,14) dan direktriksnya pada garis 5y = -53

Jawab :

92009-9-830271333124

Documents