86538396-contoh-soal-minimasi-menggunakan-metode-m_2.pdf
DESCRIPTION
86538396-Contoh-Soal-Minimasi-Menggunakan-Metode-m_2.pdf86538396-Contoh-Soal-Minimasi-Menggunakan-Metode-m_2.pdf86538396-Contoh-Soal-Minimasi-Menggunakan-Metode-m_2.pdf86538396-Contoh-Soal-Minimasi-Menggunakan-Metode-m_2.pdf86538396-Contoh-Soal-Minimasi-Menggunakan-Metode-m_2.pdf86538396-Contoh-Soal-Minimasi-Menggunakan-Metode-m_2.pdf86538396-Contoh-Soal-Minimasi-Menggunakan-Metode-m_2.pdfTRANSCRIPT
CONTOH SOAL MINIMASI MENGGUNAKAN METODE M (Bag.2)
Perusahaan Maju Terus merencanakan untuk menginvestasikan uang paling banyak $ 1.200.000.
uang ini akan ditanamkan pada 2 buah cabang usaha yaitu P dan Q. setiap unit P memerlukan
uang sebesar $50 dan dapat memberikan rate of return per unitnya per tahun sebesar 10%
sedangkan untuk setiap unit Q memerlukan uang sebesar $100, namun memberikan rate of return
per unit per tahunnya sebesar 4%. Perusahaan tersebut telah mempertimbangkan bahwa target
rate of return dari kedua usaha tersebut paling sedikit adalah $60.000 per tahunnya.
Kemudian hasil analisis perusahaan memperoleh data bahwa setiap unit P dan Q mempunyai
index risiko masing-masing 8 dan 3. Padahal perusahana ini tidak mau menanggung resiko yang
terlalu besar. Kebijakan lainnya yang diinginkan oleh pemimpin khususnya untuk cabang usaha
P ditargetkan paling sedikit jumlah investasinya adalah $3.0000.
Bagaimana penyelesaian persoalan diatas apabila perusahaan bermaksud untuk tetap melakukan
investasi tetapi dengan menekan atau meminimasi resiko sekecil mungkin. Berapa unit masing-
masing usaha dapat diinvestasikan ?(metode grafis dan metode simpleks)
JAWABAN
1. Metode Grafis
Fungsi Tujuan : z = 8x + 3y
Fungsi Pembatas : 50x + 100y ≤ 1.200.000
50x ≥ 3.000
5x + 4y ≥ 60.000
Grafisnya :
50x + 100y ≤ 1.200.000
50x + 100y = 1.200.000
Jika x = 0 maka y = 12.000, jadi koordinatnya (0,12.000)
Jika y = 0 maka x = 24.000, jadi koordinatnya (24.000,0)
50x ≥ 3.000
50x = 3.000
x = 60
5x + 4y ≥ 60.000
5x + 4y = 60.000
Jika x = 0 maka y = 15.000, jadi koordinatnya (0,15.000)
Jika y = 0 maka x = 12.000, jadi koordinatnya (12.000,0)
Jadi Solusi yang ditawarkan :
x y Z = 8x + 3y Keterangan
12.000 0 96.000
24.000 0 192.000
4.000 10.000 62.000 * Minimum
1. Metode Simpleks
Fungsi Tujuan : z = 8x + 3y
Fungsi Pembatas : 50x + 100y ≤ 1.200.000
50x ≥ 3.000
5x + 4y ≥ 60.000
Bentuk baku diperoleh dengan menambahkan variabel slack pada kendala
pertama, mengurangkan variabel surplus pada kendala kedua. Sehingga diperoleh
:
Minimumkan : Z = 8x + 3y + 0S1 + 0S2 + 0S3 +MA1 + MA2
50x + 100y + S1 = 1.200.000
50x - S2 + A1 = 3.000
5x + 4y – S3 + A2 = 60.000
Table Simpleks Awal
Basis X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 NK Rasio
Z 55M-8 4M-3 0 -M -M 0 0 63.000M S1 50 100 1 0 0 0 0 1.200.000 1.200.000:50=24.000
A1 50 0 0 -1 0 1 0 3.000 3.000:50 = 60
A2 5 4 0 0 -1 0 1 60.000 60.000 : 5 = 12.000
Iterasi Pertama
Basis X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 NK Rasio
Z 0 4M-3 0 0,1M-0,16 0 -1,1M+0,16 0 59.700M+480 S1 0 100 1 1 0 -1 0 1.197.000 11.970
X1 1 0 0 -0,02 0 0,02 0 60 A2 0 4 0 0,1 -1 -0,1 1 5700 1.425
Iterasi Kedua
Basis X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 NK
Z 0 0 0 -0,085 M-0,75 -M+0,085 -M+0,75 54.000M+4755
S1 0 0 1 -1,5 25 1,5 -25 1.054.500
X1 1 0 0 -0.02 0 0.02 0 60
X2 0 1 0 0,025 -0,25 -0,025 0,25 1425
Iterasi kedua adalah optimal karena koefisien pada persamaan Z semuanya non positif, dengan X1= 60, X2 = 1425 dan Z = 54.000M+4755
CONTOH SOAL DENGAN MENGGUNAKAN METODE SIMPLEKS
(TEKNIK M)
2. Persamaan matematis suatu program linier adalah sebagai berikut :
Minimasi : Z = 6X1 + 7,5X2
Dengan pembatas :
7X1 + 3X2 ≥ 210
6X1 + 12X2 ≥ 180
4X2 ≥ 120
X1, X2 ≥ 0
Carilah harga X1 dan X2 ?
JAWABAN
Pada kasus ini kita akan menggunakan metode simplex M (BIG – M), hal ini dikarenakan
pada kasus ini pertidk samaan pembatasnya menggunakan ≥ (lebih dari sama dengan).
Persamaan Tujuan : Z - 6x1 - 7,5X2 - 0S1 - 0S2 - 0S3 = 0 Baris 0
Persamaan Kendala : 7x1 + 3x2 - S1 +A1 = 210 Baris 1
6x1 + 12x2 - S2 +A2 = 180 Baris 2
4x2 - S3 + A3 = 120 Baris 3
Bagi kendala pertidaksamaan jenis ≤, maka variabel slack ditambahkan untuk menghabiskan
sumber daya yang digunakan dalam kendala. Cara ini tidak dapat diterapkan pada kendala
pertidaksamaan jenis ≥ dan kendala persamaan (=) persamaan diatas diperoleh karena tanda
≥ harus mengurangi variable surplus.
Untuk mengarahkan artifisial variabel menjadi nol, suatu biaya yang besar ditempatkan pada
A1, A2, dan A3 sehingga fungsi tujuannya menjadi :
Z = 6x1 + 7,5X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + MA1 + MA2 + MA3
Table simplex awal dibentuk dengan A1, A2, dan A3 sebagai variable basis, seperti table
berikut :
Basis X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK RASIO
Z 13M-6 19M-7,5 -M -M -M 0 0 0 510M A1 7 3 -1 0 0 1 0 0 210 210 : 3 = 70
A2 6 12 0 -1 0 0 1 0 180 180 : 12 = 15
A3 0 4 0 0 -1 0 0 1 120 120 : 4 = 30
Dari table diatas kita ketahui bahwa semua BFS belum optimal. Hal ini dikarenakan seluruh
NBV masih mempunyai koefisien yang berharga positif. Oleh karena itu Untuk x2 terpilih
sebagai entry variable karena x2 memiliki nilai koefisien positif yang paling besar, dan A3
menjadi Leaving Variable. Dan yang akan menjadi pivot adalah baris 2 karena memiliki rasio
paling kecil.
Langkah-langkah ERO Iterasi Pertama :
ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 1 pada baris 2
½ x1 + x2 - 1/12 S2 +
1/12 A2 = 15
ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 0
Z = 9/4 x1 + 0S1 +
15/24 S2 + 0S3 + MA1 + [ M -
15/24]A2 + MA3 + 112,5
ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 1
11/2 x1 + ¼ S2 + A1 -
1/4 A2= 165
ERO 4 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 3
-2x1 + 1/3 S2 - S3 -
1/3 A2 + A3 = 60
Konversi bentuk standard iterasi Pertama :
Z = 9/4 x1 + 0S1 +
15/24 S2 + 0S3 + MA1 + [ M -
15/24]A2 + MA3 + 112,5
11/2 x1 + ¼ S2 + A1 -
1/4 A2 = 165
-2x1 + 1/3 S2 - S3 -
1/3 A2 + A3 = 60
½ x1 + x2 - 1/12 S2 +
1/12 A2 = 15
Tabel Iterasi Pertama
Basis X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK RASIO
Z -13/2M-6 0 0 7/12 - 15/24 -M 0 1/24 - M 0 225M – 112,5 *
A1 11/2 0 0 1/4 0 1 -1/4 0 165 165 : 5,5 = 30
A3 -2 0 0 1/3 -1 0 -1/3 1 60 *
X2 ½ 1 0 -1/12 0 0 1/12 0 15 15 : 0,5 = 30
Pada fungsi tujuan masih terdapat variable dengan nilai koefisien positif, oleh karena itu
lakukan iterasi kedua.
Langkah-langkah ERO Iterasi Kedua:
ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 1 pada baris 1
x1 + 1/22 S2 +
2/11A1 -
1/22 A2 = 30
ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 0 pada baris 0
Z = 0S1 + 0,725 S2 + 0S3 + MA1 -0,4A1 + [ M – 0,725]A2 + MA3 + 180
ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 0 pada baris 2
0.5 A2 = 0
ERO 4 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 0 pada baris 3
0,39 S2 - S3 +0,36A1 + 0,21 A2 + A3 = 120
Konversi bentuk standard iterasi kedua :
Z = 0S1 + 0,725 S2 + 0S3 + [M -0,4]A1 + [ M – 0,725]A2 + MA3 + 180
x1 + 1/22 S2 +
2/11A1 -
1/22 A2 = 30
0.5 A2 = 0
0,39 S2 - S3 + 0,36A1 + 0,21 A2 + A3 = 120
Tabel Iterasi Kedua
Basis X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK
Z 0 0 0 -0,725 0 -M+0,4 -1/2M+0,725 M -180
x1 1 0 0 1/22 0 2/11 -1/22 0 30
A3 0 0 0 0 0 0 ½ 0 0
X2 0 0 0 0,39 -1 0,36 0,21 1 120
Iterasi kedua adalah optimum karena koefisien pada persamaan Z semuanya non positif,
dengan x1 = 30, x2 = 120 dan z=-180.
3. PT Unilever bermaksud membuat 2 jenis sabun, yakni sabun bubuk dan sabun batang. Untuk
itu dibutuhkan 2 macam zat kimia, yakni A dan B. jumlah zat kimia yang tersedia adalah
A=200Kg dan B=360Kg.
Untuk membuat 1Kg sabun bubuk diperlukan 2 Kg A dan 6 Kg B. untuk membuat 1 Kg
sabun batang diperlukan 5 Kg A dan 3 Kg B. bila keuntungan yang akan diperoleh setiap
membuat 1Kg sabun bubuk = $3 sedangkan setiap 1 Kg sabun batang = $2, berapa Kg jumah
sabun bubuk dan sabun batang yang sebaiknya dibuat ?
JAWABAN
Pemodelan matematika :
Maksimumkan : Z = 3x1 + 2x2
Pembatas : 2x1 + 5x2 = 200
6x1 + 3x2 = 360
Persamaan Tujuan : Z - 3x1 - 2x2 = 0 Baris 0
Persamaan Kendala : 2x1 + 5x2 + A1 = 200 Baris 1
6x1 + 3x2 + A2 = 360 Baris 2
Untuk mengarahkan artifisial variabel menjadi nol, suatu biaya yang besar ditempatkan pada
A1, A2, dan A3 sehingga fungsi tujuannya menjadi :
Z = 3x1 - 2X2 + MA1 + MA2
Basis x1 x2 A1 A2 NK Rasio
Z 8M-3 8M+2 0 0 560M
A1 2 5 1 0 200 200:5=40
A2 6 3 0 1 360 360:3=120
Dari table diatas kita ketahui bahwa semua BFS belum optimal. Hal ini dikarenakan belum
seluruhnya NBV mempunyai koefisien yang berharga positif. Oleh karena itu Untuk x2
terpilih sebagai entry variable karena x2 memiliki nilai koefisien negatif, dan A1 menjadi
Leaving Variable. Dan yang akan menjadi pivot adalah baris 1 karena memiliki rasio paling
kecil.
Langkah-langkah ERO Iterasi Pertama :
ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 1 pada baris 1
0,4x1 + x2 + 0,2A1 = 40
ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 0
Z = 3,8x1 + [M-0,4]A1 + MA2 - 80
ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 2
4,8x1 – 0,6A1 + A2 = 240
Konversi bentuk standard iterasi pertama :
Z = 3,8x1 + [M-0,4]A1 + MA2 - 80
0,4x1 + x2 + 0,2A1 = 40
4,8x1 – 0,6A1 + A2 = 240
Basis x1 x2 A1 A2 NK Rasio
Z 4,8M-3,8 0 0,4-0,4M 0 240M+80
X2 0,4 1 0,2 0 40
A2 4,8 0 0,6 1 240
Iterasi pertama adalah optimum karena koefisien pada persamaan Z semuanya positif,
dengan x1 = 40, x2 = 240 dan z=240M+80.
Contoh Soal:
Contoh Gambar Grafik Persoalan Program Linier dengan Microsoft Excel:
Memaksimumkan Z = 5000 X + 4000 Y
Fungsi Kendala:
a). 10 X + 15 Y <= 150
b). 20 X + 10 Y <= 160
c). 30 X + 10 Y >= 135
d). X – 3 Y <= 0
e). X + Y >= 6
dan X >= 0, Y >= 0
Berikut ini gambar grafiknya: