Matematika Ekonomi

Pertemuan 3

Pangkat, Akar, dan Logaritma

Banjar dan Deret

Pangkat

Fungsi berpangkat: suatu fungsi yang variabelnya berpangkat. (y = xa)

Fungsi eksponensial: suatu fungsi yang memiliki konstanta yang berpangkat variabel. (y = ax)

Kaidah-kaidah perpangkatan:1. am x an= am+n

2. am / an = am-n

3. (am)n = am.n

4. (am.bm)n = am.n.bm.n

5. (a / b)m = am / bm, untuk b≠06. 1 / am = a-m

Akar

Bentuk a1/n disebut akar pangkat n dari a dan disimbolkan n√a

Dalam bentuk umum, an/m dapat ditulis menjadi m√an

Kaidah-kaidah Akar:m√an = an/m

m√(a.b) = m√a . m√bm√a = a1/m

m√(a/b) = m√a / m√bm√(n√a) = m.n√a

Logaritma

Logaritma menunjukkan pangkat yang dimiliki oleh suatu basis sehingga bentuk perpangkatan itu nilainya sama dengan bilangan tertentu.

y = an untuk a > 0 dan a ≠ 1Maka n merupakan logaritma dari y dengan basis a atau ditulis:

n = alog y

Logaritma Brigg / Logaritma Persepuluhan (berbasis 10)10log x / log x

Logaritma Napier / Logaritma Alam (berbasis e; e=2,718)eln x / ln x

Kaidah-Kaidah Logaritma

• alog (x.y) = alog x + alog y• alog (x/y) = alog x – alog y• alog xr = r. alog x• anlog xr = r/n . alog x• mlog a / mlog b = blog a• alog b . blog x = alog x• alog b . blog a = 1 atau alog b = 1/ blog a• alog a = 1• alog 1 = 0

Latihan

1. Bentuk sederhana dari adalah …

2. Jika n bilangan bulat maka = …

3. Diketahui p = 16, q = 81, dan r = √8. Nilai dari

4. Nilai dari

5. Jika x > 0 dan y > 0, maka bentuk

senilai dengan ....

3

4

23

ab2

ba

3 n2 n

4 n4 n

83

83

3

2

4

3

2

1

r 3

qp

43 36 8 6 2

111

xy

yx

Latihan

6. Tentukan nilai dari:

a. 3log 243 b. 5log 3125

7. Hitunglah!

a. 2log 8 + 2log 16 b. 2log 128 – 2log 32

8. Tentukan nilai x jika:

a. 3log (x+1) = 2 b. 4log (5x-4) = 2

9. Hitunglah dengan menggunakan sifat-sifat logaritma:

a. 6log 12 + 6log 18 b. 9log 6 + 9log 27 – 9log 2

10. Jika log 3=0,477; log 4=0,602; dan log 6=0,778, hitung:

a. log 8 b. log 25

Banjar dan Deret

• Banjar : suatu fungsi yang wilayahnya merupakan himpunan bilangan alam. Setiap bilangan yang merupakan anggota suatu banjar dinamakan suku. Bentuk umum:

[an] = a1, a2, a3, …, an

Dimana: Suku ke 1 = S1 = a1

Suku ke 2 = S2 = a2

Suku ke 3 = S3 = a3

…Suku ke n = Sn = an

• Banjar yang tidak mempunyai akhir atau banyaknya suku tidak terbatas dinamakan banjar tak terhingga.

Banjar Hitung

• Banjar hitung (aritmetika): banjar yang antara dua suku berurutan memiliki selisih (b=beda) yang besarnya sama.

[an] = a1, a2, a3, …, an

akan disebut banjar hitung apabila:

a2 – a1 = b

a3 – a2 = b

a4 – a3 = b

an – an-1 = bContoh : [3n] = 3, 6, 9, 12, 15, …, 3n

b = Sn – Sn-1 = 3

Banjar Hitung

Rumus suku ke-n dalam banjar hitung:

Sn = an = a1 + (n-1)bDimana:

Sn = an = Suku ke-n

a1 = suku ke-1b = beda antar sukun = banyaknya suku

Banjar Ukur

• Banjar ukur (geometri): banjar yang antara dua suku berurutan mempunyai hasil bagi (r=rasio) yang sama besarnya.

[an] = a1, a2, a3, …, an

akan disebut banjar ukur apabila:

S2 / S1 = r

S3 / S2 = r

S4 / S3 = r

Sn / Sn-1 = rContoh: [5 . 2n-1] = 5, 10, 20, 40, …, 5(2n-1)

p = Sn / Sn-1 = 2

Banjar Ukur

Rumus suku ke-n dalam banjar ukur:

Sn = an = arn-1

Dimana:

Sn = an = Suku ke-n

a1 = suku ke-1

r = rasio antar suku berurutan

n = banyaknya suku

Banjar

• Banjar Harmoni: banjar yang sukunya merupakan kebalikan dari suku banjar hitung.

Contoh: 1/5n = 1/5, 1/10, 1/15, 1/20, …, 1/5n

Latihan Banjar

1. Carilah suku ke-10 dari banjar hitung: 3, 7, 11, 15, 19, ………………………..

2. Suku ke-3 dan suku ke-16 dari suatu banjar hitung adalah 13 dan 78. Tentukan suku pertama dan bedanya!

3. Carilah suku ke-21 dalam banjar hitung dimana suku ke-5 = 41 dan suku ke-11 = 23

4. Carilah suku ke-8 dari banjar ukur jika suku pertamanya 16 dan rasionya adalah 2.

5. Carilah suku ke-11 dalam suatu banjar ukur dimana suku ke-4 adalah 24 dan suku ke-9 adalah 768.

Deret

• Deret adalah jumlah dari suku-suku pada suatu banjar.

• Deret hitung: 1 + 2 + 3 + … + n

• Deret ukur: 5 + 10 + 20 + … + 5(2n-1)

• Deret harmoni: 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n

Deret Hitung (Aritmetika)

Dn = n/2 (a + Sn)

atau

Dn = n/2 (2a + (n-1)b)

Dimana Dn adalah deret ke-n atau jumlah sampai dengan suku ke-n

Deret Ukur (Geometri)

Dimana Dn adalah deret ke-n atau jumlah sampai dengan suku ke-n

Latihan Deret

1. Carilah jumlah sepuluh suku pertama dari banjar hitung: 3, 7, 11, 15, …………

2. Terdapat 60 suku dalam banjar hitung yang mana suku pertama adalah 9 dan suku terakhir adalah 127. Tentukan D60!

3. Carilah jumlah sampai dengan suku ke-8 yang pertama dari banjar ukur: 3, 6, 12, 24, ……………………….

4. Apabila suku ke-3 dan suku ke-7 dari suatu deret ukur masing-masing adalah 800 dan 204.800, berapakah suku pertama (a), rasio (r), suku ke-5 (S5), dan jumlah dari 5 suku pertama (D5)?

Aplikasi dalam Ekonomi

• Bunga PinjamanBunga pinjaman selama setahun atau kurang, sering dihitung dengan menggunakan cara yang sederhana, yaitu bunga yang hanya dikenakan pada jumlah pinjaman.

I = P . r . tDimana:I = besarnya bunga yang harus dibayarP = pokok pinjamanr = persentase bungat = tahun

Bunga Pinjaman

Berapakah jumlah yang harus dikembalikan oleh seseorang yang meminjam uang sebanyak Rp 500.000,- pada tanggal 31 Agustus 1989 dan dikembalikan pada tanggal 31 Maret 1990 dengan bunga sebesar 17%?

Nilai Sekarang

• Nilai Sekarang (present value): nilai sejumlah uang yang saat ini dapat dibungakan untuk memperoleh jumlah yang lebih besar di masa mendatang

P = A

1 + rt

Dimana A adalah nilai uang sebanyak P pada t tahun mendatang.

Nilai Sekarang

Tiga tahun lagi Dedi akan menerima yang sebanyak Rp 25.000.000,-. Berapakah nilai sekarang uang tersebut jika tingkat bunga ialah 12%

Bunga Majemuk

• Bunga Majemuk: bunga yang umumnya diterapkan untuk pinjaman dalam jangka waktu satu tahun atau kurang.

• Dalam bunga majemuk, bunga selain dikenakan pada pokok pinjaman, juga dikenakan pada bunga yang dihasilkan.

A = P (1 + 1/m)n.m

Dimana m = tingkat bunga majemukn = tahun

Bunga Majemuk

Radit menbaung uangnya di bank sejumlah Rp 1.650.000,- dengan bunga majemuk sebesar 6% per tahun dan diambil setahun sekali, maka berapakah jumlah uang tersebut setelah 8 tahun?