5 dhimas optimasi desain

Upload: nazshanayyazsha

Post on 05-Jul-2018

226 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

  • 8/16/2019 5 Dhimas Optimasi Desain

    1/5

    6/15/20

    MINIMALISASI BIAYAMENGGUNAKAN

    GOLDEN SECTION AND HOOK JEEVES METHODS

    OBJECTIVES

     Understand why and where optimization occursin engineering problem solving.

     Understand the major elements of the generaloptimization problem: (1) objective function, (2)decision variables, and (3) constraints.

    Be able to distinguish between linear andnonlinear optimization, and between constrainedand unconstrained problems

    PUSTAKA

     James B. Riggs, 1988, “An Introduction to Numerical

    Methods for Chemical Engineers” , Texas: Texas TechUniversity Press, Chapter 6

     Steven C. Chapra & Raymond P. Canale,2003,“Numerical Methods for Engineers: With Softwareand Programming Applications” , 4th edition, New York:McGraw-Hill Company Inc,Part Four

     etc.

    Cost

    components 

    $ / year 

    Pipe diamater (in) 

    1  1,25  1,5  2,5 

    Operating Costs  4697  660  312  164  56 

    Pipe capital costs  168  308  389  474  660 

    Pump capital

    costs 

    401  192  150  150  150 

    Total 

    5266 

    1160 

    852 

    788 

    866 

    INTRODUCTORY EXAMPLE

    Persoalan pemilihan diameter pipa untuk mengangkut fluida dari satuproses ke proses yang lain.

    Diameter pipa optimum, berdasarkan:Biaya investasi, dan biaya operasi

    Diameter pipa manayang akan

     Anda pilih?

    2

    PENGANTAR-1

     Definisi optimasi  Jenis optimasi: 1- maksimasi; 2- minimasi

     Dua hal penting dalam studi optimasi:1- fungsi objektif dan decision variables ;2- kendala (constraints)

     Contoh-contoh persoalan optimasi dalam bidangEngineering

    Contoh-contoh constraints yang menyertai

    persoalan optimasi

    Definisi dan Jenis Optimasi

    Optimasi merupakan suatu proses untuk mencarikondisi yang optimum, dalam arti palingmenguntungkan.

    Optimasi bisa berupa maksimasi atau minimasi.Jika berkaitan dengan masalah keuntungan, makakeadaan optimum adalah keadaan yang memberikankeuntungan maksimum (maksimasi).

    Jika berkaitan dengan masalahpengeluaran/pengorbanan, maka keadaan optimumadalah keadaan yang memberikanpengeluaran/pengorbanan minimum (minimasi).

    Fungsi Objektif

    Secara umum, fungsi yang akan dimaksimumkanatau diminimumkan disebut fungsi objektif(objective function) , sedangkan harga-harga yangberpengaruh dan bisa dipilih disebut variabel(perubah) atau decision variable .Secara analitik, nilai maksimum atau minimum darisuatu persamaan: y = f(x)dapat diperoleh pada harga x yang memenuhi: y’ = f’(x) = 0 

    Untuk fungsi yang sulit untuk diturunkan ataumempunyai turunan yang sulit dicari akarnya,proses optimasi dapat dilakukan secara numerik.

    Contoh Persoalan Optimasi dalam Bidang Engineering

    Design pump and heat transfer equipment for maximumefficiency

    Design waste water treatment system to meet water-qualitystandards of least cost

    Optimal planning and scheduling Optimal pipeline network Inventory control Maintenance planning to minimize cost

    etc.

    Ilustrasi maksimasi (secara grafik):

    Beberapa istilah:Maksimum lokalMaksimum global

     A unimodal function

    One hump orone valley

    PENGANTAR-2

    Catatan: Analog,untuk kasus minimasi

  • 8/16/2019 5 Dhimas Optimasi Desain

    2/5

    6/15/20

    Maksimum dan minimum lokal dan global:

    PENGANTAR-3

    Perbedaan antara persoalan optimasi denganpencarian/ penentuan akar persamaan:

    PENGANTAR-4

    Ilustrasi grafik optimasi dua variabel:

    PENGANTAR-5

    Tinjaulah sebuah fungsi dengan satuvariabel sbb.:

     y = f(x)

    Ingin dicari harga x yang memberikan harga ymaksimum (maksimasi) atau minimum(minimasi). Dalam hal ini, x yang diperolehmerupakan nilai x optimum fungsi.

    Beberapa metode yang akan dibahas

     Metode golden section  Metode Newton  Metode interpolasi kuadrat

     dsb.

    METODE GOLDEN SECTION

    Golden section merupakan salah satu cara ataumetode optimasi numerik yang bisa dipakai untukfungsi yang bersifat unimodal. Kedua tipeoptimasi, yaitu maksimasi dan minimasi dapatdiselesaikan dengan cara ini.

    Golden-section (search) method merupakan

    metode optimasi satu variabel yang sederhana,dan mempunyai pendekatan yang mirip denganmetode bisection dalam penentuan akarpersamaan tak linier.

    METODE GOLDENSECTION

    Tinjaulah fungsi f(x) yang

    akan ditentukan maksimumnya,

    pada rentang x = xl dan x = xu(perhatikan gambar di samping).

    , ide dasar metode ini adalahmemanfaatkan nilai yang lamasebagai nilai yang baru.

    Secara matematik:

    METODE GOLDEN SECTION

    1

    2

    21

    1210   :,

    l l 

    l makal l l   

    1

    2

    l  R  

     R Ratau

    l atau

    l l    11:1

    2

    1

    1

    2

    2

    1

    1

    21

    Karena:

     Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan:

    01:   2  R RSehingga

    ......61803,02

    15

    :

     R

     positifnyaakar  Nilai

    (R biasa disebut sebagaiGolden ration atau golden number)

     ALGORITMA

    (kasus maksimasi):

    1. Mulai dari 2 nilai tebakan awal xldan xu, yang mengapit titik maksimum.

    2. Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentangxl dan xu, sesuai dengan golden ratio (R)

    d  x x

    d  x x

     X  X d 

    u

    l u

    2

    11

    2

    15

     ALGORITMA (kasus maksimasi):

    3. Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2), diharapkan ada

    sebagian interval yang dapat dieliminasi, sehingga salah satu titik lamabisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya. Jadi hanya diperlukan1 titik baru.

     Ada 2 kasus:

    (a) Jika: f(x1) > f(x2)Maka: domain x antara xl dan x2 dieliminasix2 lama = xl barux1 lama = x2 baruxu lama = xu baru

     x1 baru ditentukan

    (b) Jika: f(x2) > f(x1)Maka: domain x antara x1 dan xu dieliminasix1 lama = xu barux2 lama = x1 baruxl lama = xl baru

     x2 baru ditentukan

  • 8/16/2019 5 Dhimas Optimasi Desain

    3/5

    6/15/20

    METODE GOLDEN SECTION

     Algoritma untuk kasus minimasi   kebalikan dari

    algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas.

    Efektivitas evaluasi dengan metode golden section:

    Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0,001 darisemula, maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah:

    (0,618)N  = 0,001N = 14,3 ≈ 15 

    Jumlah evaluasi = 2 + (N – 1) x 1 = 16 

    Silakan Pelajari Contoh Soal

    EXAMPLE : DETERMINING MINIMATION FUNCTION

     Y = 2X2 – 8X + 12

    KNOWN

    XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4TOL = 0.001 (SAMPLE)

    X=XA = 0 YA = (2*02)  - (8*0) + 12 = 12

    X=XB=4 YB = (2*42 ) – (8*4) +12 =12

    61802

    15 .

    L

    XP=XA + (1 – L) * (XB – XA)   = 0 + ( 1 – 0.618) * (4 – 0) =1,53  YP = (2 * 1,5322) – (8*1,53) +12 = 4,44

    XQ=XA + L*(XB – XA)

      = 0 + 0.618*(4 – 0) = 2,472  YQ= (2*2,4722) – (8*2,472) + 12 = 4,45

    XPNEW=1,53 + (1 –  L)*(2,472 – 1,53) = 1,8898  YPNEW=( 2*1,88982) – (8*1,8898) + 12 = 4,02

    XQNEW=1,53 + 0,618*(2,472 – 1,53) = 1,915  YPNEW = (2*1,9152) – (8*1,915) +12 = 4,01

    DST…… 

    METODE NEWTON

    Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak linier,melalui pendefinisian fungsi: g(x) = f’(x) 

    Karena pada kondisi optimum:

    f '(x *) = g (x *) = 0(x* menyatakan nilai x optimum)

    maka, nilai x* dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut:

    )("

    )('1

     xi f  

     xi f   x x ii  

    Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

    METODE INTERPOLASI KUADRAT

    Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasisecara numerik.

    Hal ini disebabkan olehpenggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkanpendekatan cukup baikterhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya.

    (Perhatikan gambar disamping…)  

    METODE INTERPOLASI KUADRAT

    Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0, x1,dan x2) yang mengapit titik optimumnya, maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya.

    Diferensiasikan persamaan yang diperoleh, set hasilnya menjadi samadengan nol, dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal inisebagai x3) sbb.:

    Penentuan x3 dilakukan secara iteratif, melalui strategi yang sama denganmetode golden section , hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen.

    ))((2))((2))((2

    ))(())(())((

    102021210

    2

    1

    2

    02

    2

    0

    2

    21

    2

    2

    2

    103

     x x x f   x x x f   x x x f  

     x x x f   x x x f   x x x f   x

    OPTIMASI BANYAK VARIABEL

    Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb:

     y = f(x1, x2, x3, ….., xn) 

    Ingin dicari harga x1, x2, x3, ….., xn yang memberikan harga  y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi).

    Pengelompokan metodenya secara garis besar: (1) non gradientmethods , dan (2) gradient methods

    Beberapa metode yang akan dibahas:

      Metode Hooke-Jeeves  Metode langsung/ random search  Metode steepest ascent (ascending)/ descent (descending)

    METODE HOOKE-JEEVESPrinsip metode Hooke-Jeeves:

    (1) Eksplorasi nilai Δxi (2) Mengulangi langkah sukses

    Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contohberikut. Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi:

     y = (x1 – 4)2 + 0,5.(x2  – 9)2 + 3

    Sebagai cek, dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadipada x1 = 4, x2 = 9, dan harga ymin =3.

    Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1,x2 = 16, serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2.  

    Gagal 3,5 8 4 

    Gagal 7,5124

    Gagal 4,5103 

    Gagal 4,5105

    Eksplorasi dengan Δ x1 = 1, Δ x2 =2 

    Gagal 4,585

    Sukses 3,5104

    Sukses 8,5123

    Mengulangi langkah sukses 

    Sukses 19,5142

    Gagal 47,5182

    Sukses 31,5162

    Eksplorasi dengan  Δ x1 = 1, Δ x2 =2 

    Basis 36,5 161

    Komentar 

    X2 X1  Hooke Jeeves -2

    HasilPerhitungan

  • 8/16/2019 5 Dhimas Optimasi Desain

    4/5

    6/15/20

    Hooke Jeeves -3

    HasilPerhitungan

    Gagal 

    3,02 

    8,8 

    Gagal 

    3,189,6 

    4

    Gagal 

    3,069,23,8 

    Gagal 

    3,069,24,2 

    Eksplorasi dengan Δx1 = 0,2 ; x2 =0,4 

    Gagal 

    3,02 

    8,8 

    4

    Sukses 

    3,029,24 

    Mengulangi langkah sukses 

    Sukses 

    3,18 

    9,6 

    Gagal 

    4,9610,44

    Gagal 

    3,54103,8

    Gagal 

    3,54104,2

    Eksplorasi dengan Δ x1 = 0,2, x2 =0,4 

    Komentar Y X2 X1 

    Gagal 

    3,0008 

    8,96 

    4,00 

    Sukses 

    3,0008 

    9,04 

    4,00 

    Mengulangi langkah sukses 

    Sukses 

    3,007 

    9,12 

    4,00 

    Gagal 

    3,0399,284,00 

    Gagal 

    3,021 

    9,2 

    3,96 

    Gagal 

    3,021 

    9,2 

    4,04 

    Eksplorasi dengan Δ x1 = 0,04, Δ x2 =0,08 

    Komentar 

    X2 

    X1 

    Hooke Jeeves -4

    METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

    Sesuai dengan namanya, metode ini secara berulang-ulang

    mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebastertentu (selected values) secara acak. Jika banyaknya sampelyang dicoba mencukupi, maka kondisi optimumnya akanteramati.

    tidak efisien…! 

    Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuousdan non-differentiable sekalipun.

    Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titikoptimum global (bukan optimum lokal)

    Silahkan Pelajari Contoh

    METODE STEEPEST ASCENT/DESCENT

      Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana.

     Terminologi:steepest ascent  untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent  untuk pencarian minimum fungsi

     Prinsip pencarian optimum:

    Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubahsebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal(one-dimensional function) , berdasarkan gradien arah pencarian.Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secaraberulang-ulang (iteratif).

    PENCARIAN TITIK OPTIMUM

    Sebagai ilustrasi, f(x,y)tinjaulah fungsi 2variabel f(x,y) yangakan ditentukan titikmaksimumnya. (lihatgambar di samping)

    Berdasarkan nilaiawal x = x0 & y = y0,dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent) -nya, yaknisebesar h0.

    Berdasarkan h0, nilai maksimum fungsidapat ditentukan, yakni pada titik “1”. Demikian seterusnya , proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum sesungguhnya.

    Secara Numerik:

    Misal, untuk sebuah fungsi 2 variabel: f(x,y)yang akan dicari titik optimumnya, dengan nilai awal:

     x = x0 dan y = y0

    Pada langkah iterasi pertama, nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan:

    hy

    f yy

    and

    hx

    f xx

    00

    00

    y,x

    0

    y,x

    0

     

    merupakan turunan parsial fungsi f(x,y)terhadap x dan y

    Dalam hal ini, vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg:

    Pada kasus ini, sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan y,f(x,y), ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h, g(h).

    Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnyamenjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya. Demikianseterusnya.

     y

     f  and 

     x

     f  

     j y

     f  i

     x

     f   f    

    Silahkan Pelajari Contoh

    Contoh Aplikasi:LOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

    Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xi,yi)

    menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi. Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebut.Ongkos pengangkutan limbah dari p abrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 0,6. Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum.

     Analisis:

    Misal: Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP, yP)

    Jarak pabrik (xi,yi) ke lokasi pengolah limbah:

    Ongkos transport dari pabrik (xi, yi):

    6,0))((arg   debit  jarak k a H   

    22 )()( i pi pi   y y x xd   

    226,0)()(. i pi pii   y y x xQk C   

    Ongkos transport total:

    Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimum.Misal:

    Dimisalkan pula: nilai k = 1

  • 8/16/2019 5 Dhimas Optimasi Desain

    5/5

    6/15/20

    OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIK(sebuah perbandingan)

     Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel: f(x,y)

     Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori:

    f(x,y) mempunyai minimum lokal: jika det(H) > 0 dan

    f(x,y) mempunyai maksimum lokal: jika det(H) > 0 dan

    f(x,y) mempunyai titik belok (saddle point): jika det(H) < 0

    det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai