5 dhimas optimasi desain

8/16/2019 5 Dhimas Optimasi Desain

1/5

6/15/20

MINIMALISASI BIAYAMENGGUNAKAN

GOLDEN SECTION AND HOOK JEEVES METHODS

OBJECTIVES

Understand why and where optimization occursin engineering problem solving.

Understand the major elements of the generaloptimization problem: (1) objective function, (2)decision variables, and (3) constraints.

Be able to distinguish between linear andnonlinear optimization, and between constrainedand unconstrained problems

PUSTAKA

James B. Riggs, 1988, “An Introduction to Numerical

Methods for Chemical Engineers” , Texas: Texas TechUniversity Press, Chapter 6

Steven C. Chapra & Raymond P. Canale,2003,“Numerical Methods for Engineers: With Softwareand Programming Applications” , 4th edition, New York:McGraw-Hill Company Inc,Part Four

etc.

Cost

components

$ / year

Pipe diamater (in)

1 1,25 1,5 2,5

Operating Costs 4697 660 312 164 56

Pipe capital costs 168 308 389 474 660

Pump capital

costs

401 192 150 150 150

Total

5266

1160

852

788

866

INTRODUCTORY EXAMPLE

Persoalan pemilihan diameter pipa untuk mengangkut fluida dari satuproses ke proses yang lain.

Diameter pipa optimum, berdasarkan:Biaya investasi, dan biaya operasi

Diameter pipa manayang akan

Anda pilih?

2

PENGANTAR-1

Definisi optimasi Jenis optimasi: 1- maksimasi; 2- minimasi

Dua hal penting dalam studi optimasi:1- fungsi objektif dan decision variables ;2- kendala (constraints)

Contoh-contoh persoalan optimasi dalam bidangEngineering

Contoh-contoh constraints yang menyertai

persoalan optimasi

Definisi dan Jenis Optimasi

Optimasi merupakan suatu proses untuk mencarikondisi yang optimum, dalam arti palingmenguntungkan.

Optimasi bisa berupa maksimasi atau minimasi.Jika berkaitan dengan masalah keuntungan, makakeadaan optimum adalah keadaan yang memberikankeuntungan maksimum (maksimasi).

Jika berkaitan dengan masalahpengeluaran/pengorbanan, maka keadaan optimumadalah keadaan yang memberikanpengeluaran/pengorbanan minimum (minimasi).

Fungsi Objektif

Secara umum, fungsi yang akan dimaksimumkanatau diminimumkan disebut fungsi objektif(objective function) , sedangkan harga-harga yangberpengaruh dan bisa dipilih disebut variabel(perubah) atau decision variable .Secara analitik, nilai maksimum atau minimum darisuatu persamaan: y = f(x)dapat diperoleh pada harga x yang memenuhi: y’ = f’(x) = 0

Untuk fungsi yang sulit untuk diturunkan ataumempunyai turunan yang sulit dicari akarnya,proses optimasi dapat dilakukan secara numerik.

Contoh Persoalan Optimasi dalam Bidang Engineering

Design pump and heat transfer equipment for maximumefficiency

Design waste water treatment system to meet water-qualitystandards of least cost

Optimal planning and scheduling Optimal pipeline network Inventory control Maintenance planning to minimize cost

etc.

Ilustrasi maksimasi (secara grafik):

Beberapa istilah:Maksimum lokalMaksimum global

A unimodal function

One hump orone valley

PENGANTAR-2

Catatan: Analog,untuk kasus minimasi


2/5

6/15/20

Maksimum dan minimum lokal dan global:

PENGANTAR-3

Perbedaan antara persoalan optimasi denganpencarian/ penentuan akar persamaan:

PENGANTAR-4

Ilustrasi grafik optimasi dua variabel:

PENGANTAR-5

Tinjaulah sebuah fungsi dengan satuvariabel sbb.:

y = f(x)

Ingin dicari harga x yang memberikan harga ymaksimum (maksimasi) atau minimum(minimasi). Dalam hal ini, x yang diperolehmerupakan nilai x optimum fungsi.

Beberapa metode yang akan dibahas

Metode golden section Metode Newton Metode interpolasi kuadrat

dsb.

METODE GOLDEN SECTION

Golden section merupakan salah satu cara ataumetode optimasi numerik yang bisa dipakai untukfungsi yang bersifat unimodal. Kedua tipeoptimasi, yaitu maksimasi dan minimasi dapatdiselesaikan dengan cara ini.

Golden-section (search) method merupakan

metode optimasi satu variabel yang sederhana,dan mempunyai pendekatan yang mirip denganmetode bisection dalam penentuan akarpersamaan tak linier.

METODE GOLDENSECTION

Tinjaulah fungsi f(x) yang

akan ditentukan maksimumnya,

pada rentang x = xl dan x = xu(perhatikan gambar di samping).

, ide dasar metode ini adalahmemanfaatkan nilai yang lamasebagai nilai yang baru.

Secara matematik:


1

2

21

1210 :,

l

l

l l

l makal l l

1

2

l

l R

R Ratau

l

l

l

l atau

l

l

l

l l 11:1

2

1

1

2

2

1

1

21

Karena:

Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan:

01: 2 R RSehingga

......61803,02

15

:

R

positifnyaakar Nilai

(R biasa disebut sebagaiGolden ration atau golden number)

ALGORITMA

(kasus maksimasi):

1. Mulai dari 2 nilai tebakan awal xldan xu, yang mengapit titik maksimum.

2. Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentangxl dan xu, sesuai dengan golden ratio (R)

d x x

d x x

X X d

u

l u

2

11

2

15

ALGORITMA (kasus maksimasi):

3. Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2), diharapkan ada

sebagian interval yang dapat dieliminasi, sehingga salah satu titik lamabisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya. Jadi hanya diperlukan1 titik baru.

Ada 2 kasus:

(a) Jika: f(x1) > f(x2)Maka: domain x antara xl dan x2 dieliminasix2 lama = xl barux1 lama = x2 baruxu lama = xu baru

x1 baru ditentukan

(b) Jika: f(x2) > f(x1)Maka: domain x antara x1 dan xu dieliminasix1 lama = xu barux2 lama = x1 baruxl lama = xl baru

x2 baru ditentukan


3/5

6/15/20


Algoritma untuk kasus minimasi kebalikan dari

algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas.

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section:

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0,001 darisemula, maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah:

(0,618)N = 0,001N = 14,3 ≈ 15

Jumlah evaluasi = 2 + (N – 1) x 1 = 16

Silakan Pelajari Contoh Soal

EXAMPLE : DETERMINING MINIMATION FUNCTION

Y = 2X2 – 8X + 12

KNOWN

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4TOL = 0.001 (SAMPLE)

X=XA = 0 YA = (2*02) - (8*0) + 12 = 12

X=XB=4 YB = (2*42 ) – (8*4) +12 =12

61802

15 .

L

XP=XA + (1 – L) * (XB – XA) = 0 + ( 1 – 0.618) * (4 – 0) =1,53 YP = (2 * 1,5322) – (8*1,53) +12 = 4,44

XQ=XA + L*(XB – XA)

= 0 + 0.618*(4 – 0) = 2,472 YQ= (2*2,4722) – (8*2,472) + 12 = 4,45

XPNEW=1,53 + (1 – L)*(2,472 – 1,53) = 1,8898 YPNEW=( 2*1,88982) – (8*1,8898) + 12 = 4,02

XQNEW=1,53 + 0,618*(2,472 – 1,53) = 1,915 YPNEW = (2*1,9152) – (8*1,915) +12 = 4,01

DST……

METODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak linier,melalui pendefinisian fungsi: g(x) = f’(x)

Karena pada kondisi optimum:

f '(x *) = g (x *) = 0(x* menyatakan nilai x optimum)

maka, nilai x* dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut:

)("

)('1

xi f

xi f x x ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasisecara numerik.

Hal ini disebabkan olehpenggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkanpendekatan cukup baikterhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya.

(Perhatikan gambar disamping…)

METODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0, x1,dan x2) yang mengapit titik optimumnya, maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya.

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh, set hasilnya menjadi samadengan nol, dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal inisebagai x3) sbb.:

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif, melalui strategi yang sama denganmetode golden section , hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen.

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

2

1

2

02

2

0

2

21

2

2

2

103

x x x f x x x f x x x f

x x x f x x x f x x x f x

OPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb:

y = f(x1, x2, x3, ….., xn)

Ingin dicari harga x1, x2, x3, ….., xn yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi).

Pengelompokan metodenya secara garis besar: (1) non gradientmethods , dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas:

Metode Hooke-Jeeves Metode langsung/ random search Metode steepest ascent (ascending)/ descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESPrinsip metode Hooke-Jeeves:

(1) Eksplorasi nilai Δxi (2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contohberikut. Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi:

y = (x1 – 4)2 + 0,5.(x2 – 9)2 + 3

Sebagai cek, dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadipada x1 = 4, x2 = 9, dan harga ymin =3.

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1,x2 = 16, serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2.

Gagal 3,5 8 4

Gagal 7,5124

Gagal 4,5103

Gagal 4,5105

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1, Δ x2 =2

Gagal 4,585

Sukses 3,5104

Sukses 8,5123

Mengulangi langkah sukses

Sukses 19,5142

Gagal 47,5182

Sukses 31,5162

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1, Δ x2 =2

Basis 36,5 161

Komentar

Y

X2 X1 Hooke Jeeves -2

HasilPerhitungan


4/5

6/15/20

Hooke Jeeves -3

HasilPerhitungan

Gagal

3,02

8,8

4

Gagal

3,189,6

4

Gagal

3,069,23,8

Gagal

3,069,24,2

Eksplorasi dengan Δx1 = 0,2 ; x2 =0,4

Gagal

3,02

8,8

4

Sukses

3,029,24


Sukses

3,18

9,6

4

Gagal

4,9610,44

Gagal

3,54103,8

Gagal

3,54104,2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 0,2, x2 =0,4

Komentar Y X2 X1

Gagal

3,0008

8,96

4,00

Sukses

3,0008

9,04

4,00


Sukses

3,007

9,12

4,00

Gagal

3,0399,284,00

Gagal

3,021

9,2

3,96

Gagal

3,021

9,2

4,04

Eksplorasi dengan Δ x1 = 0,04, Δ x2 =0,08

Komentar

Y

X2

X1

Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya, metode ini secara berulang-ulang

mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebastertentu (selected values) secara acak. Jika banyaknya sampelyang dicoba mencukupi, maka kondisi optimumnya akanteramati.

tidak efisien…!

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuousdan non-differentiable sekalipun.

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titikoptimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENT/DESCENT

Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana.

Terminologi:steepest ascent untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent untuk pencarian minimum fungsi

Prinsip pencarian optimum:

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubahsebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal(one-dimensional function) , berdasarkan gradien arah pencarian.Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secaraberulang-ulang (iteratif).

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi, f(x,y)tinjaulah fungsi 2variabel f(x,y) yangakan ditentukan titikmaksimumnya. (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 & y = y0,dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent) -nya, yaknisebesar h0.

Berdasarkan h0, nilai maksimum fungsidapat ditentukan, yakni pada titik “1”. Demikian seterusnya , proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum sesungguhnya.

Secara Numerik:

Misal, untuk sebuah fungsi 2 variabel: f(x,y)yang akan dicari titik optimumnya, dengan nilai awal:

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama, nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan:

hy

f yy

and

hx

f xx

00

00

y,x

0

y,x

0

merupakan turunan parsial fungsi f(x,y)terhadap x dan y

Dalam hal ini, vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg:

Pada kasus ini, sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan y,f(x,y), ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h, g(h).

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnyamenjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya. Demikianseterusnya.

y

f and

x

f

j y

f i

x

f f

Silahkan Pelajari Contoh

Contoh Aplikasi:LOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xi,yi)

menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi. Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebut.Ongkos pengangkutan limbah dari p abrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 0,6. Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum.

Analisis:

Misal: Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP, yP)

Jarak pabrik (xi,yi) ke lokasi pengolah limbah:

Ongkos transport dari pabrik (xi, yi):

6,0))((arg debit jarak k a H

22 )()( i pi pi y y x xd

226,0)()(. i pi pii y y x xQk C

Ongkos transport total:

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimum.Misal:

Dimisalkan pula: nilai k = 1


5/5

6/15/20

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIK(sebuah perbandingan)

Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel: f(x,y)

Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori:

f(x,y) mempunyai minimum lokal: jika det(H) > 0 dan

f(x,y) mempunyai maksimum lokal: jika det(H) > 0 dan

f(x,y) mempunyai titik belok (saddle point): jika det(H) < 0

det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

5 dhimas optimasi desain

Documents