TUGAS KELOMPOK

OPERASI TEKNIK KIMIA 2

OlehRicky Harnist Silalahi (0615041068)

Agnesia Afrida Pasaribu (0715041017)

Budiana Dinda Wijayanti (0715041030)

Claudia Fanny Susanti (0715041041)

Kenjiro Parsaulian Siburian (0715041057)

JURUSAN TEKNIK KIMIA

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS LAMPUNG

2009

4.14 Analisis Dimensional Dalam Transfer Panas

4.14 a Pendahuluan

Pada banyak hubungan untuk aliran fluida dan transfer panas, banyak bilangan tak

berdimensi seperti bilangan reynold dan bilangan prandtl. Analisis dimensional sering

digunakan pada variable yang ada dalam keadaan fisik ke dalam parameter tak

berdimensi atau bilangan yang dapat berguna dalam percobaan dan penyusunan data.

Cara yang baik untuk mendapatkan bilangan – bilangan tak berdimensi ini adalah

dengan menggunakan analisa dimensional atau persamaan differensial seperti yang

dijelaskan pada bagian 3.8. Metode lain yang digunakan adalah metode Buckingham,

dimana mendaftar variabel - variabel berubah pada masalah fisik dilakukan terlebih

dahulu. Kemudian kita menentukan angka dari parameter tak berdimensi ke dalam

mana variabel - variabel tersebut dikombinasikan.

4.14 b Metode Buckingham

1. transfer panas dalam pipa

Teorema Buckingham seperti pada bagian 3.8 menyatakan bahwa hubungan

fungsional antara q jumlah atau variabel yang satuannya mungkin diperoleh

dalam u unit dasar atau dimensi yang dapat ditulis (q – u) group tak

berdimensi.

Sebagai contoh untuk menggambarkan kegunaan dari metode ini adalah,

bandingkan aliran fluida pada aliran turbulen dengan kecepatan v di dalam

pipa berdiameter D dan mentransfer panas ke dinding. Kita memprediksi

bahwa group tak berdimensi itu menghubungkan koefisien transfer panas h

dengan D, ρ, μ, cp, k, dan v. dimana jumlah total dari variabel itu adalah q = 7.

Satuan – satuan atau dimensi – dimensi dasar adalah u = 4 dan M (massa), L

(panjang), t (waktu), T (temperatur). Satuan - satuan dari variabel – variabel

dasar yang digunakan adalah:

D = L

Dimana angka tak bersatuan atau π dapat diasumsikan 7 – 4 atau 3, lalu

(4. 14 – 1)

Kita akan memilih 4 variabel D, μ, k, dan v menjadi dimensi – dimensi tak

bersatuan lalu 3 group tak bersatuan itu adalah:

(4. 14 –2)

(4. 14 – 3)

(4. 14 – 4)

Untuk , substitusi dimensi sebenarnya:

(4. 14 – 5)

Penjumlahan masing – masing eksponen

( L) 0 = a + b – c + d – 3

(M) 0 = b + c + 1 (4. 14 – 6)

(t) 0 = - 3b – c – d

(T) 0 = - b

Pemecahan persamaan secara simultan a = 1, b = 0, c = -1, d = 1

Substitusi harga – harga ini ke persamaan (4. 14 – 2)

(4. 14 – 7)

Ulangi untuk dan dan substitusi ke dimensi actual

(4. 14 – 8)

(4. 14 – 9)

Substitusi ke persamaan (4. 14 – 1) dan disederhanakan kembali

(4. 14 –

10)

Ini adalah dalam bentuk persamaan untuk transfer panas dalam pipa (eq. 4.5.8)

Jenis analisis ini berguna untuk korelasi empiris untuk data transfer panas.

Kegunaan group tak berdimensi, bagaimanapun juga harus ditentukan dengan

percobaan ( ).

2.) Transfer Panas Konveksi Alami di luar sebuah plane vertikal.

Pada kasus transfer panas konveksi alami dari suatu dinding bidang vertikal

dengan panjang L, ke suatu fluida yang bersebelahan, besaran tak bersatuan yang

berbeda sebaiknya dihitung ketika dibandingkan dengan konveksi paksa di dalam

suatu pipa sejak kecepatan bukan merupakan suatu variabel. Gaya ringan yang ada

kaitannya dengan perbedaan densitas antara fluida dingin dan panas menjadi

sebuah faktor. Seperti yang terlihat pada persamaan (4.7-1) dan persamaan (4.7-

2), gaya ringan bergantung pada variabel β, g, ρ, dan ∆T. oleh karena itu, daftar

variabel dipertmbangkan dan satuan fundamentalnya adalah sebagai berikut.

L = L ρ = μ = cp

= β =

g = ∆T = T h = k =

Jumlah variabel adalah q = 9. Sejak u = 4, jumlah dari besaran tak bersatuan atau

π adalah 9 – 4, atau 5. Kemudian π1 = f (π1. π2, π3, π4).

Kita akan memilih empat variabel tersebut, L, μ, k, dan g untuk dipasangkan ke

seluruh besaran tak bersatuan.

π1 = La μb kc gd ρ π2 = Le μf kg gh cp π3 = Li μj kk gl β

π4 = Lm μn ko gp ∆T π5 = Lq μr ks gt h

Untuk π1, substitusi besaran tersebut,

(b) (c) (d)

1 = La x x x x

(4.14-11)

Penyelesaian unutk eksponen-eksponen seperti sebelumnya, a = 3/2, b = – 1, c =

0, d = ½. Kemudian π1 menjadi

π1 = (4.14-12)

M

L.t

L2

t2T

L2

t2T

M

L3

M

t3.T

M

t3.T

L

T2

M

L.t

M

t3.T

L

T2

M

L3

L3/2 ρ g1/2

μ

Dikuadratkan kedua ruas untuk mengeliminasi eksponen fraksionalnya,

π 1 =

(4.14-13)

Mengulang persamaan π yang lain,

π1 = π2 = = NPr

π3 = π3 =

π4 = π

NNu

Dikombinasikan dengan besaran tak bersatuan π1, π2, π3, dan π4 seperti sebagai

berikut.

π1 π3 π4 =

(4.14-14)

Persamaan (4.14-14) merupakan besaran Grashof seperti yang tertera pada

persaman (4.7-4). Oleh karena itu,

NNu = f (NGr, NPr) (4.14-15)

L3 ρ2 g

μ2

L3 ρ2 g

μ2

cpμ

k

L μ g β

k

k ∆T

Lμg

hL

k

L3 ρ2 g

μ2

L μ g β

k

k ∆T

Lμg

(4.14-13)

x x = NGr

4.15 METODE NUMERIS UNTUK KONDUKSI KEADAAN SETIMBANG

PADA 2 DIMENSI

4.15A Persamaan Analisis untuk Konduksi

Pada bagian 4.4, telah dibicarakan metode penyelesaian masalah konduksi panas

2 dimensi menggunakan langkah grafik dan faktor bentuk. Pada bagian ini, kita

membandingkan metode analisis dan numeris.

Persamaan untuk konduksi pada arah x adalah sebagai berikut :

qx = – k A (4.15-1)

Sekarang, turunkan persaman untuk konduksi keadaan setimbang pada 2 arah x

dan y. Panas total yang masuk ke blok sama dengan yang keluar.

qxlx + qyly = qxlx+∆x + qyly+∆y (4.15-2)

Sekarang, dari persamaan (4.15-1),

qxlx = – k(∆yL) (4.15-3)

x

Menulis persamaan yang sama untuk 3 bagian dan disubstitusi ke persamaan

(4.15-2),

– k(∆yL) – k(∆xL) = –

k(∆yL) – k(∆xL)

(4.15-4)

Dibagi dengan ∆x ∆yL dan ∆x dan ∆y dibuat mendekati nol, didapatkan

persamaan akhir untuk konduksi keadaan setimbang pada 2 arah.

∂T

∂x

∂T

∂x

∂T

∂x

∂T

∂x

∂T

∂x

∂T

∂x

∂2T

∂x2

∂2T

∂y2

x x + ∆x y y + ∆y

+ = 0 (4.15-5)

Inilah yang disebut dengan persamaan Laplace. Terdapat sejumlah metode

analitis untuk menyelesaikan persamaan ini. Pada metode pembagian variabel,

penyelesaian akhir ditunjukkan sebagai suatu jenis infinite Fourier (H1, G2,

K1). Kita bandingkan dengan kasus yang terdapat di Fig. 4.15-2. Padatan

disebut sebagai padatan semi-infinite sejak salah satu dari satuannya adalah ∞.

Dua ujung atau batas pada x = 0 dan x = L dibuat konstan pada T1 K. Ujung pada

y = 0 berada pada saat T2. Dan pada y = ∞, T = T1. Penyelesaian berhubungan

dengan T pada posisi y dan x adalah :

= ( 4 / π ) [ (1/1) e-(π/L)y sin (1πx / L) + (1/3) e-(3π/L)y sin (1πx / L) + ...]

(4.15-6)

Metode numeris yang lain berlaku dan dibicarakan pada banyak teks (C2, P1,

H1, G2, K1). Sejumlah besar penyelesaian analitis telah diberikan di literatur.

Bagaimanapun, terdapat banyak situasi praktis dimana kondisi geometris atau

batas terlqalu rumit untuk penyelesaian analitis, sehingga metode numerisfinite-

difference digunakan. Hal ini akan dibahas di bagian berikutnya.

4.15B Metode Finite-Difference Numeris

1. Metode asal

Penyelesaian dari masalah kompleks dua dimensi konduksi panas dengan metode

numeris sangat memungkinkan diselesaikan. Dengan persamaan asal, kita dapat

memulai dari persamaan differensial parsial (4.15-5), bentuk umum finite-

difference dari Ә2T/ Әx2,

(4.15-7)

dimana m merupakan nilai y, m+1 merupakan nilai y+1Δy, dan n adalah indeks

yang menunjukkan posisi T dari skala x. Padatan dua dimensi dibagi dengan

T – T1

T2 – T1

kotak, dan konsentrasi massa adalah ”node”. Setiap node diasumsikan tersambung

ke node yang berdekatan node-node dengan konduksi kecil.

Differensial terbatas dari Ә2T/ Әy2 dapat dituliskan sebagai berikut.

(4.15-8)

Kemudian substitusikan persamaan (4.15-7) dan persamaan (4.15-8) ke persamaan

(4.15-5) dan asumsikan Δx=Δy.

(4.15-9)

persamaan diatas menyatakan bahwa panas bersih mengalir dari point/node adalah

nol. Kemudian, persamaan (4.15-9) dapat diperoleh dengan membuat panas

seimbang pada daerah yang diarsir.

Panas masuk total untuk unit ketebalan adalah

2. Metode iterasi untuk penyelesaian

Dengan menggunakan metode iterasi, persamaan (4.15-11) disusun sama dengan

sisa

(4.15-11)

Sejak = 0 pada keadaan steady state, penyelesaian untuk Tn,m di persamaan

(4.15-11) dan persamaan (4.15-9)

(4.15-12)

persamaan (4.15-11) dan persamaan (4.15-12) adalah persamaan akhir yang

digunakan.

0,1 0,2 0,3 600 K

1.1 1,2 1.3

2.1 2,2 2,3 2,4 2.5 2,6

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

300 K

300 k

Gambar 1.contoh kisi-kisi persegi

Gambar 1 menunjukkan potongan yang berupa arsiran dari ruang kosong berbentuk

persegi panjang dengan luas dalam 4x2 m dan luasnya 8x8 m. Panjang ruang dalam

berada pada suhu 600 K, dan dinding luar pada 300 K. Nilai k adalah 1,5

W/m.K,untuk keadaan kesetimbangan terdapat kehilangan panas per unit panjang

ruang,menggunakan kisi-kisi 1x1 m.

Penyelesaian: ruang tersebut berupa ruang simetri 1/4dari ruang yang diarsir akan

digunakan.Sebagai pendahuluan akan dilakukan pendekatan pertama.

T1.2= 450; T2.2= 400; T3.2= 400; T3.3= 400; T3.4=450; T3.5= 500; T4.2= 325; T4.3= 350;

T4.4= 375; T4.5= 400.

Dengan catatan T0.2= T2.2; T3.6= T3.4; T4.6=T4.4 dengan simetri. Pada awal

perhitungan,pertama menentukan batas.Gunakan T1.2, dengan menghitung q1.2 :

q1.2 = T1.1 + T1.3 + T0.2 + T2.2 -4 T1.2 (1)

= 300 + 600 + 400 + 400-4(450) = -100

Oleh karena itu, T1.2 tidak dalam keadaan setimbang. Selanjutnya kita menentukan

q1.2 = 0 dan perhitungan baru dari T1.2 adalah :

T1.2 = T1.1 + T1.3 + T0.2 + T2.2

4

=300 + 600 + 400 + 400

4

=425 (2)

Maka T1.2 = 425 K, yang akan mengganti T1.2 awal = 450 K, dan digunakan untuk

perhitungan,dengna catatan- catatan lain. Selanjutnya :

q1.2 = T2.1 + T2.3 + T1.2 + T3.2 -4 T2.2

=300 + 600 + 400 + 425-4(400) = 125

Pengaturan q2.2 = 0 , digunakan dengan persamaan (2) :

T2.2 = T2.1 + T2.3 + T1.2 + T 3.2

4

=300 + 600 + 400 + 425

4

=431

Selain daripada itu,

q3.2 = 300+ 400+ 431+ 325- 4(400) = -144

Dengan menggunakan persamaan (2); T3.2 = 364

q3.3 = 364 + 450 + 600 + 350 – 4 (400) =164

T3.3 = 441

q3.4 =441 + 500 + 600 + 375 – 4 (450)= 116

T3.4 =479

q3.5 =479 + 479 + 600 + 400 – 4 (500)= -42

T3.5 =489

q4.2 =300 + 350 + 364 + 300 – 4 (325)= 14

T4.2 =329

q4.3 =329 + 375 + 441 + 300 – 4 (350)= 45

T4.3 =361

q4.4 =361 + 400 + 379 + 300 – 4 (375)= 40

T4.4 =385

Q4.5 =385 + 385 + 489 + 399 – 4 (400)= -41

T4.5 =390

Pendekatan kedua, kita dapat mnentukan asumsi dengan sisa luasnya.

q1.2 =300 +600 + 431- 4(425) =62

T1.2 =440

q2.2 =300 +600 + 440- 4(431) =-20

T1.2 =426

Maka perhitungan akhir :

T1.2= 441; T2.2= 432; T3.2= 384; T3.3= 461; T3.4=485; T3.5= 500; T4.2= 325; T4.3= 490;

T4.4= 387; T4.5= 391.

Perhitungan total panas yang hilang dari ruang per unit panjang ruang, kita dapat

menggunakan gambar 2 ( dengan asumsi T2.4 menjadi T3.4 dan ∆x = ∆y dengan

kedalaman 1 m )

q = k A. ∆T = k(∆x (1)) (T2.4 -T3.4 ) = k (T2.4 -T3.4 )

(3)

∆x ∆x

Aliran panas (asumsi T2.5 menjadi T3.5 dan untuk T1.3 menjadi T1.2 sebaiknya dengan

kelipatan ½ karena simetri ). Total konuksi panas adalah pnjumlahan lima jalan untuk

¼ dari padatan. Untuk empat jalan lainnya :

qt = 4k (1/2 T1.3 - T1.2 ) + (T2.3 –T3.3 ) + (T2.4 -T3.4 ) +1/2(T2.5 -T3.5 ))

= 4 (1,5) (1/2 (600- 441) + (600-432) + (600- 461) + (600- 485) + 1/2(600-490))

=3340 per 1 m kedalaman

Juga total konduksi panasa dapat dihitung dengan catatan di luar, dalam bentuk seperti

gambar 2. Dengan qu = 3340 W. Dan q avarange :

qav = 3340 +3430 = 3385 W per 1 m kedalaman

2

Gambar 2. Perhitungan dari total konduksi panas

Jika nilai dari asumsi = ie, maka ukuran kisi- kisi yang kecillah yang

digunakan.Solusi lain yang akurat dapat dicapai dengan penggunaan kisi- kisi 0,5

daripada 1,0 pada contoh qav = 3250 W tercapai.

Ketelitian lain dapat digunakan tetapi komputer digital akan membutuhkannya pada

perhitungan dengan nilai besar. Metode matriks juga berguna untuk menyelesaikan

pengaturan dari persamaan simultan di komputer. Penggunaan metode yang berulang

contohnya metode Gauss- Seidel.

3. Persamaan untuk kondisi batas yang lain

Pada contoh 4.15-1 kondisi batas demikian diketahui dan tetap. Untuk kasus dimana

konveksi pada batas system pada temperature tetap T, neraca panas pada pertemuan

titik n dan m seperti pada gambar 4.15-6a, dimana panas masuk = panas keluar (K1):

(4.15-15)

Buat Δx = Δy disusun ulang, dan buat hasil dari persamaan = sisa, hasil

mengikuti

a. Untuk konveksi pada batas system

(4.15-16)

Dalam masalah yang sama untuk kasus dalam gambar 4.15-16

b. Untuk batas system isolasi

(4.15-17)

1,2 1,3

2,3 2,4 2,52,2

c. Untuk sudat bagian luar dengan konveksi pada batas sistem,

(4.15-18)

d. Untuk sudut bagian dalam dengan konveksi pada batas system

(4.15-19)

Untuk batas kurva dan batas system dati tipe yang berbeda, lihat (C3,K1).

Gunakan persamaan(4.15-16) – (4.15-19), dan hasil yang pertama

diperolehgunakan persaman sendiri. Kemudian di rubah menjadi sama

dengan nol dan digunakan untuk menyelesaikan hasil yang didapat.