Di dalam penyelesaian sistem persamaan, akan dicari nilai x1, x2, , xn yang memenuhi sistem persamaan berikut:bentuk linier maupun non-linier

Bentuk umum:Dengan a adalah konstanta, b adalah konstanta, n adalah jumlah persamaan dan x1, x2,, xn adalah bilangan tak diketahui.Dapat diselesaikan dengan operasi matriks

Notasi matriks:Elemen matriksbariskolom

Matriks dengan ukuran baris m = 1Disebut vektor barisMatriks dengan ukuran kolom n = 1Disebut vektor kolom

Matriks bujur sangkar (m = n)Diagonal utama

Matriks simetrisaij = ajiMatriks diagonal

Matriks satuan atauMatriks identitasMatriks segitiga atas

Matriks segitiga bawahMatriks pita

Kesamaan dua matriksDua matriks [A] dan [B] dikatakan sama jika kedua elemen matriks dan ukurannya sama (aij = bij).Penjumlahan matriksjika [A] dan [B] memiliki orde yang sama (aij = bij), maka kedua matriks tersebut dpat dijumlahkan menjadi matriks [C]Cara yang sama berlaku pula untuk operasi pengurangan

Perkalian matriks dengan skalarsuatu [A] dan [B] dapat dikalikan dengan skalar k, menghasilkan suatu matrik [D]= k [A], dengan dij = k. aijk = -2Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar:

Perkalian matriks dengan matriksPerkalian matriks [A] dan [B] dapat dilakukan apabila jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B.

Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks:distributifdistributifasosiatif

Transpose matriksJika matriks [A]mxn, maka transpose matriks [A] = [A]T, adalah matriks berorde nxm, dengan baris dan kolom matriks [A] menjadi kolom dan baris matriks [A]T. Sifat-sifat dari transpose matriks:

Inverse matriksInverse matriks adalah bentuk matriks yang digunakan sebagai pengganti operasi pembagian matriks (matriks tidak dapat dibagi).Untuk mencari inverse suatu matriks dapat dipakai beberapa metode, antara lain metode adjoint, metode pemisahan, Gauss Jordan, Cholesky, dll.

Peningkatan matriksDilakukan dengan menambah matriks satuan.Dapat ditingkatkan menjadi:

Sistem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk matriks, misal:atau,

Metode Eliminasi GaussProsedur penyelesaian dari metode ini adalah mengurangi sistem persamaan ke dalam bentuk segitiga atas, sehingga salah satu dari persamaan-persamaan tersebut hanya mengandung satu bilangan tak diketahui, dan setiap persamaan berikutnya hanya terdiri dari satu tambahan bilangan tak diketahui baru.

Metode Eliminasi GaussUraian prosedur metode eliminasi Gauss dimisalkan pada sistem yang terdiri dari 3 persamaan dengan 3 bilangan tak diketahui berikut:Persamaan (1.a) dibagi koefisien pertama dari Persamaan (1.a), yaitu a11, sehingga menjadi:

Metode Eliminasi GaussPersamaan (2) dikalikan dengan koefisien pertama dari Persamaan (1.b), yaitu a21.Persamaan (1.b) dikurangi Persamaan (3).atau,

Metode Eliminasi GaussLangkah selanjutnya, Persamaan (2) dikalikan dengan koefisien pertama dari persamaan (1.c)Persamaan (1.c) dikurangi Persamaan (4).atau,

Metode Eliminasi GaussSistem persamaan yang baru adalah:Langkah berikutnya adalah mengeliminasi x2 dari Persamaan (5.b), yaitu Persamaan (5.b) dibagi dengan koefisien pertama dari Persamaan (5.b), sehingga menjadi:

Metode Eliminasi GaussPersamaan (6) dikalikan dengan koefisien pertama dari Persamaan (5.c).Persamaan (5.c) dikurangi Persamaan (7), sehingga menjadi:atau,

Metode Eliminasi GaussSistem persamaan akhirnya menjadi:Dalam bentuk matriks dapat ditulis:

Metode Eliminasi GaussNilai x1, x2 dan x3 dapat dihitung dengan cara:

CONTOHSelesiakan Persamaan berikut ini:

CONTOHSelesiakan Persamaan berikut ini:Persamaan (1.a) dibagi koefisien pertama dari Persamaan (1.a).Persamaan (2) dikalikan dengan koefisien pertama dari Persamaan (1.b)Persamaan (1.b) dikurangi Persamaan (3).

CONTOHPersamaan (2) dikalikan dengan koefisien pertama dari persamaan (1.c)Persamaan (1.c) dikurangi Persamaan (5).Langkah berikutnya adalah mengeliminasi y dari Persamaan (4), yaitu Persamaan (4) dibagi dengan koefisien pertama dari Persamaan (4).Persamaan (7) dikalikan dengan koefisien pertama dari persamaan (6)

CONTOHPersamaan (6) dikurangi Persamaan (8)Sistem Persamaan akhirnya menjadi:

CONTOHMenghitung nilai x, y dan z.Coba masukkan ke Persamaan awal (1.a), (1.b), (1.c)