2003 hubungan antara estimator bayes dengan estimator klasik

Click here to load reader

Post on 09-Dec-2016

262 views

Category:

Documents

4 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • TELAH DIPRT:tINIqSLi. l,]l pdDA SEI'IHj. I i,iJURUSA[,] f,-i,,1;tEt]:.rr j !,(A Fi.,iipA UNNES

    TANGGAL 27 5:F] LI48IR ZCO3l(!, i'uA FAi;it'iA

    1r ^ (| /j---

  • Definisi2 (Bain & Engelhardt, 1992)Misalkan XI,X2,...,Xn sampel acak dengan fungsi peluang fhi,g) dan fungsilikelihood z(d). setiap nitai w = h(y,x2,...,xn) yang memaksimumkan L(a) yaknif(r)> l(a) Oinamakan Maximum Liketihaod Estimator(MLfl.

    Pada definisi 2, seringkali akan lebih mudah tidak memaksimalkan (a) melainkantn(a). Hal ini dapat dilakukan karena r-(a) oan tnr-(a) mencapai maksimum pada 0yang sama.

    Definisi 3 (Elfessi& Reineke, 2OO1)Estimator Bayes dari ddidefinisikan sebagai berikut :

    _ t e t {e; x1, x2,..., x nY o

    ESTIMATOR KLASIK

    1. Distribusi BernoulliMisal X1, X2,...,X,7 sampel acak dengan Xi * Atll(,p), i= 1,2, ..., n.

    Xi - BtN(,p) o t6i,p)= p'i (- pl-^i, i = 1, 2, ..., n

    Berdasarkan definisi 'l maka fungsi likelihood :

    nn9,r, nr-(p)= IIf8r, p)=fIpr' (t- p)',r, = pi=1 (- p),-Zi,

    i=l i=1

    Dengan menggunakan definisi 2 akan dicari Maximum Likelihood Estimatar WLq.n(n\

    tnt-(p)= Ixi tnp+l n-Z*i ltn(t-p)i=1 [ r=t )n' ( n )Tx, ln-)'x, I

    atnr(p)_7=,''' I e')dp p 1-p

    Persamaan likelihood :n(n\Ir, ir-Ir, Ii=1 _\ i=1 /_nb - 1-b -"

    t*,^;aA p- J=!-

    n

    1,,Dengan menggunakan MLE maka diperoleh estimator klasik untuk p ddah +

  • 2. Distribusi BinomialMisal X1,X2,...,Xn sampel acakdengan X; - Blru(n,p), i = 1, 2, ..., n.

    xi - BtN(n,p) o f8,,ol=[i ]0.,

    (- pY-'', i = 1, 2, ..., n

    Berdasarkan definisi 1 maka fungsi likelihood :

    r(p)= rr(,,, o>y{x,Jr,, ( - py -r =

    [g[x,)], 2.', t oy' - po.,

    Dengan menggunakan definisi 2 akan dieari Maximum Likelihood Estimator WLq

    ,nl(p) = "[l[;, )] * 2,,

    m o *(n2-,r,.,1,*, - r,

    n

    I,,'

  • Persamaan likelihood :(n )lTx, -nr Il'Lt l Inr [i=t ) ^:--=tJp 1-p

    ^nre p=-i--Z*'i=1

    Dengan menggunak an MLE maka diperoleh estimator klasik untuk p arf,sl;tn -!I-Zr'i=1

    4. Distribusi GeometrikMisal X1,X2,...,X11 sampel acak dengan Xi - GeO(p), i= 1,2, ..., n.X 1 - GEo(p) o fQi, d= p( - p)ri -1, i = 1, 2, ..., n

    Berdasarkan definisi 1 maka fungsi likelihood :nnn

    r_(p) = fi r(xi, p) = fJ p(1 - p)*, -, = p, ( - p) i\_1* i - n

    i=1 i=1

    Dengan menggunakan definisi 2 akan dicari Maximum Likelihood Estimator (MLq.(n \

    lnt(p)= nlnp+i Ir, -n itn(t-p)ti=t )(n )lIx, -n I

    dtnL(p) n l7:' )dp p 1-p

    Persamaan likelihood :(n )lIx,-nltu | -ln \i=t .) ^:--=L,p 1- p^ne p=-i-

    \'-.4li=1

    Dengan menggunakan MLE maka diperoleh estimator klaslk untuk p adalahn

    n\- -.i=l

    5. Distribusi PoissonMisal X1,X2,...,Xp sampel acak dengan Xi - POt(x\, i = 1, 2, ..., n

    Xi- PotQ")er(x,,s")={+, i= 1,2, ..., n' xil

    4

  • Berdasarkan definisi 1 maka fungsi likelihood :

    9r,n n e-llxi "-nllj=1r(;)=flr$i,t)=fl+=+i:1 i=1 nt, Il*,t

    i=1

    Dengan menggunakan definisi 2 akan dicari Maximum Likelihood Estimator (MLE).nn

    tnt-(z) = -il, +lx i ln2 - lnf[x; !i=l i=1

    nIx,

    atnl(z) =_n*7=,til" )"

    Persamaan likelihood:

    Zr'_ n+i=1, =O

    )"nI,,

    a i= i=tn

    i,*,Dengan menggunakan MLE maka diperoleh estimator klasik untuk 2 adalah i:1

    n

    ESTIMATOR BAYES

    Pada estimator Bayes, fungsi peluang f(*i,e) dinyatakan dengan fungsi peluangbersyarat yaitu (x;la).

    1. Distribusi BernoulliSehingga untuk X1,X2,...,X4 sampel acak dari populasi yang berdistribusi Bernoullidengan parameter p dapat dituliskan sebagai berikut :

    Xi - BtN(,p)., r(rilp)= p^i (- pl-*i, i = 1, 2, ..., n.

    Distribusi Prior untuk Xi -BtN(,p), i = t,2, ..., n adalah p*BETA{a,B). Senlnggafungsi peluang dari distribusi priornya adalah sebagai berikut:

    ,(p)=ffi*-t(- pf-t, o < p

  • Fungsi peluang bersama dari X1XZ,...,Xn dan p adalah :f {o; x 1, x 2,..., x, ) = o{p\(x t, x 2,..., x, lp), maka

    r(p;x1,xz,...*,) = #i#o**for'-' 1o - oy*o-I*,t

    Berdasarkan definisi 3 maka estimator Bayes untuk p adalah sebagai berikut :

    1 -t a\ o*fri -l n

    ^ [0ffi60 i-=1' (- of+f-zxi-t6o

    'n1 -t ^\ a+l.xi -1 n

    [##, n (-pY.P-7=i'-'ap1o*!r1*t-1 nIp i=1 (- oY*t- ,z=r*i-1dp

    1 o*!ri-t nIp i:1 (- pY-P-7__i,-tap0

    na +\x;

    _ i=1n+a+ fi

    o*i*,Jadi estimator Bayes untuk p adalah '=' = .' n+a+B

    2. Distribusi BinomialMisal X1,X2,...,Xn sampel acak dari populasi yang berdistribusi Binomial denganpararneler p dapat dituliskan sebagai berikut :

    X; - BtN(n,p)o r(,,|p)= (:,)n' (- pY-'i , i= 1,2, . , n

    Distribusi Prior untuk Xi -BlN(n,p), i= t,2, ..., n adatah p-BETA(a,B). Sehinggafungsi peluang dari distribusi priornya adalah sebagai berikut :

    o(p)=ffint(-pY', o

  • r (p; r t, x 2, x n) =tr#di t[ [;, ;] r".,:, r' -'

    ( - ovz * p - ! r i - t

    Berdasarkan definisi 3 maka estimator Bayes untuk p adalah sebagai berikut :n

    u -!' i#Blz(:,)lfl zr'

    -' r -

    "' . o - zt' " o o

    i#fi[u[;';P .

    E'' -'

    u - oY'. o - f;'' oo1 ,* !xi+l-t ^ n! o i"=t' ( - pY'* B-,2=rr, -' dp

    _0

    1 a+\xi-l ^ n! o i'='t' (1- PY'* P- ,Z=,,r' -'dP0

    na +lx1

    - i=ln2 +a+ p

    o *!^,Jadi estimator Bayes untuk p adalah u '='n' +a + B

    3. Distribusi Binomial NegatifMisal X1,X2,.".,Xn sampel acak dari populasi yang berdistribusi Binomial Negatifdengan parameter p dapat dituliskan sebagai berikut :

    x1 - BN(, p)o r(,,1p)= (i' :r')n l- pyi-', i = 1, 2,, n

    Distribusi Prior untuk X' -eN|,p), i = 1,2, ..., n adalah p-BETA(a,B). Seninggafungsi peluang dari distribusi priornya adalah sebagai berikut:

    nb)=ffir*'(- pY-', o.p

  • berikut:

    1nI pnr

    +u-t (, - p)9*,f x i - nr -1 6o0

    nr+an

    o+B+ fx;i=1

    Jadi estimator Bayes untukp adalah nr +1

    a+B+lx1i ='l

    4. Distribusi GeometrikMisal X,1,X2,...,Xn sampel acak dari populasi yang berdistribusi Geometri denganparameter p dapat dltuliskan sebagai berikut :

    X i'- GEo(pl f(x,lp)= p(- pYi -1, i = 1, 2, ..., n.

    Distribusi Prior untuk Xi*GEO{p), i= t,2, ..., n adalah p-BETA(u,B). Seninggafungsi peluang dari distribusi priomya adalah sebagai berikut:

    u(p)=ffix-'(- pY-', o

  • Berdasarkan definisi 3 maka estimator Bayes untuk p adalah sebagai berikut :

    b= lrffion +u -1 ( - rY + f,-xi - n -t 6o

    i#fr, n+.,-1 ( - pY

    * i xi -n -t 6o

    1on*.,*1-1(r _ oy. lf -n-1 dp

    n

    1'n *" -r ( - oY.,2=;i - n -1 dP

    0

    _ n+an

    a+B+lx1i=1

    Jadi estimator Bayes untuk p adalah

    o* p*!^1i=1

    5. Distribusi PoissonMisal X1,X2,...,Xs1 sampel acak dari populasi yang berdistribusi Poisson denganparameter L dapat dituliskan sebagai berikut :

    xi * Pot(x)er(x,lt)=+, i= 1,2, ..., n.

    Distribusi Prior untuk Xi -PO\A), i= 1,2, ..-, n adalah 1-Gamma(",8) Sehinggafungsi peluang dari distribusi priornya addlah sebagai berikut :

    o(A\=fi1^f t"-*, )">aFungsi likelihood :

    9,*,e_nA )j =1

    f[,,1i=1

    ..,Xn dan 1adalah:

    n+d

    r(71,x2,..,x,l^)-E+=

    Fungsi peluang bersama dari X1, X2,.

    f (2', x 1, x 2,. . ., ^ r) = "@Y 6 1,

    x 2,.. ., x nl,t ), mata

    a*9x,-t' i"='t' "-a(n+a)

    f(A;x1,x2,...xr1= #^

  • Berdasarkan definisi 3 maka estimator Bayes untuk 2 adalah sebagai berikut :

    "-e{n*o)6X.T^ "l f.Ei'-'o r(P)f[x,t^

    I=l

    n" s P*!xi-t1 o' .1, ,-=t'

    "-t(n+a)6trJno r(P)f{x;ti=1

    * p+\xi+1-1J t' i=1

    "-t"{n+o)67=! n

    a 0+T.xi-'lI i F:' "-s'(n+a)620

    F *L*i= ----.1=1-n+a

    n

    F +ZxiJadi estimator Bayes untuk 2 adalah -;#

    Tabel. Hubungan antara estimator Bayes dengan estimator klasik pada distribusi peluang' diskret yang khusus

    Nama Distribusi Estimator Bayes a BEstimator Klasik

    dari MLE

    Bernoulli

    n

    a +lxin+a+ B

    0 0

    n

    Z*ii=1

    n

    Binomial

    na +lx;

    ;1

    7.".80 0 Z*'i=1

    n2

    Binomial Negatif

    nr+an

    a+ B+lxii_1

    0 0

    nrn

    I,,i=1

    Geometrik

    n+a

    a+ B +|,xi;_1

    0 0

    nn

    2,,i=1

    Poisson

    n

    F *Zx;i=1

    n+a0 0

    nI,,i=1

    n

    10

  • SIMPULAN

    Estimator Bayes pada distribusi peluang diskret yang khusus mempunyaihubungan dengan estimator klasik dari Maximum Likelihood Estimator (MLE) bila c = 0dan P=0.

    DAFTAR PUSTAKA

    Bain, L. J. & Engelhardt, M. (1992). lntroduction to Probability and MathematicalSfafisfrbs. Belmont Duxburry Press.

    Berger, J. O. (1985)" Sfafisfibal Decision Theory and Bayesian Analysis- New York:Springer-Verlag.

    Elfessi, A. & Reineke, D. M. (2001). "A Bayesian Look at Classical Estimation TheExponentialDistribution," Journalof Sfafisfics Education, [Online],9(1).(http ://www, amstat. orq/publ ications/ise-/vg-n :l lelfeqsi. htFl )

    Hogg, R. V. & Tanis, E. A. (2001). Probability and Statistical lnference. Upper SaddleRiver, NJ: Prentice Hall.

    lriawan, N. (2003). ModulWorkshop Pemodelan Data dengan Markov Chain Monte Carlo

    {MCMC) menggunakan WINSBUG 1.2. $urabaya: Jurusan Statistika FMIPA lTS.

    11

    2003_B2.pdf2003_B22.pdf2003_B23.pdf2003_B24.pdf2003_B25.pdf2003_B26.pdf2003_B27.pdf2003_B28.pdf2003_B29.pdf2003_B210.pdf2003_B211.pdf