2003 hubungan antara estimator bayes dengan estimator klasik

TELAH DIPRT:tINIqSLi. l,]l pdDA SEI'IHj. I i,iJURUSA[,] f,-i,,1;tEt]:.rr j !,(A Fi.,iipA UNNES

TANGGAL 27 5:F] LI48IR ZCO3l(!, i'uA FAi;it'iA

1r ^ (| /j---

Definisi2 (Bain & Engelhardt, 1992)Misalkan XI,X2,...,Xn sampel acak dengan fungsi peluang fhi,g) dan fungsilikelihood z(d). setiap nitai w = h(y,x2,...,xn) yang memaksimumkan L(a) yaknif(r)> l(a) Oinamakan Maximum Liketihaod Estimator(MLfl.

Pada definisi 2, seringkali akan lebih mudah tidak memaksimalkan (a) melainkantn(a). Hal ini dapat dilakukan karena r-(a) oan tnr-(a) mencapai maksimum pada 0yang sama.

Definisi 3 (Elfessi& Reineke, 2OO1)Estimator Bayes dari ddidefinisikan sebagai berikut :

_ t e t {e; x1, x2,..., x nY o

ESTIMATOR KLASIK

1. Distribusi BernoulliMisal X1, X2,...,X,7 sampel acak dengan Xi * Atll(,p), i= 1,2, ..., n.

Xi - BtN(,p) o t6i,p)= p'i (- pl-^i, i = 1, 2, ..., n

Berdasarkan definisi 'l maka fungsi likelihood :

nn9,r, nr-(p)= IIf8r, p)=fIpr' (t- p)',r, = pi=1 (- p),-Zi,

i=l i=1

Dengan menggunakan definisi 2 akan dicari Maximum Likelihood Estimatar WLq.n(n\

tnt-(p)= Ixi tnp+l n-Z*i ltn(t-p)i=1 [ r=t )n' ( n )Tx, ln-)'x, I

atnr(p)_7=,''' I e')dp p 1-p

Persamaan likelihood :n(n\Ir, ir-Ir, Ii=1 _\ i=1 /_nb - 1-b -"

t*,^;aA p- J=!-

n

1,,Dengan menggunakan MLE maka diperoleh estimator klasik untuk p ddah +

2. Distribusi BinomialMisal X1,X2,...,Xn sampel acakdengan X; - Blru(n,p), i = 1, 2, ..., n.

xi - BtN(n,p) o f8,,ol=[i ]0.,

(- pY-'', i = 1, 2, ..., n

Berdasarkan definisi 1 maka fungsi likelihood :

r(p)= rr(,,, o>y{x,Jr,, ( - py -r =

[g[x,)], 2.', t oy' - po.,

Dengan menggunakan definisi 2 akan dieari Maximum Likelihood Estimator WLq

,nl(p) = "[l[;, )] * 2,,

m o *(n2-,r,.,1,*, - r,

n

I,,'

Persamaan likelihood :(n )lTx, -nr Il'Lt l Inr [i=t ) ^:--=tJp 1-p

^nre p=-i--Z*'i=1

Dengan menggunak an MLE maka diperoleh estimator klasik untuk p arf,sl;tn -!I-Zr'i=1

4. Distribusi GeometrikMisal X1,X2,...,X11 sampel acak dengan Xi - GeO(p), i= 1,2, ..., n.X 1 - GEo(p) o fQi, d= p( - p)ri -1, i = 1, 2, ..., n

Berdasarkan definisi 1 maka fungsi likelihood :nnn

r_(p) = fi r(xi, p) = fJ p(1 - p)*, -, = p, ( - p) i\_1* i - n

i=1 i=1

Dengan menggunakan definisi 2 akan dicari Maximum Likelihood Estimator (MLq.(n \

lnt(p)= nlnp+i Ir, -n itn(t-p)ti=t )(n )lIx, -n I

dtnL(p) n l7:' )dp p 1-p

Persamaan likelihood :(n )lIx,-nltu | -ln \i=t .) ^:--=L,p 1- p^ne p=-i-

\'-.4li=1

Dengan menggunakan MLE maka diperoleh estimator klaslk untuk p adalahn

n\- -.i=l

5. Distribusi PoissonMisal X1,X2,...,Xp sampel acak dengan Xi - POt(x\, i = 1, 2, ..., n

Xi- PotQ")er(x,,s")={+, i= 1,2, ..., n' xil

4

Berdasarkan definisi 1 maka fungsi likelihood :

9r,n n e-llxi "-nllj=1r(;)=flr$i,t)=fl+=+i:1 i=1 nt, Il*,t

i=1

Dengan menggunakan definisi 2 akan dicari Maximum Likelihood Estimator (MLE).nn

tnt-(z) = -il, +lx i ln2 - lnf[x; !i=l i=1

nIx,

atnl(z) =_n*7=,til" )"

Persamaan likelihood:

Zr'_ n+i=1, =O

)"nI,,

a i= i=tn

i,*,Dengan menggunakan MLE maka diperoleh estimator klasik untuk 2 adalah i:1

n

ESTIMATOR BAYES

Pada estimator Bayes, fungsi peluang f(*i,e) dinyatakan dengan fungsi peluangbersyarat yaitu (x;la).

1. Distribusi BernoulliSehingga untuk X1,X2,...,X4 sampel acak dari populasi yang berdistribusi Bernoullidengan parameter p dapat dituliskan sebagai berikut :

Xi - BtN(,p)., r(rilp)= p^i (- pl-*i, i = 1, 2, ..., n.

Distribusi Prior untuk Xi -BtN(,p), i = t,2, ..., n adalah p*BETA{a,B). Senlnggafungsi peluang dari distribusi priornya adalah sebagai berikut:

,(p)=ffi*-t(- pf-t, o < p

Fungsi peluang bersama dari X1XZ,...,Xn dan p adalah :f {o; x 1, x 2,..., x, ) = o{p\(x t, x 2,..., x, lp), maka

r(p;x1,xz,...*,) = #i#o**for'-' 1o - oy*o-I*,t

Berdasarkan definisi 3 maka estimator Bayes untuk p adalah sebagai berikut :

1 -t a\ o*fri -l n

^ [0ffi60 i-=1' (- of+f-zxi-t6o

'n1 -t ^\ a+l.xi -1 n

[##, n (-pY.P-7=i'-'ap1o*!r1*t-1 nIp i=1 (- oY*t- ,z=r*i-1dp

1 o*!ri-t nIp i:1 (- pY-P-7__i,-tap0

na +\x;

_ i=1n+a+ fi

o*i*,Jadi estimator Bayes untuk p adalah '=' = .' n+a+B

2. Distribusi BinomialMisal X1,X2,...,Xn sampel acak dari populasi yang berdistribusi Binomial denganpararneler p dapat dituliskan sebagai berikut :

X; - BtN(n,p)o r(,,|p)= (:,)n' (- pY-'i , i= 1,2, . , n

Distribusi Prior untuk Xi -BlN(n,p), i= t,2, ..., n adatah p-BETA(a,B). Sehinggafungsi peluang dari distribusi priornya adalah sebagai berikut :

o(p)=ffint(-pY', o

r (p; r t, x 2, x n) =tr#di t[ [;, ;] r".,:, r' -'

( - ovz * p - ! r i - t

Berdasarkan definisi 3 maka estimator Bayes untuk p adalah sebagai berikut :n

u -!' i#Blz(:,)lfl zr'

-' r -

"' . o - zt' " o o

i#fi[u[;';P .

E'' -'

u - oY'. o - f;'' oo1 ,* !xi+l-t ^ n! o i"=t' ( - pY'* B-,2=rr, -' dp

_0

1 a+\xi-l ^ n! o i'='t' (1- PY'* P- ,Z=,,r' -'dP0

na +lx1

- i=ln2 +a+ p

o *!^,Jadi estimator Bayes untuk p adalah u '='n' +a + B

3. Distribusi Binomial NegatifMisal X1,X2,.".,Xn sampel acak dari populasi yang berdistribusi Binomial Negatifdengan parameter p dapat dituliskan sebagai berikut :

x1 - BN(, p)o r(,,1p)= (i' :r')n l- pyi-', i = 1, 2,, n

Distribusi Prior untuk X' -eN|,p), i = 1,2, ..., n adalah p-BETA(a,B). Seninggafungsi peluang dari distribusi priornya adalah sebagai berikut:

nb)=ffir*'(- pY-', o.p

berikut:

1nI pnr

+u-t (, - p)9*,f x i - nr -1 6o0

nr+an

o+B+ fx;i=1

Jadi estimator Bayes untukp adalah nr +1

a+B+lx1i ='l

4. Distribusi GeometrikMisal X,1,X2,...,Xn sampel acak dari populasi yang berdistribusi Geometri denganparameter p dapat dltuliskan sebagai berikut :

X i'- GEo(pl f(x,lp)= p(- pYi -1, i = 1, 2, ..., n.

Distribusi Prior untuk Xi*GEO{p), i= t,2, ..., n adalah p-BETA(u,B). Seninggafungsi peluang dari distribusi priomya adalah sebagai berikut:

u(p)=ffix-'(- pY-', o

Berdasarkan definisi 3 maka estimator Bayes untuk p adalah sebagai berikut :

b= lrffion +u -1 ( - rY + f,-xi - n -t 6o

i#fr, n+.,-1 ( - pY

* i xi -n -t 6o

1on*.,*1-1(r _ oy. lf -n-1 dp

n

1'n *" -r ( - oY.,2=;i - n -1 dP

0

_ n+an

a+B+lx1i=1

Jadi estimator Bayes untuk p adalah

o* p*!^1i=1

5. Distribusi PoissonMisal X1,X2,...,Xs1 sampel acak dari populasi yang berdistribusi Poisson denganparameter L dapat dituliskan sebagai berikut :

xi * Pot(x)er(x,lt)=+, i= 1,2, ..., n.

Distribusi Prior untuk Xi -PO\A), i= 1,2, ..-, n adalah 1-Gamma(",8) Sehinggafungsi peluang dari distribusi priornya addlah sebagai berikut :

o(A\=fi1^f t"-*, )">aFungsi likelihood :

9,*,e_nA )j =1

f[,,1i=1

..,Xn dan 1adalah:

n+d

r(71,x2,..,x,l^)-E+=

Fungsi peluang bersama dari X1, X2,.

f (2', x 1, x 2,. . ., ^ r) = "@Y 6 1,

x 2,.. ., x nl,t ), mata

a*9x,-t' i"='t' "-a(n+a)

f(A;x1,x2,...xr1= #^

Berdasarkan definisi 3 maka estimator Bayes untuk 2 adalah sebagai berikut :

"-e{n*o)6X.T^ "l f.Ei'-'o r(P)f[x,t^

I=l

n" s P*!xi-t1 o' .1, ,-=t'

"-t(n+a)6trJno r(P)f{x;ti=1

* p+\xi+1-1J t' i=1

"-t"{n+o)67=! n

a 0+T.xi-'lI i F:' "-s'(n+a)620

F *L*i= ----.1=1-n+a

n

F +ZxiJadi estimator Bayes untuk 2 adalah -;#

Tabel. Hubungan antara estimator Bayes dengan estimator klasik pada distribusi peluang' diskret yang khusus

Nama Distribusi Estimator Bayes a BEstimator Klasik

dari MLE

Bernoulli

n

a +lxin+a+ B

0 0

n

Z*ii=1

n

Binomial

na +lx;

;1

7.".80 0 Z*'i=1

n2

Binomial Negatif

nr+an

a+ B+lxii_1

0 0

nrn

I,,i=1

Geometrik

n+a

a+ B +|,xi;_1

0 0

nn

2,,i=1

Poisson

n

F *Zx;i=1

n+a0 0

nI,,i=1

n

10

SIMPULAN

Estimator Bayes pada distribusi peluang diskret yang khusus mempunyaihubungan dengan estimator klasik dari Maximum Likelihood Estimator (MLE) bila c = 0dan P=0.

DAFTAR PUSTAKA

Bain, L. J. & Engelhardt, M. (1992). lntroduction to Probability and MathematicalSfafisfrbs. Belmont Duxburry Press.

Berger, J. O. (1985)" Sfafisfibal Decision Theory and Bayesian Analysis- New York:Springer-Verlag.

Elfessi, A. & Reineke, D. M. (2001). "A Bayesian Look at Classical Estimation TheExponentialDistribution," Journalof Sfafisfics Education, [Online],9(1).(http ://www, amstat. orq/publ ications/ise-/vg-n :l lelfeqsi. htFl )

Hogg, R. V. & Tanis, E. A. (2001). Probability and Statistical lnference. Upper SaddleRiver, NJ: Prentice Hall.

lriawan, N. (2003). ModulWorkshop Pemodelan Data dengan Markov Chain Monte Carlo

{MCMC) menggunakan WINSBUG 1.2. $urabaya: Jurusan Statistika FMIPA lTS.

11

2003_B2.pdf2003_B22.pdf2003_B23.pdf2003_B24.pdf2003_B25.pdf2003_B26.pdf2003_B27.pdf2003_B28.pdf2003_B29.pdf2003_B210.pdf2003_B211.pdf