RELASI DAN FUNGSI Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B dinamakan fungsi atau pemetaan jika setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan B.

A . MENYATAKAN SUATU FUNGSI

Diketahui : A = { 2 , 3 , 4 , 5 } , dan B = { 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } Fungsi f : A → B , dengan f : 2 → 4 f : 3 → 5 f : 4 → 6 f : 5 → 7 Fungsi f : A → B dapat dinyatakan dengan beberapa cara , yaitu :

1. Diagram Panah. 2. Diagram Kartesius.

3. Himpunan Pasangan Terurut . Jika fungsi f tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan terurut , bentuknya adalah : f = { ( 2 , 4 ) , ( 3 , 5 ) , ( 4 , 6 ) , ( 5 , 7 ) }

4. Rumus Fungsi .

Jika Ax maka f : x → x + 2 dengan Bx 2

Bentuk f : x → x + 2 atau f ( x ) = x + 2 , dinamakan rumus dari fungsi f .

A B

f

2. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi.

2.1 Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi

2.2 Menentukan invers suatu fungsi

B . DAERAH ASAL , DAERAH KAWAN , DAN DAERAH HASIL

Suatu fungsi f : A → B dinyatakan dengan diagram panah sbb :

Himpunan A dinamakan daerah asal atau domain dari fungsi f dan dilambangkan dengan Df . Himpunan B dinamakan daerah kawan atau kodomain dari fungsi f dan dilambangkan dengan Kf . Himpunan bagian dari B yang mempunyai pasangan di A dinama-kan daerah hasil atau range dari fungsi f dan dilambangkan dengan Rf . Jadi Rf = { a , b }

1. Diketahui himpunan A = { −3 ,−2 , 2 , 4 , 7 } dan B = { x | 0 ≤ x ≤ 50 , x bilangan bulat } . Fungsi f : A → B , dengan f : x → x 2 − 1 . Tentukan daerah hasil dari fungsi

tersebut. 2. Fungsi f : R → R , dengan f : x → x 2 − 2 x − 15 . Tentukan f ( x − 1 ) dan

f ( 2x + 3 ) 3. Diketahui f ( a ) = a 2 − 2 a − 15 = 33, tentukan nilai a !

1. Diketahui himpunan A = { −3 ,−2 , 2 , 4 , 7 } dan B = { x | 0 ≤ x ≤ 50 , x bilangan bulat } . Fungsi f : A → B , dengan f : x → x 2 − 1 . f ( −3 ) = ( −3 ) 2 − 1 = 9 − 1 = 8 f ( −2 ) = ( −2 ) 2 − 1 = 4 − 1 = 3 f ( 2 ) = 2 2 − 1 = 4 − 1 = 3 f ( 4 ) = 4 2 − 1 = 16 − 1 = 15 f ( 7 ) = 7 2 − 1 = 49 − 1 = 48 Daerah hasil fungsi f adalah Rf = { 3 , 8 , 15 , 48 } 2. Fungsi f : R → R , dengan f : x → x 2 − 2 x − 15 . f ( x − 1 ) = ( x − 1 ) 2 − 2 ( x − 1 ) − 15 = x2 − 2 x + 1 − 2 x + 1 − 15 = x2 − 4 x − 13 f ( 2x + 3 ) = (2x + 3) 2 − 2 (2x + 3 ) − 15 = 4 x2 + 12 x + 9 − 4 x − 6 − 15 = 4 x2 + 8 x − 12 3. f ( a ) = a 2 − 2 a − 15 Jika f ( a ) = 33 , maka nilai a dapat ditentukan sebagai berikut :

f ( a ) = a 2 − 2 a − 15 = 33 a 2 − 2 a − 48 = 0 ( a − 8 ) ( a + 6 ) = 0 Jadi a = 8 atau a = −6

1. Diketahui fungsi f : A → B , dengan }3,2,1,0,1{ A dan B himpunan

bilangan bulat . Nyatakan f dengan diagram panah , himpunan pasangan terurut dan diagram kartesius , jika diketahui :

a. f : x → 2 x + 1 b. f : x → 2 x 2 − 3

2. Diketahui himpunan A = { −2 , 4 , 5 , 6 } dan B = { x | 0 ≤ x ≤ 50 , x bilangan riil } .

Fungsi f : A → B , dengan f : x → 12

5

x

x , tentukan daerah hasil dari fungsi f .

3. Fungsi f : R → R , dengan f : x → x + 3 , tentukan :. a. f ( − 1 ) b. f ( x + 3 )

c. f ( 2 x − 2 ) d. f ( x + h )

4. Fungsi f : R → R , dengan f : x → 2 x2 + 5 x −4 , tentukan :. a. f ( 6 ) b. f ( x + 1 )

c. f ( 1 − x ) d. f ( x + h )

5. Fungsi f : R → R , dengan f : x → 6 − 4 x a. Hitunglah f ( −5 ) b. Jika f ( x ) = −14 , tentukan nilai x !

6. Fungsi f : R → R , dengan f : x → 3 x2 − 7 x + 2 a. Hitunglah f ( 3 ) b. Jika f ( x ) = −2 , tentukan nilai x !

FUNGSI KOMPOSISI

Diketahui : Fungsi f : A → B dengan f : x → y Fungsi g : B → C dengan g : y → z Fungsi h : A → C dengan h : x → z Jadi : f ( x ) = y dan g ( y ) = g ( f ( x )) = z h ( x ) = ( g o f ) ( x ) = z Kesimpulan : ( g o f ) ( x ) = g ( f ( x )) Fungsi g o f dinamakan fungsi komposisi ( fungsi majemuk ) dari fungsi f dan g .

Sifat-sifat Fungsi Komposisi 1. ( g o f ) ( x ) ≠ ( f o g ) ( x ) 2. ( h o ( g o f )) ( x ) = (( h o g ) o f ) ( x )

1. Diketahui RRf : dengan f ( x ) = x + 3 , dan RRg : dengan 462)( 2 xxxg .

Tentukan : a. )()( xgf b. )()( xfg c. )2()( gg

2. Diketahui RRf : dengan f ( x ) = 2 x − 1 , dan RRg : dengan x

xxg

41

6)(

.

Tentukan : a. )()( xgf b. )()( xfg

x y = f ( x ) z = g ( y ) = g (f ( x ) )

f g

h = g o f

A B C

1. Diketahui RRf : dengan f ( x ) = x + 3 , dan RRg : dengan 462)( 2 xxxg .

a. 43632)3())(()()(2

xxxfxgfxgf

321824186181224186962 222 xxxxxxxx

b. 1623462)462())(()()( 222 xxxxxxgxfgxfg

c. 835)5()32())2(()2()( gggggg

2. Diketahui RRf : dengan f ( x ) = 2 x − 1 , dan RRg : dengan x

xxg

41

6)(

.

a. x

x

x

x

x

x

x

x

x

xfxgfxgf

41

112

41

41

41

1221

41

62)

41

6())(()()(

b. 58

52

1241

612)12())(()()(

x

x

x

xxgxfgxfg

1. Tentukan ( f o g ) ( x ) dan ( g o f ) ( x ) , jika diketahui :

a. xxgxxf 37dan,52

b. 14dan,73 2 xxxgxxf

c. 72dan,12 22 xxgxxxf

d. 32

85dan,4

x

xxgxxf

e. 26

1dan,

75

27

x

xxg

x

xxf

f. 1

dan,cos

x

xxgxxf

g. 1dan,sin 22 xxgxxf

2. Diketahui x

xxhxxgxxf

3

2dan,9,26 2 , tentukan :

a. xhgf

b. xghf

c. xhfg

d. xhfh

e. xfgh

f. 2fhg

3. Diketahui xxhxxgxxf cosdan,,1 2 , hitunglah :

a.

2

1hgf

b. hfg

FUNGSI INVERS

Diketahui : Fungsi f : A → B dengan f : x → y Relasi f −1 : B → A dengan f −1 : y → x adalah invers dari fungsi f . Jika relasi f −1 merupakan fungsi, maka f −1 disebut fungsi invers dari f .

Langkah-langkah menentukan invers dari fungsi f ( x ) , adalah : 1. Misalkan dengan f ( x ) = y 2. Bentuklah fungsi f ( y ) = x 3. Pada bentuk f ( y ) = x , variabel x dan y saling menggantikan.

y x

A B

f −1

f

Tentukan invers dari fungsi :

1 . f ( x ) = 103

2x 2 . f ( x ) =

16

52

x

x

1. Menentukan invers dari fungsi f ( x ) = 103

2x

Misal yx 103

2 , maka :

2

30

2

3 yx 15

2

3 yx , jadi f 1 ( x ) = 15

2

3x

2. Menentukan invers dari fungsi f ( x ) = 16

52

x

x

Misal yx

x

16

52 ,

maka : yyxx 652

562 yyxx

562 yyx

y

yx

62

5

26

5

y

yx

jadi f 1 ( x ) = 26

5

x

x

1. Tentukan invers dari fungsi-fungsi berikut ini :

a. xxf 25)(

b. 72

1)( xxf

c. 154

)(

x

xxf

d. 16

103)(

x

xxf

e. 85

18)(

xxf

f. 2

)( xxf

g. xxf )(

h. 342)( xxxf

2. Diketahui 86)( xxf , tentukan :

a. )(1 xf

b. )2(1 xf

c. )4(1f

d. )cos(1 xf

3. Diketahui 10

29)(

x

xxf , tentukan :

a. )(1 xf b. )1(1 xf c. )3(1 f

4. Diketahui 12

5)(

xxf dan

36

1)(

x

xxg , tentukan :

a. )(1 xf

b. )(1 xg

c. )(1 xgf

d. )(1 xgf

e. xgf 11

f. )(1

xgf

g. )(1

xfg

h. )4(1

ff

RUMUS PRAKTIS :

Jika dxc

bxaxf

)( , maka

axc

bxdxf

)(1

Info :

MENENTUKAN RUMUS FUNGSI JIKA DIKETAHUI KOMPOSISINYA

Jika diketahui fungsi g ( x ) dan fungsi ( g o f ) ( x ) , maka fungsi f ( x ) dapat ditentukan dengan cara : 1 . menggunakan rumus : ( g o f ) ( x ) = g ( f ( x )) .

2 . menggunakan rumus : )()()( 1 xfggxf

1. Diketahui g ( x ) = 2 x − 1 , dan 26)( 2 xxxfg , tentukan rumus fungsi xf !

2. Diketahui f ( x ) = x + 2 , dan 32

5)(

x

xxgf , tentukan rumus fungsi xg !

1. Diketahui g ( x ) = 2 x − 1 , dan 26)( 2 xxxfg , rumus fungsi xf dapat

ditentukan sbb : Cara 1 :

2621)(2)()( xxxfxfgxfg , maka :

2

362)(1262)(22621)(2

xxxfxxxfxxxf

Jadi : 2

33

2

1)( 2 xxxf

Cara 2 : Misal : g ( x ) = y

y = 2 x − 1 2

1

yx Jadi :

2

1)(1 x

xg

)()()( 1 xfggxf 2

33

2

1

2

1)26()26( 2

221

xx

xxxxg

2. Diketahui f ( x ) = x + 2 , dan 32

5)(

x

xxgf , fungsi xg dapat ditentukan sbb :

Cara 1 :

32

52)()()(

x

xxgxgfxgf , maka :

32

113

32

64

32

5)(2

32

5)(

32

52)(

x

x

x

x

x

xxg

x

xxg

x

xxg

Jadi : 32

113)(

x

xxg

Cara 2 : Misal : f ( x ) = y

y = x + 2 2 yx Jadi : 2)(1 xxf

)()()( 1 xgffxg 32

113

32

6452

32

5)

32

5(1

x

x

x

xx

x

x

x

xf

Jika diketahui fungsi f ( x ) dan fungsi ( g o f ) ( x ) , maka untuk menentukan bentuk fungsi g ( x ) dapat menggunakan cara berikut : Cara 1 : 1 . memisalkan f ( x ) dengan m . 2 . nyatakan variabel x dengan m. 3 . hasil pada langkah 2. digunakan untuk mensubstitusi variable x. 4 . ganti m dengan variable x. Cara 2 :

fungsi xg dapat ditentukan dengan rumus : )()()( 1 xffgxg

1. Diketahui f ( x ) = 2 x − 1 , dan 836)( 2 xxxfg , tentukan rumus dari fungsi xg !

2. Diketahui g ( x ) = 4 − x , dan 13

2)(

x

xxgf , tentukan rumus dari fungsi xf !

1. Diketahui f ( x ) = 2 x − 1 , dan 836)( 2 xxxfg , fungsi xg dapat ditentukan

sbb : Cara 1 :

836)12()( 2 xxxgxfg

Misal : m = 2 x − 1 2

1

mx

Jadi : 836)12( 2 xxxg

82

13

2

16)(

2

mmmg

82

13

4

126)(

2

mmmmg

4

32666126)(

2

mmmmg

4

3266)(

2

mmmg

Kesimpulan : 4

3266)(

2

xxxg

Cara 2 :

)()()( 1 xffgxg

Misal : yxxf 12)( 2

1

yx

Jadi : 2

1)(1 x

xf

)()()( 1 xffgxg

))(()( 1 xffg

)2

1()(

xfg

8

2

13

2

16

2

xx

4

3266 2

xx

2. Diketahui g ( x ) = 4 − x , dan 13

2)(

x

xxgf , fungsi xf dapat ditentukan sbb :

Cara 1 :

13

2)4()(

x

xxfxgf

Misal : m = 4 − x mx 4

Jadi : 13

2)4(

x

xxf

m

m

m

mmf

311

6

1)4(3

24)(

Kesimpulan : x

xxf

311

6)(

Cara 2 :

)()()( 1 xggfxf

Misal : yxxg 4)( yx 4

Jadi : xxg 4)(1

)()()( 1 xggfxf

))(()( 1 xggf

)4()( xgf

1)4(3

24

x

x

x

x

311

6

Tentukan rumus untuk fungsi xg jika diketahui rumus fungsi berikut :

1. 2102dan,4 xxxgfxxf

2. 35dan,2

13

xxgf

x

xxf

3. 2

6dan,4

x

xxgfxxf

4. 11dan,9

7 2

xxgf

x

xxf

5. 34dan,6 2 xxxfgxxf

6. xxfgxxf 42dan,43

7. x

xxfgxxf

23

4dan,8

8. 2

39dan,

5

16

x

xxfg

x

xxf

9. xxgfxxf5

14dan,2

3

2

10. xxgfxxf 2cosdan,14