13200 ortogonalne trajektorije

7/30/2019 13200 Ortogonalne trajektorije

1/16

Ortogonalne trajektorije

Dr piro Gopevi


2/16

Ortogonalna trajektorija familije krivih - kriva

koja see svaku krivu familije pod pravimuglom


Neautorizovani tekst. 2


3/16

Razmotrimo dve familije krivih:, u xy

ravni Svaka kriva familije preseca svaku krivu

familije

pod pravim uglom i obratno Za svaku familiju krivi moe da se kae da je

familija ortogonalnih trajektorija druge

familije



4/16

Primer: familija svih krugova sa centrom u

koordinatnom poetku i je familija svih pravih kojeprolaze kroz koordinatni poetak

Reenje: Vidi se da je svaka familija krivih familija

ortogonalnih trajektorija one druge familije krivih



5/16

DJ jednoparametarske familije krivih u

ravni xy

DJ familije ortogonalnih trajektorija familijeje

( , )dy

f x ydx

=

1

( , )

dy

dx f x y

=



6/16

Metod nalaenja ort. traj. Za datu familiju krivih

1. Nai diferencijalnu jednainu familije krivih,diferenciranjem predhodne jednaine,

2. Nai diferencijalnu jednainu ortogonalnihtrajektorija

3. Reenje DJ ortogonanih trajektorija je familijaortogonalnih trajektorija

( , , ) 0F x y c =

( , )dy

f x y

dx

=

1

( , )

dy

dx f x y

=

( , , ) 0G x y c =


7/16

Primer: Nai jednainu familije ortogonalnih trajektorija

familije krivih Reenje:

1. DJ familije krivih je

2. DJ ortogonalnih trajektorija ( homogena DJ)

3. Familija ortogonalnih trajektorija

3 2

13 3x xy c+ =

2 2

2

dy x y

dx xy

+=

2 2

2dy xy

dx x y=

+

( )2 2 2y y x c y =



8/16

Primer: Nai jednainu familije ortogonalnih trajektorija

familije krivih Reenje:

1. DJ familije krivih je

2. DJ ortogonalnih trajektorija ( homogena DJ)

3. Familija ortogonalnih trajektorija


2 3

y cx=

3

2

dy y

dx x=

2

3

dy x

dx y

=

2 23 2y x c+ =


9/16

Primer: Razmotriemo jednoparametarsku

familiju parabola ije su ie u koordinantnompoetku

24 ( )y c x c= +

The DE of the above family is:

(*)

c > 0 c < 0



10/16

Diferencijalna jednaina familije krivih

jeste

DJ familije ortogonalnih trajektorija dobija se

zamenom

2 4 ( )y c x c= +

2 2

y yyx

y

= +

1y sa

y



11/16

Dobija se

Kada se jednaina sredi dobija se

to je isto kao i poetna jednaina.

Ortogonalna familija parabola je ortogonalna

na samu sebe

2 2yy yx

y

=

2 2y yyxy

= +



12/16

Primer: Nai ortogonalne trajektorije familije krivihx

= ky2

, gde je kproizvoljna konstanta Reenje:

Krivex= ky2 formiraju familiju parabola ija je osa simetrijex-osa

Prvi korak je nalaenje jedne diferencijalne jednaine kojazadovoljava sve lanove familije

Ako diferenciramo predhodnu jednainu x= ky2


11 2 ili =2

dy dykydx dx ky

=



13/16

DJ zavisi od k.

Potrebna nam je jednaina koja je validna za svako k

istovremeno Da bismo eliminisali k, iz jednaine parabolex= ky2 imamo

da je k=x/y2 i zamenom u DJ imamo da je

11 2 ili =

2

dy dyky

dx dx ky

=


2

1 1

22

dy

xdx kyy

y

= =

2

dy y

dx x=ili



14/16

Ovo znai da je nagib tangentne linije u svakoj taki (x, y)na jednu od parabola

Na ortogonalnu trajektoriju, nagib tangentne linije mora da

bude negativna reciprona vrednost ovoga nagiba i iznosi

2dy ydx x

=


2dy x

dx y=



15/16

Dobijena DJ je DJ sa razdvajanjem promenjivih(videti prezentaciju: ODJ koja razdvaja

promenjive) Reavanjem DJ jednaine dobijamo jednainu

ortogonalnih trajektorija:

2

2

2

2

2

2

2

y dy x dx

yx C

yx C

=

= +

+ =




16/16

13200 ortogonalne trajektorije

Documents