1. z s olusi paket 2

Soal Paket 2 Pembinaan Online

SMA DARUL ULUM 2 JOMBANG Mr. DIDIK SADIANTO

SOLUSI SOAL LATIHAN OLIMPIADE MATEMATIKA SMA KERJASAMA

SMA DARUL ULUM 2 UNGGULAN BPPT JOMBANG dg LOPI

Disusun Oleh: DIDIK SADIANTO, M.Pd. (Email: [email protected])

YAYASAN PONDOK PESANTREN DARUL ULUM SMA DARUL ULUM 2 UNGGULAN BPPT JOMBANG

Tahun 2015



1. Perhatikan bahwa:

35359302522 xxxx

Karena 5

3x , maka xxxxx 53353593025 2 .

2. Misalkan 1122222 2345 N , maka 6264 N .

Jadi, banyaknya pembagi positif dari N adalah (6 + 1) = 7 buah 3. Untuk mencari jumlah semua bilangan ratusan/tiga digit yang disusun dari angka-angka 2,

4, 6, dan 8, kita bagi dalam 4 kasus. Kasus I: digit pertama angka 2

222 + 224 + 226 + 228 = 4.200 + 4. 20 + (2+4+6+8) = 900 242 + 244 + 246 + 248 = 4. 200 + 4.40 + (2+4+6+8) = 980 262 + 264 + 266 + 268 = 4. 200 + 4. 60 + (2+4+6+8)= 1060 282 + 284 + 286 + 288 = 4. 200 + 4.80 + (2+4+6+8) = 1140 Sehingga jumlah semua bilangan untuk kasus I = 4080

Kasus II: digit pertama angka 4 Dengan cara yang sama dengan kasus I, maka kita peroleh pola sebagai berikut: 4.400 + 4.20 +(2+4+6+8) = 1700 4.400 + 4.60 +(2+4+6+8) = 1780 4.400 + 4.60 +(2+4+6+8) = 1860 4.400 + 4.80 +(2+4+6+8) = 1940

Sehingga jumlah semua bilangan untuk kasus II = 7280 Kasus III: digit pertama angka 6 Dengan cara yang sama dengan kasus I, maka kita peroleh pola sebagai berikut: 4.600 + 4.20 +(2+4+6+8) = 2500 4.600 + 4.60 +(2+4+6+8) = 2580 4.600 + 4.60 +(2+4+6+8) = 2660 4.600 + 4.80 +(2+4+6+8) = 2740

Sehingga jumlah semua bilangan untuk kasus III = 10.480 Kasus IV: digit pertama angka 8 Dengan cara yang sama dengan kasus I, maka kita peroleh pola sebagai berikut: 4.800 + 4.20 +(2+4+6+8) = 3300 4.800 + 4.60 +(2+4+6+8) = 3380 4.800 + 4.60 +(2+4+6+8) = 3460 4.800 + 4.80 +(2+4+6+8) = 3540

Sehingga jumlah semua bilangan untuk kasus IV = 13.980 Jadi, solusi untuk soal ini adalah 4080 + 7280 + 10.480 + 13.980 = 35520.

4. Dari 3

2

EC

AE, maka

2

3

AE

EC dan Dari

7

5

BC

BD, maka

2

5

DC

BD.

Dengan menggunakan aturan De Ceva, maka kita peroleh:

1.. EA

CE

DC

BD

FB

AF

15

4

3

2.

5

2

FB

AF

Jadi, AF : FB = 4: 15. 5. Bilangan P terbesar yang selalui membagi 5 bilangan asli berurutan adalah 5! = 120.



6. Misal N jumlah bilangan mulai 20 s.d. 100, maka 860.4100202

81N

Misal M jumlah bilangan mulai 20 s.d. 100 yang habis dibagi 7, maka

71498212

1298....2821 M

Jadi, jumlah semua bilangan asli mulai 20 s.d. 100 yang tidak habis dibagi 7 adalah .4146MN

7. Alternatif 1: Perhatikan gambar berikut: Jelas bahwa BAEDCE ~ , maka kita peroleh bentuk:

AE

CE

BE

DE

BA

DC …..*)

Jelas bahwa ABDCDB , maka kita peroleh:

2

2

sin...2

1

sin...2

1

BA

DC

ABDBEBA

CDBDEDC

L

L

BAE

DCE

3

2

9

4

36

162

2

BA

DC

BA

DC ….**)

Dari *) dan **), maka kita peroleh:

3

2

AE

CE

BE

DE

BA

DC …… ***)

Dari ***), jika kita tulis dalam gambar:

Karena ABCD trapezium, maka .ABECDE

Perhatikan segitiga ABE,

36sin..2

1 ABEBEABL ABE

8sin36sin.3.3.2

1 ABExyABEyx .

Sehingga

.608.15.2

1sin.5.3.

2

1sin..

2

1 ABEyxABEBDABL ABD ……...1)

Perhatikan segitiga CDB, Karena ABCD trapezium dan 8sin ABExy , maka 8sin CDExy .

C D

B

E

A

C D

B

E

A

2x

2y 2z

3y 3z

3x



CDEDBCDL CDB sin..2

1

408.5sin.5.2.2

1 CDEyx ……. 2)

Dari 1) dan 2): Jadi Luas Trapesium ABCD =60 + 40 =100. Alternatif 2: (P. Eddy Hermanto) Perhatikan gambar berikut: Jelas bahwa BAEDCE ~ , maka kita peroleh bentuk:

3

2

ABke EJarak

DC ke E Jarak

AE

CE

BE

DE

BA

DC …..*).

Dari 3

2

BA

DC, kita peroleh: Jika DE = 2x, maka AB = 3x. Misalkan jarak titik E ke DC = 2t,

maka jarak titik E ke sisi AB = 3t.

)1......(8362

93.

2

1 txtxtABL ABE .

Sehingga .1002

255.

2

1 txtCDABLABCD

8. Dari 7)1(&.2)()1( fnnfnf , maka kita peroleh data berikut:

1.271.2)1()2(,1 ffn

2.21.272.2)2()3(,2 ffn

3.22.21.273.2)3()4(,3 ffn

.

.

.

.

kkkfkfkn 2.....3.22.21.27.2)()1(,

Sehingga agar kita dapat menghitung )100(f , maka k haruslah 99.

.99079912

99.2799.....3212799.2....3.22.21.27)100( f

9. Perhatikan gambar berikut:

c B

C

A

a b

C D

B

E

A



Berdasarkan aturan cosinus, maka kita peroleh:

cos2222 accab …*) dan dari soal diketahui bahwa

accab 3222 ….**).

Dari *) dan **), maka kita peroleh 015032

1cos .

Jadi, .6

300 atau

10. Penjabaran dari 10078 yx adalah

1000

10010099

9910099

11000100

0100 7878......7878 yxCyxCyxCyxC .

Sehingga jumlah koefisien dari penjabaran 10078 yx adalah

1787878....78781001000

10010099

9910099

11000100

0100 CCCC .

Penjabaran dari 10065 yx adalah

1000

10010099

9910099

11000100

0100 6565......6565 yxCyxCyxCyxC

Sehingga jumlah koefisien dari penjabaran 10065 yx adalah

1656565....65651001000

10010099

9910099

11000100

0100 CCCC .

Jadi, jumlah koefisien dari penjabaran 10078 yx + 100

65 yx adalah 1 + 1 = 2.

11. 44

21

3.2.1

12.11.10

5.2

7.6.

1,23

12

15

27

C

CCRBP

12. Perhatikan bahwa

4610

14

76

2

2

2

xz

zy

yx

.

Jumlahkan ketiga persamaan di atas, maka kita peroleh bentuk:

384610 222 zzyyxx

0235222 zyx

Dari persamaan terakhir, maka kita peroleh: 2&,3,5 zyx .

Jadi, nilai dari .21291032 zyx

13. Misalkan banyaknya burung n dan banyaknya sangkar m, maka kita peroleh:

nm

nm

18

17.

Dengan menyelesaikan system persamaan di atas, maka kita peroleh m = 9. Jadi, banyak burung yang ada adalah n = 9 . 7 + 1 = 64. 14. Misalkan panjang sisi segitiga adalah a, b, dan c serta jari-jari lingkaran dalam segitiga

tersebut r. Dari data yang diketahui pada soal, maka kita peroleh:

cbaL ABC .

Perhatikan bahwa:



2

2

1

cba

Lr ABC .

Jadi, luas lingkaran dalamnya adalah 4 .

15. Agar bababa 5719&571857172 .

Agar .65785718 bbba

Agar .819967519576195719 aaaaba

Jadi, nilai dari .14 ba

16. Perhatikan gambar berikut:

Dan diketahui bahwa AP = 7 cm, BQ = 16 cm, BC =20 cm. Berdasarkan teorema secant-tangent, maka kita peroleh:

QCQBAQ .2

5762016162 AQ .

Perhatikan segitiga siku-siku PAQ di A, maka berdasarkan teorema Pythagoras:

256255764922 AQAPPQ

Jadi, panjang PQ adalah 25 cm. 17. Alternatif 1:

Misalkan 2

1tan&

2

1tan yx .

Dari 72

1tan , maka kita peroleh:

7

2

1tan

2

1tan1

2

1tan

2

1tan

.....*)

71

777

y

yxxyyx

Dari 32

1tan , maka kita peroleh:

*)*...31

3333

2

1tan

2

1tan1

2

1tan

2

1tan

y

yxxyyx

Dari *) dan **), maka kita peroleh bentuk:

Q

A

P

B

C



04444 2 yy

01112 yy

Dengan menggunakan rumus kuadrat, maka kita peroleh:

2

5511&

2

551121

yy .

Sehinga 2

1tan adalah

2

5511;

2

5511

Perhatikan bahwa:

Untuk 55112

1tan2

2

5511

2

1tan

dan 5110246

4

1

2

1tan2 .

Sehingga

.22

4

551122

55114

5110242

)5511(.4

2

1tan1

2

1tan2

tan2

Untuk 55112

1tan2

2

5511

2

1tan

dan 5110246

4

1

2

1tan2 .

Sehingga

.22

4

551122

55114

5110242

)5511(.4

2

1tan1

2

1tan2

tan2

Jadi nilai .11

2

22

4tan

Alternatif 2: (P. Edy Hermanto)

72

1tan dan 3

2

1tan .

Perhatikan bahwa

18. Untuk menyelesaikan soal ini, kita bagi dalam kasus-kasus:

Jika ,131 nn sehingga banyak bilangan n yang habis dibagi n ada 3

buah


buah


buah


buah


buah




buah


buah


buah


buah


buah

Jadi banyaknya bilangan asli n sampai dengan 100 yang habis dibagi oleh n ada

sebanyak (3 . 9 + 1) = 28 bilangan.

19. Misalkan 25 Nbabaab , maka: 2551010 Nbaabba

216 Nba .

Agar kesamaan terakhir terpenuhi haruslah ba bilangan kuadrat.

Jelas bahwa 9,8,7,6,5,4,3,2,1, ba dan 182 ba . Sehingga jelas bahwa

16

9

4

ba .

Jika 4 ba maka banyaknya pasangan a & b yang memenuhi ada 3 buah



Jadi, banyaknya bilangan ab yang memenuhi kondisi pada soal adalah (3+8+3)= 14

bilangan

20. Misalkan data semula adalah nxxx ,....,, 21 dan rata-ratanya adalah x .

Perhatikan bahwa:

5,6

25,1.4,0.....25,1.4,025,1.4,0 21

n

xxx n

25,1

5,64,0....21

n

nxxx n

2,54,0....21

n

xxx n

8,44,02,5 x

Jadi, nilai rata-rata dari data sebelum dikonversi adalah 4,8.

1. z s olusi paket 2

Education