1

BAB I

TEORI GRUP

Mengawali bab ini, kita kembali menengok ke belakang pada bab

sebelumnya. Misalkan S himpunan yang tak kosong, kita definisikan A(S)

himpunan semua pemetaan satu-satu dari S pada S. Untuk sebarang f,g di

A(S) kita kenakan operasi perkalian fog yaitu komposisi dari fungsi f dan g.

Berdasarkan penyelidikan, kita telah peroleh fakta berikut.

1. Jika f,g A(S), maka fog juga dalam A(S). Fakta ini mengatakan bahwa

dengan operasi komposisi fungsi, A(S) bersifat tertutup.

2. Untuk sebarang tiga unsur f,g,h A(S), berlaku fo(goh) = (fog)oh. Fakta ini

mengatakan bahwa operasi komposisi dalam A(S) memenuhi sifat

asosiatif.

3. Terdapat idS unsur yang sangat khas dalam A(S) yang memenuhi, idSof = f

= foidS untuk setiap fA(S). idS ini disebut unsur identitas untuk A(S)

relatif terhadap operasi komposisi dalam A(S).

4. Untuk setiap fA(S), terdapat unsur f –1 juga dalam A(S) sedemikian

sehingga fof –1 = idS = f –1of. Fakta ini menunjukkan bahwa setiap unsur

dalam A(S) memiliki invers yang juga dalam A(S).

Berdasarkan penyelidikan di A(S) khususnya apabila S mempunyai 3

unsur atau lebih, maka dapat kita temukan unsur-unsur f dan g dalam A(S)

sedemikian sehingga fog gof.

Fakta-fakta yang dapat kita peroleh dalam A(S) sebagaimana

dikemukakan di atas merupakan salah satu contoh yang mengilhami adanya

konsep grup seperti disajikan pada Definisi 1.1 berikut.

2

1.1. DEFINISI. Suatu himpunan G yang tak kosong dikatakan

membentuk grup, jika dalam G dapat didefinisikan suatu operasi biner, yang

dinamakan operasi perkalian, ditulis “.” sedemikian sehingga

(1). a.bG, untuk setiap a,bG

(2). a.(b.c) = (a.b).c, untuk semua a,b,cG

(3). Terdapat unsur eG sedemikian sehingga a.e = e.a = a, untuk setiap

aG

(4). Untuk setiap aG, terdapat a-1G sedemikian sehingga a.a-1 = a-1.a =

e.

Selanjutnya, suatu grup G dikatakan Abelian (Komutatif), jika untuk

setiap a,bG berlaku a.b = b.a. Grup yang tidak komutatif disebut Grup Non-

Abelian.

Setelah memperhatikan Definisi 1.1, maka secara mudah kita dapat

menyimpulkan bahwa A(S) dengan operasi komposisi di dalamnya seperti

dikemukakan di atas (sebelum Definisi 1.1) merupakan grup, meskipun bukan

grup Abelian. Jika S himpunan hingga dan memiliki n unsur, maka grup A(S)

akan disimbol dengan Sn.

Hal lain yang menjadi karakteristik suatu grup adalah jumlah unsurnya.

Jumlah unsur dari suatu grup G, disimbol o(G), dan disebut orde dari G.

Tentu saja, jika kita ingin membicarakan ciri ini, maka hanya akan menarik

apabila o(G) hingga (finite). Grup G yang o(G) hingga, disebut grup hingga.

1.2. CONTOH-CONTOH : (a). Misalkan G himpunan bilangan bulat, dan

kita artikan operasi biner a.b untuk a,bG adalah penjumlahan pada bilangan

bulat, yaitu a.b = a + b. Maka segera dapat ditunjukkan bahwa G bersifat

tertutup dengan operasi ini, karena hasil penjumlahan dua bilangan bulat juga

3

merupakan bilangan bulat. Demikian juga sifat asosiatif dengan operasi ini

pada bilangan bulat, jelas dipenuhi. Selanjutnya, yang berperan sebagai e

dalam G adalah 0 karena untuk setiap aG, berlaku a + 0 = a = 0 + a, dan

setiap unsur aG mempunyai a-1 = -a juga unsur dalam G.

(b). Misalkan G = {1,-1} dibawah operasi perkalian pada bilangan real.

Perhatikan Tabel berikut:

1 -1

1 1 -1

-1 -1 1

Berdasarkan Tabel di atas dapat dilihat bahwa G bersifat tertutup, dapat

ditunjukkan bahwa operasinya memenuhi sifat asosiatif, unsur identitasnya

adalah e = 1. Selanjutnya, 1-1 = 1 dan (–1)-1 = -1. Lebih dari itu, dapat juga

ditunjukkan bahwa G membentuk grup komutatif dengan o(G) = 2

(c). Jika S = {x1,x2,x3}. S3 adalah himpunan semua fungsi 1-1 dari S

pada S, diberikan operasi komposisi pada fungsi-fungsi, maka

S3 = {e, f, g, fog, g2, gof}

dengan

f : x1 x2 g : x1 x2

x2 x1 x2 x3

x3 x3 x3 x1

o e f g fog g2 gof

e e f g fog g2 gof

f f e fog g gof g2

4

g g gof g2 f e fog

fog fog g2 gof e f g

g2 g2 fog e gof g f

gof gof g f g2 fog e

Dengan memperhatikan tabel di atas, maka S3 dengan operasi komposisi

fungsi bersifat tertutup, sifat asosiatif dalam S3 dengan operasi ini dipenuhi

sebagai sifat warisan operasi komposisi fungsi-fungsi sebarang, kemudian

dengan operasi ini S3 memiliki unsur identitas, yaitu pemetaan identitas e, dan

setiap unsur dalam G memiliki invers dalam S3 juga, yaitu: e-1 = e S3, f-1 =

f S3, g-1 = g2 S3, (fog)-1 = fog S3, (g2)-1 = g S3, dan (gof)-1 = gof S3, Dari

sini berarti bahwa S3 membentuk grup. Karena gof fog maka S3 bukan grup

Abelian. Dengan demikian S3 membentuk grup hingga non-Abelian dengan

o(S3) = 6.

Untuk menyederhanakan bentuk, selanjutnya untuk sebarang a,bG

akan digunakan notasi a.b = ab. Kemudian kita juga akan menyatakan, a0 = e,

a1 = a, a2 = aa, a3 = aa2, … , ak = aak-1. Demikian juga kita nyatakan, a-2 = (a-

1)2, a-3 = (a-1)3, … , a-k = (a-1)k.

(d). Misalkan n sebarang bilangan bulat positif. Kita konstruksi suatu

grup orde n sebagai berikut. G = {aii = 0,1, … ,n}, dengan mendefinisikan

a0 = e, aiaj = ai+j jika i + j < n, dan aiaj = ai+j-n, jika i + j n. Dapat dengan

mudah dibuktikan bahwa G membentuk grup. Grup ini disebut grup siklik

orde n.

Untuk memperjelas contoh ini, misalkan n = 5, maka kita mempunyai

G = {e, a, a2, a3, a4}. Selanjutnya perhatikan Tabel berikut.

5

. e a a2 a3 a4

e e a a2 a3 a4

a a a2 a3 a4 e

a2 a2 a3 a4 e a

a3 a3 a4 e a a2

a4 a4 e a a2 a3

Jelas, dengan operasi yang diberikan, G bersifat tertutup. Selanjutnya

dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa dengan operasi ini, dalam G berlaku

sifat asosiatif. Kemudian, bahwa dalam G terdapat unsur identitas, yaitu e,

dan setiap unsur dalam G memiliki invers dalam G yaitu: e-1 = eG, a-1 = a4

G, (a2)-1 = a3 G, (a3)-1 = a2 G, dan (a4)-1 = a G. Lebih dari itu, bahwa

jika ai dan aj sebarang dalam G, maka aiaj = ai+j = aj+i = ajai untuk i + j < 5

dan aiaj = ai+j = aj+i = ajai untuk i + j 5, dengan demikian dalam G berlaku

sifat komutatif. Jadi, G merupakan grup Abelian (periksa!).

(e) Misalkan G = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k} dan dalam G dilengkapi

dengan operasi perkalian, dengan hasil lengkap dari pengoperasian unsur-

unsur dalam G, disajikan pada tabel berikut.

. 1 -1 i -i j -j k -k

1 1 -1 i -i j -j k -k

-1 -1 1 -i i -j j -k k

i i -i -1 1 k -k -j j

-i -i i 1 -1 -k k j -j

j j -j -k k -1 1 i -i

-j -j j k -k 1 -1 -i i

k k -k j -j -i i -1 1

6

-k -k k -j j i -i 1 -1

Dengan memperhatikan tabel di atas, maka G dengan operasi perkalian

bersifat tertutup. Selanjutnya, dapat ditunjukkan bahwa operasi dalam G

memenuhi sifat asosiatif. Unsur identitas dalam G adalah 1. Untuk setiap

unsur dalam G memiliki invers dalam G juga, yaitu: 1-1 = 1 G, -1-1 = -1G,

i-1 = -iG, (-i)-1 = iG, j-1 = -jG, (-j)-1 = jG, i-1 = -kG dan (-k)-1 = kG.

Dari sini berarti bahwa G membentuk grup. Karena ij ji, maka G bukan

grup Abelian. Dengan demikian G membentuk grup hingga non-Abelian

dengan o(G) = 8. Grup ini dikenal grup Quaternion.

(f) Misalkan G =

0,,,, bcaddcba

dc

baR dengan operasi

perkalian matriks dalam G, yaitu jika A =

dc

badan B =

zy

xwmatriks-

matriks sebarang dalam G, maka ad – bc 0 dan wz – xy 0. Sekarang,

perhatikan bahwa

AB =

dzcxdycw

bzaxbyaw

zy

xw

dc

ba.

Jelas, entri-entri matriks pada ruas kanan adalah bilangan-bilangan real.

Kemudian,

(aw + by)(cx + dz) – (cw + dy)(ax + bz) = (ad – bc)(wz – xy) 0.

Ini menunjukkan bahwa, ABG.

Hukum asosiatif dipenuhi oleh perkalian matriks-matriks dalam G, karena

jika A =

dc

ba, B =

sr

qp, dan C =

zy

xwmatriks-matriks sebarang

dalam G, maka

7

A(BC)=

dc

ba

zy

xw

sr

qp=

dc

ba

szrxsyrw

qzpxqypw

=

szrxdqzpxcsyrwdqypwc

szrxbqzpxasyrwbqypwa

=

zdscqxdrcpydscqwdrcp

zbsaqxbrapybsaqwbrap

=

dscqdrcp

bsaqbrap

zy

xw= (AB)C.

Selanjutnya, I =

10

01adalah unsur G karena 1(1) – 0(0) = 1 0, dan

kita ketahui bahwa I merupakan matriks identitas relatif terhadap operasi

perkalian matriks.

Akhirnya, jika A =

dc

baG, maka ad – bc 0. Sekarang pandang

matriks D =

bcad

a

bcad

cbcad

b

bcad

d

yang dibangun dari A. Matriks D ini

merupakan unsur dalam G, karena

bcad

a

bcad

d -

bcad

c

bcad

b = bcadbcad

bcad

12

0.

Oleh karena AD = I = DA, maka berarti B = A-1 . Ini melengkapi pembuktian

bahwa G sebuah grup.

Sekarang, jika kita memilih matriks-matriks P =

30

12dan Q =

11

13, maka jelas P dan Q unsur-unsur di G, karena 2.3 – 0.1 = 6 0 dan

3.1 – 1.(-1) = 4 0.

8

PQ =

30

12

11

13=

33

17

42

06=

11

13

30

12= QP.

Ini merupakan suatu bukti bahwa G grup yang tidak komutatif (non-Abelian).

(g). Misalkan G =

1,,,, bcaddcba

dc

baR dengan operasi

perkalian matriks. Perhatikan bahwa jika A =

dc

badan B =

zy

xw

matriks-matriks sebarang dalam G, maka ad – bc = 1 dan wz – xy = 1.

Sekarang, perhatikan bahwa

AB =

dzcxdycw

bzaxbyaw

zy

xw

dc

ba.

Jelas, entri-entri matriks pada ruas kanan adalah bilangan-bilangan real.

Kemudian,

(aw + by)(cx + dz) – (cw + dy)(ax + bz) = (ad – bc)(wz – xy) = 1.1 = 1.

Ini menunjukkan bahwa, ABG.

Hukum asosiatif dipenuhi oleh perkalian matriks-matriks dalam G. Hal

ini dapat dipandang sebagai sifat yang diwarisi dari Contoh 1.2(e).

Selanjutnya, I =

10

01adalah unsur G karena 1(1) – 0(0) = 1, dan kita

ketahui bahwa I merupakan matriks identitas relatif terhadap operasi

perkalian matriks.

Akhirnya, jika A =

dc

baG, maka ad – bc = 1. Sekarang pandang

matriks D =

bcad

a

bcad

cbcad

b

bcad

d

yang dibangun dari A. Matriks D ini

9

merupakan unsur dalam G, karena

bcad

a

bcad

d -

bcad

c

bcad

b =

22 1

1

bcad

bcad = 1. Oleh karena AD = I = DA, maka berarti B = A-1 . Ini

melengkapi pembuktian bahwa G sebuah grup.

Sekarang, jika kita memilih matriks-matriks P =

210

12dan Q =

11

23, maka jelas P dan Q unsur-unsur di G, karena 2.(½) – 0.1 = 1 dan 3.1

– 2.1 = 1.

PQ =

210

12

11

23=

21

21

57

232

46=

11

23

210

12= QP.

Ini merupakan suatu bukti bahwa G grup yang tidak komutatif (non-Abelian).

(h). Misalkan G =

0,, 22 babaab

baR dengan operasi

perkalian matriks. Perhatikan bahwa jika A =

ab

badan B =

wx

xw

matriks-matriks sebarang dalam G, maka a2 + b2 0 dan w2 + x2 0.

Sekarang, perhatikan bahwa

AB =

ab

ba

wx

xw=

bxawbwax

bwaxbxawdan .

(aw - bx)2 + (ax + bw)2 = (a2 + b2)(w2 + x2) 0.

Ini menunjukkan bahwa, ABG.

Hukum asosiatif dipenuhi oleh perkalian matriks-matriks dalam G. Hal

ini dapat dipandang sebagai sifat diwarisi dari Contoh 1.2(e).

10

Selanjutnya, I =

10

01adalah unsur G karena 12 + 02 = 1 0, dan kita

ketahui bahwa I merupakan matriks identitas relatif terhadap operasi

perkalian matriks.

Akhirnya, jika A =

ab

baG, maka a2 + b2 0. Sekarang pandang

matriks D =

2222

2222

ba

a

ba

bba

b

ba

a

yang dibangun dari A. Matriks D ini

merupakan unsur dalam G, karena

2

22

ba

a +2

22

ba

b =22

1

ba 0.

Oleh karena AD = I = DA, maka berarti B = A-1 . Ini melengkapi pembuktian

bahwa G sebuah grup.

Sekarang, jika P =

pq

qpdan R =

rs

srmatriks-matriks dalam G

sebarang, maka

PR =

pq

qp

rs

sr=

prqspsqr

qrpsqspr=

rpsqrqsp

psrqqsrp

=

rs

sr

pq

qp= RP.

Ini membuktikan bahwa G merupakan grup komutatif (Abelian).

(i) Perhatikan bahwa setiap

ab

badalam G sebagaimana pada

Contoh 1.2(g) dapat dinyatakan sebagai aI + bJ dimana I =

10

01, dan J =

11

01

10. Sekarang pandang G = {aI + bJ a,bR, a2 + b2 0} dengan I dan

J sebagaimana disebutkan di atas.

Perhatikan bahwa untuk setiap a1I + b1J dan a2I + b2J dalam G,

diperoleh (a1I + b1J)(a2I + b2J) = (a1a2 - b1b2)I + (a1b2 + b1a2)J, karena J.J = -

I, dan dapat ditunjukkan bahwa (a1a2 - b1b2)2 + (a1b2 + b1a2)

2 = (a12 + b1

2)(a22

+ b22) 0, dengan demikian (a1I + b1J)( a2I + b2J) G. Jadi dengan operasi

ini dalam G, sifat ketertutupannya dipenuhi.

Selanjutnya, dapat ditunjukkan dengan mudah bahwa operasi dalam G

memenuhi sifat asosiatif.

Kemudian, perhatikan bahwa I G, karena I = aI + bJ dipenuhi oleh a

= 1 dan b = 0. Lebih dari itu, untuk sebarang a1I + b1J G, I(a1I + b1J) = a1I

+ b1J = (a1I + b1J)I, oleh karena itu I merupakan unsur satuan dalam G.

Selanjutnya, jika a1I + b1J G sebarang, maka berarti a12 + b1

2 0.

Dari sini kita peroleh

2

21

21

1

ba

a+

2

21

21

1

ba

b=

21

21

1

ba 0.

Oleh karena itu

21

21

1

ba

a

I -

21

21

1

ba

b

J G, dan

(a1I + b1J)(2

121

1

ba

a

I -

21

21

1

ba

b

J) = I = (

21

21

1

ba

a

I -

21

21

1

ba

b

J) (a1I + b1J),

dengan demikian

(a1I + b1J)-1 =2

121

1

ba

a

I -

21

21

1

ba

b

J.

Ini melengkapi pemeriksaan kita bahwa G membentuk grup.

12

Terakhir, jika a1I + b1J dan a2I + b2J unsur-unsur dalam G sebarang,

maka (a1I + b1J)(a2I + b2J) = (a1a2 - b1b2)I + (a1b2 + b1a2)J = (a2a1 – b2b1)I +

(a2b1 + b2a1)J = (a2I + b2J)(a1I + b1J). Jadi G suatu grup komutatif.

(j). Misalkan Gp =

0prima,bil.,modulobulatbil.,,, bcadppdcba

dc

badengan operasi

perkalian pada bilangan bulat modulo p. Sebagai ilustrasi, misalkan p = 2,

maka diperoleh G2 = {I, A1, A2, A3, A4, A5}, dimana I =

10

01, A1 =

10

11,

A2 =

11

01, A3 =

01

10, A4 =

11

10, dan A5 =

01

11. Untuk melihat bahwa

G2 membentuk grup, kita perhatikan tabel berikut.

. I A1 A2 A3 A4 A5

I I A1 A2 A3 A4 A5

A1 A1 I A4 A5 A2 A3

A2 A2 A5 I A4 A3 A1

A3 A3 A4 A5 I A1 A2

A4 A4 A3 A1 A2 A5 I

A5 A5 A2 A3 A1 I A4

Dari Tabel di atas, maka diperoleh bahwa G2 dengan operasi perkalian

matriks bilangan bulat modulo 2 bersifat tertutup, kemudian dapat

ditunjukkan bahwa operasi ini memenuhi sifat asosiatif. Selanjutnya, dengan

operasi ini G2 memiliki unsur identitas, yaitu I =

10

01, dan setiap unsur

dalam G2 memiliki invers dalam G2 juga, yaitu: I-1 = I G2, A1-1 = A1 G2, A2

-

13

1 = A2 G2, A3-1 = A3 G2, A4

-1 = A5 G2, dan A5-1 = A4 G2. Dari sini berarti

bahwa G2 membentuk grup. Karena A2A1 = A5 A4 = A1A2 maka G2 bukan

grup Abelian. Dengan demikian G2 membentuk grup hingga non-Abelian

dengan o(G2) = 6.

1.3. LEMMA. Jika G grup, maka

(a) Elemen identitas dari G adalah tunggal.

(b)Setiap aG mempunyai invers tunggal dalam G

(c) Untuk setiap aG, berlaku (a-1)-1 = a.

(d)Untuk semua a,bG, (ab)-1 = b-1a-1.

BUKTI. Untuk membuktikan bagian (a), cukup kita memisalkan e dan f

keduanya unsur-unsur identitas dalam G. Pandang e sebagai unsur identitas

dalam G dan f sebagai suatu unsur dalam G. Maka harus memenuhi f = ef.

Sebaliknya, jika kita memandang f sebagai unsur identitas dalam G dan e

sebagai suatu unsur dari G, maka juga kita memperoleh hubungan e = ef. Oleh

karenanya kita peroleh e = f. Ini menunjukkan bahwa unsur identitas dalam G

adalah tunggal.

Selanjutnya, misalkan aG sebarang. Jika x dan y unsur-unsur dalam G

yang keduanya merupakan invers dari a, maka berlaku ax = e = xa dan ay = e

= ya. Oleh karena itu kita peroleh

x = ex = (ay)x = (ya)x = y(ax) = ye = y.

Ini membuktikan bahwa invers dari a tunggal.

Bagian (c) diperoleh dengan memperhatikan bahwa a-1(a-1)-1 = e = a-1a.

Menurut bagian (b) di atas disimpulkan bahwa (a-1)-1 = a..

Bagian (d) dapat ditunjukkan bahwa (ab)(b-1a-1) = ((ab)b-1)a-1 =

(a(bb-1)a-1 = (ae)a-1 = aa-1 = e. dan juga (b-1a-1)(ab) = b-1(a-1(ab)) = b-1((a-

14

1a)b) = b-1(eb) = b-1b = e. Menurut Lemma 1.3(b), disimpulkan bahwa (ab)-1 =

(b-1a-1).

1.4. LEMMA. Diberikan a,bG, maka persamaan ax = b dan ya = b

mempunyai solusi tunggal untuk x dan y dalam G. Khususnya, hukum-hukum

pencoretan

(1) au = aw mengakibatkan u = w; dan

(2) ua = wa mengakibatkan u = w.

berlaku dalam G.

BUKTI. Perhatikan bahwa jika ax = b, maka a(a-1b) = (aa-1)b = eb = b.

Oleh karena itu solusi untuk x bagi persamaan ax = b adalah x = a-1b. Untuk

membuktikan ketunggalan solusi ini, misalkan x1 juga solusi dari persamaan

ax = b. Maka ax1 = b. Dari sini diperoleh x1 = ex1 = (a-1a)x1 = a-1(ax1) = a-1b.

Ini membuktikan ketunggalan solusi dari persamaan ax = b.

Perhatikan bahwa jika ya = b, maka (ba-1)a = b(a-1a) = be = b. Oleh

karena itu solusi untuk y bagi persamaan ya = b adalah y = ba-1. Untuk

membuktikan ketunggalan solusi ini, misalkan y1 juga solusi dari persamaan

ya = b. Maka y1a = b. Dari sini diperoleh

y1 = y1e = y1(aa-1) = (y1a)a-1 = ba-1. Ini membuktikan ketunggalan solusi dari

persamaan ya = b.

Selanjutnya, jika au = b = aw, maka kita dapat memandang u dan w

sebagai solusi dari persamaan ax = b. Karena ketunggalan solusi dari

persamaan ini, maka kita peroleh u = w. Ini membuktikan (1). Demikian juga,

jika ua = b = wa maka kita dapat pula memandang u dan w sebagai solusi dari

persamaan ya = b. Karena sifat ketunggalan solusi dari persamaan tersebut,

maka disimpulkan bahwa u = w, yang melengkapi pembuktian untuk (2).

15

SOAL –SOAL

1. Berikut ini diberikan himpunan-himpunan G dengan mendefinisikan

operasi di dalamnya. Periksalah, apakah setiap G dengan operasi tersebut

membentuk grup. Jika tidak berikan alasan seperlunya.

a. G = himpunan semua bilangan bulat dengan operasi, ab = a – b.

b. G = himpunan bilangan bulat positif, dengan operasi perkalian biasa

pada bilangan bulat.

c. G = {a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6}, dimana aiaj = ai+j jika i + j < 7 dan aiaj =

ai+j-7, jika i + j – 7.

d. G = himpunan semua bilangan rasional dengan penyebut bilangan

ganjil, dengan operasi ab = a + b, yaitu penjumlahan biasa pada

bilangan rasional.

2. Buktikan bahwa jika G suatu grup abelian, maka untuk semua a,bG dan

semua bilangan bulat n, berlaku (ab)n = anbn [Petunjuk: Gunakan prinsip

Induksi Matematika].

3. Jika G suatu grup sedemikian sehingga (ab)2 = a2b2, untuk semua a,bG,

tunjukkan bahwa G abelian.

4. Dalam S3, berikan sebuah contoh dari dua unsurnya x, y sedemikian

sehingga (xy)2 x2y2.

5. Dalam S3, tunjukkan bahwa terdapat empat unsur yang memenuhi x2 = e

dan tiga unsur yang memenuhi y2 = e.

6. Tunjukkan bahwa jika setiap unsur dalam grup G merupakan invers dari

dirinya sendiri, maka G abelian.

7. Jika G merupakan grup orde genap, buktikan bahwa G mempunyai suatu

unsur a e sedemikian sehingga a2 = e.

16

8. Misalkan G himpunan semua matriks real 22,

dc

ba, dimana ad – bc

0 suatu bilangan rasional. Buktikan bahwa G membentuk grup dibawah

perkalian matriks.

9. Misalkan G himpunan semua matriks real 22,

d

ba

0, dimana ad 0.

Buktikan bahwa G membentuk grup dibawah perkalian matriks. Apakah

G Abelian?

10.Misalkan G himpunan semua matriks real 22,

10

0

a

a, dimana a 0.

Buktikan bahwa G membentuk grup abelian dibawah perkalian matriks.

17

BAB II

SUBGRUP

Marilah kita mengingat kembali grup semua bilangan bulat G dengan

operasi penjumlahan pada bilangan-bilangan bulat, kemudian kita

memisalkan H himpunan semua bilangan bulat genap. Jelas H bukan

himpunan kosong dan merupakan himpunan bagian sejati dari G. Ada sesuatu

yang cukup menarik dalam hal ini, jika dalam H diberikan operasi biner

sebagaimana pada G, yaitu operasi penjumlahan pada bilangan-bilangan

bulat, maka kita akan memperoleh bahwa dengan operasi yang sama dengan

dalam G, H memenuhi sifat-sifat: (1) ketertutupan, dalam arti bahwa

penjumlahan sebarang dua bilangan genap menghasilkan bilangan genap, (2)

asosiatif sebagai sifat yang diwarisi dari G, (3) terdapat unsur identitas, yaitu

bilangan bulat genap 0, dan (4) setiap unsur dalam H juga memiliki unsur

invers yang juga berada di H. Dari keempat sifat ini berarti H terhadap

operasi dalam G membentuk grup.

Definisi berikut ini merupakan konsep dasar dari subgrup dari suatu

grup yang pada prinsipnya merupakan bentuk perumuman dari fenomena-

fenomena yang digambarkan melalui contoh-contoh yang salah satunya

diilustrasikan pada contoh di atas.

2.1. DEFINISI. Suatu subhimpunan tak kosong H dari G dikatakan

subgrup dari G, jika dengan operasi yang sama dengan operasi dalam G, H

membentuk grup.

Perlu dicermati,bahwa Definisi 2.1 ini mengatakan bahwa dalam H

dikenakan operasi yang sama dengan dalam G. Oleh karena itu meskipun H

18

himpunan bagian tak kosong dari G, dan H membentuk grup, tetapi dengan

operasi yang berbeda dengan operasi dalam G, maka H bukanlah subgrup dari

G. Misalkan G grup semua bilangan bulat dengan operasi penjumlahan

sebagaimana pada Contoh 1.2(a) dan H = {1, -1}. H membentuk grup dengan

operasi perkalian pada bilangan-bilangan real, sebagaimana Contoh 1.2(b).

Dalam kasus ini, meskipun H subhimpunan tak kosong dari G, tetapi H

bukanlah subgrup dari G.

Hal lain yang dapat peroleh dari Definisi 2.1 di atas, bahwa jika H

subgrup dari G dan K subgrup dari H, maka K merupakan subgrup dari G.

2.2. LEMMA. Suatu subhimpunan tak kosong H dari G merupakan

subgrup dari G jika dan hanya jika

(1). abH, untuk semua a,bH

(2). jika aH, maka a-1H.

BUKTI. Anggaplah H subgrup dari G, maka menurut definisi, H dengan

operasi dalam G memenuhi 2.2.(1) dan 2.2.(2).

Sebaliknya, anggaplah syarat 2.2.(1) dan 2.2.(2) berlaku dalam H.

Untuk menunjukkan bahwa H membentuk grup dengan operasi dalam G,

maka kita harus dapat menunjukkan bahwa dalam H berlaku sifat asosiatif

dan adanya unsur identitas dalam H. Sifat asosiatif, jelas dipenuhi, karena H

merupakan subhimpunan dari G. Sementara itu untuk membuktikan adanya

unsur identitas, perhatikan bahwa misalkan aH, maka menurut 2.2.(2), a-

1H, dan aa-1 = e. Karena 2.2.(1), maka eH. Ini melengkapi pembuktian

bahwa H membentuk grup. Jadi H merupakan subgrup dari G.

Lemma 2.2 di atas mengatakan bahwa apabila kita ingin memeriksa

apakah suatu subhimpunan, H dari grup G merupakan subgrup dari G, maka

19

cukup menunjukkan tiga hal, yaitu: (1) H bukan himpunan kosong, (2)

dengan operasi dalam G memenuhi sifat ketertutupan, dan (3) untuk setiap

unsur dalam H memiliki invers juga dalam H.

2.3. LEMMA. Jika H subhimpunan hingga dari grup G, dan H tertutup

dibawah operasi dalam G, maka H merupakan subgrup dari G

BUKTI. Untuk membuktikan lemma ini, kita cukup membuktikan

bahwa jika aH, maka a-1H. Untuk keperluan ini, misalkan aH sebarang.

Karena H tertutup, maka a2 = aaH, a3 = aa2H, … , amH, … . Akan

tetapi, H himpunan berhingga, oleh karena itu mesti terdapat r > s > 0

sedemikian sehingga ar = as. Dengan hukum pencoretan, diperoleh ar-s = e.

Karena r - s > 0, maka ini menyebabkan eH. Selanjutnya, karena r – s – 1

0, maka ar-s-1H. Karena aar-s-1 = e = ar-s-1a, maka a-1 = ar-s-1G.

2.4. CONTOH-CONTOH. (a). Misalkan G grup bilangan bulat dibawah

operasi penjumlahan, H subhimpunan dari G yaitu himpunan semua bilangan

bulat kelipatan 3, yaitu H = {3n n bilangan bulat}. H , karena 0 = 3(0),

yang berarti 0H. Sementara itu, untuk sebarang a,b H, kita mempunyai a

= 3n1 dan b = 3n2 untuk suatu n1, n2 bilangan bulat. a + b = 3n1 + 3n2 = (n1 +

n1 + n1) + (n2 + n2 + n2) = (n1 + n2) + (n1 + n2) +(n1 + n2) = 3(n1 + n2) H,

dengan demikian H dengan operasi dalam G bersifat tertutup. Selanjutnya, -a

= -(3n1) = - (n1 + n1 + n1) = (-n1) + (-n1) + (-n1) = 3(-n1) H. Keseluruhan

langkah ini menunjukkan bahwa H merupakan subgrup dari G.

Kita dapat mendefinisikan hal serupa untuk Hn, yaitu himpunan semua

bilangan bulat kelipataan n. Maka Hn akan membentuk subgrup dari G.

20

(b). Misalkan S sebarang himpunan, A(S) himpunan semua fungsi satu-

satu dari S pada S. Maka A(S) membentuk grup dibawah operasi komposisi

fungsi-fungsi. Jika x0S, definisikan H(x0) = {fA(S)f(x0) = x0}. Untuk

membuktikan bahwa H(x0) merupakan subgrup dari A(S), pertama-tama kita

segera memiliki pemetaan identitas, e, sebagai salah satu unsur dalam H(x0),

karena e(x) = x untuk semua x S, dengan demikian H(x0) . Selanjutnya,

kita ambil sebarang f1 dan f2 dalam H(x0), (f1f2)(x0) = f1(f2(x0)) = f1(x0) = x0,

dengan demikian f1f2 dalam H(x0). Kemudian, untuk sebarang f1 dalam H(x0)

yang berarti f1(x0) = x0, karena f1 A(S) maka kita mempunyai f1-1(x0) = x0

yang membuktikan bahwa f1-1 di H(x0), dan berarti melengkapi pemeriksaan

kita terhadap H(x0) sebagai subgrup dari A(S).

(c). Misalkan G sebarang grup, aG. Misalkan (a) = {aii = 0, 1, 2,

… }. (a) merupakan subgup dari G (Periksa!). (a) disebut subgrup siklik dari

G yang dibangun oleh a. Jika untuk suatu a, G = <a>, maka G disebut grup

siklik yang dibangun oleh a.

(d). Misalkan G grup bilangan real tak nol dibawah operasi perkalian,

dan misalkan H subhimpunan dari G yang terdiri atas semua bilangan rasional

positif, maka H merupakan subgrup dari G.

(e). Misalkan G grup bilangan real dibawah operasi penjumlahan, dan

H himpunan semua bilangan bulat, maka H merupakan subgrup dari G.

(f). Misalkan G grup semua matriks real 22,

dc

ba, dengan ad – bc

0 dibawah operasi perkalian matriks.

21

Misalkan H himpunan semua matriks dalam G yang berbentuk

d

ba

0.

Perhatikan bahwa

20

01 H, karena (1)(2) = 2 0, dengan demikian H .

Sekarang misalkan

1

11

0 d

ba,

2

22

0 d

baH sebarang, maka kita

mempunyai a1d1 0 dan a2d2 0.

1

11

0 d

ba

2

22

0 d

ba=

21

212121

0 dd

dbbaaadan (a1a2)(d1d2) = (a1d1)(a2d2)

0, dengan demikian

1

11

0 d

ba

2

22

0 d

baH. Jadi, H dengan operasi dalam G

bersifat tertutup.

Selanjutnya, perhatikan bahwa jika

1

11

0 d

baH maka

11

1

11

1

11

1

0da

ada

b

da

d

H, karena

11

1

11

1

da

a

da

d=

11

11

da

ad= 1 0.

1

11

0 d

ba

11

1

11

1

11

1

0da

ada

b

da

d

=

10

01=

11

1

11

1

11

1

0da

ada

b

da

d

1

11

0 d

ba

yang berarti bahwa

1

1

11

0

d

ba=

11

1

11

1

11

1

0da

ada

b

da

d

H.

Jadi, H merupakan subgrup dari G.

22

(g). Misalkan G =

1,,,, bcaddcba

dc

baR dengan operasi

perkalian matriks. Telah ditunjukkan pada Contoh 1.2(f), G membentuk grup.

Misalkan H =

Gab

ba, dan perhatikan bahwa

21

23

23

21

H, karena

2

2

1

+

2

2

3

= 1, dengan demikian H .

Sekarang misalkan

11

11

ab

ba,

22

22

ab

baH sebarang, maka kita

mempunyai a12 + b1

2 = 1 dan a22 + b2

2 = 1.

11

11

ab

ba

22

22

ab

ba=

21212121

21212121

aabbbaab

abbabbaadan

(a1a2 – b1b2)2 + (a1b2 + b1a2)

2 = (a12 + b1

2)( a22 + b2

2) = 1.1 = 1,

dengan demikian

11

11

ab

ba

22

22

ab

baH. Jadi, H dengan operasi dalam G

bersifat tertutup.

Selanjutnya, perhatikan bahwa jika

11

11

ab

baH maka jelas

11

11

ab

ba H, dan

11

11

ab

ba

11

11

ab

ba=

10

01=

11

11

ab

ba

11

11

ab

ba

yang berarti bahwa

1

11

11

ab

ba=

11

11

ab

ba H.

Jadi, H merupakan subgrup dari G.

23

(h) Misalkan H grup sebagaimana Contoh 2.4(f), dan jika K =

Rb

b

10

1, maka K merupakan subgrup dari H. Perhatikan bahwa

10

21

K, karena itu K .

Sekarang misalkan

10

1 1b,

10

1 2bK sebarang, maka

10

1 1b

10

1 2b=

10

1 21 bb, dengan demikian

10

1 1b

10

1 2bK.

Jadi, K dengan operasi dalam H bersifat tertutup.

Selanjutnya, perhatikan bahwa jika

10

1 1bK maka

10

1 1b K.

10

1 1b

10

1 1b=

10

01=

10

1 1b

10

1 1b

yang berarti bahwa

11

10

1

b=

10

1 1b K.

Jadi, K merupakan subgrup dari H.

(i). Misalkan G grup semua bilangan kompleks yang tak nol, a + bi

dimana a dan b bilangan-bilangan real yang tidak kedua-duanya nol, dibawah

operasi perkalian pada bilangan kompleks. Misalkan H = {a + bi G a2 + b2

= 1}. Perhatikan bahwa untuk setiap a1 + b1i dan a2 + b2i dalam H, diperoleh

(a1 + b1i)( a2 + b2i) = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + b1a2)i, karena i2 = -1. Dapat

ditunjukkan bahwa (a1a2 - b1b2)2 + (a1b2 + b1a2)

2 = (a12 + b1

2)(a22 + b2

2) = 1,

dengan demikian (a1 + b1i)( a2 + b2i) H. Jadi dengan operasi ini dalam G,

sifat ketertutupannya dipenuhi. Jika a1 + b1i H, maka2

121

1

ba

a

-

21

21

1

ba

b

i

24

H, karena2

21

21

1

ba

a+

2

21

21

1

ba

b=

21

21

1

ba = 1, dan (a1 + b1i)( 2

121

1

ba

a

-

21

21

1

ba

b

i) = 1 = (

21

21

1

ba

a

-

21

21

1

ba

b

i) (a1 + b1i), dengan demikian (a1 + b1i)

-1 =

21

21

1

ba

a

-

21

21

1

ba

b

i H. Ini melengkapi pemeriksaan kita bahwa H merupakan

subgrup dari G.

2.5. DEFINISI Misalkan G grup, dan H subgrup dari G. Untuk sebarang

a,bG, kita mengatakan a kongruen b modulo H, ditulis a b mod H, jika ab-

1H. Selanjutnya, kita notasikan himpunan semua x unsur dalam G dimana a

kongruen x modulo H dengan [a]. Atau, [a]H = {xGa x mod H}.

2.6. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup bilangan bulat di bawah

operasi penjumlahan pada bilangan-bilangan bulat, dan H himpunan semua

bilangan bulat kelipatan 3, yaitu H = {3n n bilangan bulat}. Perhatikan

bahwa untuk sebarang bilangan bulat k, 2 (3k + 2) mod H, karena 2 – (3k +

2) = -3k =3(-k) H, dengan demikian [2]H = {3n + 2 n bilangan bulat}.

Demikian juga, dengan cara yang sama kita bisa peroleh [1]H = {3n + 1 n

bilangan bulat}.

(b) Jika S3 = {e, g, g2, f, fg, fg2} = {e, g, g2, f, fg, gf}, dan H = {e, f},

maka g g mod H, sebab gg-1 = e H, dan g fg mod H, sebab g(fg)-1 =

g(fg) = g(g2f) = g3f = ef = f H. Dengan demikian [g]H = {g, fg}. Jika kita

memisalkan N = {e, g, g2} maka kita mempunyai f f mod N, sebab ff-1 = e

N, f gf mod N, sebab f(gf)-1 = f(fg2) = (ff)g2 = eg2 = g2 N, dan f fg mod N,

25

sebab f(fg)-1 = f(fg) = (ff)g = eg = g N. Dengan demikian [f]N = {f, gf, fg} =

{f, fg, g2f}.

(c) Misalkan G grup semua matriks real 22,

dc

ba, dengan ad – bc

0 dibawah operasi perkalian matriks, dan H himpunan semua matriks dalam

G yang berbentuk

d

ba

0. Pada Contoh 2.4(f) telah ditunjukkan bahwa H

merupakan subgrup dari G. Jika A =

21

32, maka AG, dan apabila p,q,r

bilangan-bilangan real sedemikian sehingga q 2p, r 0, maka

A1

2

rr

qp=

21

32

qpr

p

qp

qpr

q

qp

22

122

2

=

r

qpr

qp

qp1

0

2

23

2

1

H.

Ini berarti bahwa A

rr

qp

2mod H. Dengan demikian,

[A]H =

0,2,,,

2rpqrqp

rr

qpR .

(d) Misalkan G grup semua bilangan kompleks yang tak nol, a + bi

dimana a dan b bilangan-bilangan real yang tidak kedua-duanya nol, dibawah

operasi perkalian pada bilangan kompleks. Misalkan H = {a + bi G a2 + b2

= 1}. Pada Contoh 2.4(i) telah ditunjukkan bahwa H merupakan subgrup dari

G. Jika z = 4 + 3i, maka zG, dan apabila p, q bilangan-bilangan real

sedemikian sehingga p2 + q2 = 25 , maka

z(p + qi)-1 = (4 + 3i)

i

qp

2525=

25

34 qp +25

43 qp i.

26

Karena2

25

43

qp

+2

25

43

qp

=

2

22

25

25 qp = 1, maka z(p + qi)-1 H. Ini

berarti bahwa z (p + qi) mod H. Dengan demikian,

[z]H = {p + qi G p2 + q2 = 25} .

2.7. LEMMA. Misalkan G grup, H subgrup dari G, dan a,bG. Relasi a

b mod H merupakan relasi ekivalen.

BUKTI. Untuk membuktikan ini, maka ada tiga hal yang harus kita

tunjukkan, yaitu:

(i). a a mod H

(ii). Jika a b mod H, maka b a mod H; dan

(iii). Jika a b mod H dan b c mod H, maka a c mod H.

Untuk membuktikan (i), perhatikanlah bahwa e = aa-1. Karena H

subgrup dari G, maka aa-1H. Dengan demikian a a mod H.

Selanjutnya, anggaplah a b mod H, maka berarti, ab-1H. Perhatikan

bahwa ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1. Karena ab-1H dan H subgrup dari G, maka

ba-1 = (ab-1)-1H. Jadi b a mod H.

Kemudian, anggaplah a b mod H dan b c mod H, yang berarti

bahwa ab-1H dan bc-1H. Perhatikan bahwa ac-1 = (ae)c-1 = (a(b-1b))c-1 =

((ab-1)b)c-1 = (ab-1)(bc-1). Karena ab-1H dan bc-1H, sementara itu H

subgrup dari G, maka ac-1 = (ab-1)(bc-1)H. Ini membuktikan bahwa a c

mod H.

Jika G grup semua bilangan bulat dibawah operasi penjumlahan dan H

= Hn subgrup G yang mengandung semua bilangan bulat kelipatan n, maka

relasi a b mod H, yaitu ab-1H, dibawah notasi penjumlahan, menyatakan

27

“a – b suatu kelipatan dari n”. Dalam Teori Bilangan ini dikenal dengan

bilangan-bilangan kongruen modulo n.

2.8. DEFINISI. Jika H subgrup dari grup G, dan aG. Definisikan Ha =

{hahH} dan aH = {ahhH}. Ha dan aH, berturut-turut, disebut Koset

Kanan dari H dalam G dan Koset Kiri dari H dalam G.

2.9. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup bilangan bulat di bawah

operasi penjumlahan pada bilangan-bilangan bulat, dan H himpunan semua

bilangan bulat kelipatan 3, yaitu H = {3n n bilangan bulat}. Perhatikan

bahwa

H + 2 = {h + 2 hH} = {3n + 2 n bilangan bulat}.

2 + H = {2 + h hH} = {2 +3n n bilangan bulat}.

Demikian juga, dengan cara yang sama kita bisa peroleh

H + 1 = {h + 1 hH} = {3n + 1 n bilangan bulat}.

1 + H = {2 + h hH} = {1 +3n n bilangan bulat}.

(b) Jika S3 = {e, g, g2, f, fg, fg2} = {e, g, g2, f, fg, gf}, dan H = {e, f},

maka H merupakan subgrup dari S3.

Hg = {eg, fg} = {g, fg}, dan gH = {ge, gf} = {g, gf}.

Pada kasus ini terlihat bahwa Hg gH.

Jika kita mempunyai N = {e, g, g2} maka N juga merupakan subgrup dari S3.

Nf = {ef, gf, g2f} = {f, gf, fg} dan fN = {fe, fg, fg2} = {f, fg, gf}.

(c) Misalkan G grup semua matriks real 22,

dc

ba, dengan ad – bc

0 dibawah operasi perkalian matriks, dan H himpunan semua matriks dalam

28

G yang berbentuk

d

ba

0. Pada Contoh 2.4(f) telah ditunjukkan bahwa H

merupakan subgrup dari G. Jika A =

21

32, maka AG, dan apabila a,b, dan

d bilangan-bilangan real sedemikian sehingga a 0, dan d 0, maka

HA = {hAhH} =

00,real,bilangan,,

21

32

0dadba

d

ba

=

00,real,bilangan,,

2

232dadba

dd

baba.

Sedangkan

AH = {AhhH} =

00,real,bilangan,,

021

32dadba

d

ba

=

00,real,bilangan,,2

322dadba

dba

dba.

Dari sini nampak bahwa, apabila kita mempunyai B =

20

11H, maka

BA =

20

11

21

32=

42

11, tetapi AB =

21

32

20

11=

31

42,

dengan demikian AB BA. Ini suatu bukti bahwa koset kanan dari H dalam G

tidak sama dengan koset kiri dari H dalam G.

(d) Misalkan G grup semua bilangan kompleks yang tak nol, a + bi

dimana a dan b bilangan-bilangan real yang tidak kedua-duanya nol, dibawah

operasi perkalian pada bilangan kompleks. Misalkan H = {a + bi G a2 + b2

= 1}. Pada Contoh 2.4(i) telah ditunjukkan bahwa H merupakan subgrup dari

G. Jika z = 4 + 3i, maka

29

H(4 + 3i) = {(a + bi) (4 + 3i) a2 + b2 = 1} =

{(4a – 3b) + (3a + 4b)i a2 + b2 = 1}

= {p + qi G p2 + q2 = 25}.

2.10. LEMMA Misalkan H subgrup dari G. Maka untuk semua aG, Ha

= [a]H = {xGa x mod H}.

BUKTI. Pertama-tama kita akan tunjukkan bahwa Ha [a]H. Untuk itu

misalkan x Ha sebarang. Maka x = ha untuk suatu h H. Dari sini, ax-1

= a(ha)-1 = a(a-1h-1) = (aa-1)h-1 = eh-1 = h-1. Karena H subgrup dari G, maka h-

1H. Dengan demikian ax-1H. Ini mengatakan bahwa a x mod H. Jadi

x[a]H. Ini membuktikan bahwa Ha [a]H.

Sebaliknya, misalkan y[a]H sebarang, maka ay-1H. Karena H

subgrup dari G, maka ya-1 = (ay-1)-1H. Dengan demikian ya-1 = h untuk suatu

hH. Hal ini diikuti y = haH. Ini mengatakan bahwa yHa. Jadi [a]H Ha.

Ini melengkapi pembuktian Ha = [a]H.

Lemma di atas menghasilkan suatu fakta bahwa G merupakan

dekomposisi dari Ha, untuk semua aG. Karena itu, untuk sebarang dua

koset kanan dari H dalam G adalah sama atau saling lepas.

2.11. LEMMA. Misalkan G grup dan H subgrup dari G, dan aG. Jika

aH, maka Ha = H.

BUKTI. Karena aH, dan H subgrup dari G, maka sebarang hH

berlaku haH, dengan demikian Ha H. Sebaliknya, untuk sebarang hH

berlaku h = he = h(a-1a) = (ha-1)a. Karena H subgrup dari G, maka ha-1 H,

dengan demikian hHa, yang mengakibatkan H Ha. Jadi Ha = H.

30

2.12. LEMMA Terdapat korespondensi satu-satu antara sebarang dua

koset kanan dari H dalam G.

BUKTI. Misalkan Ha dan Hb sebarang dua koset kanan dari H dalam G.

Definisikan

f : Ha Hb, denga f(ha) = hb, untuk semua hH. Jelas f merupakan fungsi

dari Ha ke dalam Hb, sebab jika h1a dan h2a dalam Ha sebarang dengan h1 =

h2, maka f(h1a) = h1b = h2b = f(h2a). Selanjutnya, misalkan x,yHa sebarang

sedemikian sehingga f(x) = f(y). Misalkan x = h1a dan y = h2a. Karena f(x) =

f(y), maka berarti h1b = h2b. Dengan menggunakan hukum pencoretan,

diperoleh h1 = h2. Ini mengakibatkan x = y. Jadi, f 1-1. Terakhir, untuk

membuktikan bahwa f suatu surjeksi, misalkan y = hb Hb sebarang, maka

tentu haHa, dan f(ha) = hb = y. Karena itu f merupakan suatu korespondensi

satu-satu antara sebarang dua koset kanan dari H dalam G.

2.13. TEOREMA LAGRANGE. Jika G suatu grup hingga dan H subgrup

G, maka o(H) merupakan pembagi o(G), yaitu, terdapat bilangan bulat k

sedemikian sehingga o(G) = ko(H).

BUKTI. Perhatikan bahwa H = He, merupakan suatu koset kanan dari H

dalam G, dengan demikian menurut Lemma 2.12, bahwa sebarang koset

kanan dari H dalam G mempunyai o(H) unsur. Karena G hingga, maka H juga

subgrup hingga dari G. Karena itu, misalkan k menyatakan banyaknya koset

kanan yang berbeda dari H dalam G. Menurut Lemma 2.10, bahwa sebarang

dua koset kanan dari H yang berbeda dalam G tidak mempunyai unsur

persekutuan. Hal ini mengatakan bahwa o(G) = ko(H). Ini melengkapi

pembuktian Teorema Lagrange.

31

Sebagai konsekuensi dari Teorema Lagrange 2.13, jika kita memiliki G

= S3 = {e, g, g2, f, fg, fg2} yang berarti o(G) = 6, maka orde dari H, subgrup

sebarang dari G hanya mungkin memiliki orde pembagi dari 6, yaitu: 1, atau

2, atau 3, atau 6.

2.14. DEFINISI. Jika H subgrup dari G, indeks dari H dalam G adalah

banyaknya koset kanan yang berbeda dari H dalam G. Kita simbolkan iG(H).

Dalam kasus G grup hingga, maka iG(H) = o(G)/o(H).

2.15. DEFINISI. Jika G suatu grup dan aG, orde (periode) dari a

adalah bilangan bulat positif terkecil m, sedemikian sehingga am =e. Jika tidak

ada m yang demikian, maka kita katakana a berorde tak hingga. Sebagaimana

grup, kita juga menggunakan o(a) untuk menyatakan orde dari a.

2.16. AKIBAT DARI TEOREMA LAGRANGE. (1). Jika G suatu grup

hingga, dan aG, maka o(a) pembagi dari o(G).

BUKTI. Pandang (a) subgrup siklik dari G yang dibangun oleh a. (a)

mengandung e, a, a2, a3, … . Karena ao(a) = e, maka paling banyak unsur dari

(a) adalah o(a), sebab jika tidak maka terdapat 0 i < j < o(a) sedemikian

sehingga ai = aj. Dengan demikian aj-i = e untuk 0 < j – i < o(a). Ini

kontradiksi dengan keberadaan o(a) sebagai orde dari a. Karena itu, grup

siklik yang dibangun oleh a mempunyai o(a) unsur. Menurut Teorema

Lagrange 2.13, o(a) merupakan pembagi dari o(G).

(2). Jika G suatu grup hingga, maka ao(G) = e.

BUKTI. Dengan menggunakan Akibat 2.16(1) kita mempunyai o(a)

pembagi o(G), yang berarti bahw o(G) = mo(a) untuk suatu bilangan bulat m.

Oleh karena itu

32

ao(G) = amo(a) = (ao(a))m = em = e.

(3) Jika G suatu grup hingga yang ordenya bilangan prima p, maka G

membentuk grup siklik.

BUKTI. Anggaplah G mempunyai subgrup H yang nontrivial. Karena

o(H) harus membagi o(G) = p, maka o(H) = 1 atau o(H) = p. Jika o(H) = 1,

maka H = (e), sedangkan jika o(H) = p, maka G = H. Sekarang misalkan a e

G, dan H = (a). H merupakan subgrup siklik dari G, dan H (e), karena a

e. Jadi H = G. Ini mengatakan bahwa G grup siklik dengan orde p, dan setiap

unsur dalam G dibangun oleh a.

Misalkan H dan K keduanya subgrup dari G, definisikan HK = {xG

x = hk, hH, kK}. Contoh ilustrasi, pandang grup S3, dan misalkan H = {e,

f}, K = {e, gf}. H dan K adalah sub-sub grup siklik dari G dengan orde 2,

karena f2 = (gf)2 = e. Perhatikan bahwa HK = {ee, egf, fe, fgf} = {e, gf, f, g2}.

Disini, HK terdiri atas 4 unsur, menurut Teorema Lagrange, HK bukan

merupakan subgrup dari S3, sebab 4 bukan pembagi dari o(S3) = 6. Juga

perhatikan bahwa KH = {ee, ef, gfe, gff} = {e, f, gf, g} HK.

2.17. LEMMA Misalkan H, K keduanya subgrup dari grup G. HK

merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH.

BUKTI. Aggaplah HK = KH; yaitu jika hH dan kK, maka hk = h1k1,

untuk suatu h1H dan k1K. Untuk membuktikan bahwa HK subgrup dari G,

maka kita harus dapat membuktikan bahwa HK bersifat tertutup dan setiap

unsurnya memiliki invers di dalam HK juga. Untuk itu misalkan x = hkHK

dan y = h’k’HK. Maka xy = hkh’k’. Karena HK = KH, maka kh’ = h2k2 untuk

suatu h2H dan k2K. Karena itu, xy = h(h2k2)k’ = (hh2)(k2k’) HK. Jadi, HK

33

bersifat tertutup. Demikian juga bahwa x-1 = (hk)-1 = k-1h-1 KH = HK. Ini

melengkapi pembuktian bahwa HK subgrup dari G. Sebaliknya, anggaplah

HK subgrup dari G. Untuk sebarang hH dan kK berlaku h-1k-1HK.

Karena HK subgrup dari G,maka kh = (k-1)-1(h-1)-1 = (h-1k-1)-1 HK. Ini

menunjukkan bahwa KH HK. Selanjutnya, karena HK subgrup, maka x-1 =

hk HK untuk suatu hH dan kK, apabila x HK. Akan tetapi x = (x-1)-1 =

(hk)-1 = k-1h-1 KH. Ini mengatakan bahwa HK KH. Jadi HK = KH.

2.18. LEMMA AKIBAT. Misalkan H, K keduanya subgrup dari grup G.

Jika G grup Abelian, maka HK merupakan subgrup dari G.

BUKTI. Karena G grup Abelian, dan H, K subgrup-subgrup dari G maka

HK = KH. Oleh karena itu menurut Lemma 2.17, HK merupakan subgrup dari

G.

2.19. LEMMA AKIBAT. Misalkan H subgrup dari G, maka HH

merupakan subgrup dari G, dan HH = H.

BUKTI. Menurut Lemma 2.17, jelas bahwa HH subgrup dari G.

Selanjutnya, karena H subgrup dari G, maka HH H, dan jika hH sebarang,

maka h = he HH, oleh karena itu H HH. Jadi HH = H.

2.20. DEFINISI. Misalkan G grup dan gG. Normalizer atau Centralizer

dari g dalam G, ditulis N(g), adalah himpunan semua unsur x dalam G

sedemikian sehingga xg = gx. Jadi, N(g) = {xGxg = gx}.

2.21. LEMMA. Jika G grup dan gG, maka N(g) merupakan subgrup

dari G.

34

BUKTI. Misalkan gG. Jelas N(g) , karena eg = ge, dengan

demikian eN(g). Selanjutnya, jika y,zN(g) sebarang, maka

(yz)g = y(zg) = y(gz) = (yg)z = (gy)z = g(yz).

Ini menunjukkan bahwa yzN(g), dengan demikian N(g) bersifat tertutup.

Kemudian untuk sebarang xN(g) kita peroleh

x-1g = (x-1g)e = (x-1g)(xx-1) =((x-1g)x)x-1 = (x-1(gx))x-1 = (x-1(xg))x-1 = ((x-

1x)g)x-1

= (eg)x-1 = gx-1.

Ini menunjukkan bahwa x-1N(g), dan melengkapi pembuktian kita.

2.22. DEFINISI. Misalkan G grup, Center dari G, ditulis ZG, adalah

himpunan semua unsur z dalam G sedemikian sehingga zg = gz untuk semua

gG. Jadi, ZG = {zGzg = gz, untuk semua gG}. Jadi, ZG = Gg

gN

,

dimana N(g) Centralizer dari g dalam G.

2.23. LEMMA. Jika G grup sebarang, maka ZG merupakan subgrup dari

G.

BUKTI. Jelas ZG , karena eg = ge untuk semua gG, dengan

demikian eZG. Selanjutnya, jika y,zZG sebarang, maka yg = gy dan zg = gz

untuk semua gG. Sehingga untuk semua gG diperoleh

(yz)g = y(zg) = y(gz) = (yg)z = (gy)z = g(yz).

Ini menunjukkan bahwa yzZG, dengan demikian ZG bersifat tertutup.

Kemudian untuk sebarang x ZG dan untuk semua gG kita peroleh

x-1g = (x-1g)e = (x-1g)(xx-1) =((x-1g)x)x-1 = (x-1(gx))x-1 = (x-1(xg))x-1 = ((x-

1x)g)x-1

= (eg)x-1 = gx-1.

35

Ini menunjukkan bahwa x-1 ZG, dan melengkapi pembuktian kita.

SOAL-SOAL:

1. Jika H dan K subgrup-subgrup dari G, tunjukkan bahwa HK juga

merupakan subgrup dari G.

2. Jika H subgrup dari G, dan aG, Misalkan aHa-1 = {aha-1hH}, maka

tunjukkanlah bahwa aHa-1 merupakan subgrup dari G.

3. Daftarkan semua koset kanan dari H dalam G dimana

a. G = (a) suatu grup siklik orde 10 dan H = (a2) subgrup dari G yang

dibangun oleh a2.

b. G seperti bagian a. di atas, H = (a5) subgrup dari G yang dibangun oleh

a5

c. G = A(S), S = {x1,x2,x3} dan H = {fGf(x1) = x1}

4. Daftarkan semua koset kiri dari H dalam G pada soal 3.

5. Misalkan G grup bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan, Hn subgrup

dari G yang memuat semua himpunan bilangan bulat kelipatan n.

Tentukan indeks dari Hn dalam G, dan daftarkan semua koset kanan dari

Hn dalam G.

6. Jika H suatu subgrup dari G, maka Pemusatan H adalah C(H), yaitu

himpunan {xGxh = hx, untuk semua hH}. Buktikan bahwa C(H)

merupakan subgrup dari G.

7. Jika H subgrup dari G, dan misalkan N(H) = {aG aHa-1 = H}.

Buktikanlah bahwa N(H) merupakan subgrup dari G, dan N(H) H.

8. Misalkan pemetaan fab untuk bilangan-bilangan real a dan b, memetakan

masing-masing bilangan real kepada bilangan real dengan aturan fab : x

36

ax + b. Misalkan G = {faba 0}. Buktikan bahwa G membentuk grup

dibawah operasi komposisi fungsi. Tentukan rumus pemetaan untuk fabofcd.

9. Dalam grup G dalam soal no.8, misalkan N = {f1bG}, buktikan bahwa

a. N subgrup dari G

b. Jika aG, nN, maka ana-1N.

37

BAB III

SUBGRUP NORMAL DAN GRUP KUOSIEN

A. Subgrup Normal

Misalkan G = S3 dan H = {e, f} subgrup dari G. Karena iG(H) = 3, maka

kita mempunyai tiga koset kanan dari H yang berbeda dalam G, yaitu:

H = He = {e, f} = Hf

Hg = {g, fg} = Hfg

Hg2 = {g2, fg2 = gf} = Hgf

dan juga kita mempunyai tiga koset kiri dari H yang berbeda dalam G, yaitu:

H = eH = {e, f} = fH

gH = {g, gf} = Hgf

g2H = {g2, g2f = fg} = Hfg.

Disini kita memperoleh fakta bahwa Hg gH dan juga Hg2 = g2H. Karena itu

gH bukan koset kanan dari H dalam G, yang secara umum bahwa koset-koset

kiri dari H dalam G bukan merupakan koset kanan dari H dalam G.

Selanjutnya, pada kasus lain jika kita pilih N = {e, g, g2} subgrup dari

G = S3, maka kita mempunyai iG(N) = 2, yang berarti terdapat dua koset kanan

dari N yang berbeda dalam G, yaitu:

Ne = N = {e, g, g2} = Ng = Ng2,

Nf = {f, gf, g2f = fg} = Ngf = Nfg,

dan juga terdapat dua koset kiri dari N yang berbeda dalam G, yaitu:

eN = N = {e, g, g2}

fN= {f, fg, fg2 = gf} = fgN = gfN.

Pada kasus ini, terlihat bahwa setiap koset kiri dari N dalam G juga

merupakan koset kanan dari N dalam G.

38

Sekarang kita akan mendefinisikan subgrup khusus dari suatu grup,

yang selanjutnya akan kita jelaskan sifat-sifat yang dihasilkan oleh definisi ini

dengan fakta yang dikemukakan pada paragraf sebelumnya.

3.1. DEFINISI. Misalkan G grup dan N subgrup dari G. N dikatakan

subgrup normal dari G jika dan hanya jika untuk setiap gG dan nN,

berlaku gng-1 N.

Definisi 3.1. di atas dapat dijelaskan kembali seperti berikut. Jika gG

dan misalkan gNg-1 = {gng-1 nN}, maka N dikatakan subgrup normal dari

G jika dan hanya jika gNg-1 N untuk setiap gG.

3.2. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup bilangan bulat dibawah

operasi penjumlahan, H subhimpunan dari G yaitu himpunan semua bilangan

bulat kelipatan 3, yaitu H = {3n n bilangan bulat}. Telah ditunjukkan pada

Contoh 2.4(a), H merupakan subgrup dari G. Sekarang jika gG, dan h H

sebarang, misalkan h = 3n1 untuk suatu bilangan bulat n1 , maka

ghg-1 = g + 3n1 + (-g) = g + n1 + n1 + n1 + (-g).

Karena G adalah grup komutatif, maka

g + n1 + n1 + n1 + (-g) = g + (-g)+ n1 + n1 + n1 = 3n1 H.

Ini membuktikan bahwa H subgrup normal dari G.

(b) Misalkan G = S3 = {e, f, g, fg, g2, gf} sebagaimana Contoh 1.2(c),

dan H = {e, f}. Telah ditunjukkan bahwa H subgrup dari G. Selanjutnya, jika

kita memilih gG dan fH, maka kita peroleh

gfg-1 = gfg2 = ggf = g2f = fg H.

Oleh karena itu, H bukan subgrup normal dari G.

39

Akan tetapi jika N = {e, g, g2}, subgrup dari G, maka N merupakan

subgrup dari G. Perhatikan bahwa

eee-1 = e N, ege-1 = g N, eg2e-1 = g2N,

fef -1 = e N, fgf -1 = g2 N, fg2f -1 = gN,

geg -1 = e N, ggg -1 = g N, gg2g -1 = g2N,

fge(fg) -1 = e N, fgg(fg) -1 = g2 N, fgg2(fg) -1 = gN,

gfe(gf) -1 = e N, gfg(gf) -1 = g2 N, gfg2(gf) -1 = gN,

g2e(g2) -1 = e N, g2g(g2) -1 = g N, g2g2(g2) -1 = g2N.

Dari sini, kita peroleh bahwa setiap xG dan nN, berlaku xnx-1N, dengan

demikian N subgrup normal dari G.

(c) Misalkan G =

1,,,, bcaddcba

dc

baR dengan operasi

perkalian matriks. Telah ditunjukkan pada Contoh 1.2(f), G membentuk grup.

Misalkan H =

Gab

ba. Pada Contoh 2.4(g) telah diperlihatkan bahwa H

merupakan subgrup dari G. Sekarang jika kita memilih A =

21

11G dan

B =

21

23

23

21

H, maka

ABA-1 =

21

11

21

23

23

21

11

12=

3313

3331

21

25

21

Karena 3 325 , maka ABA-1 H, dengan demikian H bukan subgrup

normal dari G. Pada kenyataannya untuk sebarang QH, dapat dipenuhi PQP-

1H jika dan hanya jika PH. (Periksa!)

40

3.3. LEMMA. Misalkan G grup dan N subgrup dari G. N dikatakan

subgrup normal dari G jika dan hanya jika gNg-1 = N untuk setiap gG.

BUKTI. Jika gNg-1 = N untuk setiap gG, maka jelaslah bahwa gNg-1

N untuk setiap gG. Akibatnya menurut Definisi 3.1 N merupakan subgrup

normal dari G. Sebaliknya, anggaplah N subgrup normal dari G. Misalkan

gG sebarang, maka menurut Definisi 3.1, berlaku gNg-1 N. Selanjutnya,

karena N subgrup normal dari G, maka berlaku juga. g-1Ng = g-1N(g-1)-1 N.

Akibatnya,

N = eNe = g(g-1Ng)g-1 gNg-1.

Karena ini berlaku untuk sebarang gG, maka diperoleh gNg-1 = N untuk

setiap gG.

Perlu dicermati, bahwa Lemma 3.3. ini tidak mengatakan bahwa untuk

setiap gG dan nN berlaku gng-1 = n. Hal ini dapat diberikan contoh kontra

berikut ini. Misalkan G = S3 dan N = {e, g, g2} (dapat ditunjukkan bahwa N

subgrup normal dari G).

fgf-1 = fgf = ffg2 = g2 g.

Akan tetapi jika G grup komutatif, maka semua N subgrup dari G merupakan

subgrup normal, dan berlaku untuk setiap gG dan setiap nN berlaku gng-1

= n. (Buktikan!)

3.4. LEMMA. Misalkan G grup dan N subgrup dari G. N subgrup normal

dari G jika dan hanya jika setiap koset kanan dari G merupakan koset kiri dari

N dalam G.

BUKTI. Pertama-tama anggaplah N subgrup normal dari G, maka

menurut Lemma 3.3., gNg-1 = N untuk setiap gG, yang diikuti oleh gN = Ng

41

untuk setiap gG. Jadi koset kanan dari N dalam G juga merupakan koset kiri

dari N dalam G.

Sebaliknya, anggaplah setiap koset kanan dari N dalam G merupakan

koset kiri dari N dalam G. Misalkan gG sebarang, dan gN koset kiri dari N

dalam G. Menurut hipotesis, gN juga merupakan koset kanan dari N dalam G.

Karena g = ge gN dan karena g juga merupakan unsur dalam Ng, maka

berarti g gN Ng. Akibatnya, Ng = gN. Dari sini, kita peroleh bahwa untuk

sebarang gG, berlaku

gNg-1 = Ngg-1 = Ne = N

Jadi menurut Lemma 3.3, N subgrup normal dari G.

Salah satu contoh konkrit bagi Lemma 3.4, dapat kita lihat pada

paragraf-paragraf awal Bab ini. Jika kita mempunyai grup G = S3 dan N = {e,

g, g2}, maka berdasarkan Lemma 3.4, N merupakan subgrup normal dari G.

Sementara itu apabila kita mempunyai grup G = S3 juga dan H = {e, f}, maka

H bukanlah subgrup normal dari G, karena tidak memenuhi syarat cukup bagi

H untuk menjadi subgrup normal.

3.5. LEMMA. Misalkan G grup dan N subgrup dari G. N merupakan

subgrup normal dari G jika dan hanya jika hasil kali dua koset kanan dari N

dalam G juga merupakan koset kanan dari N dalam G.

BUKTI. Pertama-tama, anggaplah N subgrup normal dari G. Misalkan

a,bG sebarang, maka Na dan Nb adalah koset-koset kanan dari N dalam G.

Karena N subgrup normal dari G dan dengan menggunakan Lemma 3.4.,

maka

(Na)(Nb) = N(aN)b = N(Na)b = (NN)(ab) = Nab,

yang juga merupakan koset kanan dari N dalam G.

42

Sebaliknya, anggaplah bahwa perkalian dua koset kanan dari N dalam

G juga meru-pakan koset kanan dari N dalam G. Misalkan gG sebarang,

maka g-1G. Ng dan Ng-1 merupakan dua koset kanan dari N dalam G,

sehingga menurut hipotesis bahwa (Ng)(Ng-1) suatu koset kanan dari N dalam

G. Akan tetapi

e =gg-1 = (eg)(eg-1) (Ng)(Ng-1).

Di pihak lain, karena N juga suatu koset kanan dari N dalam G dan jelas eN,

maka N (Ng)(Ng-1) , yang berakibat N = (Ng)(Ng-1). Oleh karena itu,

untuk sebarang nN, berlaku

gng-1 = egng-1 = n(n-1gng-1) nN = N.

Ini membuktikan bahwa N subgrup normal dari G.

3.6. LEMMA. Misalkan M dan N keduanya subgrup normal dari grup G.

Maka MN juga merupakan subgrup normal dari G.

BUKTI. Jelas, MN , karena eM dan eN yang mengakibatkan e =

eeMN. Selanjutnya, jika m1n1, m2n2 unsur-unsur di MN, maka

(m1n1)(m2n2) = m1n1m2n1-1n1n2

Karena M subgrup normal dari G, maka n1m2n1-1M, dengan demikian

(m1n1)(m2n2) = m1n1m2n1-1n1n2 = (m1n1m2n1

-1)(n1n2)MN. Ini membuktikan

bahwa MN bersifat tertutup. Selain itu,

(m1n1)-1 = n1

-1m1-1 = m1

-1(m1n1-1m1

-1)

Karena N subgrup normal dari G, maka m1n1m1-1N, dengan demikian (m1n1)

-

1MN.

Sampai disini, kita telah mebuktikan bahwa MN subgrup dari G, tinggal

membuktikan bahwa MN subgrup normal dari G. Untuk keperluan ini,

misalkan gG dan mnMN sebarang.

43

gmng-1 = (gmg-1)(gng-1)

Karena M dan N keduanya subgrup normal dari G, maka ruas kanan dari

persamaan di atas merupakan unsur di MN. Ini melengkapi pembuktian

Lemma 3.6 di atas.

B. GRUP KUOSIEN ATAU GRUP FAKTOR

Misalkan G suatu grup dan N subgrup normal dari G. Perhatikan bahwa

kita mempunyai Ng untuk semua gG yaitu koset-koset kanan dari N dalam

G. Kita notasikan himpunan semua koset kanan dari N yang berbeda dalam G

dengan G/N, yaitu

G/N = {Ng gG}.

Disini, jelas bahwa G/N , sebab N = Ne merupakan suatu koset kanan dari

N dalam G, jadi N G/N. Oleh karena N subgrup normal dari G, maka kita

mempunyai sifat bahwa perkalian sebarang dua koset kanan dari N dalam G

juga merupakan koset kanan dari N dalam G (Lemma 3.5).

Berikut ini kita akan menunjukkan bahwa dengan operasi perkalian

koset-koset kanan sebagaimana pada Lemma 3.5, G/N membentuk grup.

3.7. TEOREMA. Jika G grup dan N subgrup normal dari G, maka G/N

membentuk grup.

BUKTI. Dengan menggunakan Lemma 3.5, kita akan mendefinisikan

operasi perkalian dalam G/N, dengan

(Ng1)(Ng2) = N(g1g2) untuk semua g1,g2G.

Dari sini berarti sifat ketertutupan G/N dengan operasi ini telah dipenuhi.

Tinggal kita membuktikan sifat-sifat lain, yaitu: keberlakuan sifat asosiatif

operasi ini dalam G/N, eksistensi unsur identitas operasi dalam G/N, dan

keberadaan unsur invers dalam G/N bagi semua unsur dalam G/N. Untuk itu,

44

misalkan g1, g2 dan g3 unsur-unsur dalam G dan X = Ng1, Y = Ng2 dan Z =

Ng3.

X(YZ) = (Ng1)((Ng2)(Ng3)) = (Ng1)(N(g2g3) = N(g1(g2g3)) = N((g1g2)g3)

= (N(g1g2))(Ng3) = ((Ng1)(Ng2))(Ng3) = (XY)Z.

Jadi, sifat asosiatif dipenuhi oleh operasi perkalian ini.

Selanjutnya, perhatikanlah bahwa N = Ne merupakan unsur dalam G/N,

dan perhatikan juga bahwa

XN = (Ng1)N = (Ng1)(Ne) = N(g1e) = Ng1 = X, dan

NX = N(Ng1) = (Ne)(Ng1) = N(eg1) = Ng1 = X.

Jadi, N merupakan unsur identitas dalam G/N menurut operasi perkalian

dalam G/N.

Akhirnya, kita mempunyai g1-1 juga merupakan unsur dalam G, oleh

karena itu Ng1-1G/N.

(Ng1)(Ng1-1) = N(g1g1

-1) = Ne = N, dan (Ng1-1)(Ng1) = N(g1

-1g1) = Ne =

N.

Akibatnya, Ng1-1 = (Ng1)

-1.

Ini melengkapi pembuktian kita terhadap Teorema 3.7.

Grup G/N disebut grup kuosien (grup faktor) dari G oleh N.

3.8. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup bilangan bulat dan N

himpunan bilangan bulat kelipatan 5, yaitu N = {5g gG}. Telah

ditunjukkan bahwa N merupakan subgrup dari G, dan karena G grup Abelian,

maka N merupakan subgrup normal dari G. Dengan demikian menurut

Teorema 3.7. kita pasti mempunyai G/N = {N + g gG}, yaitu grup kuosien

dari G oleh N. Sekarang kita akan menentukan o(G/N), yaitu banyaknya unsur

dalam G/N.

45

Perhatikan bahwa N, N + 1, N + 2, N + 3, dan N + 4 merupakan unsur-

unsur dalam G/N. Misalkan gG sebarang, maka kita dapat nyatakan

g = 5g0 + h

untuk suatu g0G dan h sisa pembagian dari g oleh 5, yaitu h = 0, atau 1, atau

2, atau 3, atau 4, sehingga

N + g = N + (5g0 + h) = (N + 5g0) + h.

Karena 5g0 N, maka N + 5g0 = N. Akibatnya, N + g = N + h. Dri sini berarti

G/N = {N, N + 1, N + 2, N + 3, N + 4}

Karena itu, o(G/N) = 5.

Contoh 3.8(a) di atas, dapat diperluas pada sebarang bilangan bulat n,

dengan mengambil N = {ng gG}. Dengan cara yang sama, maka dengan

mudah dapat diperoleh

G/N = {N, N + 1, N + 2, … , N + (n –1)},

dan kemudian diperoleh o(G/N) = n.

(b) Misalkan G = S3 = {e, f, g, fog, g2, gof} sebagaimana Contoh 1.2(c),

dan H = {e, f}. Telah ditunjukkan bahwa H subgrup dari G. Koset-koset

kanan dari H dalam G, adalah

H = He = {e, f} = Hf

Hg = {g, fg} = Hfg

Hg2 = {g2, fg2 = gf} = Hgf

Karena itu kita mempunyai G/H = {H, Hg, Ng2}. Akan tetapi, G/H bukan

grup, karena H bukan subgrup normal dari G.

(c) Misalkan G = S3 = {e, f, g, fog, g2, gof} sebagaimana Contoh 1.2(c),

dan N = {e, g, g2} subgrup dari G. Telah ditunjukkan bahwa N subgrup

normal dari G. Koset-koset kanan dari N dalam G, adalah

46

Ne = N = {e, g, g2} = Ng = Ng2,

Nf = {f, gf, g2f = fg} = Ngf = Nfg,

Karena itu kita mempunyai G/N = {N, Nf}. Karena N subgrup normal dari G,

maka menurut Teorem 3.7, G/N merupakan grup, dan o(G/N) = 2.

3.9. LEMMA AKIBAT. Jika G grup komutatif dan N subgrup normal dari

G, maka G/N membentuk grup komutatif.

BUKTI. Berdasarkan Teorema 3.7, kita mempunyai grup kuosien G/N.

Selanjutnya, jika X = Ng1 dan Y = Ng2 unsur-unsur sebarang dalam G/N maka

XY = (Ng1)(Ng2) = N(g1g2). Karena G grup komutatif, maka g1g2 =g2g1.

Akibatnya, N(g1g2) = N(g2g1) = (Ng2)(Ng1) = YX.

3.9. LEMMA. Jika G grup hingga dan N subgrup normal dari G, maka

o(G/N) = N

G

o

o .

BUKTI. Karena o(G) berhingga, maka banyaknya koset kanan dari N

dalam G juga berhingga, yang berakibat iG(N) berhingga, yaitu iG(N) =

o(G)/o(N). Oleh karena G/N adalah himpunan semua koset kanan dari N yang

berbeda dalam G, maka berarti

o(G/N) = iG(N) = N

G

o

o .

SOAL – SOAL.

1. Jika G grup, dan H subgrup dari G dengan iG(H) = 2, maka buktikanlah

bahwa H subgrup normal dari G.

2. Jika N subgrup normal dari grup G dan H sebarang subgrup dari G, maka

buktikanlah bahwa NH subgrup dari G.

47

3. Tunjukkanlah bahwa irisan dari dua subgrup normal dari grup G juga

merupakan subgrup normal.

4. Jika H subgrup dari grup G dan N subgrup normal dari G, maka

tunjukkanlah bahwa HN merupakan subgrup normal dari G.

5. Jika H subgrup dari grup G, misalkan N(H) = {gG gHg-1 = H}.

Buktikanlah bahwa:

a. N(H) subgrup dari G.

b. H subgrup normal dari N(H).

c. Jika K subgrup dari G, dan H subgrup normal dari K, maka K N(H).

d. H subgrup normal dari G jika dan hanya jika N(H) = G.

6. Misalkan N dan M subgrup-subgrup normal dari grup G, dan NM = (e).

Tunjukkanlah bahwa untuk sebarang nN dan mM berlaku nm = mn.

7. Jika T subgrup siklik normal dari grup G, maka tunjukkanlah bahwa setiap

subgrup dari T merupakan subgrup normal dari G.

8. Misalkan G himpunan semua matriks 22,

d

ba

0dimana ad 0 dibawah

operasi perkalian matriks. Misalkan N =

realbilangan

10

1b

b.

Buktikanlah bahwa:

a. N subgrup normal dari G.

b. G/N merupakan grup Abelian.

48

BAB IV

HOMOMORFISMA GRUP

4.1 DEFINISI. Suatu pemetaan f dari grup G ke dalam grup G disebut

homomorfisma grup atau homomorfisma dari G ke dalam G , jika dan hanya

jika untuk setiap a,bG berlaku f(ab) = f(a)f(b).

Perlu dicatat bahwa pada Definisi 4.1 di atas melibatkan dua operasi

biner, yang terlihat pada ekspresi f(ab) = f(a)f(b). Di ruas kiri, operasi biner

yang dipergunakan adalah operasi biner dalam G, sedangkan di ruas kanan

yang dipergunakan adalah operasi biner pada G . Untuk menjelaskan lebih

detail dari Definisi 4.1, akan dikemukakan beberapa contoh, akan tetapi

sebelumnya kita perlu mendefinisikan terlebih dahulu tentang kernal suatu

homomorfisma grup dari suatu grup kedalam grup lain.

4.2. DEFINSI. Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G ke dalam

grup G . Kernel dari f, disimbol Kf, adalah himpunan semua xG yang

dipetakan oleh f ke e , dimana e unsur identitas dalam G . Atau, dengan kata

lain,

Kf = {xG f(x) = e }

4.3. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup sebarang, dan definisikan f

: G G dengan f(x) = e (unsur identitas dalam G) untuk setiap xG. Maka

jelas f suatu homomorfisma, karena untuk setiap a,bG, berlaku

f(ab) = e = ee = f(a)f(b).

49

Disini, e merupakan unsur identitas dalam G, sehingga kernel dari f adalah Kf

= G, karena semua unsur dalam G dipetakan oleh f ke e. Pada kasus ini, kita

sebut f homomorfisma konstan e.

(b) Misalkan G grup sebarang, dan definisikan f : G G dengan f(x) =

x untuk setiap xG. Fungsi f ini juga merupakan homomorfisma, sebab untuk

setiap a,bG, berlaku

f(ab) = ab = f(a)f(b).

Sedangkan kernel dari f adalah Kf = {e}, karena jika a e, maka f(a) = a e,

jadi aKf. Lebih dari itu, f bersifat injektif, karena jika a,bG sebarang

dengan f(a) = f(b), maka a = f(a) = f(b) = b. Kemudian, f juga bersifat

surjektif, karena apabila yG sebarang, kita dapat memilih yG ini sehingga

f(y) = y. Pada kasus ini, f kita sebut dengan homomorfisma identitas pada

G, disimbol idG. Jadi, idG(x) = x untuk setiap xG.

(c) Misalkan G grup bilangan real dengan operasi penjumlahan pada

bilangan-bilangan real, dan G grup bilangan real tanpa nol di bawah operasi

perkalian pada bilangan-bilangan real. Definisikan f : G G , dengan f(x) =

3x untuk setiap xG. Perhatikan bahwa G dan G memiliki operasi biner yang

berbeda. Untuk menunjukkan bahwa f suatu homomorfisma, maka kita harus

periksa bahwa untuk setiap a,bG berlaku f(ab) = f(a)f(b). Tetapi hal ini

tidaklah sulit dilakukan, karena

f(ab) = f(a + b) = 3a + b = 3a3b = f(a)f(b).

Jadi, f suatu homomorfisma. Kita peroleh juga bahwa f bukan fungsi dari G

pada G , karena 3x selalu bernilai positif untuk bilangan real x berapapun,

akan tetapi f suatu injeksi, karena jika x,yG sebarang sedemikian sehingga

f(x) = 3x = 3y = f(y), maka x = y (Periksa!). Selanjutnya, kita mempunyai unsur

50

1 sebagai unsur identitas dalam G , sehingga kernel dari f adalah Kf = {xG

3x = 1} = {0}, karena apabila x 0, maka f(x) = 3x 30 = 1.

(d) Misalkan G = S3 = {e, f, g, fg, gf, g2} dan G = {e, f}. Definisikan

: G G dengan (f ig j) = f i, i = 0,1, dan j = 0,1,2. Dari pendefinisian seperti

ini, kita mempunyai G = {e, f, g, fg, gf, g2} = {f 0g0, f 1g0, f 0g1, f 1g1, f 1g2, f0g2}, dan diperoleh

(e) = (ee) = (f 0g0) = f0 = e,

(f) = (fe) = (f 1g0) = f1 = f,

(g) = (eg) = (f 0g1) = f0 = e,

(fg) = (f 1g1) = f 1 = f,

(gf) = (fg2) = (f 1g2) = f 1 = f, dan

(g2) = (eg2) = (f 0g2) = f 0 = e.

Nilai-nilai dari (f ig j) diperlihatkan pada Tabel 4.1, dan nilai-nilai dari (fi)(g j) diperli-hatkan pada Tabel 4.2 (i = 0,1, dan j = 0,1,2).

Tabel 4.1. Nilai-nilai dari (figj) (i = 0,1, dan j = 0,1,2)

e f g fg gf g2

e e f e f e f

f f e f e e f

g e f e f e f

fg f e f e e f

gf f e f e e f

g2 e f e f e f

51

Perlu dicatat, bahwa hasil yang tercantum pada Tabel 4.1 adalah hasil dari

peta perkalian dua unsur dalam G oleh pemetaan , dan tidak diartikan

sebagai operasi biner (perkalian) dalam G. Jadi, e = (ee), bukan e = ee, f =

(fg), bukan f = fg, dan seterusnya.

Tabel 4.2. Nilai-nilai dari (f i)(g j) (i = 0,1, dan j = 0,1,2)

. (e) (f) (g) (fg) (gf) (g2)

(e) e f e f e f

(f) f e f e e f

(g) e f e f e f

(fg) f e f e e f

(gf) f e f e e f

(g2) e f e f e f

Berdasarkan hasil-hasil pada Tabel 4.1. dan Tabel 4.2, maka kita

berkesimpulan bahwa (figj) = (fi)(gj), (i = 0,1, dan j = 0,1,2), untuk semua

figjG, (i = 0,1, dan j = 0,1,2). Tambahan lagi, kernel dari adalah K = {e,

g, g2}, karena (e) = (g) = (g2) = e.

(e) Misalkan G grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan pada

bilangan-bilangan bulat, dan G = G. Definisikan f : G G dengan f(x) = 2x

untuk semua xG [disini 2x diartikan sebagai x + x, bukan perkalian 2 dengan

x]. Jika a,bG sebarang, maka

f(a + b) = 2(a + b) = (a + b) + (a + b) = (a + a) + (b + b) = 2a + 2b =

f(a) + f(b).

Jadi, f merupakan suatu homomorfisma. Kernel dari f adalah Kf = {0}, sebab

jika x 0 maka f(x) = 2x = x + x 0, yang mengakibatkan xKf. Tambahan

52

juga bahwa f suatu injeksi, karena jika x,yG sehingga x y, maka 2x = x + x

y + y = 2y. Akan tetapi f bukan suatu surjeksi, karena tidak ada aG yang

dipetakan oleh f ke 3G .

(f) Misalkan G grup bilangan real tanpa nol dengan operasi perkalian,

dan G = {1, -1} dengan operasi: 1(1) = 1 = (-1)(-1), dan 1(-1) = -1 = (-1)(1).

Definisikan fungsi f : G G , dengan

f(x) = negatifrealbilanganjika1

positifrealbilanganjika1

x,

x,

Misalkan a,bG sebarang, maka kita mempunyai empat kasus, yaitu:

Kasus I. Jika a,b keduanya bilangan real positif, maka kita mempunyai

ab bilangan positif, sehingga f(ab) = 1 = (1)(1) = f(a)f(b).

Kasus II. Jika a positif dan b negatif, maka kita mempunyai ab

bilangan negatif. Karena itu, f(ab) = -1 = (1)(-1) = f(a)f(b).

Kasus III. Jika a negatif dan b positif, maka kita mempunyai ab

bilangan negatif. Karena itu, f(ab) = -1 = (-1)(1) = f(a)f(b).

Kasus IV. Jika a,b keduanya bilangan real negatif, maka kita

mempunyai ab bilangan positif, sehingga f(ab) = 1 = (-1)(-1) = f(a)f(b).

Dari sini, kita peroleh kesimpulan bahwa f merupakan homomorfisma,

dengan kernelnya adalah Kf = {xG x bilangan real positif}.

(g) Misalkan G grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan, dan

nG grup bilangan bulat modulo n dengan operasi penjumlahan bilangan bulat

modulo n. Definisikan f : G nG dengan f(x) = t, dimana t adalah sisa

pembagian dari x oleh n. Untuk menunjukkan bahwa f merupakan suatu

homomorfisma, maka misalkan a,bG sebarang.

f(ab) = f(a + b) =t0, dimana t0 adalah sisa pembagian dari a + b oleh n.

53

Karena sifat ketertutupan dari nG , maka kita mempunyai t0 = t1 + t2 dimana t1

adalah sisa pembagian dari a oleh n dan t2 adalah sisa pembagian dari b oleh

n. Oleh karena itu,

f(ab) = t0 = t1 + t2 = f(a) + f(b) = f(a)f(b).

Jadi, f suatu homomorfisma. Kernel dari f adalah Kf = {xG x = nt, t

bilangan bulat}.

(h) Misalkan G grup bilangan real positif dengan operasi perkalian, dan

G grup bilangan real dengan operasi penjumlahan. Definisikan fungsi f : G

G dengan f(x) = 10log(x) untuk setiap xG. Misalkan a,bG sebarang,

maka kita mempunyai hubungan

f(ab) = 10log(ab) = 10log(a) + 10log(b) = f(a) + f(b) = f(a)f(b).

Dari sini, disimpulkan bahwa f suatu homomorfisma. Sebagai tambahan,

bahwa f suatu injeksi, karena jika x,yG sebarang sedemikian sehingga f(x) =10log(x) = 10log(y) = f(y), maka x = y (Periksa!). Selanjutnya, kita mempunyai

0G sebagai unsur identitas dalam G , karena itu, kernel dari f adalah Kf =

{xG 10log(x) = 0} = {1}.

(i) Misalkan G grup semua matriks real 22 yang berbentuk

d

ba

0,

sehingga ad 0, dengan operasi perkalian matriks-matriks. Misalkan juga G

grup bilangan real tanpa nol dengan operasi perkalian. Definisikan f : G G

dengan f

d

ba

0= ad untuk setiap

d

ba

0G. Jika X =

1

11

0 d

badan Y =

54

2

22

0 d

baunsur-unsur sebarang dalam G, maka kita mempunyai XY =

1

11

0 d

ba

2

22

0 d

ba=

21

212121

0 dd

dbbaaa, f(X) = a1d1, dan f(Y) = a2d2.

f(XY) = f

21

212121

0 dd

dbbaaa= (a1a2)(d1d2) = (a1d1)(a2d2) = f(X)f(Y).

Jadi, f suatu homomorfisma.

Selanjutnya, kita mempunyai 1G sebagai unsur identitas dalam G ,

karena itu kernel dari f adalah Kf =

1

0psG

s

qp=

realbilangan

10q,pG

p

qp.

Tambahan lagi, bahwa pada kenyataannya, f merupakan fungsi dari G pada

G , karena jika yG sebarang, kita dapat memilih X =

10

0yG sehingga

f(X) = f

10

0y= y.

4.4. LEMMA. Misalkan G grup dan N subgrup normal dari G, oleh

karenanya kita mempunyai grup kuosien G/N. Definisikan f : G G/N

dengan f(x) = Nx untuk semua xG. Maka f merupakan suatu homomorfisma

dari G pada G/N. Atau dengan kata lain, bahwa G/N merupakan peta

homomorfisma dari G. Selanjutnya, Kernel dari f adalah N.

BUKTI. Misalkan a,bG sebarang.

f(ab) = N(ab) = (Na)(Nb) = f(a)f(b).

Ini menunjukkan bahwa f merupakan suatu homomorfisma. Selanjutnya,

untuk membuktikan bahwa f suatu surjeksi, maka kita ambil XG/N sebarang

55

dan misalkan X = Ny untuk suatu yG. Dengan memilih yG ini, maka kita

mempunyai f(y) = Ny = X. Sekarang, misalkan kernel dari f adalah Kf. Jika

xKf, maka f(x) = N (unsur identitas dalam G/N). Di pihak lain, f(x) = Nx,

dengan demikian Nx = N. Ini menghasilkan xN. Ini menunjukkan bahwa

KfN. Sebaliknya, jika yN, maka f(y) = Ny, dan karena yN, maka menurut

Lemma 2.11 f(y) = N, dengan demikian yKf. Ini menunjukkan bahwa N

Kf, yang melengkapi pembuktian bahwa kernel dari f adalah N.

Berikut ini adalah lemma yang memberikan jaminan bahwa kernel dari

suatu homomorfisma dari grup G ke dalam G bukan himpunan kosong.

4.5. LEMMA. Jika f suatu homomorfisma dari G ke dalam G , maka

(1) f(e) = e , dimana e unsur identitas dalam G .

(2) f(x-1) = f(x)-1, untuk setiap xG.

BUKTI. Untuk membuktikan (1), perhatikan bahwa untuk setiap xG

kita mempunyai

f(x) e = f(x) = f(xe) = f(x)f(e).

Dengan menggunakan sifat pencoretan dalam G , kita peroleh f(e) = e .

Sementara itu, untuk membuktikan (2), perhatikan bahwa untuk setiap

xG berlaku

f(x)f(x-1) = f(xx-1) = f(e) = e , dan

f(x-1)f(x) = f(x-1x) = f(e) = e .

Ini membuktikan bahwa f(x-1) = f(x)-1.

Lemma 4.5 di atas, mengatakan bahwa e merupakan unsur dalam

kernel dari sebarang homomorfisma dari suatu grup kedalam grup lain. Jadi,

56

kernel dari homomorfisma dari suatu grup kedalam grup lain bukan himpunan

kosong.

4.6. LEMMA. Jika f suatu homomorfisma dari G kedalam G dengan

kernel K, maka K merupakan subgrup normal dari G.

BUKTI. Terlebih dahulu kita akan membuktikan bahwa K merupakan

subgrup dari G. Sifat K segera dipenuhi dengan jaminan Lemma 4.5(1),

tinggal kita tunjukkan bahwa K memenuhi sifat ketertutupan terhadap operasi

dalam G, dan keberadaan unsur invers dari semua unsur dalam K yang harus

juga terdapat dalam K. Untuk ini, misalkan x,yK sebarang.

f(xy) = f(x)f(y) = e e = e , dan

f(x-1) = f(x)-1 = e -1 = e ,

yang keduanya berturut-turut menyatakan bahwa xyK dan x-1K. Jadi, K

merupakan subgrup dari G.

Sekarang kita akan menunjukkan bahwa K subgrup normal dari G.

Perhatikan bahwa untuk sebarang gG dan kK, berlaku

f(gkg-1) = f(g)f(k)f(g-1) = f(g)e f(g-1) = f(g)f(g)-1 = e .

Dari sini, kita peroleh bahwa gkg-1K. Jadi K merupakan suatu subgrup

normal dari G.

Oleh karena K merupakan subgrup normal dari grup G sebagaimana

hasil Lemma 4.6, maka berdasarkan Teorem 3.6 dan Lemma 4.4, diperoleh

bahwa kita pasti memiliki G/K yang merupakan peta homomorfisma dari grup

G.

4.7. DEFINISI. Misalkan G dan G grup-grup, f suatu homomorfisma

dari G ke dalam G dengan kernel, K. Jika g G maka kita definisikan

57

himpunan semua peta invers (inverse image) dari g dibawah f, ditulis If-1( g ),

sebagai

{xGf(x) = g }

4.8. LEMMA. Jika G dan G grup, f suatu homomorfisma dari G ke

dalam G dengan kernel, K dan misalkan pula g G . Maka If-1( g ) = Kx

dimana x peta invers tertentu yang sebarang dari g oleh f dalam G.

BUKTI. Jika g = e (unsur identitas dari G ), maka menurut Definisi, If-

1( g ) = K berlaku secara trivial. Jika g e , misalkan xG sebuah peta invers

dari g oleh f, yaitu f(x) = g . Kita klaim bahwa If-1( g ) = Kx. Untuk

membuktikan ini, misalkan yKx sebarang. Maka y = kx untuk suatu kK.

Karena itu f(y) = f(kx) = f(k)f(x) = e f(x) = g . Ini menunjukkan bahwa y If-

1( g ) dengan demikian Kx If-1( g ).

Sebaliknya, misalkan z If-1( g ) sebarang maka f(z) = g = f(x).

Karenanya e = f(z)(f(x))-1 = f(z)f(x-1) = f(zx-1). Mengikuti ini, diperoleh zx-1K

yang berarti zx-1 = k1 untuk suatu k1 K. Dari sini z = k1xKx. Jadi If-1( g )

Kx. Ini melengkapi pembuktian klaim kita.

4.9. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup bilangan real tanpa nol

dibawah operasi perkalian pada bilangan real dan G = {-1,1} dengan operasi

perkalian. Pandang fungsi f : G G dengan f(x) = 1 jika x bilangan real

positif dan f(x) = -1 jika x bilangan real negatif. Menurut Contoh 4.3(f), f

merupakan suatu homomorfisma dengan kernel, K = {xGf(x) = 1} =

{xG x bilangan real positif}. Berdasarkan Lemma 4.8 di atas, diperoleh If-

1(1) = K dan If-1(-1) = {xG x bilangan real negatif} = Ky dimana y bilangan

real negatif.

58

(b) Misalkan G grup semua matriks real 22 yang berbentuk

d

ba

0,

sedemikian sehingga ad 0, dengan operasi perkalian matriks-matriks dan G

grup bilangan real tanpa nol dengan operasi perkalian pada bilangan-bilangan

real. Sekarang pandang suatu pemetaan f dari G ke dalam G dengan

f

d

ba

0= ad untuk setiap

d

ba

0G. Sebagaimana pada Contoh 4.3(i), f

merupakan suatu homomorfisma dari G ke dalam G dengan kernel

K =

0real,bilangan,

10pqpG

p

qp.

Selanjutnya, misalkan g = 2 G , maka

f –1(2) =

2

0adG

d

ba=

0danrealbilangan

/20aa,b

a

ba.

Menurut Lemma 4.8, dengan memisalkan a = p dan b = 2q, maka diperoleh f –

1(2) = K

20

01, karena

20

01G yang merupakan suatu peta invers dari 2

G . Dapat juga kita memisalkan a = 2p dan b = -p + q, untuk memperoleh f –

1(2) = K

10

12, karena

10

12G juga merupakan suatu peta invers dari 2

G .

4.10. DEFINISI. Suatu homomorfisma f dari G ke dalam G dikatakan

suatu isomorfisma jika f pemetaan satu-satu (one-to-one mapping).

Sebagai contoh untuk isomorfisma dari suatu grup ke grup yang lain,

antara lain telah kita peroleh pada Contoh 4.3(b), (c), (e) dan (h).

59

4.11. TEOREMA. Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G ke dalam

grup G dengan kernel K. f merupakan suatu isomorfisma jika dan hanya jika

K = (e).

BUKTI. Dengan menggunakan Lemma 4.8 diperoleh bahwa jika K = (e),

maka untuk sebarang g G , If-1( g ) = (e)x = {x} dengan demikian f suatu

fungsi satu-satu. Sebaliknya, jika f pemetaan satu-satu, maka untuk sebarang

xK, f(x) = e = f(e). Karena f satu-satu, maka x = e. Ini membuktikan bahwa

K(e). Sebaliknya, secara trivial berlaku (e) K, karena K merupakan

subgrup dari G. Dari sini disimpulkan bahwa K = (e).

4.12. TEOREMA. Jika f suatu homomorfisma dari grup G ke dalam grup

G dengan kernel K, maka terdapat suatu isomorfisma dari G/K ke dalam G .

BUKTI. Misalkan f fungsi dari G pada G dengan pengaitan f : x f(x)

untuk setiap xG, dan g fungsi G kedalam G/K dengan pengaitan g : x Kx

untuk setiap xG. Telah ditunjukkan bahwa g bersifat pada (Lemma 4.4) dan

kernel dari g adalah K. Sekarang bangun fungsi h dari G/K ke dalam G ,

dengan pengaitan h : Kx f(x) untuk setiap xG. Perhatikan diagram

berikut.

G G

G/K

f

g

h

Pengaitan untuk f, g, dan h digambarkan seperti diagram berikut.

60

x f(x)

Kx

f

g

h

Akan ditunjukkan bahwa h suatu homomorfisma dan satu-satu (isomorfisma)

dari G/K ke dalam G . Pertama-tama kita akan tunjukkan bahwa h merupakan

suatu pemetaan, dalam arti bahwa kita akan menunjukkan bahwa pengaitan

untuk h : Kx f(x) terdefinisi dengan baik (well-defined). Untuk itu,

misalkan x1, x2 G sebarang, sedemikian sehingga Kx1 = Kx2. Karena itu x1 =

kx2 untuk suatu kK, dan akibatnya h(Kx1) = f(x1) = f(kx2) = f(k)f(x2) = e f(x2)

= f(x2) = h(Kx2). Ini mengatakan bahwa pengaitan untuk h well-defined.

Selanjutnya, misalkan Kx1 dan Kx2 unsur-unsur dalam G/K.

h((Kx1)(Kx2)) = h(K(x1x2)) = f(x1x2) = f(x1)f(x2) = h(Kx1)h(Kx2). Jadi h

merupakan suatu homomorfisma.

Sekarang untuk membuktikan bahwa h suatu isomorfisma, tinggal

menggunakan Teorema Akibat 4.11 dengan menunjukkan bahwa kernel dari

h adalah (K). Untuk itu misalkan Kh kernel dari h. Jika XKh sebarang, maka

X = Kx untuk suatu xG dan h(X) = h(Kx) = e . Di pihak lain, h(Kx) = f(x),

yang mengakibatkan f(x) = e , dan dengan demikian xK (kernel dari f).

Menurut Lemma 2.11, X = Kx = K(K), jadi Kh(K). Sebaliknya, jika Y =

K(K), maka h(Y) = h(K) = h(Ke) = f(e) = e unsur identitas dalam G ,

sehingga dengan demikian YKh. Jadi (K)Kh, dan ini melengkapi

pembuktian bahwa kernel dari h adalah (K). Karena K unsur identitas di G/K,

61

maka menurut Teorema Akibat 4.11, h merupakan isomorfisma dari G/K ke

dalam G .

4.13. DEFINISI. Dua grup G dan G dikatakan isomorfik jika terdapat

isomorfisma dari G pada G . Dalam kasus ini, ditulis G G .

4.14. LEMMA. Jika G sebarang grup, maka G G.

BUKTI. Apabila kita memilih fungsi f : G G sebagaimana pada

Contoh 4.3(b), yaitu f(x) = x untuk setiap xG, maka kita mempunyai suatu

isomorfisma dari G pada G. Ini membuktikan bahwa G G.

4.15. LEMMA. Misalkan G dan G dua grup sebarang. Jika G G ,

maka G G.

BUKTI. Misalkan f : G G suatu isomorfisma dari G pada G .

Definisikan : G G, dengan (y) = f -1(y) untuk setiap yG . Jelas ini

suatu pemetaan karena sifat dari f sebagai isomorfisma. Kita akan

menunjukkan bahwa merupakan suatu isomorfisma dari G pada G.

Sekarang, misalkan a,bG sebarang

f((ab)) = f(f -1(ab)) = (ff -1)(ab) =G

id (ab) = ab =G

id (a)G

id (b) = (ff

-1)(a)(ff -1)(b)

= f(f -1(a))f(f -1(b)) = f((a))f((b)) = f((a)(b)).

Karena f suatu isomorfisma, maka (ab) = (a)(b). Jadi merupakan suatu

homomorfisma.

Selanjutnya, misalkan a,bG sebarang, dengan (a) = (b). Maka a

=G

id (a) = (ff -1)(a) = f(f -1(a)) = f((a)) = f((b)) = f(f -1(b)) = (ff -1)(b) =

62

Gid (b) = b. Ini membuktikan bahwa suatu pemetaan yang bersifat injektif (1

– 1).

Akhirnya, misalkan xG sebarang, maka kita mempunyai f(x)G ,

sehingga (f(x)) = f-1(f(x)) = (f-1f)(x) = idG(x) = x. Ini membuktikan bahwa

bersifat surjektif, yang melengkapi pembuktian bahwa suatu isomorfisma

dari G pada G. Jadi G G.

4.16. LEMMA. Jika G, G , dan G grup-grup sebarang. Jika G G dan

G G , maka G G .

BUKTI. Misalkan f suatu isomorfisma dari G pada G , dan g suatu

isomorfisma dari G pada G . Sekarang, definisikan h : G G , dengan h(x) =

g(f(x)) untuk setiap xG. Jelas, h merupakan suatu pemetaan. Selanjutnya,

misalkan a,bG sebarang, maka kita peroleh

h(ab) = g(f(ab)) = g(f(a)f(b)) = g(f(a))g(f(b)) = h(a)h(b).

Ini menujukkan bahwa h suatu homomorfisma.

Untuk membuktikan bahwa h bersifat injektif, misalkan a,bG dengan

h(a) = h(b). Dari sini berarti g(f(a)) = g(f(b)) dan oleh karena g suatu

isomorfisma, maka f(a) = f(b). Mengikuti ini, karena f suatu isomorfisma,

maka a = b. Ini menunjukkan bahwa h suatu injeksi.

Terakhir, untuk membuktikan bahwa h bersifat surjeksi, misalkan zG

sebarang. Karena g suatu surjeksi, maka terdapat yG sehingga g(y) = z, dan

karena f suatu surjeksi, maka terdapat xG sehingga f(x) = y. Dengan

demikian kita mempunyai xG sehingga

h(x) = g(f(x)) = g(y) = z.

63

Ini membuktikan bahwa h suatu surjeksi. Jadi kita telah membuktikan bahwa

h suatu isomorfisma dari G pada G , yang melengkapi pembuktian G G .

4.17. LEMMA AKIBAT. Relasi isomorfik, , pada himpunan grup-grup

merupakan relasi ekivalen.

BUKTI. Lemma Akibat 4.17 ini merupakan rangkumam dari Lemma

4.14, Lemma 4.15, dan Lemma 4.16.

4.18. TEOREMA. Jika f suatu homomorfisma dari grup G pada grup G

dengan kernel K, maka G G/K.

BUKTI. Pada Teorema 4.12 kita telah membuktikan bahwa terdapat

isomorfisma h dari G/K ke dalam G dengan pengaitan h : Kx f(x) untuk

semua xG. Disini kita tinggal menunjukkan bahwa h merupakan suatu

surjeksi apabila f suatu surjeksi Untuk keperluan ini, misalkan yG

sebarang. Karena f suatu surjeksi, maka terdapat xG sedemikian sehingga y

= f(x). Pilih KxG/K, sehingga diperoleh h(Kx) = f(x) = y. Ini membuktikan

bahwa h bersifat pada, dan sekaligus melengkapi pembuktian bahwa G/K

G , dan menurut Lemma 4.15 ini membuktikan juga bahwa G G/K.

4.19. LEMMA. Misalkan G, G grup-grup, f homomorfisma dari G ke

dalam G dengan kernel K. Jika H subgrup dari G , maka H = f-1( H ) = {xG

f(x)H } merupakan subgrup dari G yang memuat K. Lebih dari itu, jika H

subgrup normal dari G , maka H juga merupakan subgrup normal dari G.

BUKTI. Jelas KH, karena jika xK, maka f(x) = e H , dengan

demikian xH. Selanjutnya, jelas juga bahwa H , sebab f(e) = e H ,

64

yang berarti bahwa eH. Kemudian, jika x,yH sebarang, maka f(x)H dan

f(y)H , dengan demikian

f(xy) = f(x)f(y)H , dan f(x-1) = (f(x))-1H ,

yang berturut-turut, membuktikan bahwa xyH dan x-1H. Jadi, H = f-1( H )

merupakan subgrup dari G yang memuat K.

Tinggal kita membuktikan bahwa H subgrup normal dari G jika H

subgrup normal dari G . Untuk keperluan ini, misalkan gG dan hH

sebarang.

f(ghg-1) = f(g)f(h)f(g-1) = f(g)f(h)(f(g))-1.

Karena H subgrup normal dari G , maka f(g)f(h)(f(g))-1H , yang diikuti oleh

ghg-1H.

Perlu dicatat bahwa menurut Teorema 4.18, G G/K. Karena KH,

maka f : H H juga pemetaan dari H pada H , yang secara jelas mempunyai

kernel K. Akibatnya, H H/K.

4.20. LEMMA. Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G ke dalam

grup G , dengan kernel K. Misalkan pula L subgrup dari G yang memuat K.

(1) Jika L0 = L, maka f(L0) = f(L).

(2)Jika L = f(L) = {f(x) xL} yaitu peta dari L oleh f, maka L merupakan

subgrup dari G . Jika L subgrup normal dari G, maka L juga merupakan

subgrup normal dari G .

(3) Jika T = {xG f(x) L }, maka T = L.

BUKTI. (1) Jelas, karena untuk setiap yf(L0) juga merupakan unsur di

f(L), demikian sebaliknya. Karena itu f(L0) = f(L).

65

(2) Jelas L = f(L) , karena eL yang menghasilkan f(e) L .

Selanjutnya, jika y1,y2 L , maka terdapat x1,x2L sehingga f(x1) = y1 dan f(x2)

= y2.

y1y2 = f(x1)f(x2) = f(x1x2), dan

y1-1 = f(x1)

-1 = f(x1-1).

Karena L subgrup dari G maka x1x2L dan x1-1L, dengan demikian y1y2 L

dan y1-1 L . Jadi, L subgrup dari G .

Sekarang jika L subgrup normal dari G yang memuat K, misalkan

g G , l L sebarang, maka terdapat gG dan lL sehingga f(g) = g dan

f(l) = l . Karena itu1glg = f(g)f(l)(f(g))-1 = f(g)f(l)f(g-1) = f(glg-1).

Karena L subgrup normal dari G, maka glg-1L. Akibatnya, 1glg L . Jadi,

L merupakan subgrup normal dari G .

(3) Karena L merupakan subgrup dari G , maka menurut Lemma 4.19,

T merupakan subgrup dari G yang memuat K. Selanjutnya, jelas bahwa LT,

karena untuk sebarang lL, f(l) L , yang berarti juga lT. Sebaliknya,

misalkan tT sebarang, maka f(t) L . Karena itu terdapat l0L sehingga f(t) =

f(l0) yang diikuti f(tl0-1) = f(t)f(l0)

-1 = e L . Dengan demikian tl0-1KL.

Akibatnya, tLl = L. Dari sini disimpulkan bahwa TL. Karena kita telah

mempunyai LT, maka T = L.

4.21. LEMMA. Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G pada grup

G , dengan kernel K. Maka terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan

semua subgrup dari G yang memuat K dengan himpunan subgrup dari G .

BUKTI. Misalkan menyatakan himpunan semua subgrup dari G yang

memuat K dan menyatakan himpunan semua subgrup dari G . Definisikan

66

suatu fungsi f dari ke dalam , dengan pengaitan f(H) = f(H) =

{f(h)G hH}, yaitu peta dari H oleh f, untuk setiap H. Menurut

Lemma 4.20(1), pengaitan ini well-defined atau dengan kata lain, pengaitan

tersebut mendefinisikan suatu pemetaan. Berdasarkan Lemma 4.20(3)

pemetaan f suatu injeksi, dan menurut Lemma 4.19, f merupakan suatu

surjeksi. Dengan demikian, f merupakan suatu korespondensi satu-satu

antara dan .

Lemma 4.21 mengatakan bahwa, jika f suatu pemetaan dari grup G

pada grup G dengan kernel K, maka banyaknya subgrup dari G yang memuat

K sama dengan banyaknya subgrup dari G .

4.22. TEOREMA. Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G pada

grup G dengan kernel K. Misalkan pula N subgrup normal dari G , dan N =

{xG f(x)N }. Maka G/N NG . Secara ekivalen, G/N KN

KG .

BUKTI. Perhatikan diagram berikut.

h

fG

G/N G/N

G

Definisikan pengaitan untuk f, h, , , dan seperti pada diagram berikut.

67

h

fx

Nx Nf(x)

f(x)

Dengan pengaitan seperti diagram di atas, telah ditunjukkan bahwa dan

well-defined. Berdasarkan diagram pengaitan di atas pula, kita disarankan

mendefinisikan suatu pengaitan h dari G ke dalam NG dengan h : x

N f(x), untuk setiap xG. Pertama-tama kita harus tunjukkan bahwa h well-

defined. Untuk itu, misalkan x1,x2G sebarang dengan x1 = x2. Karena itu kita

mempunyai f(x1) = f(x2), dengan demikian h(x1) = N f(x1) = N f(x2) = h(x2).

Jadi, h well-defined.

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa h merupakan suatu

homomorfisma. Karena itu, misalkan x1,x2G sebarang.

h(x1x2) = N f(x1x2) = N (f(x1)f(x2)) = ( N f(x1))( N f(x2)) = h(x1)h(x2).

Ini membuktikan bahwa h suatu homomorfisma.

Kemudian akan ditunjukkan bahwa h merupakan suatu surjeksi. Untuk

ini, misalkan Y NG sebarang, dengan Y = yN untuk suatu yG . Karena f

suatu fungsi dari G pada G , maka kita mempunyai yG sehingga f(y) = y .

Dari sini,

h(y) = N f(y) = yN = Y .

Jadi, h suatu surjeksi.

Terakhir kita tinggal menunjukkan bahwa kernel dari h, Kh = N.

Sekarang misalkan xKh sebarang, maka h(x) = N f(x) = N , karena N unsur

identitas dalam NG . Dari sini berarti f(x)N dan karena itu xN. Jadi, Kh

68

N. Sebaliknya, misalkan yN sebarang, maka f(y)N . Karena itu h(y) =

N f(y) = N . Akibatnya yKh, dengan demikian N Kh. Ini melengkapi

pembuktian bahwa Kh = N. Kesimpulan bahwa G/N NG segera kita

peroleh dengan menggunakan Lemma 4.19. Kemudian, karena G/K G , dan

N/K N , maka secara ekivalen kita mempunyai G/N KN

KG .

SOAL – SOAL:

1. Periksalah, pemetaan manakah dari kasus-kasus berikut ini yang merupakan

homopmorfisma? Buktikan kebenaran setiap jawaban yang anda

kemukakan. Jika pemetaannya merupakan suatu homomorfisma,

tentukanlah kernelnya!

a. G adalah grup semua bilangan real tak nol terhadap operasi perkalian,

G = G, dan f(x) = x2 untuk semua xG.

b. G, G sebagaimana pada (a), dan f(x) = 2x untuk semua xG.

c. G adalah grup semua bilangan real terhadap operasi penjumlahan, G =

G, dan f(x) = x + 1 untuk semua xG.

d. G, G sebagaimana pada (c), dan f(x) = 13x untuk semua xG.

e. G sebarang grup komutatif, G = G, dan f(x) = x5 untuk semua xG.

2. Misalkan G sebarang grup dan g suatu unsur tertentu dalam G.

Didefinisikan fungsi f : G G dengan f(x) = gxg-1 untuk semua xG.

Buktikan bahwa f merupakan isomorfisma dari G pada G.

3. Misalkan V himpunan semua bilangan real, dan untuk bilangan real a, b,

dan a 0 misalkan ab : V V didefinisikan oleh ab(x) = ax + b.

Misalkan G = {aba,b bilangan real, a 0} dan N = {1bG}. Buktikan

69

bahwa N subgrup normal dari G dan G/N grup bilangan real tak nol

dengan operasi perkalian.

4. Misalkan G grup bilangan kompleks tanpa nol dibawah operasi perkalian

dan misalkan N himpunan bilangan kompleks yang modulusnya 1.

Tunjukkanlah bahwa G/N isomorfik dengan grup semua bilangan real

positif dibawah operasi perkalian.

5. Misalkan G grup bilangan kompleks tanpa nol dibawah operasi perkalian,

dan G grup matriks real yang berbentuk

ab

badimana a dan b tidak

keduanya 0 dibawah operasi perkalian matriks. Tunjukkanlah bahwa G

dan G isomorfik.

6. Misalkan G grup bilangan real dibawah operasi penjumlahan dan N

subgrup dari G yang memuat semua bilangan bulat. Buktikanlah bahwa

G/N isomorfik dengan grup semua bilangan kompleks yang modulusnya 1

dibawah operasi perkalian bilangan kompleks.

70

BAB V

AUTOMORFISMA

Pada Bab IV, kita telah mengenal banyak hal tentang homomorfisma

dari suatu grup ke grup lain. Kasus yang cukup menarik adalah pembahasan

tentang homomorfisma dari sutu grup pada grup lain. Lebih khusus lagi, pada

bab ini kita akan mengenal isomorfisma (homomorfisma satu-satu) dari suatu

grup pada grup itu sendiri. Sebagai contoh sederhana, misalkan G grup

bilangan bulat dibawah operasi penjumlahan, dan didefinisikan pemetaan idG

: G G dengan pengaitan idG(x) = x untuk semua xG. Pada Contoh

4.3(b), idG ini merupakan suatu isomorfisma dari G pada G, dan kemudian idG

ini kita mengenalnya dengan nama homomorfisma identitas.

Untuk pembahasan kita selanjutnya, kita mengawalinya dengan definisi

berikut.

5.1. DEFINISI. Misalkan G grup sebarang. Pemetaan f : G G

dikatakan automorfisma, jika f suatu isomorfisma dari G pada G.

5.2. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup sebarang. Homomorfisma

identitas, idG merupakan isomorfisma dari G pada G (Contoh 4.3(b)), dengan

demikian idG suatu automorfisma dari G.

(b) Misalkan G grup komutatif dan g : G G dengan g(x) = x-1

untuk setiap xG. Jelas g merupakan suatu homomorfisma, karena jika

x1,x2G sebarang, maka

g(x1x2) = (x1x2)-1 = x2

-1x1-1 = x1

-1x2-1 = g(x1)g(x2).

Selanjutnya, jika x1,x2G dengan g(x1) = g(x2), maka

x1 = (x1-1)-1 = g(x1)

-1 = g(x2)-1 = (x2

-1)-1 = x2.

71

Ini menunjukkan bahwa g suatu injeksi. Kemudian, apabila yG sebarang,

maka y-1G, dan g(y-1) = (y-1)-1 = y. Dengan demikian g suatu surjeksi. Karena

itu, g merupakan suatu automorfisma dari G.

(c) Misalkan G grup sebarang, aG, dan misalkan a : G G suatu

pemetaan dengan a(x) = axa-1 untuk setiap xG. Jika x1, x2G sebarang,

maka

a(x1x2) = a(x1x2)a-1 = (ax1a

-1)(ax2a-1) = a(x1)a(x2),

dengan demikian a merupakan suatu homomorfisma. Sekarang, misalkan

kernel dari a adalah K. Jika xK, maka e = a(x) = axa-1, yang diikuti oleh a

= ea = ax. Dengan sifat kanselasi pada G, diperoleh x = e<e>. Dengan

demikian kita mempunyai K<e>. Sebaliknya, secara trivial, karena a suatu

homomorfisma, maka <e> K. Dengan demikian K = <e>. Karena itu,

menurut Teorema Teorema 4.11, a suatu isomorfisma. Selanjutnya, misalkan

yG sebarang, maka dengan memilih x = a-1yaG, kita peroleh

a(x) = axa-1 = a(a-1ya)a-1 = y,

dengan demikian a suatu surjeksi. Karena itu, a suatu isomorfisma dari G

pada G, dengan demikian a automorfisma dari G. Pada contoh ini, a

dinamakan automorfisma dalam dari G yang bersesuaian dengan a.

Sekarang kita misalkan G sebarang grup. Jika kita mengumpulkan

semua automorfisma dari G, maka kita akan mempunyai himpunan semua

automorfisma dari G, kita namakan saja Aut(G). Dari fakta-fakta pada Contoh

5.2, maka kita dapat simpulkan bahwa Aut(G) . Perlu dicermati bahwa

Aut(G) A(G) himpunan dari semua korespondensi satu-satu antara G dan G.

Lemma berikut menjelaskan tentang struktur aljabar dari Aut(G).

72

5.3. LEMMA. Jika G grup, dan misalkan Aut(G) himpunan semua

automorfisma dari G, maka dibawah operasi komposisi fungsi, Aut(G)

membentuk grup.

BUKTI. Untuk menyimpulkan bahwa Aut(G) sebagai grup dibawah

operasi komposisi fungsi-fungsi, cukup kita tunjukkan bahwa Aut(G)

merupakan subgrup dari A(G), karena kita telah ketahui bahwa dengan

operasi ini A(G) membentuk grup. Sehubungan dengan itu, sekarang misalkan

1 dan 2 unsur-unsur dalam Aut(G) sebarang, dan untuk setiap x,yG,

berlaku

1(xy) = 1(x)1(y), dan juga 1(xy) = 2(x)2(y).

Oleh karena itu,

21(xy) = 2(1(xy)) = 2(1(x)1(y)) = 2(1(x))2(1(y))

= 21(x) 21(y).

Ini membuktikan bahwa 21 merupakan homomorfisma dari G ke dalam G.

Selanjutnya, karena 1,2Aut(G)A(G), maka jelaslah 21A(G), dengan

demikian 21Aut(G). Akibatnya, dibawah operasi dalam A(G), Aut(G)

bersifat tertutup

Selanjutnya, karena 1Aut(G) A(G), maka terdapat 1-1A(G)

sedemikian sehingga 11-1 = idG = 1

-11. Akibatnya,

1-1(xy) = 1

-1(idG(x)idG(y)) = 1-1(11

-1(x)11-1(y)

= 1-1(1((1

-1(x)1-1(y))) = 1

-11((1-1(x)1

-1(y))

= idG(1-1(x)1

-1(y)) = 1-1(x)1

-1(y),

dengan demikian 1-1 merupakan homomorfisma dari G ke dalam G. Karena

1-1A(G) juga, maka berarti 1

-1Aut(G). Ini melengkapi pembuktian bahwa

Aut(G) suatu subgrup dari A(G). Akibatnya, dibawah operasi komposisi

fungsi-fungsi, Aut(G) membentuk grup.

73

5.4. LEMMA. Terdapat automorfisma non-trivial dari sebarang grup G.

BUKTI. Misalkan G grup sebarang. Jika G grup komutatif, maka

perhatikan kembali Contoh 5.2(b), yang meperlihatkan bahwa fungsi g suatu

automorfisma dari grup abelian G. Jika terdapat x0G sedemikian sehingga x0

x0-1, maka g(x0) = x0

-1 x0, dengan demikian g idG. Apabila G grup non-

abelian, maka perhatikan pula Contoh 5.2(c) yang telah memperlihatkan

kepada kita bahwa a merupakan automorfisma dari G yang bersesuaian

dengan suatu aG. Karena G non-Abelian, maka terdapat a,bG sedemikian

sehingga ab ba, dengan demikian a(b) = aba-1 b, yang mengakibatkan a

idG. Dari kedua kasus tersebut di atas, maka kita peroleh fakta bahwa untuk

sebarang grup G (baik abelian maupun non-abelian) selalu terdapat

automorfisma non-trivial dari G, yaitu autoforfisma yang bukan

homomorfisma (yang pada akhirnya automorfisma) identitas

5.5. LEMMA. Misalkan Autd(G) = {aAut(G) aG}, yaitu himpunan

semua automorfisma dalam dari G yang besesuaan dengan aG, a. maka

Autd(G) merupakan subgrup dari Aut(G).

Autd(G) ini disebut grup automorfisma dalam dari G.

BUKTI. Telah diperlihatkan pada Lemma 5.4, bahwa Autd(G) .

Sekarang, misalkan a,bAutd(G) sebarang. Untuk setiap xG berlaku

(ab)(x) = a(b(x)) = a(bxb-1) = a(bxb-1)a-1 = (ab)x(b-1a-1)

= (ab)x(ab)-1 = ab(x).

Ini menunjukkan bahwa ab = abAutd(G), dengan demikian Autd(G)

tertutup terhadap operasi dalam Aut(G). Selanjutnya, perhatikan bahwa a-

1Aut(G). Untuk setiap xG, berlaku

aa-1(x) = a(a

-1(x)) = a(a-1x(a-1)-1) = a(a-1x(a-1)-1)a-1

74

= (aa-1)x((a-1)-1)a-1 = x = idG(x),

dan juga

1a a(x) = 1a

(a(x)) = 1a (axa-1) = a-1(axa-1)(a-1)-1

= (a-1a)x((a-1)(a-1)-1) = x = idG(x),

dengan demikian (a)-1 = 1a

Autd(G). Ini melengkapi pembuktian Lemma

5.5.

5.6 LEMMA. Misalkan G sebarang grup, Autd(G) grup semua

automorfisma dalam dari G, dan Z center dari G. Maka Autd(G) G/Z.

BUKTI. Bangun suatu pengaitan dari G ke dalam Autd(G) dengan :

x x, untuk setiap xG. Jika x1,x2G, sedemikian sehingga x1 = x2, maka

untuk setiap xG berlaku

(x1)(x) =1x (x) = x1xx1

-1 = x2xx2-1 =

2x (x) = (x2)(x).

Ini menunjukkan bahwa (x1) = (x2), dengan demikian berarti bahwa

suatu pemetaan.

Sekarang, pandang pemetaan : G Autd(G), dengan pengaitan

(x) = x, untuk semua xG. Misalkan x1,x2G sebarang. Untuk semua gG

berlaku

((x1)(x2))(g) =1x

2x (g) =1x (x2gx1

-1) = x1(x2gx2-1)x1

-1

= (x1x2)g(x2-1x1

-1) = (x1x2)g(x1x2) = 21xx (g)

= (x1x2)(g).

Ini mengatakan bahwa (x1x2) = (x1)(x2), karena itu merupakan

homomorfisma.

Selanjutnya, misalkan YAutd(G) sebarang, misalkan Y = b untuk

suatu bG. Pilih a = bG, sehingga untuk setiap xG berlaku

75

(a)(x) = a(x) = axa-1 = bxb-1 = b(x) = Y(x),

dan ini mengatakan bahwa suatu surjeksi.

Terakhir, misalkan kernal dari adalah K. Jika yK, maka untuk setiap

gG berlaku (y)(g) = idG(g) = g. Di pihak lain, (y)(g) = y(g) = ygy-1,

dengan demikian g = ygy-1. Dari sini kita mempunyai gy = yg untuk semua

gG, yang memberikan arti bahwa yZ, karena Z center dari G dan akibatnya

KZ. Sebaliknya, apabila zZ, maka berarti zg = gz untuk semua gG,

dengan demikian untuk setiap gG, diperoleh

(z)(g) = z(g) = zgz-1 = gzz-1 = g = idG(g).

Ini menunjukkan bahwa (z) = idG, mengikuti ini diperoleh bahwa zK.

Dengan demikian ZK Kesimpulannya, Z = K. Kesimpulan bahwa G/Z

Autd(G) diperoleh setelah menerapkan Teorema 4.18.

5.7. LEMMA. Misalkan G suatu grup dan f automorfisma dari G. Jika

aG dengan o(a) = n untuk suatu bilangan bulat positif n, maka o(f(a)) =

o(a).

BUKTI. Misalkan a unsur dalam grup G, dengan o(a) = n. Karena f

automorfisma, maka (f(a))n = f(an) = f(e) = e. Sementara itu apabila (f(a))m = e

untuk suatu bilangan bulat sedemikian sehingga 0 < m < n, maka f(am) =

(f(a))m = = e = f(e). Karena f suatu isoomorfisma, maka am = e. Hasil ini

kontradiksi dengan hipotesis bahwa an = e, dimana n bilangan bulat positif,

dengan demikian maka haruslah o(f(a)) = o(a).

SOAL-SOAL

76

1. Periksalah, pemetaan manakah dari kasus-kasus berikut ini yang merupakan

automorfisma dari grup yang diberikan? Buktikan kebenaran setiap jawaban

yang anda kemukakan.

a. G, grup semua bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan, dan T(x) =

- x untuk semua xG.

b. G, grup semua bilangan rel positif terhadap operasi perkalian, dan T(x)

= x2 untuk semua xG.

c. G, grup siklik orde 12, dan T(x) = x3 untuk semua xG.

d. G = S3, dan T(x) = x-1 untuk semua xG.

2. Misalkan G grup, gG, dan : G G suatu pemetaan dengan (t) = g-

1tg untuk setiap tG. Tunjukkan bahwa

a. merupakan automorfisma dari G.

b. bukan automorfisma dalam dari G yang bersesuaian dengan g.

Selanjutnya berikanlah syarat perlu sehingga menjadi automorfisma

dalam dari G yang bersesuaian dengan g.

3. Misalkan G grup, dan H subgrup dari G, suatu automorfisma dari G. Jika

(H) = {(h) hH}, maka buktikanlah bahwa (H) subgrup dari G.

4. Misalkan G grup, T suatu automorfisma dari G, dan N subgrup normal dari

G. Jika T(N) = {T(n) nN}, maka buktikanlah bahwa T(N) merupakan

subgrup normal dari G.

5. Buktikan bahwa jika G = S3, maka G Autd(G).

6. Misalkan G grup. Buktikanlah bahwa Autd(G) merupakan subgrup normal

dari Aut(G).

7. Misalkan G grup orde 4, G = {e, a, b, ab}, a2 = b2 = e, ab = ba. Tentukanlah

Aut(G).

77

8. Misalkan G grup dan Z center dari G. Jika automorfisma dari G,

buktikanlah bahwa (Z) Z.

9. Misalkan G grup dan suatu automorfisma dari G. Jika untuk aG, N(a) =

{xG xa = ax}, buktikanlah bahwa N((a)) = (N(a)).