05 soal ujian tengah semester an real 2009 2010
TRANSCRIPT
http://math-76.co.nr e-mail: [email protected]
Soal Ujian I Analisis Real A Senin, 2 Nopember 2009
Kerjakan 5 soal dari soal-soal berikut!
1. Dengan definisi, buktikan bahwa barisan 2
21
2 5
1n
n
nkonvergen ke 2.
2. Dengan definisi, tunjukkan bahwa 2
1
1
n
n
n adalah barisan Cauchy.
3. Tunjukkan bahwa 1n
n divergen ke .
4. b , buktikan bahwa lim 0n
b
n.
5. Jika 1{ }n ns
adalah barisan bilangan real, jika , nn s M dan jika lim nn
s L
buktikan
bahwa .L M
6. Tunjukkan dari definisi bahwa jika {xn} dan {yn} adalah barisan Cauchy, maka {xnyn} adalah barisan Cauchy.
7. Misalkan 1n n
s adalah barisan bilangan real. Jika ,0 1c r dan 1 ,nn ns s cr
n tunjukkan bahwa 1n n
s konvergen.
Kunci:
1. 2
21
2 5
1n
n
nkonvergen ke 2
Adb: 2
0 0 2
2 50, , 2
1
nn n n
n
Bukti: Ambil sebarang 0
Pilih 0n sehingga 0
61n , maka 0n n berlaku
2 2 2
2 2
2
20
20
2 5 2 5 2 12
1 1
6
1
6
1
6
1
n n n
n n
n
n
n
Atau pilih 0n sehingga 0
61n … dst
http://math-76.co.nr e-mail: [email protected]
2. 2
1
1
n
n
n adalah barisan Cauchy.
Adb: 0 0 2 2
1 10, , ,
m nn m n n
m n
Bukti: Ambil sebarang 0
Pilih 0n sehingga 0
4n , maka 0,m n n berlaku
2 2 2 2
2 2
0 0 0
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
2 2
2 2 4
m n
m n m m n n
m m n n
m m n n
m n
n n n
3. 1n
n divergen ke .
Adb: 0 0, ( ) ( )n n n n
Bukti: Ambil sebarang
Pilih 0n sehingga 20n ,
maka 0n n berlaku 2
0n n
4. b , buktikan bahwa lim 0n
b
n.
Adb: 0 00, ,b
n n nn
Bukti: Ambil sebarang 0
Pilih 0n sehingga 0
bn , maka 0n n berlaku
0 0
bb b
n n n
5. Jika 1{ }n ns
adalah barisan bilangan real, jika , nn s M dan jika lim nn
s L
buktikan
bahwa .L M
Dik :
, nn s M
(1.1)
lim nn
s L
(1.2)
0 00, , nn n n s L
http://math-76.co.nr e-mail: [email protected]
Adb: .L M
Bukti:
ns M
,ns L M L n
(1.3)
Dari (1.2), 0,ns L n n
0
akibatnya - ns L
dan dari (1.3)
diperoleh
, 0
M L
L M
L M
(membuktikan bagian terakhir sama dg membuktikan soal 2.2 di kumpulan soal yang saya berikan, juga di blog ini)
Cara lain: Gunakan teorema 3.2.5 yakni : Jika 1{ }n nx
adalah barisan bilangan real, jika
, 0nn x dan jika lim nn
s L maka 0L .
Bukti: Karena lim
nM M dan lim n
ns L dan karena , nn s M maka , 0nn M s
akibatnya n berlaku lim 0
lim lim 0
0
nn
nn n
M s
M s
M L
M L
6. Tunjukkan dari definisi bahwa jika {xn} dan {yn} adalah barisan Cauchy, maka {xnyn} adalah barisan Cauchy.
Jawab:
{xn} dan {yn} adalah barisan Cauchy maka menurut teorema 3.6.5 {xn} dan {yn} terbatas, yakni
, 0 sehingga
dan ,n nx y n
o 1n n
x barisan cauchy
1 10, , ,2m nn m n n x x
o 1n n
y barisan cauchy
2 20, , ,2m nn m n n y y
Adb:
1n n nx y barisan cauchy
0 00, , , m m n nn m n n x y x y
Bukti Misalkan sebarang 0 diberikan. Pilih 0 1 2max ,n n n
, maka 0,m n n berlaku
http://math-76.co.nr e-mail: [email protected]
m m n n m m n m n m n n
m n m n m n
m n m n m n
x y x y x y x y x y x y
x x y x y y
x x y x y y
2 2