05 capitulo 4 - graficas de control para atributos
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Captulo 4: Control estadstico
Grficos de control ATRIBUTOS
-
Muchas caractersticas de la calidad no pueden representarse
convenientemente con valores numricos.
En estos casos los artculos inspeccionados se clasifican como
conforme o disconforme (defectuoso o no defectuoso)
respecto de las especificaciones para esas caractersticas de la
calidad (puede ser una caracterstica o mas).
Ejemplos:
Ocurrencia de bielas torcidas para motores de automvil en al
produccin de un da.
Proporcin de chips de semiconductores no funcionales en una corrida
de produccin.
4.1. Atributos
-
Comparacin:
Las cartas para variables son mas informativas ya que una
medicin numrica contiene mas informacin.
Las cartas para atributos no son tan informativas como las
cartas para variables.
Son particularmente tiles en las industrias de servicios,
donde no es sencillo medir en una escala numrica gran
numero de las caractersticas de la calidad que se
encuentran en estos escenarios.
4.1. Atributos
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4.2. Distribuciones de Probabilidad
Variable Aleatoria
Discreta Continua
Solo puede tomar una cantidad numerable de valores
Puede tomar todos los valores de un intervalo
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Decida si una VA discreta o continua es el mejor modelo para cada una de las variables siguientes:
El tiempo hasta que un proyectil regresa a la tierra.
El nmero de veces que un transistor en una memoria de computadora cambia de estado en una operacin.
El volumen de gasolina que se pierde por evaporacin durante el llenado de un tanque de combustible.
El dimetro exterior de una flecha maquinada.
El nmero de grietas que exceden media pulgada en 10 millas de una carretera interestatal.
El peso de una pieza de plstico moldeada por inyeccin.
EL nmero de molculas en una muestra de gas.
La concentracin de la salida de un reactor.
La corriente en un circuito electrnico.
VA discretas o continuas?
-
Funcin de probabilidad:
Si X es una v.a. discreta, la funcin de probabilidad de X es:
que va de los valores posibles de la v.a. discreta X al intervalo [ 0,1]
Por lo tanto , si:
xRx 0)( xPx
)()( xXPxPx
4.2. Distribuciones de Probabilidad
-
Funcin de Densidad:
Si X es una v.a. continua , la funcin de densidad de X es una aplicacin fx tal
que:
Nota: fx no es una probabilidad.
0)( xfx
1)( dxxf x
dxxfbxaP
b
a
x )()(
4.2. Distribuciones de Probabilidad
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Funcin de distribucin:
La funcin de distribucin de una v.a. X viene dada por:
)()( xXPxFx
Si X es una v.a. discreta
xu
xx uPxF ),()( xRu
Si X es una v.a. continua
x
xx duufxF )()(
4.2. Distribuciones de Probabilidad
-
Variables aleatorias discretas
Valor esperado
Varianza
Desviacin estndar
n
i
iixx pxE1
)( .
n
i
ixix px1
22 .)(
n
i
ixix px1
2.)(
4.2. Distribuciones de Probabilidad
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Variables aleatorias continuas
Valor esperado
Varianza
Desviacin estndar
dxxxfE xx )()(
dxxfxx )(.)(22
dxxfxx )(.)(2
4.2. Distribuciones de Probabilidad
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Distribucin Binomial:
Debemos verificar las siguientes condiciones:
n ensayos independientes
Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles (xito , fracaso)
La probabilidad de xito, p, es constante.
Entonces: el nmero de xitos, X, sigue una distribucin Binomial.
xnx ppxnx
nxXP
)1(
)!(!
!)( para x =1, 2, , n
E(x) = = n.p 2 = n.p(1-p)
4.2.1 Distribucin Binomial
xitos =Defectuosos!
-
4.2.1 Distribucin Binomial Ejemplos:
Lanzar una moneda 10 veces. Sea X = nmero de caras obtenidas
En los siguientes 20 nacimientos en un hospital, sea X = nmero de nacimientos de nias.
Una mquina-herramienta desgastada produce 1% de piezas defectuosas. Sea X = nmero de piezas defectuosas en las siguientes 25 piezas producidas.
De todos los bits transmitidos a travs de un canal de transmisin digital, 10% se reciben con error. Sea X = nmero de bits con error en los siguientes 5 bits transmitidos.
Cada muestra de aire contiene 10% de posibilidades de contener una molcula rara particular. Sea X = nmero de muestras de aire que contiene la molcula rara en las siguientes 18 muestras analizadas.
-
4.2.1 Distribucin Binomial Ejemplo:
Un lote contiene varios miles de componentes, de estos 10% estn defectuosos. Se extraen siete componentes de la poblacin.
Cul es la probabilidad de que se encuentren dos defectuosos en la muestra?
124.0)1.01()1.0()!27(!2
!7)2( 272
XP
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4.2.2 Distribucin Poisson Distribucin Poisson
Se define como el nmero de ocurrencias de cierto suceso por unidad (de rea , de volumen , de tiempo).
Ejemplos:
El nmero de llamadas telefnicas que se reciben en un da en la central de una empresa durante los quince minutos anteriores al medioda.
El nmero de ordenes de devolucin de piezas que recibe una empresa en una semana.
El nmero de veces que falla una pieza de un equipo durante un periodo de tres meses.
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Distribucin Poisson
Parmetro de la distribucin:
La media:
La varianza:
!)(
x
exXP
x x = 0, 1, 2,
2
4.2.2 Distribucin Poisson
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Ejemplo:
El nmero de imperfecciones en una lmina de aluminio fabricada por determinado proceso sigue una distribucin Poisson. En una muestra de 100 m2 de aluminio, se encuentran 200 imperfecciones. Estime la probabilidad de que 1 metro cuadrado de aluminio no tenga imperfecciones
Solucin:
Sea X = nmero de imperfecciones en una lamina de aluminio de 1 m2
Entonces X ~ P(= 2)
4.2.2 Distribucin Poisson
1353.0!0
)2()0(
02
e
XP
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Ejemplo:
Las fallas en una placa rectangular se presentan en forma aleatoria y siguen un proceso de Poisson. Si el nmero promedio de fallas por m2 es 3 , hallar la probabilidad de que exista a los mas 1 falla en una placa de 1 m2.
Solucin:
Sea X = nmero de fallas en una placa rectangular de 1 m2
X ~ P(= 3)
4.2.2 Distribucin Poisson
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Distribucin Hipergeomtrica
Si se tiene una poblacin N elementos de los cuales M se clasifican como xitos y se extrae una muestra de tamao n sin reposicin.
x n x
M N M
xitos Fracasos
Definimos: X = Numero de xitos en la muestra tamao n
X ~ H(N,M,n) Distribucin
Hipergeomtrica
4.2.3 Distribucin Hipergeomtrica
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Distribucin Hipergeomtrica
Parmetros de la distribucin: N, M y n
La media:
La varianza:
n
N
xn
MN
x
M
xXP )( x = 0, 1, , min(M,n)
Sea p = M/N
np
1)1(2
N
nNpnp
4.2.3 Distribucin Hipergeomtrica
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Aproximacin Normal de la distribucin Binomial
Sea n ensayos Bernoulli, cada uno con probabilidad de xito p.
Si n es grande, por el TLC se puede aproximar con la distribucin normal con media np y varianza np(1-p)
Correccin de continuidad en la aproximacin:
La aproximacin es satisfactoria para p de aproximadamente 0.5 y n>10.
Si p=0.5 y n>10, entonces np>5
Nota: La aproximacin no es adecuada para: pn/(n+1)
Valores de la variable aleatoria mayores a 6, con centro en la media.
)1(
5.0
)1(
5.0
pnp
npa
pnp
npbbxaP
n
pppNX
pnpnpNX
)1(,~
)1(,~
),(~ pnBX
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Aproximacin de Poisson de la distribucin Binomial
Cuando p tiende a cero y n tiende a infinito:
La aproximacion generalmente es buena para:
p < 0.1 y n grande
Nota.- para algunos autores es suficiente n>100
npPX ~),(~ pnBX
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Aproximacin Normal de la distribucin Poisson
La aproximacin generalmente es buena para: lamda>15
npPX ~ ,~ NX
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Grficas de control - atributos
Grfica de proporcin de artculos defectuosos (p)
Grfica de nmero de artculos defectuosos (np)
Grfica de nmero de defectos o disconformidades (c)
Grfica de nmero de defectos por unidad (u)
Binomial
Poisson
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Grficas para atributos
Algunas caractersticas de calidad recolectadas
como datos de atributos slo toman dos
valores:
Conforme, no conforme
Pasa, no pasa
Presencia, ausencia de algo
-
Tales disconformidades o defectos se observan
frecuentemente de manera visual y ocasionan
que un producto o una parte de un producto sea
considerado como defectuoso.
En estos casos, la calidad se evala por atributos.
Grficas para atributos
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Importancia
Se pueden aplicar tanto en procesos tcnicos
como administrativos.
En muchas ocasiones se dispone de datos que son
de atributos y no se requiere incurrir en gastos
adicionales.
Si no existe informacin disponible, se recolecta
rpidamente y a un bajo costo.
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Muchos reportes, resmenes que maneja la
administracin son atributos y se pueden aprovechar
ms si se analizan como grficas de control.
El uso de las grficas de control de atributos en
medidas de calidad globales claves, frecuentemente
puede indicar a reas especficas del proceso que
pueden requerir un anlisis ms detallado.
Importancia
-
Definiciones importantes
Defecto: falla o no conformidad que ocasiona que un
artculo no satisfaga los requerimientos especificados.
Artculo defectuoso: artculo que tiene uno o ms
defectos.
Fraccin defectuosa: es la razn del nmero de
artculos defectuoso en la muestra (d), respecto al total
de los artculos de la muestra (n)
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Tambin llamada la carta de control para la fraccin disconforme.
Fraccin disconforme:
Se expresa generalmente con un decimal. A veces se presenta la carta de control con el porcentaje disconforme.
Los principios estadsticos fundamentales de las grficas p se basan en
la distribucin binomial.
4.3.1 Graficas de control p
Fraccin disconforme =
nmero de artculos disconformes de la poblacin
numero de artculos en la poblacin
= p
-
Los principios estadsticos fundamentales de las grficas p se basan en la distribucin binomial:
Para un proceso de produccin cualquiera
Suponga que esta operando en una manera estable. Entonces:
La probabilidad de que cualquier unidad deje de cumplir con las especificaciones es p
Las unidades sucesivas producidas son independientes
Cada unidad producida es una realizacin de una variable aleatoria de Bernoulli con parmetro p.
Sea D el numero de unidades del producto que son disconformes en una muestra aleatoria de n unidades.
D sigue una distribucion binomial con parametros p y n:
4.3.1 Graficas de control p
xnx ppxnx
nxDP
)1(
)!(!
!)( para x =1, 2, , n
-
La grfica de control p o grfica para la
proporcin de piezas defectuosas:
mide la proporcin de piezas disconformes en un
grupo de artculos que se inspeccionan.
Las muestras pueden ser constantes o variables.
4.3.1 Graficas de control p
-
Recuerde el modelo general:
Sea w un estadstico que mide una caracterstica de la calidad,
con media w y varianza de w es 2
w
L es la distancia de los lmites de control a la lnea central.
4.3.1 Grficas de control p
ww LLCS
wLC
ww LLCI
-
pLC
n
pppLSC
)1(3
n
pppLIC
)1(3
Lmites de control (para muestras constantes):
4.3.1 Graficas de control p
La fraccin disconforme muestral: La variable aleatoria puede obtenerse a partir de la distribucin binomial con media y varianza:
n
Dp
p
pn
ppp
)1(2
m
p
mn
D
p
m
i
i
m
i
i 11
Estimacin de la fraccin disconforme p desconocida.
Recuerde: Sea D el numero de unidades del producto que son disconformes en una muestra aleatoria de n unidades.
-
m
i
i
m
i
i
n
D
pLC
1
1
in
pppLCS
)1(3
4.3.1 Graficas de control p
in
pppLCI
)1(3
Lmites de control (para muestras variables):
-
Interpretacin de la grfica p:
Para interpretar la grfica p, se hace de la misma manera que
las otras grficas, se debe:
Verificar que los puntos no excedan los lmites de control.
Los puntos se deben distribuir aleatoriamente dentro de los
lmites de control.
No deben mostrar tendencias
Los puntos deben aparecer en orden aleatorio en el tiempo.
4.3.1 Graficas de control p
-
El procedimiento de la produccin de un nuevo artculo en la fabrica de componentes elctricos requiri la inspeccin al 100% durante los primeros cuatro meses hasta que se estableci el control del proceso con una cuanta aceptable de productos no conformes.
Una vez que el proceso estuvo estable, se llev acabo un registro de la inspeccin al 100%. El registro muestra que 9,600 artculos no cumplan con las especificaciones; el nmero de artculos producidos durante ese tiempo fue 320,000.
Determinar los lmites de control del correspondiente grfico de control, para un tamao de muestra de 15 lotes de 100 unidades cada uno.
4.3.1 Ejemplo
-
Grfica p
10987654321
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
Subgrupo
Pro
po
rci
n
_P=0.01507
LCS=0.02602
LCI=0.00413
Proporcin inusualmente baja de elementos defectuosos 3
Proporcin inusualmente alta de elementos defectuosos 8
Razn Subgrupos fuera de control
Grfica P de defectos
Informe de estabilidad
Es estable la proporcin de elementos defectuosos?
Investigue los subgrupos fuera de control. Busque patrones y tendencias.
-
Grfica p > 5% 0%
NoS
20.0%
10987654321
0.03
0.02
0.01
0.00
Subgrupo
Pro
po
rci
n
_P=0.01507
LCS=0.02602
LCI=0.00413
probabilidades, aunque el proceso sea estable.
subgrupos fuera de control en virtud de las
Tenga en cuenta que usted puede ver un 0.7% de
estable. 2 subgrupos (20.0%) estn fuera de control.
La proporcin de elementos defectuosos pudiera no ser
Comentarios
Grfica P de defectos
Informe de resumen
Es estable la proporcin de elementos defectuosos?
Evale el % de subgrupos fuera de control.
Grfica P
Investigue los subgrupos fuera de control
-
Basada en el nmero de unidades disconformes en lugar de
la fraccin disconforme
Otros nombres:
Grfica para el nmero de piezas defectuosas
La carta de control np
4.3.2 Grficas de control np
-
pnLC
)1(3 ppnpnLSC
)1(3 ppnpnLIC
m
p
mn
D
p
m
i
i
m
i
i 11
4.3.2 Grficas de control np
Lmites de control:
Con:
-
Grfica para el nmero de piezas defectuosas:
En algunas ocasiones es conveniente hacer una grfica
de control, en la que se grafique el nmero de
defectuosos en la muestra en lugar de la proporcin de
defectuosos. Para hacer esto se requiere que el
tamao de la muestra sea constante.
En esencia proporciona la misma informacin que una
grfica p.
4.3.2 Grficas de control np
-
Para muchas personas este tipo de grficas es ms
fcil de interpretar que la p. La desventaja que
presenta la grfica np es que no es fcil manejar e
interpretar el nmero de defectuosos si se desconoce
el tamao de la muestra.
Tanto la grfica p y np, tienen fundamento en la
distribucin binomial, la interpretacin es la misma
que la grfica p.
4.3.2 Grficas de control np
-
4.3.2 Grficas de control np
Nota!
Cuando se tienen diferentes tamaos de
muestras se debe usar una grfica de
proporciones.
-
4.3.2 Grficas de control np Ejercicio:
En la manufactura de ciertos transformadores para un servicio especial, se requiere que cumplan con cierto nmero de especificaciones relacionadas con el aumento de temperatura, voltajes de salida, fluctuaciones de voltaje y corriente, tiempos de recuperacin al desconectar y conectar el articulo, etc.
Se producen cada da alrededor de 2000 aparatos y se les somete a una inspeccin final utilizando un tamao de muestra constante de 200 unidades. Luego de 20 das hbiles de trabajo, se haban rechazado 190 transformadores, de un total de 4000 inspeccionados.
a) Determinar los lmites de control basado en una inspeccin diaria de 200 aparatos.
b) Al graficar las 20 muestras se encuentra que uno de los puntos queda fuera de los limites. Ese da se encontraron 30 unidades no conformes. Al investigar se encontr que una graduacin del potencimetro de voltaje estaba incorrecta (causa asignable) Cules serian los limites de control correctos?
-
n np
1 1000 2
2 1000 5
3 1000 3
4 1000 5
5 1000 1
6 1000 1
7 1000 0
8 1000 5
9 1000 3
10 1000 2
10000 27
Ejercicio: En la tabla adjunta se observa el nmero de unidades defectuosas halladas en la inspeccin de 10 muestras, cada una de las cuales contiene 1000 unidades del producto de inters. Halle los lmites de control y presente le grfico.
4.3.2 Grficas de control np
-
10987654321
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Muestra
Co
nte
o d
e m
ue
stra
s
__NP=2.7
LCS=7.623
LCI=0
Grfica NP de defectos
-
Es la carta de control para:
el nmero total de disconformidades en una unidad
Recuerde:
Un artculo disconforme es una unidad del producto que no satisface una o ms de las especificaciones para este producto.
Cada punto especfico en el que no se satisface una especificacin resulta en un defecto o disconformidad.
Un artculo disconforme contendr al menos una disconformidad.
Otros nombres:
Grfica de nmero de defectos en la muestra
Carta de control para disconformidades
4 Grficas de control c
-
Ejemplos:
Nmero de imperfecciones en la cubierta de una computadora personal
Nmero de soldaduras defectuosas en 100 m de oleoductos
Nmero de remaches rotos en el ala de un avin
Nmero de defectos funcionales en un dispositivo lgico electrnico
etc.
4 Grficas de control c
-
Se supone que los defectos o disconformidades Ci en la unidad de inspeccin ocurren de acuerdo a una distribucin Poisson:
x es el nmero de disconformidades
c>0 es el parmetro de distribucin de Poisson. Con:
media= c
varianza = c
Requerimientos del supuesto:
el nmero de oportunidades o lugares potenciales para las disconformidades sea infinitamente grande
La probabilidad de ocurrencia de una disconformidad en cualquier lugar debe ser pequea y constante
La unidad de inspeccin debe ser la misma en cada muestra (TAMANO DE MUESTRA CONSTANTE)
4 Grficas de control c
!)(
x
cexXP
xc
-
k)1,2,...,(i imuestra la en defectos de # c i Si
ck
cLC
i
ccLSC 3
ccLIC 3
4 Grficas de control c
Si no se cuenta con un valor estndar para c, se estima (c barra) como el nmero promedio de disconformidades observadas en una muestra preliminar de unidades de inspeccin
-
Nro. de artculo C
1 3
2 8
3 4
4 7
5 5
6 3
7 4
8 12
9 4
10 7
57
Ejemplo
En la tabla adjunta se observa el nmero de disconformidades (C) halladas en la inspeccin de 10 artculos, la unidad de inspeccin se define como un artculo. Halle los lmites de control y presente le grfico.
-
10987654321
14
12
10
8
6
4
2
0
Muestra
Co
nte
o d
e m
ue
stra
s
_C=5.7
LCS=12.86
LCI=0
Grfica C de defectos
-
Esta grfica se basa en el nmero promedio de no conformidades por unidad inspeccionada.
Si encontramos x cantidad de no conformidades en la muestra de n unidades inspeccionadas, entonces podemos obtener el nmero promedio de no conformidades por unidad inspeccionada de la siguiente manera:
Otros nombres:
Grfica de nmero de defectos por unidad
4.3.3 Grficas de control u
n
xu
-
Se utiliza para unidades de longitud, rea,
volumen, etc.
n puede ser constante o variable.
Cuando n es variable las graficas de control
pueden ser con: n promedio
Lmites para cada n
Lmites para ciertas n
Lmites estandarizados
4.3.3 Grficas de control u
-
n
cu
i
ii
uLC
in
uuLSC 3
in
uuLIC 3
4.3.3 Grficas de control u
Estas grficas de control
usualmente asumen que
la ocurrencia de una no
conformidad en una
muestra es bien
modelada por una
distribucin Poisson.
muestras de #
muestrala de tamao
defectos#
21
:dnde
m
n
c
,k,i
i
i
Lmites de control:
m
i
i
m
i
i
m
i
i
n
c
m
u
u
1
11
-
ni C
1 9 25
2 8 13
3 7 28
4 10 35
5 9 27
6 6 25
7 10 20
8 8 32
9 10 16
10 9 20
86 241
Ejemplo En la tabla adjunta se observa el nmero de disconformidades (C) halladas en la inspeccin de 10 muestras de tamao ni. Halle los lmites de control y presente le grfico.
-
10987654321
5
4
3
2
1
Subgrupo
N
me
ro d
e d
efe
ctu
oso
s p
or
un
ida
d
_U=2.802
LCS=4.476
LCI=1.128
Grfica U de defectos
Informe de estabilidad
Es estable el nmero de defectuosos por unidad?
Investigue los subgrupos fuera de control. Busque patrones y tendencias.
-
> 5% 0%
NoS
0.0%
10987654321
5
3
1
Subgrupo
N
mero
de d
efe
ctu
oso
s p
or
un
idad
_U=2.802
LCS=4.476
LCI=1.128
subgrupo est fuera de control.
El nmero de defectuosos por unidad es estable. Ningn
Comentarios
Grfica U de defectos
Informe de resumen
Es estable el nmero de defectuosos por unidad?
Evale el % de subgrupos fuera de control.
Grfica U
Investigue los subgrupos fuera de control
-
4.4 Curva OC y ARL Prueba de hiptesis:
Ho: El proceso est bajo control vs
Ha: El proceso no est bajo control
Error tipo I: Rechazar Ho cuando Ho es verdadero. Se
concluye que el proceso no est bajo control, cuando realmente si lo est.
P(Error tipo I)=
-
Error tipo II: Aceptar Ho cuando Ho es falsa. Se concluye que el proceso est bajo control, cuando realmente no lo est.
P(Error tipo II)=
Para fines de clculo de y , suponga que el proceso no est bajo control si hay un cambio en la media del mismo.
4.4 Curva OC y ARL
-
4.4 Curva OC y ARL
LSC
LIC
La media cambia
El error tipo II se calcula con la nueva media
-
=Error tipo II = Probabilidad de aceptar incorrectamente la hiptesis del control estadstico
La funcin de operacin caracterstica(OC) de la carta de control p es:
4.4.1. Curva caracterstica de operacin (OC) Grfica p
P= fraccion disconforme del proceso
-
=Error tipo II = Probabilidad de aceptar incorrectamente la hiptesis del control estadstico
La curva OC proporciona una medida de la habilidad de la carta de control para detectar un corrimiento en la fraccin disconforme del proceso (p).
La probabilidad del error II para la grafica p se calcula con:
O
D es una v.a. bimonial (n,p)
4.4.1. Curva caracterstica de operacin (OC) Grfica p
P
ppPppP |LCI|LCS
pnDPpnDP |LCI|LCS
-
=Error tipo II = Probabilidad de aceptar incorrectamente la hiptesis del control estadstico
La probabilidad del error II para la grafica c se calcula con:
x es una variable aleatoria de Poisson con parametro c
4.4.1. Curva caracterstica de operacin (OC) Grfica c
c
cxPcxP |LCI|LCS
-
=Error tipo II = Probabilidad de aceptar incorrectamente la hiptesis del control estadstico
La probabilidad del error II para la grafica u se calcula con:
x es una variable aleatoria de Poisson con parametro =nu
4.4.1. Curva caracterstica de operacin (OC) Grfica u
c
uxPuxP |LCI|LCS
unxPuncP |LCI|LCS
-
4.4.2 Longitud promedio de corrida (ARL) Grfica p
El numero esperado de muestras antes de que se detecte el corrimiento en la calidad del proceso.
ARL (Average run length)
Si el proceso est bajo control:
La probabilidad alfa puede calcularse de la distribucin binomial o leerse en una curva OC
10 ARL
-
Si el proceso no est bajo control:
La probabilidad beta puede calcularse de la distribucin binomial o leerse en una curva OC
Si n se incrementa, tiene un valor menor y ARL1 mas corta
4.4.2 Longitud promedio de corrida (ARL) Grfica p
1
11ARL
-
Ejemplo: ARL0= 370
Si el proceso se encuentra bajo control se experimentara una falsa alarma de una senal de fuera de control aproximadamente cada 370 muestras
Ejemplo: ARL1= 7
Si el proceso esta fuera de control se necesitara aproximadamente 7 muestras para detectar este corrimiento con un punto fuera de los limites de control
4.4.2 Longitud promedio de corrida (ARL) Grfica p
1
11ARL
10 ARL
-
Efectos de los lmites de control sobre y
a) si los lmites de control son ms anchos: se reduce
se incrementa
b) si los lmites de control son ms angostos: se incrementa
se reduce
c) si se toman muestras ms grandes: se reduce
se reduce
-
Captulo 6 Montgomery, Ejercicios 1 al 6
Captulo 4 Besterfield, Ejercicios 1 al 6
Bibliografa