01. modul - konsep dasar lingkaran

LINGKARAN 1

PENGERTIAN DAN PERSAMAAN BAKU LINGKARAN

Oleh : Saptana Surahmat

Lingkaran merupakan bangun geometri yang mudah ditemukan dalam kehidupan sehari-hari. Penerapan konsep lingkaran yang paling umum dapat dilihat pada roda kendaraan, baik yang bermesin maupun yang tidak bermesin, seperti pada sepeda.

Sifatnya yang selalu berjarak sama antara setiap titik pada keliling roda dengan titik pusat, membuat sepeda yang menggunakan roda berbentuk lingkaran sangat nyaman digunakan. Bahkan dengan mengubah-ubah jarak antara titik pusat dengan kililing roda, kecepatan sepeda dan berat ringannya mengayuh dapat diatur. Prinsip itulah yang saat ini populer digunakan pada sepeda-sepeda modern, seperti yang tampak pada sepeda balap, sepeda rally, sepeda gunung, dan lain-lain.

Pengertian Lingkaran Secara geometri, lingkaran adalah bangun bidang yang dibatasi oleh garis lengkung yang merupakan lintasan dari sebuah titik yang diputar sejauh 360o terhadap suatu titik lain, yang disebut titik pusat. Jarak titik pusat terhadap titik-titik pada lingkaran selalu tetap (sama). Jarak tersebut dinamakan jari-jari. Bila antara dua titik pada keliling lingkaran dihubungkan dengan sebuah garis lurus yang melalui titik pusat, akan diperoleh sebuah garis lurus yang disebut diameter lingkaran.

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB 1

LINGKARAN 1

Untuk lingkaran yang berjari-jari r satuan, luas bidang lingkaran dapat dihitung dengan mengguna-kan rumus L = r2 dan kelilingnya dihitung dengan menggunakan rumus K = 2r.

Gambar 1. Lingkaran berpusat di P dan

berjari-jari r satuan.

Dalam bahan ajar ini, pembahasan tentang lingkaran tidak dari sisi geometri namun dari sisi aljabar. Bagaimana bangun lingkaran dipahami secara aljabar ?

Dalam konsep aljabar, lingkaran didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik lain, yang disebut titik pusat lingkaran. Jarak titik pusat lingkaran dengan titik-titik pada lingkaran disebut jari-jari lingkaran dan lazimnya diberi simbol r atau R. Bila titik-titik tersebut diletakan dalam sistem koordinat kartesius, hubungan antara variabel x, y dan r dapat ditentukan melalui rumus yang disebut persamaan lingkaran. Setiap lingkaran yang berbeda akan memiliki bentuk persamaan yang berbeda pula.

Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0, 0) dan Berjari-jari r

Gambar 2.

Lingkaran berpusat di O(0, 0) dalam bidang Kartesius.

Pada gambar 2, titik O(0, 0) merupakan titik pusat lingkaran dan |OA| = r jari-jarinya. Dengan menggu-nakan rumus jarak antara dua titik diperoleh :

= + = + =2 2 2 2OA (x 0) (y 0) x y r

+ =

22 2 2x y r

x2 + y2 = r2

Hubungan x, y dan r dalam bentuk rumus :

x2 + y2 = r2

disebut sebagai persamaan lingkaran yang berpusat O(0,0) dan panjang jari-jari r satuan.

Contoh 1.

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan r = 3

Penyelesaian.

Pusat di O(0, 0) dan r = 3

x2 + y2 = r2

x2 + y2 = 32

x2 + y2 = 9


LINGKARAN 1

Contoh 2.

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui titik A(3, 4)

Penyelesaian.

Pusat di O(0, 0) dan melalui titik A(3, 4)

Karena melalui titik A(3, 4) maka nilai r2 ditentukan dari x2 + y2 = r2 diperoleh nilai

r2 = 32 + 42 r2 = 25. Jadi persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 25.

Contoh 3.

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan meyinggung garis 12x 5y 39 = 0

Penyelesaian.

Gambar 3. Garis 12x 5y 39 menyinggung lingkaran

berpusat di O(0, 0)

Karena lingkaran menyinggung garis 12x 5y 39 = 0, maka r dapat dipandang sebagai jarak antara titik pusat O(0, 0) dengan garis 12x 5y 39 = 0. Dengan meng-gunakan rumus jarak titik terhadap garis diperoleh jari-jari :

r = + +

+

1 12 2

ax by c

a b =

+ +

+ 2 212.0 ( 5).0 ( 39)

12 ( 5) = 3

Jadi persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 9

Persamaan Lingkaran Berpusat di P(a, b) dan Berjari-jari r

Gambar 4. Lingkaran berpusat di P(a, b) dalam bidang Kartesius.

Titik A(x, y) pada lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan jari-jari lingkaran r, sehingga |PA|= r. Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, maka akan diperoleh rumus persamaan lingkaran:


LINGKARAN 1

+ =2 22 1 2 1(x x ) (y y ) r

+ =2 2(x a) (y b) r

(x a)2 + (y b)2 = r2

Rumus di atas disebut sebagai persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan panjang jari-jari r satuan.

Contoh 4.

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(4, 3) dan r = 6.

Penyelesaian :

Karena lingkaran berpusat di P(4, 3), maka diperoleh a = 4 dan b = 3. Dengan demikian diperoleh persamaan lingkaran :

(x a)2 + (y b)2 = r2

(x 4)2 + (y 3)2 = 62

(x 4)2 + (y 3)2 = 36

Contoh 5.

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(5, -1) dan melalui A(-1, 7).

Penyelesaian :

Karena lingkaran berpusat di P(5, -1) dan melalui A(-1, 7), maka r = panjang PA = |PA|.

Dengan menggunakan jarak dua titik diperoleh jari-jari r = + 2 2( 1 5) (7 ( 1)) = 10

Sehingga diperoleh persamaan Lingkaran :

(x a)2 + (y b)2 = r2

(x 5)2 + (y + 1)2 = 102

(x 5)2 + (y + 1)2 = 100

Contoh 6.

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(2, 3) dan menyinggung 2x + 3y + 4 = 0.

Penyelesaian :

Karena lingkaran berpusat di P(4, 3) dan menyinggung 2x + 3y + 3 = 0, maka jari-jari lingkaran merupakan jarak antara titik pusat P(2, 3) dengan garis 2x + 3y + 4 = 0, diperoleh :

r = + +

+

1 12 2

ax by c

a b = + +

+2 22.4 3.3 3

4 3 = 20

25 = 20

5 = 4

Dengan demikian persamaan lingkaran yang dicari adalah :

(x a)2 + (y b)2 = r2

(x 4)2 + (y 3)2 = 42

(x 4)2 + (y 3)2 = 16


LINGKARAN 1

Soal Latihan

Jawablah dengan singkat, jelas dan benar !

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan a. berjari-jari =r 2 3 b. melalui titik (6, -8) c. menyinggung garis 3x + 4y + 10 = 0.

2. Tentukan persamaan lingkaran yang a. berpusat di P(2, - 3) dan berjari-jari =r 10 . b. berpusat di P(-2, 0) dan melalui titik (-1, -3) c. berdiameter garis AB dengan A(-2, 3) dan B(6, 3). d. berpusat di P(- 3, 1) dan menyinggung garis garis 6y 8y = 10.

3. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis x 2y + 4 = 0, melalui titik pangkal O(0,0) dan a. berjari-jari =r 5 b. menyinggung garis 4x 3y 6 = 0 !

4. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut : a. 5x2 + 5y2 = 25 b. (x 2)2 + (y + 5)2 = 12 c. 3(x + 4)2 + 3(y 1)2 = 27

Daftar Pustaka

Auvil, Daniel L, (1985), Elementary Algebra, Canada: Addison-Wesley

Djumanta, Wahyudin, 2008, Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : Untuk Kelas XI SMA/MA, Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.

Kartini, dkk., (2005), Matematika untuk SMA Kelas XI, Bandung: PT Intan Pariwara

Lestari, Tita, dkk, (2003), Matematika 2A, Bandung: PT Remaja Rosdakarya

Mulyati, Yanti, dkk, (2005), Matematika untuk SMA dan MA program studi Ilmu Alam, Jakarta: Penerbit Piranti Darma Kalokatama

Negoro, ST, B. Harahap, (1998), Ensiklopedia Matematika, Jakarta: Ghalia Indonesia

Soedyarto, Nugroho, 2008, Matematika 2 Untuk SMA/MA Kelas XI Program IPA, Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.

Wirodikromo, Sartono, (2007), Matematika untuk SMA 2A Kelas XI IPA Semester 1, Jakarta: Penerbit Erlangga.


01. modul - konsep dasar lingkaran

Documents