ITK-121KALKULUS I

3 SKS

Dicky Dermawanwww.dickydermawan.890m.com

INTRODUCTION

Kalkulus dianggap ditemukan Isaac Newton pada tahun 1665.

Sebenarnya adalah hasil perjuangan intelektual selama sekitar 2500 tahun

Adalah ilmu tentang perubahan

Differensial

KALKULUS Leibniz

Integral

Pengantar Kalkulus

Sistem bilangan real Aljabar: Nilai mutlak, bentuk akar, persamaan,

pertidaksamaan Sistem koordinat Geometri Analitik Fungsi: real, aljabar, trigonometri

Limit dan kontinuitas fungsi KALKULUS DIFFERENSIAL KALKULUS INTEGRAL

Fungsi

Setiap input yang masuk selalu menghasilkan satu harga tertentu

Bila input berubah umumnya output berubah

Proses2x2 + 1

x f(x)

12

39

input output

LIMIT : Harga Batas Suatu Fungsi Perubahan mempunyai arah tujuan Bila input semakin dekat dengan harga tertentu, maka umumnya

output akan mendekati harga tertentu Harga tertentu inilah yang dinamakan harga batas fungsi itu

Contoh 1. f(x) = 2x2 + 1

bila x makin dekat ke 3, maka apa yang terjadi dengan f(x)

Hasil percobaan:

19

Ditulis lim (2x2 + 1) = 19

x 3

Makin dekat ke x sama sekali tidak ada kaitannya dengan f(x) di titik itu

2.9 2.99 2.999 3 3.01 3.01 3.1

• Contoh 2

Tidak bisa dihitung dari nilai f(x) dengan subtitusi x =1

karena nilainya 0/0 Tetapi disini kalkulator berhasil

Yang tidak pernah gagal adalah pendekatan matematika yang sah

0/0 adalah tidak jelas maka perlu diperjelas

1

1lim

2

3

1 −−

→ x

xx

0 0.9 0.99 0.9999 1 1.0001 1.01 1.1 21 1.426 1.4925 1.49992 1.5 1.500075 1.5075 1.57 7/3

2

3

21

111

)2)(1(

)1)(1(lim

1

1lim

22

12

3

1=

+++=

+−++−=

−−

→→ xx

xxx

x

xxx

• Contoh 3

• Makin dekat x ke 0, x2 makin dekat ke 0 cos x makin dekat ke 1

• Sehingga

=

−

10000

cos2 xx

0lim

→x

x -1 -0.1 -0.01 0 0.01 0.1 10.99995 0.00990 0.000000009 0 0.085 0.00990 0.99995

0lim

→x=

−

10000

cos2 xx

10000

1

10000

10

−=−

• Contoh 4 Pendekatan yang bagus adalah

menggambar grafik

x

x

x

12lim

0

−→

Limit dari satu sisi: Limit kiri & limit kanan

?lim

0=

→ x

xx

?x

xlim

1x=

→

Latihan

=+−−→

)13(lim 2

2xx

x

=−→ 4

2

3

12lim

x

xx

=−

−+→ 1

43lim

2

1 x

xxx

=++−→

352lim 2

3xx

x

=−

−→ 3

9lim

9 x

xx

=−

−+→ 2

6lim

2

2 x

xxx

=−→ 30

sinlim

x

xxx

=−→ x

xx

cos1lim

0

20

cos1lim

x

xx

−→

=−

−

→ 22

11

lim2 xx

x

=→

x

x64lim

0

Latihan

=−+→ h

hlimh

1)1( 2

1

=−→ x

xx

x

23lim

0

2/1

0)1(lim x

x+

→

Latihan

=−→ x

x

x 2

33lim

1