62

BAR VIILAPISAN BA T AS

o 7.1. KonsepLapisan batas

Lapisan batas (boundary layer) mempaksn suafu kons~p untuk aliran yang

terhambat, pertama kati diperkenalkall oleh Prandtl dalam thun 1904. Lapisan batas dava!

dianalisa pada bagialJ pipa dekat masuk, dimana profil kecepat~nya masih berkembang

dengan jarak dari penampang masuk. Disini pola alirallnya bukan merupakan pola aliran

yang setimbang aiau tckcmbang ponuh. Hal ini dapat dijumpai pada suatu tangki aL'W

rf;!s~rvojr,profit kecepata pada awaj penampang pipa akan terbentuk seragHID,dan fluida

mengalir ke arab bilir dan mengalcuni pel1.lbahanprofit kecepatall sampai gaya-gaya

gesekan teJah memperlambat fluida di dekat dinding dan profi} kecepatan akhir yang

tekemballg penuh tercapai. Pada daerah masuk, fluida dekat tengah-tengah pipa

tampaknya tidak dipengaruhi oleh gesekan. sedangkan fluida debt dinding telah

dipengaruhi oleh gesekan. Daerah dima.na efek gesekan terlihat dengan jelas disebl1t

lapisan batas. Scwaktu fluida ke hilir, lapisan batas ini tumbuh dan akhimya memenuhi

seluOlhpips.

-.--------Lapisan \Jalas

.~._~

panjang masukan

la)

'//.

Lapisan batas--Panjang masukan-

Ih)

Gambar 7-I. Pp.Jtumbuhanlapisan batas pada pipa .a). a1iranlamincr ;b).aliran turbulen.

63

Tebal Japisan batas, tegaJlgan geser didnding setempat (1oksJ) atoo koe.fisien atau

ha.mbatan setempat, dan tegangan geser rata-rata atan koeiisien gesekan rata-rata

morupakan haJyang perln diperhatikan .

Tehallapisan batns dapat diekspresikan dalam sejumlah cara :

1. Dahull salah sat.udefinisi, teballapisan batas mengacu ke tebal sesungguhnya daer8h

aJiran yang tertmmbat,o.

2. KecepHJaJ)U daJam lapisan batas mendekati kecepatan ants bebas Us di titi asimptot,

dalam pengukuran profiI kecepatan lapis8Ubatas 0' lazim didefenisikan sebagai jarak

dmi batas ke titik dimana U =0,99 Us.

.3. Tebal perpindahano.* didetiIlisikansebagai-jarnkIb~tas ,sesnngguhnyayang barus

dipindahkan agar l~u aliran sesmlggu~nyasarna dt1lJganlaju aliran fluida ideal yang

melewati batas yang berpindah tersebut.

1l

IS

!IS

(. TJ

)o 111= - (u:;- u)dv = 1- ..:- dyUs . .. 0, Us.'

1. TebaJ momentum oi. didefinisikan sebagai jarak dari batas sesungguhnya yang

sedemikian rupa sehin.;~a i1uks momentum melalui daerah lapisan batassama deogan

fIuks momentum yang akan teJjadi dengan kecep~dankonstan Us melaJui kedaJaman

aliran yang dikurangi dengan 6i.

!6

(u

)u

8j=-: J- - -dy. 0 u.s 11.:;

Jika uius diekspresikan menurut y, maka 0* dan oi dapat dikspresikan menurut o.Harga

o pada gilirall11Ya,dapat ditemukall dari sebuah solusi pe"SIDUWlIllapisan batas.

64

o 7.2. Pemecahan pendekatan untuk lapisan batas

Untuk mempelajari metode pendekatan uotuk men.ghitung pertumbuhan lapisan

bata<;rnclalui pelst datar dan tegangan gesemya pOOa~)ermukaan)digunakan suatu model

s~df.'!rhalla)yaitu dimana kita anggap bahwa kecepataIJmencapai harga aJiran bebas yang

tepat pada .im.~tk() dari petat. Tebal lapisan batns 0 ini bembah separyang petal. Jadi

y

Elemen Volume atur

x

I-dx-l Plat

Gamba!". }-2. Volume atur untuk penyelesaian pendekalan untuk aliran lapisan batas

Di luar garis batns yang menyatakan tebaJ lapisan batas, kecepatan fluida dianggap sarna

dengnn k~copatnnalinm bebas U(I,dan dnlnm lnpisan batas kecepfltannynperJahan-lahan

turnn <.InriU(Ipada y =0 sampai nol pada dinding.

Bcrbcda dengan anaJisa yang tcrdahulu, lIraian di sisni bcrlalm baik untuk aJiran

Imniner maupun turbnJen. tJntuk aJiran turbuJen, semua keCl"patan harns dianggap

8~bagaihm"sarata-ratanya terhaclapwaktu.

Sebmjutnya kita tinjau suatu eJemen volume atur yang dibatasi oJeh peln!, garis

batas dan dua gru-isvertikal sejarak dx. Lebar volume dapa! diambil satu-satuan.

AnaJisa rrInsamelalui pcnnukaan tegak kiri :b

!n '" f 1'1<. (~,..~

dan melalui permuka,,"Ultegak kanan :

~ ;;.,1/1 Jm t dx:;-=- {.IUc.Y: ("t

J .Ii , .dy + -- ( Jpu dv ,\'~"K. ax "" . .

selisih kedua aJirml ini adalah :

65

clandari pers::unmmkontinuitas, hams menga1irdari batas atas. Alin:mmomentum dalam

arab x melaJuipennukaan kiri :

5

M. ::.:Jpu 2 dy." I.'

dan melalui pcrmukaan kanan :

?NI.f, a .5J 2. 6j 2.M' , + = --- (, (Ill (~y)dy: + u dy

ax &;n II

dan bedallya adalah :

oj3M, elx ::.:~d pu:Jdy)(b:--Jx .Jx 0

L3jll alinm momentum rtari atas :

.. 0 .5j .J'.J

(M.< )<t", :::: U 1/ -( f'l/JF4,Y)(-<'-x.:ax II

kru'cna f1uida yang l1lengalir batm: atas mempunyai kecepatan Uo Dengan anggapall

OIx<l, maim alinm utama tidak terganggu oleh lapisan batas\ Dengan demikian tekanan

malalui lapisan batassl tetap kon8tan. Demikian pula kro-eoa lapisan bat.as tipis, semua

tW1Ulantcrhadap x sangat kecil dibandingkan turunan terhadap y, dan dapat diabaikan.

Satn gaya yang bekerja pads volume atur ada1ag gays geser pada. pelal, yaitu - t" dx.

Hukum momentum 110tukaliran stasiooer menyatakan bahwa jumlab semua gaya yang

bekcrja pada vlmue atm" pada arah -tertentu harns 8ama dengan jumlaj aljabar flux

momentum keluar dari volme ini daJam arab yang sam~jadi :

~ a ·~ ( pu.).dy )dx - un - (I udy )dx =-.r ndJ:ax a~; 0

atau

, I,j( TT 2 ... r ' I u Ii I Y \ .0 '. U Jt ... ..n_. ) (. '--, ::: ' 0". ,. tl . (I r r (' .

",x 0 0" 0 U

yang diperoleh setelah dilakukan pengalian dan pembagian dengan 0 di dalam tanda

kurnug dan mengeluarkan 0 dari tanda illtrgral, karena 0 hanya merupakan fungsi dari x.

sela1~ilJtnyaalum dianggap l>ahwaprofil kecep~an pada berbagai-bagai jarak sepmYang

pelat dapat dmmmya serupa, yaitu :

66

Selama tnk ada gmdien teJmn3n sepal1jang pelat, anggapan ini cukup baik. Dengan

anggapmlllil harga integral pad a.penmmnalJ <Iiatas sudah t~rtentu, miRalnya ct,.

Jadi persamaan lersebut me1tiadi:

2. d8 _."U a - f"uf" 0 dx.

knn'"a 0 hanya HI~rllpakall limg~i (Iari x sajn. K'onHt;.mta (1. InJlf:ih b(~Jnm diketahni.

Temyaia bahwa Ct.,yniptu :

I I

[('

IU

)u.

d ,.'" _ ;>.- - -- (-) - vo Un un(r

kw'ang sellsitif terhadap hubun~an fUllgsionalyang teput antara ulU~ dengan y/~. Oleh

knr~naitu, tinp profil pendckatau yang cukup ba.ikmCl/ghasilkanharga a. yang mcndekati

harga sebenamya. Suatu profil k~cep~1t3nyang cukup baik adaJah profil kecepatan yang

memenuhi syarat-syarat pada dinding dan syan\t balas. Sebagai conloh :

U ,n y-= 8111--Un 2 cJ

(kurva sinus)

dan

l4. )l )ll-- =; 2 (-)UtJ 0 0'

(parabola)

CJ' 7.3. LapisaDbatas la~iDer-peDyelesaiaD peDdekataD

Untuk aliran laminer yang sejajar pel~ tegangan gesemya adalah :

o-u'f=p-

oy

tegangan geser pada dinding:

!

d -~

}

.flu _ U(J ~TO = P ( ~y ) ,.0 - T d;

y=o

tunman ini dihilung deligan menggunakan profil yang sanla ya.ng kita misaIkan daIam

mf!nentukana.. Misalnya dengan df!mikian:

67

yang konstall. flehinggapersamaan me~jadi :

2 ciS "(..To(}u ex -- == !.l---Ii

o dx . 8

yang mernpaJmll persamaan diferensial sederhana untuk ().

D€!nganx = 0 pada l~1Jngd€!panpel at) diperol€!h :

atau

Tegangau geser pada dindiug :

- I(}U 0 2 fij3a r=.. == - V.IRe ,.0 2 .V

clantekanan pada pel at :

( - TT:1 _-,f p <.0 r;::;--ji: w

D == t"odx == '---lv2pa -,:=-o 2 ~Re,

jadi

__ D _ 2.J2PaCD -' --~ pTJ t 1 JRe t2

Deugau memilih profil kecepatan yang sesuai. persamaan-persamaan di atas dapat

diselesaikan dan hasilnya dapat dibandingkan dengan penyeJesaian eksak. Kegunaan

metoda pelldekatan terutama terletak pada pemecahan soal-soal, dimana pel1yelesaian

eksak tidak atan sukar didapat. Hasit-hasil matoda pendekatan diatas unluk aliran laminer

(Jihat Schlichting) menunjukkan jawaban yang memenuhi persyaratan teknik.

68

CJ 7.4. Lapisan batas turbulen- penyelesaian pendekatan

Dahun mcnghitung karakteristik lapisan batas turbulen kita dapat menggunakan

prosedur yang sempa dengan untuk a1iran laminer. Akan tetapi, ada perbedaan. Untrik

aliran lamine..,kita hitung tegangan geser fluida permukaan dan gradien kecepatan duldy,

d~J1unluk itu kita gunakan suatu profit kecepatan yang kita misalkan. Menerka Buatu

protil yang teliti dengan gradien yang tepat adalah sukar, walaupun uutuk aliran laminer

me.nghasiJkan penyclesaian yang dapat diterima. lTiltuk aJiran tprbulen dijumpai

kesukaran, salah satu sebabnya adalah karena adanya sub-lapisan huniner dan transisi.

Untllk memecahkan kesukaran ini akan digunakan hsil-hasiul eksperimen, yang dapat

dinyataknn dengan bermacmn-:macam earn. S8tn bentuk' sebagai kelo.tYutan hasll

eksperimen adalah :

dan persamaan lapisan batac;diatas setclah diintegrasikan menjadi :

dimana 00 .h. tcballapisan bata.')pada titik transisi dari Imniner ke tw'bilen. Umumnya 00

dapat diabaikan bila kita tiJ1iau daenlh aJiran yang cu\mp panjang; d(~ngan demikian 00

dapat diabaikan, clan

" ,v l.{ X 4,,-o = 0,058(--) iJ (__.

'

) /J

Uo 'a

) 0 65. a

) V r; 2'0 ::: (. 4 (-," p. 0

Re"

dan koefisiell gesekan untuk satu sisi :

CD = O.118(~-)!1Ret

untuk menghitung, dapat digunakan profiJ turbulen berdasarkan hukum pangkat :

69

pOOadaerah yang turbulen penuh. Dengan menghitcng harga u pada ;) > dimana u = Do.

pt:'rbandillgan ke.dua ke.cepatan ini menjadi:

I

~_::: (X)1TT c'5',,' u

yang dapat digunakan daJam:

I, u., u y,a ,'" J(1 -- --) d ( --- )

0' "0 Tlo '8'

untnk menghihmg (J,.