[www.indowebster.com] anstruk 1

Analisis Struktur I ii

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Allah Swt., atas berkat Rahmat dan RidhoNya

jualah kami dapat menyusun modul kuliah ANALISIS STRUKTUR I ini

Modul Kuliah ini disusun dengan tujuan untuk mempermudah mahasiswa dalam mempelajari

mata kuliah ini. Dalam modul ini disusun materi berdasarkan SAP dan GBPP untuk kegiatan

perkuliahan selama satu semester. Adanya modul ini merupakan upaya dalam menyediakan bahan

yang digunakan untuk pembaharuan media dan metode pembelajaran untuk menyempurnakan proses

belajar mengajar pada paket mata kuliah Analisis Struktur di Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik

Unsri.

Pada kesempatan ini kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah

memberikan bantuan moril dan materil dalam menyelesaikan modul ini. Semoga bantuan yang

diberikan dapat bermanfaat seiiring dengan dimanfaatkannya modul ini untuk kepentingan

Mahasiswa.

Kami pun berpesan khusus kepada para mahasiswa yang menggunakan modul ini. Materi

Analisis Struktur I dalam modul ini hanya merupakan rangkuman yang telah dicoba untuk disusun

secara terstruktur berdasarkan kurikulum yang ada. Lebih jauh mengenai konsep dan latihan-latihan

soal yang lebih lengkap dapat dirujuk dari buku-buku lain yang berhubungan khususnya yang kami

tulis dalam daftar pustaka. Sekali lagi, alah bisa karena biasa, mungkin dapat menjadi pesan singkat

bagi para mahasiswa bahwa materi Analisis Struktur dapat difahami dengan baik dengan rajin

mengerjakan latihan soal-soal.

Terakhir, tak ada gading yang tak retak, modul kuliah ini masih jauh dari sempurna. Oleh

karena itu kami sangat mengharapkan kritik, saran ataupun masukan lain demi kesempurnaan bahan

kuliah ini nantinya.

Penulis

Analisis Struktur I iii

DAFTAR ISI

Kata Pengantar .............................................................................................................................. ii

Daftar Isi ....................................................................................................................................... iii

BAB I PENDAHULUAN

1.1. Pendahuluan .......................................................................................................................... 1

1.2. Diagram Defleksi dan Kurva Elastik .................................................................................... 1

1.3. Persamaan Differensial Defleksi Balok ............................................................................... 2

BAB II METODE BALOK PADANAN (CONJUGATE BEAM) ........................................... 4

BAB III METODE ENERGI

3.1. Kerja Luar ............................................................................................................................ 8

3.1.1. Kerja Luar Akibat Gaya ............................................................................................. 8

3.1.2. Kerja Luar Akibat Momen ......................................................................................... 10

3.2. Energi Regangan .................................................................................................................. 10

3.2.1. Energi Regangan Akibat Gaya .................................................................................. 10

3.2.2. Energi Regangan Akibat Momen............................................................................... 11

3.3. Prinsip Kerja dan Energi ...................................................................................................... 12

BAB IV METODE KERJA MAYA (METODE BEBAN SATUAN)

4.1. Prinsip Kerja Maya .............................................................................................................. 14

4.2. Kerja Maya pada Balok dan Frame ................................................................................... 16

4.3. Prosedur Analisis ................................................................................................................. 19

BAB V TEOREMA CASTIGLIANO

5.1. Teorema Castigliano untuk Balok dan Frame .................................................................... 24

5.2. Prosedur Analisis ................................................................................................................ 25

BAB VI STRUKTUR STATIS TAK TENTU

6.1. Konsep Dasar Statis Tak Tentu .......................................................................................... 33

6.1.1. Pengertian Statis Tak Tentu ...................................................................................... 33

6.1.2. Keuntungan dan Kerugian Statis Tak Tentu ............................................................. 33

6.1.3. Ketidaktentuan Statis ................................................................................................ 34

6.2. Konsep Dasar Kinematis Tak Tentu ...................................................................................... 34

6.2.1 Pengertian Kinematis Tak Tentu ................................................................................ 34

6.2.2 Ketidaktentuan Kinematis .......................................................................................... 34

Analisis Struktur I iv

6.3. Metode Analisis ..................................................................................................................... 34

6.3.1. Konsep Dasar Metode Analisis Keseimbangan ........................................................ 34

6.3.2. Konsep Dasar Metode Kompatibilitas ...................................................................... 35

6.3.3. Hubungan Gaya dan Perpindahan ............................................................................ 35

BAB VII ANALISIS STRUKTUR STATIS TAK TENTU DENGAN METODE GAYA

7.1. Metode Gaya ...................................................................................................................... 37

7.2. Hukum Defleksi Timbal Balik .......................................................................................... 37

7.3. Analisis Metode Gaya pada Balok ..................................................................................... 43

7.4. Analisis Metode Gaya pada Frame .................................................................................... 48

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................... 52

Analisis Struktur I

1

BAB I PENDAHULUAN

1.1. Pendahuluan

Perhitungan deformasi pada sistem struktur ditujukan untuk dua hal yaitu:

1. Untuk kebutuhan kelayanan struktur (serviceability)

2. Pada benda statis dan deformable, sistem struktur paling banyak berbentuk statis tertentu, dimana untuk

menganalisisnya menggunakan persamaan keseimbangan dan diagram benda bebas (free body

diagram). Disamping itu terdapat pula struktur statis tak tentu yang memiliki metodologi solusi yang

berbeda.

Metode yang digunakan untuk menghitung deformasi ada 2, yaitu :

1. Metode Klasik

Metode Klasik biasanya menggunakan dasar geometri atau energi (metode energi),

Metode perhitungan yang berdasarkan geometri adalah

- metode luas momen (momen area method)

- metode Balok Padanan (conjugate-beam method)

Metode perhitungan yang berdasarkan metoe energi adalah:

- metode kerja maya

- teorema castigliano.

Metode lainnya adalah metode integrasi

2. Metode Matriks

1.2. Diagram Defleksi dan Kurva Elastik

Analisa struktur adalah proses perhitungan untuk menentukan respon dari suatu struktur yang berupa reaksi

tumpuan, gaya dalam dan perpindahan (displacement) akibat pengaruh luar (aksi).

Perpindahan pada struktur tersebut dapat berupa :

- Defleksi / Translasi : Jarak pergerakan titik pada struktur

- Rotasi : Sudut putar garis singgung pada kurva elastis (atau garis normalnya) di satu titik.

Perpindahan struktur dapat terjadi dikarenakan oleh beberapa sebab berupa pengaruh luar (aksi) diantaranya

adalah :

- Beban luar

- Pengaruh perubahan suhu

- Kesalahan pabrikasi

- Akibat penurunan (settlement)

Dalam suatu perencanaan, nilai perpindahan (defleksi) harus dibatasi untuk menghindari retak pada jenis

material yang bersifat getas seperti beton atau plester. Lebih jauh, struktur tidak boleh mengalami getaran atau

mengalami defleksi secara berlebihan. Yang jauh lebih penting, nilai defleksi pada suatu titik pada struktur

harus ditentukan dalam upaya menganalisis struktur STATIS TAK TENTU.

Pada struktur-struktur berikut yang akan dianalisis dengan asumsi bahwa material tersebut memiliki RESPON

LINIER ELASTIK terhadap beban yang diterimanya.

Analisis Struktur I

2

Artinya, pada kondisi tersebut, suatu struktur yang menerima beban dan berdefleksi akan kembali pada kondisi

awalnya (tidak berdefleksi) jika tidak dibebani lagi.

Pada dasarnya defleksi yang terjadi pada strukur disebabkan oleh GAYA DALAM berupa gaya normal, gaya

geser ataupun momen lentur.

Pada balok dan rangka kaku defleksi terbesar seringkali disebabkan oleh momen lentur dalam (internal

bending) sedangkan gaya aksial dalam menyebabkan defleksi pada rangka batang (truss).

1.3. Persamaan Differensial Defleksi Balok

Perhatikan gambar (1.1) yang menunjukkan balok dengan tumpuan sederhana yang mengalami defleksi akibat

beban momen. Defleksi (perpindahan vertikal) v pada arah y bervariasi sepanjang bentang AB. Bentuk defleksi

ini disebut KURVA ELASTIK.

Pada kenyataannya, pada perpindahan tersebut terdapat rotasi pada balok.

Rotasi (θ) pada setiap titik adalah SUDUT ANTARA ABSIS X DENGAN GARIS SINGGUNG TERHADAP

KURVA ELASTIK

A B

y,v

vθ

x

GAMBAR 1.1. Deformasi pada Balok dengan Tumpuan Sederhana

∆θρ

o

∆s

−y

∆x∆θ

∆u

OP

D E

SR

(b)(a)

ED

GAMBAR 1.2. Deformasi pada Balok (a) Kurva Elastik ;

(b) Deformasi pada satu blok Balok

Dari geometri pada gambar 1.2. dapat dibentuk persamaan sebagai berikut :

Dari gambar (a) :

∆s = ρ∆θ (1.1)

Kurvaturnya didefinisikan :

κ =1/ρ = dsd

sLts

θθ=

∆∆

→∆ 0 (1.2)

Dari gambar (b) :

∆u = -y∆θ (1.3)

Tanda negatif dikarenakan oleh perpanjangan terjadi pada y negatif. Bila kedua sisi dibagi dengan ∆s, maka:

Analisis Struktur I

3

sLty

suLt

ss ∆∆

−=∆∆

→∆→∆

θ00

--------------- dsdy

dsdu θ

−= (1.4)

Karena du/ds adalah regangan aksial pada searah pada jarak y dari garis netral, maka:

ε=dsdu

(1.5)

Dari persamaan (1.2) dan (1.5), diperoleh :

yεκ

ρ−==

1 (1.6)

Karena : Eσε = dan

IMy

−=σ , dan disubstitusi ke atas , menjadi :

EIM

=ρ1

(1.7)

atau dari pers. (1.2) diperoleh: dsdθ

ρ=

1, sehingga:

dxEIMd =θ (1.8)

Analisa geometrik menghasilkan definisi lain mengenai kurvatur, yaitu:

( )322

/1

/1

dxdv

dxvd

+=

ρ (1.9)

Gunakan persamaan (1.7) sehingga:

( )322

/1

/

dxdv

dxvdEIM

+= (1.10)

Untuk asumsi defleksi yang kecil, dv/dx << 1. Sehingga penyebut pada sisi kanan sama dengan 1, sehingga :

EIM

dxvd=2

2

(1.11)

Dari persamaan EIM

=ρ1

dan persamaan EIM

dxvd=2

2

, dapat disimpulkan bahwa:

Kurvatur (ρ1

) adalah turunan kedua perpindahan terhadap arah lateralnya.

Analisis Struktur I 4

BAB.II METODE BALOK PADANAN (CONJUGATE BEAM)

Metoda ini adalah metoda yang sangat serbaguna. Diketahui bahwa hubungan antara momen lentur, gaya geser

dan beban adalah:

)(2

2

xqdxdV

dxMd

−== (2.1)

Sedangkan dari pers (1.11) pada Bab I diketahui :

EIM

dxd

dxvd

==θ

2

2

(2.2)

dimana:

M : Momen

V : Geser/lintang

q(x) : beban

v : perpindahan/lendutan/displacement

θ : slope/rotasi

EI : kekakuan lentur

Perbandingan dari dua persamaan tersebut menunjukkan bahwa:

Jika EIM

adalah beban pada suatu balok maya (fiktif) atau disebut sebagai balok padanan (conjugate beam),

maka gaya geser & momen yang dihasilkannya adalah identik dengan slope/rotasi dan defleksi dari balok yang

sebenarnya. (Gambar 2.1)

A B

q(x)

L

A B

M/EI

L

Gambar 2.1 (a) Balok sebenarnya (b) Balok Conjugate

Dari metoda Conjugate Beam, kita dapat menyimpulkan:

Teorema 1:

Perpindahan/lendutan/displacement (v = Δ) pada suatu titik di balok yang sebenarnya adalah identik

dengan nilai momen (M’) pada titik yang sama pada Conjugate beam .

v = M’ (2.3)

Teorema 2:

Slope/rotasi θ pada suatu titik di balok yang sebenarnya adalah identik dengan geser V’ pada titik yang

sama pada Conjugate beam.

θ = V’ (2.4)

Prosedur untuk menganalisis balok dengan Metode Conjugate Beam.

1. Pada balok yang sebenarnya, akibat beban yang bekerja gambarkan diagram Momen (M).


2. Gambarkan balok fiktif/maya atau disebut sebgai conjugate beam, dengan panjang yang sama dengan

balok yang sebenarnya. Kondisi internal & eksternal kontinuitas serta tumpuan dibuat sama seperti

balok sebenarnya sesuai dengan tabel 2.1. Sedangkan beban pada conjugate beam adalah diagram EIM

, dengan nilai M adalah momen pada langkah 1. Arah beban ini adalah ke arah serat tertekan. (seperti

gambar 2.1.b).

3. Analisis conjugate beam, yaitu mencari Reaksi Perletakan , nilai Momen dan Geser, bila perlu

gambarkan bidang momen & bidang gesernya.

4. Gunakan teorema 1 & 2 , persamaan (2.3) untuk mendapatkan nilai defleksi dan persamaan (2.4) untuk

mendapatkan nilai slope/rotasi.

Perjanjian tanda pada geser dan momen adalah:

Momen positif pada conjugate beam diartikan sebagai perpindahan/defleksi ke bawah ( )↓ pada balok yang

sebenarnya. sedangkan Gaya geser positif pada conjugate beam diartikan sebagai slope/rotasi yang bernilai

positif (searah jarum jam) pada balok sebenarnya,

Tabel 2.1 Hubungan antara balok sebenarnya dengan Conjugate Beam

Tumpuan atau Penghubung pada Balok

Sebenarnya

Tumpuan atau Penghubung pada Conjugate

Beam

Tumpuan Rol (θ = ? , ∆=0)

Tumpuan Rol (V= ? , M=0)

Tumpuan Sendi (θ = ? , ∆=0)

Tumpuan Sendi (V= ? , M=0)

Tumpuan Jepit (θ = 0 , ∆=0)

Ujung Bebas (V= 0 , M=0)

Ujung Bebas (θ = ? , ∆=?)

Tumpuan Jepit (V= ? , M=?)

Tumpuan Rol/Sendi Dalam (θ =?, ∆=0)

Penghubung Sendi (V= ? , M=0)

Penghubung sendi (θL=?,θR=?, ∆=?)

Tumpuan Rol/Sendi Dalam (θL=?,θR=?, ∆=?)


Contoh 1. Defleksi pada balok kantilever

Hitung defleksi vertikal dan rotasi pada titik B dari balok

L

A B

P

Solusi:

1. Gambarkan bidang momen akibat beban, selanjutnya gambarkan diagram EIM

-nya.

A B

- PL

Bidang Momen

-

PL/EI

A' B'

M/EI

2. Gambarkan Conjugate Beam dengan EIM

sebagai beban. Kondisi jepit pada ujung A ubah menjadi

bebas.kondisi bebas pada ujung B ubah menjadi jepit. Karena akibat beban pada serat bawah balok AB

mengalami tekan sepanjang AB, maka beban EIM

pada conjugate beam bekerja kearah bawah.

A'B'

PL/EI

L/3 2L/3

3. Selesaikan conjugate beam. Hitung gaya geser pada titik B untuk mendapatkan nilai Bθ . Hitung

momen pada titik B untuk mendapatkan nilai B∆ .

B'

Q = PL2/2EIVB'

MB'A'

L/3 2L/3

PL/EI

Q = Resultan beban merata segitiga

( )EI

PLLEIPL

221 2

=

=

Gunakan persamaan keseimbangan


∑ = 0BM 03

22

'2

=+

− BML

EIPL

EI

PLM B 3

2' =

sehingga EI

PLB 3

2

=∆ ( )↓

∑ = 0Fy 0'2

2

=+− BVEI

PL

EIPLVB 2

2' =

sehingga EI

PLB 2

2

=θ (searah jarum jam)

Catatan:

Momen positif diasumsikan sebagai defleksi pada balok sebenarnya dengan arah ke bawah. Gaya geser

positif diartikan sebagai rotasi pada balok sebenarnya yang searah jarum jam.


Contoh 2. Defleksi dan Rotasi pada balok sederhana tumpuan sendi rol

Hitung defleksi vertikal pada titik c dan rotasi pada titik A dan B dari balok sederhana 2 tumpuan berikut:

C

EI

P ton

L m

A B

VA = P/2 VB= P/2

Solusi:

1. Gambarkan bidang momen akibat beban, selanjutnya gambarkan diagram EIM

-nya.

M = PL/4

2. Gambarkan Conjugate Beam dengan EIM

sebagai beban. Tumpuan Sendi Rol tidak berubah. Karena

akibat beban pada balok sebenarnya menyebabkan terjadi momen positif dimana serat tekan sepanjang

AB berada diatas , maka beban EIM

pada conjugate beam bekerja kearah atas.

M = PL/4EI

ti

A’ B’Q = ½ (PL/4EI)L

L m

VA’ VB’

3. Selesaikan conjugate beam. Hitung beban total akibat beban merata segitiga (Q) dan hitung reaksi

perletakan akibat beban Q yaitu :

Q = Resultan beban merata segitiga

( )EI

PLLEI

PL842

1 2

=

=

Gunakan persamaan keseimbangan untuk mencari reaksi perletakan:

∑ = 0BM 0.28

'2

=+

+ LVL

EIPL

A EI

PLVA 16

2' −= ( )↓

sehingga EI

PLA 16

2

=θ

∑ = 0Fy 0'168

22

=+−+ BVEI

PLEI

PL

EIPLVB 16

2' −= ( )↓


sehingga EI

PLB 16

2

=θ

M = PL/4EI

A’ B’Q = ½ (PL/4EI)L

L mVA’ = (PL2/16EI)

VB’ = (PL2/16EI)

4. Untuk menghitung Mc, tinjau conjugate beam pada arah kiri:

M’cA’

Q1= ½ (PL2/8EI)

L/2 m

VA’ = (PL2/16EI) V’c

∑ = 0CM 0'2

.3

'1 =+−

+ CA MLVLQ

0'2

.162

.31

16

22

=+

−

+ CML

EIPLL

EIPL

0'6

2.16

2

=+

− CML

EIPL

EI

PLM C 48'

3

=

sehingga EI

PLC 48

3

=∆ ( )↓

∑ = 0Fy 0'.'1 =+−+ CA VVQ

0'.1616

22

=+

−

+ CV

EIPL

EIPL

0' =CV

sehingga 0=Cθ

Contoh 3 Defleksi dan Rotasi pada balok sederhana tumpuan sendi rol dengan bentuk beban merata

Selesaikan balok menganjur berikut ini dengan menghitung besarnya θB dan ∆C menggunakan metode Conjugate Beam(Balok Padanan)!


A B

L/2 m

2EI

L/2 m

C

q kN/m'

Solusi:

1. Menghitung bidang momen.

L/2 m L/2 m

Q

VAVB

A BC

q kN/m'

2EI

Q = q . ½ L = ½ qL ΣMA = 0 ΣFy = 0 -VB . L + Q . ¼ L = 0 VA + VB - Q = 0 VB = ¼ Q ( ↑ ) VA + 1/8 qL – ½ qL = 0 VB = 1/8 qL ( ↑ ) VA = 3/8 qL ( ↑ )

x1 x2

Q

VA= 3/8 qL

A BC

q kN/m'

2EI

VB= 1/8 qL

Mx1 = (3/8 qLx1-1/2 qx1

2) x1 = 0 ------- Mx1 = 0 x1 = L/4------ Mx1 = 1/16 qL2

x1 = L/2 ------- Mx1 = 1/16 qL2

Mx2 = -(- 1/8 qL .x2) = 1/8 qLx2 x2 = 0 ------- Mx2 = 0 x2 = L/4------ Mx2 = 1/32 qL2

x2 = L/2------ Mx2 = 1/16 ql2 Dari persamaan yang diperoleh, dapat digambarkan:

1/16 qL2

Mx1=(3qL/8)x1 - (q/2)x12

Mx1=(qL/8)x2

2. Gambarkan conjugate beam, dimana beban pada conjugate beam adalah :

q(x) = EIM x

Karena pada struktur diperoleh 2 persamaan momen (Mx),maka; bebannya menjadi

EIqx

EIqLx

EIMxq x

4163

2)(

2111

1 −==

EIqLx

EIMxq x

162)( 22

2 ==

Sehingga conjugate beamnya menjadi:


A’ B’

VB’VA’

q(x1)= Mx1/2EIq(x2)= Mx2/2EI

x1x2

Berdasarkan tabel 2.1,maka tidak terdapat perubahan jenis tumpuan dari balok sebenarnya dengan conjugate beam,seperti terlihat pada gambar diatas.

Mencari θA

Untuk mencari θA sama saja dengan mencari gaya V’A , sehingga dapat digunakan persamaan keseimbangan momen, ∑MB = 0 Tinjau balok A’B’: Perhatikan: - Sistem koordinat x1, ke kanan dan jarak titik berat beban merata (q(x1)) dihitung dari titik B’ ke

arah kiri sama dengan (L-x1). (Karena kita menggunakan titik B sbg acuan perhit momen, ∑MB = 0)

- Sistem koordinat x2, ke kiri dan jarak titik berat beban merata (q(x2)) dihitung dari titik B’ ke arah kiri sama dengan (x2)

∑ = 0'BM

0).).(().).((.'2/

0222

2/

0111 =+−+− ∫∫

LL

A dxxxqdxxLxqLV

∫∫ +−−=2/

022

22/

011

211 ).).(

16().).(

4163(.'

LL

A dxxEI

qLxdxxLEI

qxEI

qLxLV

∫∫ ++−−=2/

02

22

2/

01

31

21

211

2

)16

()4416

3163(.'

LL

A dxEI

qLxdxEI

qxEI

qLxEI

qLxEI

xqLLV

2/

0

32

2/

0

41

31

31

21

2

481612483

323.'

LL

A EIqLx

EIqx

EIqLx

EIqLx

EIxqLLV ++−−=

EIqL

EIqL

EIqL

EIqL

EIqLLV A 38425696128128

3.'44444

++−−=

)768

238618(.'4 ++−−

=EIqLLV A

EIqL

EIqL

EIqLV A

333

0117.02563

7689' ===

=AV ' ------- EIqL

EIqL

A

33

0117.02563

==θ (arah putaran sudut searah jarum jam)

Mencari ∆C

Untuk mencari ∆C sama saja dengan mencari momen M’C.

Tinjau potongan kiri balok A’C’ dan gunakan persamaan keseimbangan momen, ∑M = 0 Tinjau balok A’C’:


A’C’

VC’

VA’= 3qL4/256EI

q(x1)= Mx1/2EI

x1 Perhatikan : - sistem koordinat x1, ke kiri dan jarak titik berat beban merata (q(x1)) dihitung dari titik C’ ke arah

kiri, sehingga jarak titik berat (q(x1)) terhadap titik C’ adalah : (L/2 – x1)

∑ = 0'CM

0').2

).((2

.'2/

0111 =+−+− ∫ C

L

A MdxxLxqLV

0').4816

3323(

5123 2/

01

31

21

211

24

=++−−+− ∫ C

L

MdxEI

qxEI

qLxEI

qLxEI

xqLEI

qL

0')162448

364

3(5123

2/

0

41

31

31

21

24

=++−−+− C

L

MEI

qxEI

qLxEI

qLxEIxqL

EIqL

0'1536

5 4

=+

− CM

EIqL

EIqLM C 1536

5'4

= ------- EIqL

EIqL

C

44

0033.01536

5==∆ (↓)

Tanda positif menunjukkan defleksi ke bawah..

Latihan 2.1

1. Hitung besarnya defleksi dan rotasi pada titik B dan C akibat beban merata yang bekerja pada balok

berikut!

A

L m

B C

L m

q kN/m’

2EI EI

0')256192128256

3(5123 44444

=++−−+− CMEI

qLEI

qLEI

qLEI

qLEI

qL

0').2

).(416

3(2

.2563 2/

011

211

3

=+−−+− ∫ C

L

MdxxLEI

qxEI

qLxLEI

qL

0')1536

6812189(4

=++−−+−

CM

EIqL


2. Hitung lendutan pada titik C dan rotasi pada titik B akibat beban yang bekerja pada balok menganjur

berikut!

P kN

L m

A B

L m L m

EI EIC

3. Hitung lendutan maksimum akibat beban yang bekerja pada balok sederhana berikut!

L m

B

L m

2EI

q kN/m’

Analisis Struktur I

8

BAB III. METODE ENERGI

Dasar perhitungan Prinsip Energi adalah materi kuliah yang ada pada Mekanika Bahan, yaitu perhitungan

mengenai tegangan regangan. Hubungan regangan-perpindahan (displacement) dan karakteristik sifat-

sifat bahan. Konsep ini sangat penting dalam perhitungan yang berhubungan dengan energi seperti kerja

dan energi regangan. Hal ini kemudian dapat digunakan dalam perhitungan defleksi.

Pada metode yang bersifat semigrafik seperti metode sebelumnya, sangat efektif digunakan untuk

menentukan defleksi dan rotasi pada balok dengan pembebanan yang agak sederhana. Sedangkan untuk

yang agak rumit, dianjurkan untuk menggunakan metode yang berbasis energi.

Dasar dalam metode energi adalah Prinsip Kekekalan Energi yang menyatakan:

Kerja yang dihasilkan oleh beban luar pada suatu struktur,Ue, akan diubah menjadi kerja

dalam atau energi regangan,Ui, yang dapat terjadi bila struktur berdeformasi.

Prinsip Kekekalan Energi dapat ditunjukkan dengan persamaan :

Ue = Ui (3.1)

Untuk mengembangkan Metode Energi perlu dipelajari terlebih dahulu mengenai Kerja Luar dan Energi

Regangan yang disebabkan Gaya dan Momen.

3.1 Kerja Luar

3.1.1.Kerja Luar Akibat Gaya

Bila ada gaya F menyebabkan perpindahan dx dengan ARAH yang SAMA dengan F, kerja yang timbul :

dxFdU e .= (3.2)

Jika total perpindahan sebesar x, maka total kerja luar menjadi:

∫=x

e dxFU0

. (3.3)

LA

∆

F

F=Px/∆

∆

F

x

P

(a) (b) Gambar 3.1. Kerja Luar Akibat Gaya Aksial

Analisis Struktur I

9

Perhatikan gambar 3.1.

Akibat gaya F yang bekerja pada ujung batang, batang mengalami perpanjangan.

Gaya F bekerja berangsur-angsur dari nol sampai dengan batas nilai F=P, sehingga menghasilkan

perpanjangan batang sebesar ∆.

Bila batang bersifat linier elastic, maka :

xPF

∆

= (3.4)

Substitusi ke pers.(3.3)

∆∆

∆=

∆

= ∫0

2

02

1. xPdxxPU e

∆= PU e 21

(3.5)

Persamaan tersebut sama dengan Luas segitiga yang diarsir pada gambar 3.1.b.

Kesimpulan :

Bila suatu gaya bekerja secara berangsur-angsur pada suatu batang,dengan nilai yang meningkat dari nol

sampai dengan suatu nilai bernilai P, maka kerja yang dihasilkan adalah nilai rata-rata gaya tersebut (P/2)

dikali dengan perpindahan (∆).

LA

∆

P

F

∆

F'+P

x

P

(a) (b)

∆'

F' ∆'

G E

D

C

B

A

Gambar 3.2.Kerja Luar Akibat Beberapa Gaya AksiaL

Perhatikan gambar 3.2.

Anggap gaya P sudah bekerja pada batang,kemudian dikerjakan gaya lain sebesar F’, sehingga terjadi

pepindahan sebesar ∆’.Perhatikan gambar 3.2.b., kerja akibat P bila perpindahan tambahan yang terjadi

sebesar ∆’ , maka pendekatan kerja yang terjadi adalah:

Ue = (P + ½ F’) Δ’

Ue ≈ P∆’ (3.6)

Hal ini ditunjukkan pada gambar 3.2.b dengan luas persegi empat yang diarsir.

Analisis Struktur I

10

Kesimpulan:

Bila suatu gaya P bekerja pada suatu batang,yang diikuti oleh gaya F’, maka total kerja akibat

kedua gaya ditunjukkan oleh gambar segitiga ACE pad gambar 3.2.b. Luas segitiga ABG

menunjukkan kerja yang diakibatkan oleh P dan menyebabkan pepindahan sebesar ∆,luas segitiga

BCD menunjukkan kerja yang diakibatkan oleh F’ dan menyebabkan pepindahan sebesar

∆’.Selanjutnya luas pesegi BDEG menunjukkan tambahan kerja yang diakibatkan oleh P karena

adanya perpindahan sebesar ∆’akibat F’. Bila dianggap tambahan gaya F’ nilainya kecil, sehingga

bentuk trapesium BCDEG diidealisasikan sebagai segiempat BDEG saja, maka luas segitiga BCD

dapat diabaikan, sehingga nilai kerja sebesar ½ F’Δ’ ≈ 0

3.1.2.Kerja Luar Akibat momen

Dengan cara sama, kerja akibat momen yang bekerja,didefinisikan:

θdMdU .= (3.7)

Dengan asumsi rotasi searah momen yang bekerja.

Jika total rotasi adalah θ , maka total kerja luar menjadi:

∫=θ

θ0

.dMU e (3.8)

dθ

M

Gambar 3.3 Rotasi Akibat Momen

Seperti pada kasus gaya yang bekerja, apabila momen bekerja secara berangsur-angsur pada suatu

struktur yang mimiliki respon elastik linier dari nol sampai dengan nilai M,maka kerja luar yang

dihasilkan:

θMU e 21

= (3.9)

Bila ada momen yang sudah bekerja pada struktur, kemudian ada beban lain yang bekerja yang

menyebabkan rotasi sebesar θ’,kemudian M berotasi sebesar θ’, maka kerja luar yang timbul adalah:

'' θMU e = (3.10)

3.2 Energi Regangan

3.2.1.Energi Regangan Akibat Gaya

Bila beban luar bekerja pada suatu benda elastis, maka benda tesebut akan berdefomasi. Kerja diubah

menjadi energi regangan elastis (Ui) yang tersimpan dalam benda tersebut. Energi regangan

(komplemen) didefinisikan dalam berbagai akibat beban.

Analisis Struktur I

11

LA

∆

N Gambar 3.4. Energi Regangan Dalam Akibat Gaya Aksial (ganti N dengan F)

Kerja luar akibat beban aksial (F) disimpan dalam batang dalam bentuk energi regangan linier.

Dari hukum Hooke diketahui:

εσ .E= (3.11)

karena

AF

=σ (3.12)

L∆

=ε (3.13)

Sehingga nilai defleksinya menjadi:

EAFL

=∆ (3.14)

Bila kita subsitusikan ke persamaan (3.5):

Maka EA

LFU i 2.2

= (3.15)

3.2.2.Energi Regangan Akibat Momen

Enegi regangan pada sistem struktur yang dibebani momen lentur dapat dihitung dengan persamaan 3.7.

AB

q(x)

X

L

dxdx

M M

dθ

(a) (b) Gambar 3.5 Energi Regangan Dalam Akibat Lentur

Bila dianggap balok dibebani beban seperti gambar 3.5, dimana beban P dan q bekerja secara berangsur-

angsur. Beban ini akan menimbuilkan momen dalam M, misalnya pada salah satu bagian/elemen balok

dx yang berjarak x dari tumpuan kiri. maka rotasi dari elemen x dapat diambil dari persamaan (1.8), yaitu

:

Analisis Struktur I

12

dxEIMd =θ

Bila persamaan (3.9) diterapkan pada elemen dx, maka energi regangan yang tersimpan adalah:

).(21.

21 dx

EIMMdMdU i == θ

dxEI

MdU i 2

2

= (3.16)

Sehingga energi regangan total yang bekerja pada keseluruhan sistem struktur

∫=L

i dxEI

MU0

2

2 (3.17)

dimana bentuk )(xMM =

dan mungkin saja )(xII =

)(xEE =

3.3. Prinsip Kerja dan Energi

Kerja dan energi regangan telah dipelajari dan dirumuskan. Selanjutnya bagaimana Prinsip Kekekalan

Energi dapat diaplikasikan untuk menentukan defleksi pada suatu titik pada struktur.

Contoh 3.1 Prinsip Kerja dan Energi pada Balok kantilever

Tentukan perpindahan (defleksi) pada titik dimana bekerja gaya P pada struktur berikut!

L

A B

P

Solusi:

1. Hitung kerja luar akibat beban P yang bekerja

Dari persamaan (3.5), diperoleh Kerja luar akibat beban P:

∆= PU e 21

2. Hitung energi regangan pada balok

Energi dalam pada balok harus dicari dari momen dalam akibat beban luar yang bekerja pada balok,

langkah-langkahnya:

- Hitung momen dalam akibat beban pada bentang AB

Bentang: Lx ≤≤0 ).( xPM x −=

P x

Analisis Struktur I

13

- Gunakan persamaan (3.17) untuk mendapatkan energi regangan

∫ ∫ ==−

==L L

Lxi EI

LPxPEI

dxEIPxdx

EIM

U0 0

32

0

3222

661.

2)(.

2

3. Gunakan rumus kekekalanEnergi :

ie UU =

EILPP

32

61

21

=∆

EIPL3

3

=∆ ( )

Walaupun terlihat sederhana, ternyata aplikasi metode ini hanya terbatas pada soal-soal tertentu saja,

dimana setiap perpindahan hanya dapat ditentukan dengan meletakkan gaya pada tempat tersebut. Atas

dasar inilah metode ini pada akhirnya dapat dikembangkan pada metode aplikasi yang menggunakan

energi sebagai dasarnya, diantaranya metode kerja maya dan castigliano.

Analisis Struktur I

14

BAB IV METODE KERJA MAYA (METODE BEBAN SATUAN)

4.1. Prinsip Kerja Maya

Prinsip Kerja Maya dikembangkan pertama kali oleh John Bernoulli pada tahun 1717 dan dikenal dengan

sebutan METODE BEBAN SATUAN. Secara umum metode ini dapat digunakan untuk menentukan

perpindahan maupun rotasi pada titik tertentu pada struktur apapun baik balok, frame maupun truss.

Prinsip Kerja dan Energi pada suatu bahan yang bersifat deformable :

Perhatikan gambar berikut :

F

ANA

P1 P2 P3

NM

dx

dLF

∆1

∆2∆C∆3

B

ANA

P1 P2 P3

B

C

u

A

1

NM

dx

dlu

δ1

δ2δCδ3

B

321

A

P1 P2 P3

NM

dxδ1+∆1 δ2+∆2

δc+∆C δ3+∆3 B

1

NA

NA

(a)

(b)

(c)

Gambar 4.1. Kerja dan Energi Dalam pada Bahan Deformable

Perhatikan gambar (a) :

• Balok AB diberi beban P1, P2 dan P3 pada titik 1,2 dan 3. Pada titik C akan dicari defleksi dengan

menggunakan metode beban satuan.

Perhatikan gambar (b)

• beban pada balok ( P1, P2 dan P3 ) menyebabkan gaya dalam pada balok,

misal : Pada salah satu serat pada balok bagian atas garis netral (MN) mengalami gaya tekan F

dengan luas area potongan sebesar dA.

• Pada serat MN tersebut akibat gaya F, memendek sebesar dL.

Analisis Struktur I

15

• Pada balok secara keseluruhan akibat Beban (P1,P2 dan P3) menyebabkan defleksi disepanjang balok,

misal:

Δ1 pada titik 1

Δ2 pada titik 2

Δ3 pada titik 3

• Akibat beban yang bekerja timbul kerja luar dan dalam pada balok, yaitu

Total kerja luar pada balok, perhatikan kembali persamaan 3.5.

½ P1 Δ1 + ½ P2 Δ2 + ½ P3 Δ3 (4.1)

Total energi regangan dalam yang tersimpan :

½ Σ (F.dL) (4.2)

• Berdasarkan hukum kekekalan Energi :

½ P1 Δ1 + ½ P2 Δ2 + ½ P3 Δ3 = ½ Σ (F.dL) (4.3)

Perhatikan gambar (c) :

• Pada balok yang sama dipasang beban maya yang bernilai P’=1 satuan pada titik C.

• Akibat gaya 1 satuan tersebut pada serat yang sama (MN) mengalami gaya tekan u.

• Pada serat MN tersebut akibat beban 1 satuan, memendek sebesar dl.

• Pada balok secara keseluruhan akibat beban 1 satuan menyebabkan defleksi disepanjang balok,yaitu :

δc pada titik C

δ1 pada titik 1

δ2 pada titik 2

δ3 pada titik 3

• Akibat beban yang bekerja timbul energi/kerja luar dan dalam pada balok, yaitu

Total kerja luar pada balok

½ (1) (δC) (4.4)

Total energi dalam yang tersimpan :

½ Σ (u.dl) (4.5)

• Berdasarkan Hukum Kekekalan Energi : Energi dalam yang terjadi sama dengan Kerja luar yang

bekerja, sehingga :

½ δ1 = ½ Σ (u.dl) (4.6)

Perhatikan gambar (d) :

• Bila beban P1, P2 dan P3 ditambahkan pada balok di gambar c, dimana beban 1 satuan sudah bekerja

terlebih dahulu , maka akan terjadi defleksi pada balok sebesar:

δC + ΔC pada titik C

δ1 + Δ1 pada titik 1



• Dengan adanya tambahan beban P1, P2 dan P3 , maka ada tambahan energi pada energi/kerja luar

dan dalam pada balok,(ingat persamaan 3.6) yaitu

Analisis Struktur I

16

Total tambahan kerja luar pada balok

½ P1 Δ1 + ½ P2 Δ2 + ½ P3 Δ3 + 1. ΔC (4.7)

Total tambahan energi dalam yang tersimpan :

½ Σ (F.dL) + Σ (u dL) (4.8)

• Berdasarkan hukum kekekalan Energi dan dari persamaan (4.4) + (4.7) dan persamaan (4.5) + (4.8) :

½ (1) (δC) + ½ P1 Δ1 + ½ P2 Δ2 + ½ P3 Δ3 + (1) . ΔC = ½ Σ (u.dl) + ½ Σ (F.dL) + Σ (u dL)

(4.9)

• Berdasarkan persamaan (4.3) dan (4.6) tentang Hukum kekekalan energi, maka

(1) . ΔC = Σ (u dL) (4.10)

Persamaan (4.10) adalah rumus dasar dalam menentukan defleksi pada suatu struktur dengan

menggunakan metode kerja maya atau dikenal dengan metode beban satuan.

Persamaan (4.10) dapat dibuat umum menjadi :

(1) . Δ = Σ (u dL) (4.11)

dimana:

P’ =1 = Beban maya/beban satuan bekerja pada titik dan searah dengan defleksi yang ingin dicari ∆

u = gaya dalam maya pada elemen searah dengan dL

∆ = Perpindahan/defleksi akibat beban sebenarnya

dL = deformasi dalam pada elemen akibat gaya sebenarnya

Dengan cara yang sama, untuk menentukan rotasi pada satu titik pada struktur, harus dipasang momen

maya M’=1 pada titik yang ingin dicari rotasinya, Momen maya M’=1 menyebabkan gaya dalam maya uθ

pada salah satu serat/elemen pada struktur dan beban sebenarnya pada struktur dapat menyebabkan

elemen berdeformasi sebesar dL, sehingga persamaaannya menjadi:

(1) . θ = Σ (uθ dL) (4.12)

M’ =1 = Momen maya/momen satuan bekerja pada titik dan searah dengan rotasi yang ingin dicari (θ)

uθ = gaya dalam maya pada elemen searah dengan dL

θ = rotasi akibat beban sebenarnya

dL = deformasi dalam pada elemen akibat gaya sebenarnya

4.2. Metode Kerja Maya pada Struktur Balok dan Frame

Analisis Struktur I

17

A

q(x)

X

L

(a)

∆A

X

1

(b)

Gambar 4.2. Menentukan Defleksi dengan Metode Kerja Maya (Beban Satuan)

Prinsip Kerja maya dapat diaplikasikan pada balok dan rangka untuk menentukan defleksi yaitu dengan

menggunakan beban maya (beban satuan) atau menentukan rotasi dengan menggunakan momen maya

(momen satuan).

Menentukan defleksi pada balok

- Perhatikan gambar (4.2a) Pada titik A ingin dicari nilai defleksinya (∆).

- Untuk mencari nilai ∆, pasang beban satuan P’=1 pada titik tersebut dengan arah seperti ∆ yang

diinginkan (gambar (4.2.b).

- Akibat P’=1 maka akan timbul momen dalam (m).

- Defleksi ∆ disebabkan oleh beban sebenarnya pada balok, yang sekaligus menyebabkan momen

dalam pada balok (M).

- Akibat beban ini balok akan memberikan respon linier elastik , dimana suatu elemen dx akan

bedeformasi atau berotasi sebesar (dari persamaan (1.8)), yaitu :

dxEIMd =θ

- Berdasarkan persamaan (4.11), dapat diturunkan rumusan :

Kerja luar maya akibat beban satuan : Ue = 1.∆

Berdasarkan subbab 3.22 dan memperhatikan gambar 3.5

AB

q(x)

X

L

dxdx

M M

dθ

(a) (b) Kerja dalam maya akibat momen dalam m : Ui = m.dθ

Substitusi dari persamaan 1.8, sehingga diperoleh:

= dx

EIMmdm .. θ

Dengan prinsip Hukum Kekekalan Energi: Ue = Ui dan menjumlahkan semua pengaruh elemen

dx dalam bentuk integrasi sepanjang bentang balok L, menjadi :

Analisis Struktur I

18

∫=∆L

dxEI

mM

0

.1 (4.13)

dimana :

1 = Beban maya/beban satuan bekerja pada titik dan searah dengan defleksi yang ingin dicari ∆

∆ = Perpindahan/defleksi akibat beban sebenarnya

m = momen dalam maya akibat beban satuan (dalam fungsi x)

M = Momen dalam akibat beban sebenarnya(dalam fungsi x)

E = Modulus elastisitas material balok atau rangka

I = Momen inersia dari potongan penampang

A

q(x)

X

L

(a)

θ

A

X 1

(b)

Gambar 4.3. Menentukan Rotasi dengan Metode Kerja Maya (Momen Satuan)

Menentukan rotasi pada balok

- Dengan cara yang sama, untuk menentukan rotasi pada satu titik pada balok

- Perhatikan gambar (4.3 a ) Pada titik A ingin dicari nilai rotasinya (θ).

- Untuk mencari nilai θ, pasang momen satuan M’=1 pada titik tersebut dengan arah seperti θ

yang diinginkan (gambar 4.3.b).

- Akibat M’=1 maka akan timbul momen dalam (m’).

- Rotasi θ disebabkan oleh beban sebenarnya pada balok, yang sekaligus menyebabkan momen

dalam pada balok (M).

- Akibat beban ini balok akan memberikan respon linier elastik , dimana suatu elemen dx akan

bedeformasi atau berotasi sebesar (dari persamaan (1.8), yaitu :

dxEIMd =θ

- Berdasarkan persamaan (4.12), dapat diturunkan rumusan :

Kerja luar maya akibat momen satuan: Ue = 1.θ

Kerja dalam maya akibat momen dalam m: Ui = m’.dθ

Substitusi dari persamaan 1.8, sehingga diperoleh:

.

= dx

EIMmdm '.'. θ

Dengan prinsip Hukum Kekekalan Energi: Ue = Ui dan menjumlahkan semua pengaruh elemen

dx dalam bentuk integrasi sepanjang bentang balok L,menjadi:

Analisis Struktur I

19

∫=L

dxEI

Mm

0

'

.1θ (4.14)

dimana :

1 = momen maya/momen satuan bekerja pada titik dan searah dengan rotasi yang ingin dicari θ

θ = Rotasi akibat beban sebenarnya

m’ = momen dalam maya akibat momen satuan yang bekerja pada balok (dalam fungsi x)

M = Momen dalam akibat beban sebenarnya (dalam fungsi x)

E = Modulus elastisitas material balok atau rangka

I = Momen inersia dari potongan penampang

4.2. 1. Prosedur Analisis Metode Kerja Maya pada Balok dan Frame

Untuk menentukan defleksi ataupun rotasi pada balok maupun rangka kaku (frame) dengan menggunakan

Metode Kerja Maya (Metode Beban Satuan) adalah dengan mengikuti prosedur berikut ini.

1. Menghitung Momen maya (m atau m’) akibat beban satuan atau akibat momen satuan.

• Buang semua beban sebenarnya dari balok atau frame.

• Letakkan Beban satuan pada balok atau frame dititik dan arah dimana perpindahan ingin dicari.

• Jika rotasi yang ingin ditentukan, letakkan momen satuan pada titik tersebut.

• Tentukan batas-batas wilayah untuk menghitung momen akibat Beban satuan atau momen

satuan yang bekerja pada balok atau rangka kaku (frame) dengan menggunakan x sebagai fungsi

dari Momen (m atau m’).

• Hitung m akibat beban satuan atau m’ akibat momen satuan untuk setiap wilayah x

2. Menghitung Momen akibat beban sebenarnya (M)

• Batas-batas wilayah untuk menghitung momen akibat Beban sebenarnya sama dengan wilayah

untuk menghitung m atau m’.

• Hitung M akibat beban sebenarnya untuk setiap wilayah x

3. Gunakan persamaan metode Kerja Maya

- Hitung defleksi dengan menggunakan persamaan (4.13) atau rotasi dengan menggunakan

persamaan (4.14)

- Jika hasil integral dari persamaan tersebut positif, ∆ atau θ memiliki arah yang sama dengan

beban satuan atau dan momen satuan.

4.2. 2. Contoh Perhitungan pada Balok dan Frame

Contoh 4.1. Balok Kantilever dengan beban Merata

Hitung defleksi pada titik B pada balok kantilever berikut! (Anggap nilai EI seragam sepanjang balok)

Analisis Struktur I

20

L m

A B

q kN/m'

Solusi:

1. Menghitung Momen maya (m) akibat beban.


• Letakkan Beban satuan pada balok dititik B dengan arah ke bawah.

x1

A B

1

• Tentukan batas-batas wilayah x

Wilayah x : 0≤ x ≤ L

• Hitung m akibat beban satuan untuk setiap wilayah x

m = -(1. x)

= –x

2. Menghitung Momen akibat beban sebenarnya

L m

A B

q kN/m'

x1

• Batas wilayah sama : 0≤ x ≤ L

• Hitung momen dalam M

M = -(qx. (½ x))

= – ½ qx2

3. Hitung defleksi dengan menggunakan persamaan 5.13

dxEI

qxxdx

EIMm LL

B ∫∫−−

==∆0

2

0

))2

1).(((.

= L

xEIq

0

3

8

= EI

qL8

3

Analisis Struktur I

21

Nilai defleksi + sehingga arahnya searah dengan arah beban satuan (↓)

Contoh 4.2. Balok Kantilever dengan beban Terpusat

Hitung rotasi pada titik B pada balok kantilever berikut! (Anggap nilai EI seragam sepanjang balok)

L/2 m

A B

P kN

C

L/2 m

Solusi:

1. Menghitung Momen maya (m’) akibat momen satuan.


• Letakkan Momen satuan pada balok dititik B dengan searah jarum jam.

x2

A C

1

B

x1 • Tentukan batas-batas wilayah x, dan Hitung m akibat momen satuan untuk setiap wilayah x

Untuk wilayah 1 (x1): 0 ≤ x1 ≤ L/2 m

m’1 = 0


m‘2 = 1

2. Menghitung Momen akibat beban sebenarnya (M)

x2

A CB

P kN

x1 • Batas wilayah sama dan hitung momen dalam M


M1 = - P.x1


M2 = - P.( ½ L + x2)

3. Hitung rotasi dengan menggunakan persamaan 4.14

2

2/

0

221

2/

0

11

0

'

).'().'(. dxEI

MmdxEI

MmdxEI

Mm LLL

B ∫∫∫ +==θ

Analisis Struktur I

22

= dxEI

xLPdxEI

xP LL

∫∫+−

+− 2/

0

21

2/

0

1 ))2/.(.(1())..(0(

= 2/

0

22

2

22

L

xEIP

EIPLx

−−

= EI

PL83 2

− = EI

PL83 2

−

Nilai rotasi (-) sehingga arahnya berlawanan dengan arah momen satuan

Latihan 4.1.

1. Balok berikut terbuat dari material yang seragam EI, hitung rotasi pada titik C

A B

L/2 m

2PkN

L/2 m

C

L/2 m

D

2. Balok berikut terbuat dari material yang seragam EI, hitung rotasi pada titik A dan B.

A B

L/4 m

P kN

L/4 m

C

L/2 m

D

P kN

3. Rangka berikut terbuat dari material yang seragam EI, hitung defleksi horisontal pada titik B dan

rotasi pada titik C

L m

CL m

A

q kN/m'B

2PkN

4.3. Metode Kerja Maya pada Struktur Rangka Batang (Truss)

Persamaan (4.10) adalah rumus dasar dalam menentukan defleksi pada suatu struktur

dengan menggunakan metode kerja maya atau dikenal dengan metode beban satuan.

Rumus ini dapat juga diaplikasikan pada struktur rangka batang, yaitu:

Analisis Struktur I

23

Δi = Σ ui (ΔL) (4.15)

Dimana :

Δi : Defleksi pada titik i

ui : Gaya dalam (aksial) pada bagian struktur (member/elemen) akibat berat satuan

pada titik i

ΔL : Perubahan panjang pada elemen.

ΔL sebagai perubahan panjang pada elemen dapat diakibatkan oleh bermacam-macam

sebab, diantaranya :

- Beban luar

- Perubahan suhu

- Kesalahan pabrikasi.

-

4.3.1. Pengaruh Beban Luar

Perhatikan gambar (4.4) yang menunjukkan rangka batang yang akan dicari nilai

defleksinya pada titik i. Persamaan (4.15) dapat digunakan pada rangka batang tersebut

u u

uu

∆L ∆L

∆L∆L

∆D

∆L

P ton

A D C

B

1

u

A D C

B

(a)

(b) Gambar 4.4 Defleksi Rangka Batang Akibat Beban Luar


Analisis Struktur I

24

• Pada titik D akan ditentukan nilai defleksinya. Akibat beban luar semua batang

(member) akan mengalami gaya dalam (aksial) sehingga semua batang mengalami

perubahan panjang ΔL.

Berdasarkan hukum HOOKE, perubahan panjang ΔL akibat gaya aksial (gaya dalam

aksial) dapat dirumuskan menjadi :

AELFL

.

.=∆ (4.16)

dimana :

ΔL : Perubahan panjang pada batang

F : Gaya dalam aksial (GAYA BATANG) akibat beban luar yang bekerja (ton, kg,

N, kN)

L : Panjang batang (m,cm,mm)

E : Modulus Elastisitas (kg/mm2)

A : Luas penampang batang (m2, cm2 ,mm2 )

• Sehingga akibat beban luar yang bekerja maka pada semua batang akan timbul gaya

dalam berupa gaya aksial (GAYA BATANG), disebut F.

• GAYA BATANG pada semua batang (F) daoat dihitung dengan metode cremona,

ritter ataupun keseimbangan titik.


• Untuk mencari defleksi pada titik i, pasang beban satuan pada titik i tersebut dengan

arah sembarang (vertikal atau horisontal).

• Akibat beban satuan pada titik I maka pada semua batang akan timbul gaya dalam

berupa gaya aksial (GAYA BATANG), disebut u.

• GAYA BATANG pada semua batang (u) dapat dihitung dengan metode cremona,


Sehinga untuk mencari DEFLEKSI pada Rangka Batang akibat BEBAN LUAR

dapat dicari dengan rumus :

∑=∆AE

LuF ii .

.. (4.17)

Prosedur Analisis :

Analisis Struktur I

25

1. Tentukan struktur rangka batang apakah termasuk dalam struktur statis tertentu,

dengan menggunakan rumus: n= 2s – 3

2. Beri nama batang-batang pada struktur tersebut (A untuk batang Atas, B untuk

batang bawah, T untuk batang tegak dan D untuk batang diagonal)

3. Hitung panjang masing-masing batang (L).

4. Akibat beban luar yang bekerja, cari reaksi (R) pada tumpuan/perletakan

5. Hitung nilai seluruh gaya batang (F) dengan menggunakan metode analisis gaya

batang Cremona, Ritter atau keseimbangan titik.

6. Buang seluruh beban luar yang, kemudian pasang beban 1 satuan pada tempat dan

arah sama dengan nilai defleksi yang ingin ditentukan. Misal (seperti pada gambar

4.4) :

Untuk mencari ΔCV, maka pasang beban satuan pada titik hubung D arah vertikal

(bisa ke atas maupun ke bawah).

7. Hitung nilai seluruh gaya batang (u) dengan menggunakan metode analisis gaya


8. Gunakan persamaan (4.17) untuk menghitung defleksi pada tiik yang diinginkan

(misal titik D). Untuk mempermudah perhitungan gunakan tabel berikut :

Batang L

(satuan)

E.A

(satuan)

F

(satuan)

ui

(satuan) AELuF i

...

(satuan)

A1 Panjang

batang

Hasil kali E

dan A

Gaya Batang

akibat beban

luar

Gaya batang

akibat beban

satuan

Hasil

perhitungan

AELuF i

...

B1 … … … … …

dst… … … … … …

Jumlah dari AE

LuF i

...

∑=∆AE

LuF ii .

..

Contoh Perhitungan:

......

Analisis Struktur I

26

4.3.2. Pengaruh Perubahan Suhu

Pada beberapa kasus, batang-batang pada struktur rangka batang akan mengalami

perubahan panjang akibat pengaruh perubahan suhu. Perubahan panjang ini dapat

didefinisikan dengan rumus :

LTL ..∆=∆ α (4.18)

dimana :

ΔL : Perubahan panjang pada batang (m, cm, mm)

α : koefisien pemuaian panas pada batang

ΔT : Perubahan suhu


Sehinga untuk mencari DEFLEKSI pada Rangka Batang akibat PERUBAHAN

SUHU dapat disubstitusi ke persamaan (3.11) menjadi :

LTuii ∑ ∆=∆ ....α (4.19)

Prosedur Analisis :


dengan menggunakan rumus : n = 2s – 3



3. Hitung panjang masing-masing batang.

4. Pasang beban 1 satuan pada tempat dan arah sama dengan nilai defleksi yang ingin

ditentukan.



6. Gunakan persamaan (4.19) untuk menghitung defleksi pada tiik yang diinginkan.

Untuk mempermudah perhitungan gunakan tabel berikut :

Batang L

(satuan) α

(satuan)

ΔT

(satuan)

ui

(satuan) LTui .... ∆α

(satuan)

A1 Panjang

batang

Koef.

Pemuaian

panas

Perubahan

suhu

Gaya batang

akibat beban

satuan

Hasil perhitungan

LTui .... ∆α

Analisis Struktur I

27

B1 … … … … …

dst… … … … … …

Jumlah dari LTui .... ∆α LTuii ∑ ∆=∆ ....α

Contoh Perhitungan:

......

4.3.3. Pengaruh Kesalahan Pabrikasi

Selain akibat perubahan suhu, pada beberapa kasus walaupun tidak sering, kesalahan

pabrikasi atas material yang digunakan untuk rangka batang dapat terjadi. Misalnya saja

batang dapat saja menjadi lebih panjang atau lebih pendek dari yang seharusnya

digunakan dalam membuat rangka batang yang sedikit melengkung. Pada kasus

jembatan yang dibangun dengan bentuk rangka batang yang batang bawahnya dibuat

melengkung, sehingga batang bawahnya dibuat cekung keatas. Ketidaktepatan dimensi

panjang batang (lebih pendek atau lebih panjang) (L) dapat menyebabkan defleksi pada

rangka batang.yang didefinisikan dengan rumus (4.15) :

Δi = Σ ui (ΔL) (4.19)

Dimana :

Δi : Defleksi pada titik i (m,cm,mm)

ui : Gaya dalam (aksial) pada bagian struktur (member) akibat berat satuan pada titik

ΔL : Perbedaan panjang pada batang dari ukuran yang disyaratkan.akibat kesalahan

pabrikasi (m,cm,mm)

Prosedur Analisis :


dengan menggunakan rumus: n= 2s – 3





ditentukan.

Analisis Struktur I

28



6. Gunakan persamaan (4.19) untuk menghitung defleksi pada titik yang diinginkan.


Batang ΔL

(satuan)

ui

(satuan) Lui ∆.

(satuan)

A1 Perubahan

panjang krn

kesalahan

pabrikasi

Gaya batang

akibat beban

satuan

Hasil perhitungan

Lui ∆.

B1 … … …

dst… … … …

∑ ∆=∆ Luii .

Contoh Perhitungan:

........

Analisis Struktur I

29

Analisis Struktur I

23

BAB V. TEOREMA CASTIGLIANO

Pada tahun 1879 Alberto Castigliano, seorang Italia, mempublikasikan bukunya yang membahas

mengenai metode untuk menentukan defleksi atau slope (rotasi) pada struktur, yang bisa berbentuk

rangka batang (truss), balok ataupun rangka kaku (frame). Metode ini merujuk pada teorema Castigliano

kedua (Metode Beban Minimal), yang hanya dapat diaplikasikan pada struktur yang memiliki temperatur

konstan, tidak mengalami penurunan tumpuan dan memiliki respon linier elastis.

Teorema Castigliano Kedua menyebutkan:

Perpindahan suatu titik pada struktur adalah sama dengan turunan pertama energi regangan

dalam struktur terhadap beban yang bekerja pada titik tersebut dengan arah yang sama dengan

perpindahan tersebut.

Dengan cara yang sama :

Rotasi suatu titik pada struktur adalah sama dengan turunan pertama energi regangan dalam

struktur terhadap momen yang bekerja pada titik tersebut dengan arah yang sama dengan rotasi

tersebut.

Untuk menurunkan teorema Castigliano kedua, tinjau suatu badan struktur yang menerima gabungan n

beban, yaitu P1, P2, P3,…Pn.

A B

P1

(a)

P3P2

∆1 ∆2∆3

1 32

A B

dP1

(b)

d∆1

1 32

d∆3d∆2

Gambar 5.1. Teorema Castigliano Kedua

Persamaan ini membuktikan teorema Castigliano bahwa :

Perpindahan ∆i dalam arah gaya Pi sama degan turunan pertama energi regangan terhadap gaya

Pi

Pada gambar (b) Akibat gaya P1, P2 dan P3 menyebabkan perpindahan Δ1, Δ2, Δ3 pada masing-masing

titik 1, 2 dan 3, sehingga menyebabkan kerja luar sebesar :

U = ½ P1.Δ1 + ½ P2.Δ2 + ½ P3.Δ3 (5.1)

Bila ditambahkan gaya sebesar dP1 yang menyebabkan tambahan defleksi sebesar dΔ1 pada titik 1, dΔ2

pada titik 2, dΔ3 pada titik 3 (gambar b). Maka akan terjadi tambahan kerja luar sebesar dU, yaitu:

Analisis Struktur I

24

dU = P1.dΔ1 + P2.dΔ2 + P3.dΔ3 + ½ dP1.dΔ1

≈ P1.dΔ1 + P2.dΔ2 + P3.dΔ3 (5.2)

Berdasarkan prinsip energi pada persamaan (3.6), nilai : ½ dP1.dΔ ≈ 0

Sehingga total kerja luar pada balok bila diakibatkan oleh gaya-gaya P1, P2, P3 dan tambahan gaya dP1

yangbekerja secara simultan adalah:

U + dU = ½(P1 + dP1).(Δ1 + dΔ1) + ½ P2.(Δ2 + dΔ2) + ½ P3.(Δ3 + dΔ3) (5.3)

Substitusikan persamaan (5.1) ke persamaan (5.3) sehingga menjadi :

dU = ½ Δ1.dP1 + ½ P1. dΔ1 + ½ dP1. dΔ1 + ½ P2.dΔ2 + ½ P3.dΔ3

≈ ½ Δ1.dP1 + ½ P1. dΔ1 + ½ P2.dΔ2 + ½ P3.dΔ3 (5.4)

Berdasarkan prinsip energi pada persamaan (3.6), nilai : ½ dP1.dΔ ≈ 0

Selanjutnya substitusikan persamaan (5.2) ke persamaan (5.4), sehingga menjadi:

dU = ½ Δ1.dP1 + ½ dU

dU = Δ1.dP1 (5.5)

Sehingga bila diterapkan turunan parsial pada persamaan (5.5), menjadi :

11

∆=∂∂

PU

(5.6)

5.1. Teorema Castigliano untuk Balok dan Frame

Energi regangan lentur dalam pada balok dan frame diberikan pada persamaan (3.17)

∫= dxEI

MU i 2

2

Substitusikan persamaan tersebut ke persamaan (5.6), sehingga:

∫∂∂

=∆L

ii dx

EIM

P 0

2

2

Hilangkan subcript i-nya menjadi :

∫∂∂

=∆L

dxEI

MP 0

2

2 (5.7)

Bila turunannya diselesaikan,maka persamaannya menjadi :

∫

∂∂

=∆L

EIdx

PMM (5.8)

Analisis Struktur I

25

dimana :

∆ = Perpindahan luar (defleksi ) pada titik yang disebabkan oleh beban sebenarnya pada balok

atau frame.

P = Gaya yang bekerja pada arah perpindahan ∆

M = Momen dalam pada balok atau frame akibat gaya sebenarnnya dan gaya P, dalam fungsi x

E = Modulus Elastisitas material

I = Momen inersia potongan penampang .

Jika rotasi atau slope pada suatu titik yang ingin ditentukan, maka tentukan turunan parsial dari momen

dalam terhadap momen luar M’ yang bekerja pada titik tersebut.

∫

∂∂

=L

EIdx

MMM

'θ (5.9)

5.1.1. Prosedur Analisis Metode Castigliano pada Balok dan Frame

Untuk menentukan defleksi ataupun rotasi pada balok maupun rangka kaku (frame) dengan menggunakan

Teorema Castigliano adalah dengan mengikuti prosedur berikut ini.

1. Pasang Beban fiktif (Pf) pada balok

- Letakkan gaya fiktif P pada balok atau frame dititik dan arah dimana perpindahan ingin dicari.

- Jika rotasi yang ingin ditentukan, letakkan momen fiktif pada titik tersebut.

2. Hitung Momen Internal yang akibat Beban bekerja dan Beban Fiktif (Pf)

- Tentukan batas-batas wilayah untuk menghitung momen akibat Beban bekerja dan Beban Fiktif

(Pf) atau Momen fiktif (Mf) dengan menggunakan x sebagai fungsi dari Momen.

- Hitung nilai untuk setiap wilayah xn : M(xn)

- Hitung turunan Mx terhadap Beban Piktif (Pf) atau momen fiktif (Mf).

fPMx∂∂

atau fMMx

∂∂

- Setelah Mx dan turunannya fPMx∂∂

atau fMMx

∂∂

ditentukan, kembalikan nilai gaya fiktif Pf = 0

atau Mf =0

3. Gunakan persamaan teorema Castigliano

- Hitung defleksi dengan menggunakan persamaan castigliano (pers 5.8) atau rotasi dengan

menggunakan persamaan castigliano (pers 5.9)

- Jika hasil integral dari persamaan tersebut positif, ∆ atau θ memiliki arah yang sama dengan

beban fiktif atau dan momen fiktif.

Analisis Struktur I

26

5.1.2. Contoh Perhitungan Metode Castigliano pada Balok dan Frame

Contoh 5.1. Balok Kantilever dengan Beban Merata

Tentukan perpindahan (defleksi) pada titik B pada balok kantilever berikut! (Anggap nilai EI seragam

sepanjang balok)

L m

A B

q kN/m'

Solusi:


Untuk menentukan defleksi pada titik B, pasang beban fiktif (Pf) dengan pemisalan arah ke bawah.

L m

A B

Pfq kN/m'

2. Hitung Momen Internal akibat Beban bekerja dan Beban Fiktif (Pf)

- Tentukan x dari sisi kanan balok.

x

A B

Pfq kN/m'

- Hitung momen dalam M(x),

Mx = -(Pf.x + qx. (½ x))

= -Pfx – ½ qx2

- Hitung turunan Mx terhadap Pf

xPMx

f −=∂∂


ditentukan, kembalikan nilai gaya fiktif Pf = 0.

Mx = - ½ qx2

3. Hitung defleksi dengan menggunakan persamaan castigliano (pers 5.8)

( )EIdxxqx

EIdx

PMxMx

LL

fB −−=

∂∂

=∆ ∫∫0

2

0

)21(

= L

qxEI 0

3

41.2

1

= EI

qL8

3

Analisis Struktur I

27

Nilai defleksi + sehingga arahnya searah dengan arah Gaya fiktif Pf(↓)

Contoh 5.2. Balok Kantilever dengan beban Terpusat

Tentukan slope (rotasi) pada titik B pada balok kantilever berikut! (Anggap nilai EI seragam sepanjang

balok)

L/2 m

A B

P kN

C

L/2 m

Solusi:

1. Pasang Momen fiktif (Mf) pada balok

Untuk menentukan rotasi pada titik B, pasang momen fiktif (Mf) dengan pemisalan searah jarum jam.

L

A CB

P kN Mf

2. Hitung Momen Internal yang akibat Beban bekerja dan Momen Fiktif (Mf)

- Tentukan batas-batas wilayah untuk menghitung momen akibat Beban bekerja dan Momen fiktif

(Mf) dengan menggunakan x sebagai fungsi dari Momen.

L

A CB

P kN Mf

- Hitung nilai untuk setiap wilayah xn : M(xn) dan tentukan x dari sisi kiri balok.

x2

A C

Mf

B

P kN

x1 Untuk wilayah 1 (x1) : 0 ≤ x1 ≤ L/2

Mx1 = -P.x1

Untuk wilayah 2 (x2) : 0 ≤ x2 ≤ L/2

Mx2 = -P.( ½ L + x2 )+ Mf

- Hitung turunan Mx terhadap Mf

01 =∂∂

fMMx

dan 12 =∂∂

fMMx

- Setelah Mx dan turunannya fMMx

∂∂

ditentukan,kembalikan nilai momen fiktif

Analisis Struktur I

28

Mf = 0.

Mx1 = -P.x1 dan Mx2 = -P.( ½ L + x2 )

3. Hitung rotasi dengan menggunakan persamaan castigliano (pers 5.9)

EIdx

MMxMx

EIdx

MMxMx

EIdx

MMxMx f

L

f

LL

fB22

2/

02

112/

01

0

)()(

∂∂

+

∂∂

=

∂∂

= ∫∫∫θ

= ( ) ( )EIdx

xLPEIdx

PxLL

22/

02

12/

01 1))

2((0)( ∫∫ +−+−

=

2/

0

22

2

.22

L

EIPx

EIPLx

−−

= EI

PLEI

PL84

22

−− = EI

PL83 2

−

Nilai rotasi negatif sehingga arah rotasi berlawanan dengan arah M fiktif (Mf).

Contoh 5.3. Balok Tumpuan Sederhana

Tentukan perpindahan (defleksi) pada titik C pada balok tumpuan sederhana berikut! (Anggap nilai EI

seragam sepanjang balok)

A B

L/2 m

q kN/m' PkN

L/2 m

Solusi:


Untuk menentukan defleksi pada titik C, pasang beban fiktif (Pf) dengan pemisalan arah ke bawah.

A B

L/2 m

q kN/m'PkN

L/2 m

Pf

2. Hitung Momen Internal yang akibat Beban bekerja dan Beban Fiktif (Pf)

- Tentukan batas-batas wilayah untuk menghitung momen akibat Beban bekerja dan Beban Fiktif (Pf)

dengan menggunakan x sebagai fungsi dari Momen.

Analisis Struktur I

29

A B

x1

q kN/m'PkN

x2

Pf

VA = ½ P + ½ Pf + 3/8 qL VB = ½ P + ½ Pf + 1/8 qL

- Hitung nilai untuk setiap wilayah xn : M(xn) dan tentukan x dari sisi kiri maupun kanan balok


Mx1 = (½ P + ½ Pf+ 3/8 qL ).x1- ½ q.x12


Mx2 = -(- (½ P + ½ Pf + 1/8 qL).x2)

- Hitung turunan Mx terhadap Pf

211 x

PMx

f =∂∂

dan 2

22 xPMx

f =∂∂


ditentukan, kembalikan nilai gaya fiktif Pf = 0.

Mx1 = ½ Px1 + 3/8 qLx1- ½ q.x12

Mx2 = ½ Px2 + 1/8 qLx2

3. Hitung defleksi dengan menggunakan persamaan castigliano (pers 5.8)

EIdx

PMxMx

EIdx

PMxMx

EIdx

PMxMx f

L

f

LL

fC22

2/

02

112/

01

0

)()(

∂∂

+

∂∂

=

∂∂

=∆ ∫∫∫

=EIdxxqLxPx

EIdxxqxqLxPx

LL22

2/

022

112/

0

2111 2

)81

21(

2)2

18

32

1(

++

−+ ∫∫

= 2/

0

32

32

2/

0

41

31

31 48

112

116

148

312

1LL

LxEIqx

EIPx

EIqLx

EIqx

EIP

++−+

=

++−+ 43443

3841

961)256

1128

196

1( LEIqL

EIPL

EIqL

EIqL

EIP

= EI

qLEI

PL7685

48

43

+

Nilai defleksi + sehingga arahnya searah dengan arah Gaya fiktif Pf(↓)

Contoh 5.4. Rangka dengan Beban Merata

Tentukan slope (rotasi) pada titik C pada rangka berikut! (Anggap nilai EI seragam sepanjang rangka)

Analisis Struktur I

30

L m

CL m

A

q kN/m'

B

600

Solusi:

1. Pasang Momen fiktif (Mf) pada frame

Untuk menentukan rotasi pada titik C, pasang momen fiktif (Mf) dengan pemisalan searah jarum jam.

L m

CL m

A

q kN/m'

B

600

Mf

2. Hitung Momen Internal akibat Beban bekerja dan Momen Fiktif (Mf)

- Tentukan batas-batas wilayah untuk menghitung momen akibat Beban bekerja dan Momen fiktif

(Mf) dengan menggunakan x sebagai fungsi dari Momen.

L m

Cx1

A

q kN/m'

B

600

Mfx2

L m

- Hitung nilai untuk setiap wilayah xn : M(xn) dan tentukan x dari sisi kanan balok.

Untuk wilayah 1 (x1): 0 ≤ x1 ≤ L m

Mx1 = -( ½ qx12 + Mf)

Untuk wilayah 2 (x2): 0 ≤ x2 ≤ L m

Mx2 = -( qL (x2 cos60 + L/2) + Mf)

= -( qL (x2 /2 + L/2) + Mf)

- Hitung turunan Mx terhadap Mf

11 −=∂∂

fMMx

dan 12 −=∂∂

fMMx

- Setelah Mx dan turunannya fMMx

∂∂

ditentukan,kembalikan nilai momen fiktif

Analisis Struktur I

31

Mf = 0.

Mx1 = - ½ qx12 dan Mx2 = - ½ qLx2 - ½ qL2

3. Hitung rotasi dengan menggunakan persamaan castigliano (pers 5.9)

EIdx

MMxMx

EIdx

MMxMx

EIdx

MMxMx

L

f

L

f

L

fB2

0

22

1

0

11

0∫∫∫

∂∂

+

∂∂

=

∂∂

=θ

= ( ) ( )EIdx

qLqLxEIdx

qxLL

2

0

22

1

0

21 1)2

12

1(1)21( −−−+−− ∫∫

= LL

xLEIqLx

EIqx

EIq

02

222

0

31 2

14

16

1 ++

= 333

21

41

61( L

EIqL

EIqL

EIq

++ )

= EIqL

1211 3

Nilai rotasi positif sehingga arah rotasi searah dengan arah M fiktif (Mf).

Latihan 5.1.

1. Dengan menggunakan metode Castigliano, tentukan defleksi pada titik B dan rotasi pada titik A

dimana nilai EI seragam sepanjang balok!

A C

L/2 m

PkN

L/2 m

B

2. Dengan menggunakan metode Castigliano, tentukan defleksi dan rotasi pada titik C dimana nilai

EI seragam sepanjang balok!

A B

L m

2PkN

L m

C

L m

PkN

D

3. Dengan menggunakan metode Castigliano, tentukan rotasi pada titik A dimana nilai EI seragam

sepanjang balok!

AD

L m L m

C

L m

B E

L mM M

4. Dengan menggunakan metode Castigliano, tentukan defleksi vertikal dan horisontal pada titik C

dimana nilai EI seragam I seluruh struktur frame!

Analisis Struktur I

32

L m

CL m

A

q kN/m'

B

Analisis Struktur I

33

5. Dengan menggunakan metode Castigliano, tentukan defleksi pada titik A dimana nilai EI

seragam di seluruh struktur frame!

6 m

C

4 m

A B10 kNm

5.2. Teorema Castigliano untuk Rangka Batang (Truss)

Berdasarkan persamaan (5.6), berupa persamaan defleksi dengan metode Castigliano :

11

∆=∂∂

PU

Persamaan energi yang berlaku pada struktur akibat gaya aksial sesuai dengan persamaan (3.15)

Maka EA

LFU i 2.2

=

Substitusikan persamaan (3.15) tersebut ke persamaan (5.6), sehingga diperoleh:

∂∂

=∆EA

LFPi

i 2

2

ii P

FEA

LF∂∂

=∆

2.2

ii P

FEA

LF∂∂

=∆.

…………. (5.9)

5.2.1. Prosedur Analisis Metode Castigliano pada Rangka Batang (Truss)

Untuk menentukan defleksi pada rangka batang (truss) dengan menggunakan Teorema Castigliano adalah

dengan mengikuti prosedur berikut ini.

1. Tentukan struktur rangka batang apakah termasuk dalam struktur statis tertentu, dengan

menggunakan rumus: n= 2s – 3

2. Beri nama batang-batang pada struktur tersebut (A untuk batang Atas, B untuk batang bawah, T

untuk batang tegak dan D untuk batang diagonal).

3. Hitung panjang masing-masing batang (L) dan tentukan pula nilai luas penampang masing-masing

batang (A).

4. Pasang Beban fiktif (Pf) pada rangka batang tersebut.

- Letakkan gaya fiktif P pada rangka batang dititik simpul dan arah dimana perpindahan ingin

dicari.

Analisis Struktur I

34

5. Hitung Gaya Batang Total (F) akibat Beban bekerja dan Beban Fiktif (Pf) dengan menggunkan

metode cremona , ritter atau Keseimbangan Titik Kumpul (KTK).

6. Hitung turunan gaya F terhadap Beban Piktif (Pf)

fPF

∂∂

7. Setelah diturunkan, kembalikan nilai gaya fiktif Pf = 0

8. Gunakan persamaan teorema Castigliano

- Hitung defleksi dengan menggunakan persamaan castigliano (pers 5.9)

- Jika hasil defleksi dari persamaan tersebut positif, berarti ∆ memiliki arah yang sama dengan

beban fiktif .

Contoh Perhitungan Metode Castigliano pada Rangka Batang (Truss)

1. Hitunglah nilai defleksi di titik D arah verttikal pada struktur rangka batang berikut!

Penyelesaian:

1. Tentukan rangka batang berikut adalah struktur statis tertentu, lalu beri nama dan hitung panjang

batangnya (L).

n = 2s-3

5 = 2 x 4 – 3

5 = 5 (oke!)

2. Pasang Beban fiktif (Pf) pada rangka batang tersebut, letakkan gaya fiktif P pada rangka batang

dititik simpul D dan arah vertikal, lalu Hitung Gaya Batang Total (F) akibat Beban bekerja dan

Beban Fiktif (Pf), Hitung turunan gaya F terhadap Beban Piktif (Pf) fPF

∂∂

, dan kembalikan gaya

betang sebenarnya dengan mengganti Pf=0.

Analisis Struktur I

35

+==

22

f

BAPPVV 0=AH

Untuk menghitug gaya batang gunakan metode Keseimbangan Titik Kumpul:

Tinjau titik A

∑ = 0Fy

045sin1 =+ AVA

045sin)22

( 1 =++ APP f

221

)22

(1

fPP

A+

−=

22

221

fPPA −−=

Karena simetris, 12 AA =

∑ = 0Fx

045cos11 =+ AB

02212

22

21 =

−−+

fPPB

221

fPPB +=

Karena simetris, 12 BB =

Tinjau titik D

∑ = 0Fy

0=− fPT fPT =

Analisis Struktur I

36

Batang Gaya Batang total (F) fdP

dF

Gaya Batang

sebenarnya

(F)

A1 2

22

2

fPP−− 2

21

− 22P

−

A2 2

22

2

fPP−− 2

21

− 22P

−

B1

22

fPP+ 2

1

2P

B2

22

fPP+ 2

1

2P

T fP 1 0

3. Hitung defleksi pada titik D dengan rumus: EAL

PFF fD ∂∂

=∆

Batang L EA Gaya Batang

(F) fdPdF

EAL

PFF f∂∂

A1 2L EA 2

2P

− 221

− 22EAPL

A2 2L EA 2

2P

− 221

− 22EAPL

B1 L EA 2P

21

EAPL

4

B2 L EA 2P

21

EAPL

4

T L EA 0 1 0

Total :

EAPL

EAPL

22+

Sehingga nilai defleksi pada titik D: EAPL

EAPL

D 22+=∆ (arah defleksi ke bawah)

Analisis Struktur I

37

2. Hitunglah nilai defleksi di titik B arah horisontal pada struktur rangka batang berikut!

Penyelesaian:

1. Rangka batang sama dengan rangka batang di atas, sehingga L dan EA sama

2. Pasang Beban fiktif (Pf) pada rangka batang tersebut, letakkan gaya fiktif P pada rangka batang

dititik simpul B arah horisontal, lalu Hitung Gaya Batang Total (F) akibat Beban bekerja dan

Beban Fiktif (Pf), Hitung turunan gaya F terhadap Beban Piktif (Pf) fPF

∂∂

, dan kembalikan gaya

betang sebenarnya dengan mengganti Pf=0.

−=

22

f

APPV ( )

+=

22

f

BPPV ( )

fPH A −= ( )

Untuk menghitug gaya batang gunakan metode Keseimbangan Titik Kumpul:

Tinjau titik A

∑ = 0Fy

045sin1 =+ AVA

045sin)22

( 1 =+− APP f

221

)2

(1

fPP

A−

−= 22

22

fPP+−=

Analisis Struktur I

38

∑ = 0Fx

045cos11 =++− ABP f

02212

22

21 =

+−++−

ff PPBP

0221 =+−+−

ff PPBP

221

fPPB +=

Tinjau titik D

∑ = 0Fy

0=T

∑ = 0Fx

021 =+− BB

222

fPPB +=

Tinjau titik C

∑ = 0Fy

045sin2 =+ AVB

045sin)22

( 2 =++ APP f

22

222

fPPA −−=

221

)22

(2

fPP

A+

−=

Analisis Struktur I

39

Batang Gaya Batang total (F) fdP

dF

Gaya Batang

sebenarnya

(F)

A1 2

22

2

fPP+−

22

22P

−

A2 2

22

2PfP

−− 22

− 22P

−

B1

22

fPP+ 2

1

2P

B2

22

fPP+ 2

1

2P

T 0 0 0

3. Hitung defleksi pada titik B horisontal dengan rumus: EAL

PFF fB ∂∂

=∆

Batang L EA Gaya Batang

(F) fdPdF

EAL

PFF f∂∂

A1 2L EA 2

2P

− 22

2EAPL

−

A2 2L EA 2

2P

− 22

− 2EAPL

B1 L EA 2P

21

EAPL

4

B2 L EA 2P

21

EAPL

4

T L EA 0 0 0

Total :

EAPL

2

Sehingga nilai defleksi pada titik B horisontal: EAPL

B 2=∆

Dari hasil perhitungan diperoleh bahwa akibat beban vertical ke bawah, defleksi pada titik B arah

horizontal terjadi sebesar EA

PL2

Dengan arah ke kanan.

Analisis Struktur I

40

Analisis Struktur II 1

BAB I STRUKTUR RANGKA BATANG (Truss)

1.1. Pendahuluan

Ada banyak jenis tipe struktur yang digunakan pada bangunan teknik sipil. Salah

satunya adalah struktur rangka batang (Truss).

Struktur rangka batang terbentuk dari susunan elemen batang yang dihubungan dengan

jenis penghubung sendi, yang biasanya terangkai dalam bentuk segitiga dan hanya

mampu dibebani oleh beban aksial.

Elemen batang adalah elemen yang bentuknya paling sederhana karena sifat fisiknya

yang relatif pendek, prismatis, langsing dan lurus.

Disebut elemen batang karena sifatnya yang hanya mampu menahan beban aksial saja.

C

(a)

C

T

(b)

T

Gambar 1.1. Elemen batang

Pada gambar diatas (a) ditunjukkan bahwa akibat gaya aksial tekan, batang mengalami

gaya batang yang nilainya senilai gaya tersebut, yaitu :

BATANG TEKAN (Compression (C))

Sedangkan gambar (b) menunjukkan bahwa akibat gaya aksial tarik, batang mengalami

gaya batang yang nilainya senilai gaya tersebut, yaitu :

BATANG TARIK (Tension (T))

Apabila batang tersebut dirangkai dengan jumlah minimal 3 batang yang membentuk

segitiga dan dengan titik hubung berupa sendi maka akan terbentuk “

STRUKTUR RANGKA BATANG (Truss)

Gambar 1.2. Struktur rangka batang sederhana


1.2. Penggunaan Rangka Batang pada Struktur

Jenis struktur rangka batang ada banyak disekitar kita, yaitu paling banyak digunakan

pada struktur atap dan jembatan. Menurut sejarah penggunaan rangka batang ini

pertama kali digunakan oleh bangsa Romawi pada penggunaan rangka batang kayu

pada struktur jembatan dan atap. Penggunaannya kemudian dipopulerkan oleh berbagai

bangsa di dunia pada tahun 1700-an. Terutama untuk penggunaan pada struktur

jembatan, yaitu dengan menggunakan material kayu dan baja.

Akhirnya seiring dengan berjalannya waktu dan meningkatnya berbagai kebutuhan,

struktur rangka batang dengan material kayu ditinggalkan pada akhir abad ke-19, karena

orang telah menemukan material yang lebih menguntungkan dalam segi penggunaanya.

Gambar 1.3. Elemen batang sebagai elemen kolom dan elemen balok kolom

Sumber: Hibbeler, R.C.(2002)

Jembatan rangka baja lebih disukai karena lebih mungkin untuk penggunaan bentang

panjang. Begitu pula penggunaan struktur rangka batang untuk atap. Orang lebih

mungkin untuk memakainya pada struktur dengan bentang besar.

Berdasarkan kebutuhan pun akhirnya muncul banyak konfigurasi bentuk rangka batang

dengan pertimbangan kebutuhan akan efisiensi. (Gambar 1.6 dan 1.9)

Titik hubung pada rangka batang berupa sendi yang dalam kenyataannya biasanya

dibuat dengan menggunakan las, paku keling dan baut. (gambar 1.4)


Gambar 1.4. Titik hubung pada struktur rangka batang baja


1.2.1. Rangka Batang Atap

Struktur Atap yang terbuat dari rangka batang (Roof Truss) biasanya digunakan untuk

bangunan industri yang memerlukan bentangan yang besar (Gambar 1.5).

Gambar 1.5. Struktur Rangka Atap


Ada banyak tipe rangka atap yang penggunaannya dipilih dengan berdasarkan atas

panjang bentang (span), kemiringan dan jenis penutup atap. Beberapa yang umum

digunakan ditunjukkan pada gambar 1.6.


Gambar 1.6. Jenis Rangka Batang untuk Atap



Tabel 1.1. Jenis Rangka Atap dan kegunaannya

Jenis Atap Penggunaan

Scissors Bentang Pendek dan keleluasaan pada bagian atas

Howe dan Pratt Bentang Moderat (18 -30 m)

Fan dan Fink Bentang > 30 m

Cambered Fink Bentang > 30 m

Warren Atap datar (kemiringan landai)

sawtooth Digunakan pada pabrik textil yang membutuhkan

penerangan yang baik

bowstring Digunakan untuk garasi dan hangar pesawat kecil

three-hinged arch Bangunan tinggi dan bentang panjang (mis: tempat

senam) Sumber: Hibbeler, R.C.(2002)

1.2.2. Rangka Batang Jembatan

Elemen struktural utama dari tipikal rangka jembatan ditunjukkan pada gambar 1.7

berikut.

Gambar 1.7. Struktur Rangka Jembatan


Beban pada plat lantai jembatan (deck) diteruskan ke balok anak (stringers) yang

kemudian diteruskan ke balok induk (floor beam) lalu ke dua perletakan di kedua ujung


jembatan. Batang Atas (top chord) dan bawah (bottom chord) rangka jembatan pada

tiap sisinya dihubungkan oleh lateral bracing bagian atas dan bawah untuk menahan

beban lateral yang diakibatkan oleh angin dan pergerakan kendaraan pada arah

sidesway. Sebagai tambahan kestabilan ditambahkan portal dan sway bracing. Rangka

jembatan tersebut ditumpu oleh 2 perletakan sendi rol. Tumpuan rol pada salah satu

ujungnya berfungsi terhadap ekspansi suhu .

(a)

(b)

Gambar 1.8. Tumpuan Sendi (a) dan Rol (b) pada Struktur Jembatan Sumber: Hibbeler, R.C.(2002)

Ada banyak tipe rangka jembatan yang penggunaannya dipilih dengan berdasarkan atas

panjang bentang (span) . Seperti yang dijelaskan di tabel 1.2, beberapa tipe yang umum

digunakan ditunjukkan pada gambar 1.9.

Tabel 1.2. Jenis Rangka Jembatan dan kegunaannya

Jenis Atap Penggunaan

Pratt, Howe dan Warren Bentang sampai dengan 61 m

Parker Bentang > 61 m, lebih hemat dalam pengguanan bahan

Baltimore Bentang > 91 m

Subdivided-Warren Bentang > 91 m

K-truss Bentang > 91 m Sumber: Hibbeler, R.C.(2002)


Gambar 1.9. Jenis Rangka Batang untuk Jembatan



BAB II ANALISIS PADA STRUKTUR RANGKA BATANG

2.1. Prinsip Umum pada Rangka Batang

2.1.1. Pembentukan Segitiga

Rangka batang adalah susunan elemen-elemen linier yang membentuk segitiga atau

kombinasi segitiga sehingga membentuk rangka yang tidak dapat berubah bentuk

apabila diberi beban luar tanpa adanya perubahan bentuk pada satu atau lebih

batangnya. Setiap elemen dianggap tergabung pada titik hubung berupa sendi, dimana

semua beban dan reaksi terjadi pada titik hubung tersebut,

Prinsip yang utama bahwa koinfigurasi segitiga tersebut harus berada pada kondisi

stabil.

(b) Konfigurasi Stabil(a) Konfigurasi Tidak Stabil (c) Gaya Batang Gambar 2.1. Susunan Batang yang Stabil dan Tidak Stabil

Sumber: Schodek (1995)

Gambar (a) menunjukkan struktur yang tidak stabil, garis putus-putusnya

menunjukkan mekanisme runtuhnya (collapse), bila dibebani. Bentuk tersebut dapat

dengan mudah berubah bentuk atau runtuh bila dibebani tanpa adanya perubahan

panjang pada setiap batangnya.

Gambar (b) menunjukkan struktur yang stabil, tidak dapat berubah bentuk atau runtuh

seperti gambar (a). Bentuk segitiga lebih stabil, karena deformasi yang diakibatkan

beban luar bersifat minor dan diasosiasikan dengan perubahan panjang pada tiap

batangmya. Selain itu ditunjukkan juga dengan tidak adanya perubahan sudut antara dua

batang bila struktur tersebut dibebani. (Bandingkan dengan (a) yang perubahan

sudutnya besar sekali).


Gambar (c) menunjukkan gaya batang yang terjadi pada struktur stabil akibat beban

luar yang bekerja. Gaya-gaya batang yang dapat terjadi adalah tarik dan tekan (pada

gambar (c) gaya tekan semua). Tidak ada lentur pada struktur tersebut.

2.1.2. Konfigurasi

Karena susunan segitiga dari batang-batang adalah bentuk yang stabil, maka sembarang

susunan segitiga juga akan membentuk struktur yang stabil dan kaku seperti pada

gambar 2.2.

TT C

T TTT

C C CC TT

(a) Gaya tarik (T) dan Gaya Tekan (C) pada batang akibat beban yang bekerja pada simpul

(a) Konfigurasi Stabil

C CCC

Gambar 2.2. Struktur Rangka Batang dengan konfigurasi segitiga

Ide ini merupakan prinsip dasar penggunaan rangka batang pada gedung karena bentuk

yang kaku yang lebih besar untuk sembarang geometri dapat dibuat dengan

memperbesar segitiga tersebut.

Pengaruh beban luar pada struktur adalah berupa gaya tarik atau tekan murni pada

setiap batangnya. Pola tarik dan tekan pada masing-masing batang dapat berubah

tergantung bagaimana beban luar bekerja. Pada gambar 2.2.b, dimana rangka batang

hanya menerima beban vertikal saja , maka pada seluruh batang atas mengalami gaya

tekan dan seluruh batang bawah mengalami gaya tarik.

Beban luar hanya bekerja pada titik hubung batang berupa beban terpusat. Bila beban

bekerja pada batang, akan timbul tegangan lentur sehingga dapat mengakibatkan desain

batang menjadi lebih rumit dan efisiensi keseluruhan batang menjadi berkurang.


2.1.3. Gaya Batang

Pada rangka batang yang sederhana, gaya-gaya dalam pada setiap batang (selanjutnya

disebut GAYA BATANG) dapat ditentukan dengan teknik yang berguna dengan

gambaran bagaimana rangka batang tersebut memikul beban.

Salah satu caranya adalah dengan:

Menggambarkan bentuk deformasi yang mungkin terjadi pada struktur yang akan

terlihat apabila batang yang hendak diketahui sifat gayanya tidak ada. Dengan demikian

sifat gaya berupa tarik atau tekan dari batang tersebut dapat diketahui dengan analisis

mengenai pencegahan deformasi tersebut. (Perhatikan gambar 2.3)

C

C

C

E

AB

C

TT C

0

C

0

CC

T TC

F

B

D

F

B

D

F D

BB

C

E

AB

0

CC 0

T

0

T

00

A

E

A

E

F D

BB

C C

Rangka Batang A Rangka Batang B

(a)

(b)

(c)

(d)

Gambar 2.3. Metode Pendekatan untuk Menentukan Gaya Batang

pada Rangka Batang sederhana


Gambar (a) : Susunan rangka batang dasar (Perhatikan perbedaan letak batang

diagonal rangka batang A dan B.

Gambar (b) : Sifat gaya (tarik atau tekan) batang diagonal dapat ditentukan dengan

mula-mula membayangkan batang tersebut tidak ada dan melihat

kecenderungan deformasi rangka batang tersebut. Jadi, diagonal yang

terletak diantara B dan F pada rangka batang A mengalami tarik karena

berfungsi mencegah menjauhnya titik B dan F

Gambar (c) : Distribusi gaya batang pada rangka batang tersebut

C = gaya tekan (Compression)

T = gaya tarik (Tension)

Gambar (d) : Analogi “kabel” atau ”pelengkung” dapat digunakan untuk menentukan

sifat tarik atau tekan gaya batang. Pada rangka batang A, batang FBD

dibayangkan sebagai “kabel”, dan tentu saja mengalami tarik (T). Batang-

batang lainnya berfungsi mempertahankan keseimbangan konfigurasi

“kabel” dasar tersebut.

Tetapi untuk rangka batang yang lebih rumit tetap harus memerlukan analisis yang

bersifat kuantitatif yang akan dijelaskan pada bagian ANALISIS RANGKA BATANG

berikut ini..

2.2. Analisis Rangka Batang

2.2.1. Stabilitas

Syarat pertama yang harus dipenuhi pada analisis rangka batang adalah :

Apakah rangka batang tersebut memiliki konfigurasi yang stabil atau tidak?

Hal ini penting karena keruntuhan total dapat terjadi apabila struktur yang tidak stabil

dibebani.

CA

F

E

B

D

(a)

CA

F

E

B

D

(b)

Gambar 2.4. Konfigurasi Batang Stabil dan Tidak Stabil


Secara umum setiap rangka batang yang merupakan susunan bentuk dasar segitiga

merupakan struktur yang stabil (Gambar 2.4).

BA

C

Gambar 2.5. Rangka Batang Stabil dengan Pola Batang Bukan Segitiga

Tetapi perlu diperhatikan ada juga rangka batang dengan pola batang yang tidak segitiga

dihubungkan tetapi tetap merupakan struktur yang stabil (Gambar 2.5)

Perhatikan gambar 2.5! Kelompok segitiga diantara A dan C membentuk pola kaku,

begitu juga diantara B dan C sehingga posisi relatif C ke titik A dan B dapat

dipertahankan, yang berarti rangka batang tersebut stabil. Kumpulan segitiga diantara A

dan C dapat dipandang sebagai “batang”, begitu pula diantara B dan C. EF

B C DA

Gambar 2.6 Rangka Batang dengan Jumlah Batang Melebihi yang Diperlukan untuk

Kestabilan

Ada juga jenis rangka batang yang menggunakan batang melebihi minimum yang

diperlukan untuk kesetabilan. Jenis rangka ini memiliki kelebihan batang

(REDUNDANT) (Gambar 2.6). Salah satu batang diagonalnya dianggap sebagai

redundant. Apabila salah satu dibuang maka struktur tetap akan stabil. Jenis ini

termasuk dalam kategori STRUKTUR STATIS TAK TENTU.

Untuk memudahkan kita dalam menentukan apakah strutur rangka batang tersebut stabil

atau tidak kita bisa menggunakan rumusan :

n = 2s – 3 (2.1)


dimana :

n : jumlah batang

s : jumlah simpul

Dengan rumus diatas kita bisa menentukan jenis sifat struktur, yaitu:

Bila n < 2s – 3 : Struktur Tidak Stabil

Bila n = 2s – 3 : Struktur Stabil (Struktur Statis Tertentu)

Bila n > 2s – 3 : Struktur Statis Tak Tentu (Memiliki Redundan)

Dalam hal pembagian struktur rangka batang berdasarkan sifat statisnya, dapat

dibedakan menjadi

1. Struktur statis tertentu

Ciri : - n = 2s – 3

- R = 3 ( R = Reaksi Perletakan)

2. Struktur statis tak tentu

a. Struktur statis tak tentu dalam

Ciri : - n > 2s – 3

- R = 3

b. Struktur statis tak tentu luar

Ciri : - n = 2s – 3

- R > 3

c. Struktur statis tak tentu luar dan dalam

Ciri : - n > 2s – 3

- R > 3

Latihan 2.1:

Tentukan jenis struktur rangka batang pada gambar 1.6 dan 1.9, apakah statis tertentu

atau statis tak tentu dalam, luar atau luar dan dalam ?

2.2.2. Perhitungan Gaya Batang

Penentuan gaya batang dapat dilakukan seperti pada bagian (2.1.3), tetapi pada struktur

yang lebih rumit hal tersebut sulit dilakukan. Sehingga kita membutuhkan metode

perhitungan analisis struktur.


Prinsip yang mendasari semua jenis perhitungan gaya batang dari suatu rangka batang

adalah :

Keseimbangan terjadi pada Setiap Bagian dari struktur

atau Secara Keseluruhan dari Struktur

Apabila struktur rangka batang stabil dan termasuk dalam kategori statis tertentu, maka

penentuan gaya batang dapat dilakukan dengan berbagai metode perhitungan dengan

menggunakan persamaan dasar keseimbangan, yaitu :

ΣFx = 0

ΣFy = 0

ΣMi = 0 (2.2)

Adapun metode-metode perhitungan yang dapat digunakan antara lain, Metode

Cremona, metode Ritter, Metode Keseimbangan Titik Kumpul.


2.3. Metode Cremona

Metode cremona adalah metode perhitungan gaya batang pada struktur rangka batang

dengan cara grafis dengan yang berdasarkan keseimbangan gaya pada setiap titik

kumpul.

P

VA

VC

B2B1

TA2A1

P ton

L m

L m L m

A

D

C

B

B2B1

TA2A1

P ton

L m

L m L m

A

D

C

B

VA = P/2 VC= P/2

HA= 0

B2,B1

A2

A1

(a) Rangka Batang Statis Tertentu

(b) Gaya Batang (b) Cremona

0

Gambar 2.7. Perhitungan Gaya Batang dengan Cremona

Adapun langkah-langkah perhitungannya adalah:

1. Cari reaksi perletakan pada gambar (a)

2. Tentukan skala (Cremona : Gaya Batang, misal 1 cm = 1P)

3. Tinjau struktur secara keseluruhan (gambar b), gambarkan seluruh garis gaya (Gaya

Luar dan Reaksi Perletakan) sesuai dengan besar dan arahnya dengan mengikuti

skala yang telah ditentukan. Mulai dari satu titik simpul untuk selanjutnya ke titik

simpul yang lain searah dengan jarum jam sampai membentuk loop tertutup, dan

buat tanda arahnya (tanda panah) (gambar c).

4. Setelah tergambar seluruh garis gaya, tinjau setiap titik simpul untuk

menggambarkan garis gaya batang pada titik simpul tersebut dengan

memperhatikan:


a. Titik simpul yang ditinjau memiliki maksimal 2 gaya batang atau reaksi yang

belum diketahui.

b. Gambarkan garis gaya batang/reaksi tersebut pada gambar cremona sesuai

dengan tempatnya sehingga membentuk loop tertutup, tanpa membuat tanda

arahnya, tapi cukup diberi nama saja (gambar c).

c. Arah garis gaya pada simpul yang ditinjau tadi pindahkan ke gambar

strukturnya pada posisis dekat dengan tittik simpul yang ditinjau (gambar b).

d. Arah panah pada ujung batang dekat dengan titik simpul yang ditinjau bisa

berupa arah menuju titik simpul atau meninggalkan titik simpul. Bila pada ujung

tersebut menuju titik simpul maka pada ujung lainnya juga dibuat arah panah

menuju titik simpul, demikian sebaliknya. (Sehingga pada satu batang terdapat 2

tanda panah yang berlawanan) (gambar b)

e. Lanjutkan ke titik simpul yang lain dengan cara yang sama untuk menentukan

gaya pada batang yang lain yang belum diketahui.

f. Setelah selesai semua gaya batang diketahui, besarnya gaya batang masing-

masing dapat ditentukan dengan menghitung besarnya gais gaya yang tergambar

pada cremona dan mengalikannya dengan skala yang sudah ditentukan.

g. Jenis gaya batang dapat ditentukan dari arah gaya pada rangka batang, yaitu :

BATANG TEKAN : apabila tanda panah menunjukkan arahnya menuju

titik simpul

BATANG TARIK : apabila tanda panah menunjukkan arahnya

meninggalkan titik simpul

Latihan 2.2 :

Tentukan Gaya Batang berikut dengan menggunakan metode Cremona

ED

F

TA3P tonP ton

D2D1

A3

A4

B2B1

T

A2

A1

P ton

L m

L m L m

A

D

C

BP ton

A4B2B1

D1

A2

A1

P ton

L m

L m L m

A

B

C

D2


2.4. Metode Ritter

Metode ritter adalah metode perhitungan gaya batang pada struktur rangka batang

dengan cara analitis yang berdasarkan persamaan keseimbangan pada setiap titik

kumpul dengan meninjau salah satu bagian potongan struktur.

B2B1

TA2A1

P ton

L m

L m L m

A

D

C

B

B2

B1

TA2

A1

P ton

L m

L m L m

A

D

C

B

VA = P/2 VC= P/2

HA= 0

I

I

( a )

( b )

B2

B1

TA2A1

P ton

L m

L m L m

A

D

C

B

VA = P/2 VC= P/2

HA= 0

II

II

( c ) Gambar 2.8. Perhitungan Gaya Batang dengan Ritter



1. Cari reaksi perletakan (b)

2. Potong beberapa batang dengan syarat hanya ada maksimal 2 gaya batang atau

reaksi yang belum diketahui.

3. Buat batang sebagai batang tarik dengan memberi panah menuju garis potongan.

4. Perhitungan dilakukan dengan meninjau salah satu bagian potongan, tinjau kiri

atapupun kanan potongan.

5. Bila meninjau kiri

a. Semua gaya (reaksi dan gaya luar) dan gaya batang yang ada disebelah kanan

diabaikan.

b. Tinjau salah satu titik simpul (misal titik i) untuk menghitung persamaan

ΣMi = 0 (2.3)

Titik i tersebut boleh berada di kiri atau kanan potongan, dengan pertimbangan

memudahkan perhitungan nantinya.

c. Semua gaya dan reaksi yang masuk dalam persamaan tersebut hanyalah yang

ada di sebelah kiri potongan.

d. Bila diperoleh gaya batang bernilai positif maka batang tersebut disebut

BATANG TARIK.

e. Bila diperoleh gaya batang bernilai negatif maka batang tersebut disebut

BATANG TEKAN.

6. Bila meninjau kanan

a. Semua gaya(reaksi dan gaya luar) dan gaya batang yang ada disebelah kiri

diabaikan.

b. Tinjau salah satu titik simpul (misal titik i) untuk menghitung persamaan

ΣMi = 0

Titik i tersebut boleh berada di kiri atau kanan potongan, dengan pertimbangan

memudahkan perhitungan nantinya.

c. Semua gaya dan reaksi yang masuk dalam persamaan tersebut hanyalah yang

ada di sebeleh kanan potongan.

d. Bila diperoleh gaya batang bernilai positif maka batang tersebut disebut

BATANG TARIK.

e. Bila diperoleh gaya batang bernilai negatif maka batang tersebut disebut

BATANG TEKAN.


Latihan 2.3 :

Hitung Gaya Batang pada Rangka Batang di latihan 2.2 dengan menggunakan metode

Ritter

2.5. Metode Keseimbangan Titik Kumpul

Metode Keseimbangan Titik adalah metode perhitungan gaya batang pada struktur

rangka batang dengan cara analitis yang berdasarkan persamaan keseimbangan pada

setiap titik kumpul.

A1 sin α

A1 cos α

α

B2B1

TA2A1

P ton

L m

L m L m

A

D

C

B

B2

B1

TA2

A1

P ton

L m

L m L m

A

D

C

B

VA = P/2 VC= P/2

HA= 0

( a )

( b )

B2B1

TA2A1

P ton

L m

L m L m

A

D

C

B

VA = P/2 VC= P/2

HA= 0

II

( d )

A1

A

VA = P/2

B2B1

T

D

( c )

( e )

B1

Gambar 2.9. Perhitungan Gaya Batang dengan Keseimbangan Titik



1. Cari reaksi perletakan

2. Tinjau salah satu titik simpul dengan syarat hanya ada maksimal 2 gaya batang atau

reaksi yang belum diketahui pada titik simpul tersebut.

3. Buat batang sebagai batang tarik dengan memberi panah meninggalkan titik simpul

yang ditinjau.

4. Apabila gaya, reaksi ataupun gaya batang tidak berada pada arah koordinat x dan y

(atau koordinat lain yang saling tegak lurus), maka uraikan gaya, reaksi dan gaya

batang tersebut ke arah koordinat yang kita tentukan tadi.

5. Untuk mencari gaya yang ingin diketahui, gunakan persamaan keseimbangan

dengan arah koordinat yang kita tentukan tadi, misalnya menggunakan koordinat X-

Y maka persamaannya :

Σ Fx = 0

Σ Fy = 0 (2.4)

6. Bila diperoleh gaya batang bernilai positif maka batang tersebut disebut

BATANG TARIK.

7. Bila diperoleh gaya batang bernilai negatif maka batang tersebut disebut

BATANG TEKAN

Latihan 2.4 :

Hitung Gaya Batang pada Rangka Batang di latihan 2.2 dengan menggunakan metode

Keseimbangan Titik !


BAB III DEFLEKSI

3.1. Diagram Defleksi dan Kurva Elastik

Analisis struktur adalah proses perhitungan untuk menentukan respon dari suatu

struktur yang berupa reaksi tumpuan, gaya dalam dan perpindahan (displacement)

akibat pengaruh luar (aksi).

Perpindahan pada struktur tersebut dapat berupa :

- Defleksi / Translasi : Jarak pergerakan titik pada struktur

- Rotasi : Sudut putar garis singgung pada kurva elastis (atau garis

normalnya) di satu titik.

Defleksi struktur dapat terjadi dikarenakan oleh beberapa sebab berupa pengaruh luar

(aksi) diantaranya adalah :

- Beban luar

- Pengaruh perubahan suhu

- Kesalahan pabrikasi

- Akibat penurunan (settlement)

Dalam suatu perencanaan, nilai defleksi harus dibatasi untuk menghindari retak pada

jenis material yang bersifat getas seperti beton atau plester. Lebih jauh, struktur tidak

boleh mengalami getaran atau mengalami defleksi secara berlebihan. Yang jauh lebih

penting, nilai defleksi pada suatu titik pada struktur harus ditentukan dalam upaya

menganalisis struktur STATIS TAK TENTU.

Pada struktur-struktur berikut yang akan dianalisis dengan asumsi bahwa material

tersebut memiliki RESPON LINIER ELASTIK terhadap beban yang diterimanya.

Artinya, pada kondisi tersebut, suatu struktur yang menerima beban dan berdefleksi

akan kembali pada kondisi awalnya (tidak berdefleksi) jika tidak dibebani lagi.

Pada dasarnya defleksi yang terjadi pada strukur disebabkan oleh GAYA DALAM

berupa gaya normal, gaya geser ataupun momen lentur.


Pada balok dan rangka kaku defleksi terbesar seringkali disebabkan oleh momen lentur

dalam (internal bending) sedangkan gaya aksial dalam menyebabkan defleksi pada

rangka batang (truss).

3.2. Prinsip Kerja Maya

Prinsip Kerja Maya dikembangkan oleh John Bernoulli pada tahun 1717 dan terkadang

disebut juga sebagai Metode Beban Satuan.. Metode ini memberikan arti yang umum

dalam menentukan perpindahan (displacement) dan kemiringan (slope) pada struktur,

baik itu balok, frame maupun rangka batang.

Prinsip Kerja dan Energi pada suatu bahan yang bersifat deformable :

Perhatikan gambar berikut :


F

ANA

P1 P2 P3

NM

dx

dLF

∆1

∆2∆C∆3

B

ANA

P1 P2 P3

B

C

u

A

1

NM

dx

dlu

δ1

δ2δCδ3

B

321

A

P1 P2 P3

NM

dxδ1+∆1 δ2+∆2

δc+∆C δ3+∆3 B

1

NA

NA

(a)

(b)

(c)

Gambar 3.1 Kerja dan Energi pada Bahan Deformable


• Balok AB diberi beban P1, P2 dan P3 pada titik 1,2 dan 3. Pada titik C akan dicari

defleksi dengan menggunakan metode beban satuan.


• beban pada balok ( P1, P2 dan P3 ) menyebabkan gaya dalam pada balok,

misal : Pada salah satu serat pada balok bagian atas garis netral (MN) mengalami

gaya tekan F dengan luas area potongan sebesar dA.

• Pada serat MN tersebut akibat gaya F, memendek sebesar dL.


• Pada balok secara keseluruhan akibat Beban (P1,P2 dan P3) menyebabkan defleksi

disepanjang balok, misal:

Δ1 pada titik 1

Δ2 pada titik 2

Δ3 pada titik 3


Total energi/kerja luar pada balok

½ P1 Δ1 + ½ P2 Δ2 + ½ P3 Δ3 (3.1)

Total energi/kerja dalam yang tersimpan :

½ Σ (F.dL) (3.2)

• Berdasarkan hukum kekekalan Energi :

½ P1 Δ1 + ½ P2 Δ2 + ½ P3 Δ3 = ½ Σ (F.dL) (3.3)

Perhatikan gambar (c) :

• Pada balok yang sama dipasang beban 1 satuan pada titik C.

• Akibat gaya 1 satuan tersebut pada serat yang sama (MN) mengalami gaya tekan u.

• Pada serat MN tersebut akibat beban 1 satuan, memendek sebesar dl.

• Pada balok secara keseluruhan akibat beban 1 satuan menyebabkan defleksi di

sepanjang balok,yaitu :

δc pada titik C

δ1 pada titik 1

δ2 pada titik 2

δ3 pada titik 3


Total energi/kerja luar pada balok

½ (1) (δC) (3.4)

Total energi/kerja dalam yang tersimpan :

½ Σ (u.dl) (3.5)

• Berdasarkan Hukum Kekekalan Energi : Energi dalam yang terjadi sama dengan

Energi luar yang bekerja, sehingga :

½ δ1 = ½ Σ (u.dl) (3.6)


Perhatikan gambar (d) :

• Bila beban P1, P2 dan P3 ditambahkan pada balok di gambar b, dimana beban 1

satuan sudah bekerja terlebih dahulu , maka akan terjadi defleksi pada balok sebesar:

δC + ΔC pada titik C




• Dengan adanya tambahan beban P1, P2 dan P3 , maka ada tambahan energi pada

energi/kerja luar dan dalam pada balok, yaitu

Total tambahan energi/kerja luar pada balok

½ P1 Δ1 + ½ P2 Δ2 + ½ P3 Δ3 + 1. ΔC (3.7)

Total tambahan energi/kerja dalam yang tersimpan :

½ Σ (F.dL) + Σ (u dL) (3.8)

• Berdasarkan hukum kekekalan Energi dan dari persamaan (3.4) + (3.7) dan

persamaan (3.5) + (3.8) :

½ (1) (δC) + ½ P1 Δ1 + ½ P2 Δ2 + ½ P3 Δ3 + (1) . ΔC = ½ Σ (u.dl) + ½ Σ

(F.dL) + Σ (u dL) (3.9)

• Berdasarkan persamaan (3.3) dan (3.6) tentang Hukum kekekalan energi, maka :

(1) . ΔC = Σ (u dL) (3.10)

Persamaan (3.10) adalah rumus dasar dalam menentukan defleksi pada suatu struktur

dengan menggunakan metode kerja maya atau dikenal dengam

metode beban satuan.

Δi = Σ ui (ΔL) (3.11)

Dimana :

Δi : Defleksi pada titik i

ui : Gaya dalam (aksial) pada bagian struktur (member/elemen) akibat berat satuan

pada titik i

ΔL : Perubahan panjang pada elemen.


ΔL sebagai perubahan panjang pada elemen dapat diakibatkan oleh bermacam-macam

sebab, diantaranya :

- Beban luar

- Perubahan suhu

- Kesalahan pabrikasi.

3.2.1. Pengaruh Beban Luar

Perhatikan gambar (3.2) yang menunjukkan rangka batang yang akan dicari nilai

defleksinya pada titik i. Persamaan (3.11) dapat digunakan pada rangka batang tersebut

u u

uu

∆L ∆L

∆L∆L

∆D

∆L

P ton

A D C

B

1

u

A D C

B

(a)

(b) Gambar 3.2 Defleksi Rangka Batang Akibat Beban Luar


• Pada titik D akan ditentukan nilai defleksinya. Akibat beban luar semua batang

(member) akan mengalami gaya dalam (aksial) sehingga semua batang mengalami

perubahan panjang ΔL.

Berdasarkan hukum HOOKE, perubahan panjang ΔL akibat gaya aksial (gaya dalam

aksial) dapat dirumuskan menjadi :

AELFL

.

.=∆ (3.12)


dimana :

ΔL : Perubahan panjang pada batang

F : Gaya dalam aksial (GAYA BATANG) akibat beban luar yang bekerja (ton, kg,

N, kN)


E : Modulus Elastisitas (kg/mm2)

A : Luas penampang batang (m2, cm2 ,mm2 )

• Sehingga akibat beban luar yang bekerja maka pada semua batang akan timbul gaya

dalam berupa gaya aksial (GAYA BATANG), disebut F.

• GAYA BATANG pada semua batang (F) daoat dihitung dengan metode cremona,



• Untuk mencari defleksi pada titik i, pasang beban satuan pada titik i tersebut dengan

arah sembarang (vertikal atau horisontal).

• Akibat beban satuan pada titik I maka pada semua batang akan timbul gaya dalam

berupa gaya aksial (GAYA BATANG), disebut u.

• GAYA BATANG pada semua batang (u) dapat dihitung dengan metode cremona,


Sehinga untuk mencari DEFLEKSI pada Rangka Batang akibat BEBAN LUAR

dapat dicari dengan rumus :

∑=∆AE

LuF ii .

.. (3.13)

Prosedur Analisis :


dengan menggunakan rumus pada persamaan (2.1) : n= 2s – 3



3. Hitung panjang masing-masing batang (L).

4. Akibat beban luar yang bekerja, cari reaksi (R) pada tumpuan/perletakan

5. Hitung nilai seluruh gaya batang (F) dengan menggunakan metode analisis gaya



6. Buang seluruh beban luar yang, kemudian pasang beban 1 satuan pada tempat dan

arah sama dengan nilai defleksi yang ingin ditentukan. Misal (seperti pada gambar

3.2) :

Untuk mencari ΔCV, maka pasang beban satuan pada titik hubung D arah vertikal

(bisa ke atas maupun ke bawah).



8. Gunakan persamaan (3.13) untuk menghitung defleksi pada tiik yang diinginkan

(misal titik D). Untuk mempermudah perhitungan gunakan tabel berikut :

Batang L

(satuan)

E.A

(satuan)

F

(satuan)

ui

(satuan) AELuF i

...

(satuan)

A1 Panjang

batang

Hasil kali E

dan A

Gaya Batang

akibat beban

luar

Gaya batang

akibat beban

satuan

Hasil

perhitungan

AELuF i

...

B1 … … … … …

dst… … … … … …

Jumlah dari AE

LuF i

...

∑=∆AE

LuF ii .

..

Latihan 3.1.

Hitung defleksi pada titik-titik yang ada pada rangka batang berikut !

ED

F

TA3P tonP ton

D2D1

A3

A4

B2B1

T

A2

A1

P ton

L m

L m L m

A

D

C

BP ton

A4B2B1

D1

A2

A1

P ton

L m

L m L m

A

B

C

D2

3.2.2. Pengaruh Perubahan Suhu

Pada beberapa kasus, batang-batang pada struktur rangka batang akan mengalami

perubahan panjang akibat pengaruh perubahan suhu. Perubahan panjang ini dapat

didefinisikan dengan rumus :


LTL ..∆=∆ α (3.14)

dimana :

ΔL : Perubahan panjang pada batang (m, cm, mm)

α : koefisien pemuaian panas pada batang

ΔT : Perubahan suhu


Sehinga untuk mencari DEFLEKSI pada Rangka Batang akibat PERUBAHAN

SUHU dapat disubstitusi ke persamaan (3.11) menjadi :

LTuii ∑ ∆=∆ ....α (3.15)

Prosedur Analisis :







ditentukan.



6. Gunakan persamaan (3.15) untuk menghitung defleksi pada tiik yang diinginkan.


Batang L

(satuan) α

(satuan)

ΔT

(satuan)

ui

(satuan) LTui .... ∆α

(satuan)

A1 Panjang

batang

Koef.

Pemuaian

panas

Perubahan

suhu

Gaya batang

akibat beban

satuan

Hasil perhitungan

LTui .... ∆α

B1 … … … … …

dst… … … … … …

Jumlah dari LTui .... ∆α LTuii ∑ ∆=∆ ....α


Latihan 3.2.

Pada rangka batang di latihan 3.1, anggap tidak ada beban luar, akibat perbedaan suhu

ΔT dengan koefisien pemuaian suhu α yang mempengaruhi batang bawah, berapa

defleksi yang terjadi pada titik-titik hubung pada rangka batang tersebut!

3.2.3. Pengaruh Kesalahan Pabrikasi

Selain akibat perubahan suhu, pada beberapa kasus walaupun tidak sering, kesalahan

pabrikasi atas material yang digunakan untuk rangka batang dapat terjadi. Misalnya saja

batang dapat saja menjadi lebih panjang atau lebih pendek dari yang seharusnya

digunakan dalam membuat rangka batang yang sedikit melengkung. Pada kasus

jembatan yang dibangun dengan bentuk rangka batang yang batang bawahnya dibuat

melengkung, sehingga batang bawahnya dibuat cekung keatas. Ketidaktepatan dimensi

panjang batang (lebih pendek atau lebih panjang) (L) dapat menyebabkan defleksi pada

rangka batang.yang didefinisikan dengan rumus (3.11) :

Δi = Σ ui (ΔL) (3.16)

Dimana :

Δi : Defleksi pada titik i (m,cm,mm)

ui : Gaya dalam (aksial) pada bagian struktur (member) akibat berat satuan pada titik

ΔL : Perbedaan panjang pada batang dari ukuran yang disyaratkan.akibat kesalahan

pabrikasi (m,cm,mm)

Prosedur Analisis :







ditentukan.



6. Gunakan persamaan (3.16) untuk menghitung defleksi pada titik yang diinginkan.



Batang ΔL

(satuan)

ui

(satuan) Lui ∆.

(satuan)

A1 Perubahan

panjang krn

kesalahan

pabrikasi

Gaya batang

akibat beban

satuan

Hasil perhitungan

Lui ∆.

B1 … … …

dst… … … …

∑ ∆=∆ Luii .

Latihan 3.3.

Pada rangka batang di latihan 3.1, anggap tidak ada beban luar, akibat kesalahan

pabrikasi batang mengalami perubahan panjang sebesar ΔL pada batang diagonal,

berapa defleksi yang terjadi pada titik-titik hubung pada rangka batang tersebut!

[www.indowebster.com] anstruk 1

Documents