SMARTSKY MATEMATIKA

A. RELASI DAN FUNGSI

Pengertian relasi : hubungan 2 himpunan dengan aturan yang jelas/tertentu

Cara membuat relasi : melalui diagram panah dan diagram kartesius

Contoh : Judul Relasi = “Bulan Lahir dari”

A = {Januari, Februari, Maret, April}

B = {Akmal, Najib, Satya, Sekar, Tyas, Zaki}

Dari himpunan diatas kita dapat membuat himpunan pasangan berurutan

C = {(Februari, Najib),(Februari, Zaki),(Maret, Sekar),(Maret, Satya),(April, Akmal),

(April, Tyas)}

Contoh-Contoh Relasi

Contoh relasi di atas merupakan contoh relasi dari A ke B, semua contoh relasi memiliki

anggota setiap himpunan yang sama, yaitu A = {2,3,4} dan B = {3,4,5,6,7,8}. Yang

membedakan antara keempat relasi tersebut adalah judul relasinya

CARA MENENTUKAN BANYAKNYA HIMPUNAN YANG MUNGKIN

Rumus :

Menghitung banyaknya himpunan yang mungkin dari B ke A = n(A)n (B)

Menghitung banyaknya himpunan yang mungkin dari A ke B = n(B)n (A )

Contoh 1:

A = {1,2,3,4,5} n(A) = 5

B = {1,4,6} n(B) = 3

Banyaknya himpunan dari A ke B = n(B)n (A ) = 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 himpunan

Banyaknya himpunan dari B ke A = n(A)n (B) = 53 = 5 x 5 x 5 = 125 himpunan

Contoh 2 :

A = {a} n(A) = 1

B = {s,d,e,r,f} n(B) = 5

Banyaknya himpunan dari A ke B = n(B)n (A ) = 51 = 5 himpunan

Banyaknya himpunan dari B ke A = n(A)n (B) = 15 = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = 1 himpunan

Contoh 3 :

A = {11,13,15,17} n(A) = 4

B = {a,b,c} n(B) = 3

Banyaknya himpunan dari A ke B = n(B)n (A ) = 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81 himpunan

Banyaknya himpunan dari B ke A = n(A)n (B) = 43 = 4 x 4 x 4 = 64 himpunan

PENGERTIAN FUNGSI/PEMETAAN

Pengertian fungsi/pemetaan : suatu relasi yang memasangkan domain (daerah asal)

dengan tepat SATU pasangan dari kodomain (daerah kawan). Dapat diartikan juga

bahwa domain tidak boleh mendapatkan lebih dari satu pasangan yang berada di

kodomain.

Diagram panah kiri atas :

merupakan fungsi karena setiap anggota himpunan A mendapatkan 1 pasangan dengan

anggota himpunan B. Diagram panah ini juga merupakan korespondensi satu satu

Diagram panah kanan atas :

Merupakan fungsi karena setiap anggota himpunan A mendapatkan 1 pasangan anggota

himpunan (nggak papa kalo pasangan A dan Z sama sama X)

Diagram panah kiri bawah

Bukan merupakan fungsi karena ‘a’ dari domain (daerah asal) mendapatkan lebih dari 1

pasangan di kodomain dan ‘c’ dari domain tidak mendapatkan pasangan

Diagram panah kanan bawah :

Bukan merupakan fungsi karena ‘b’ dari domain mendapatkan lebih dari 1 pasangan di

kodomain dan ‘z’ dari domain tidak mendapatkan pasangan (seharusnya dapat)

KORESPONDENSI SATU SATU

Merupakan sebuah fungsi/pemetaan dimana setiap domain mendapatkan masing-

masing 1 pasangan yan berbeda dari kodomain

MENYATAKAN FUNGSI dan MENCARI NILAI FUNGSI

f : x -> 3x + 7

cara membacanya : fungsi dari x memetakan x ke 3x + 7

contoh soal 1 :

f : x -> 4x – 5, nilai fungsi dari x = 5 adalah…

f(x) = 4x – 5

f(5) = (4 x 5) -5 = 20 – 5 = 15

contoh soal 2 :

f : x -> 4x + 5, bayangan dari 4 adalah…

f(x) = 4x + 5

f(4) = (4 x 4) + 5 = 16 + 5 = 21

contoh soal 3 :

f : x -> 4x – 5, peta dari -3 adalah…

f(x) = 4x – 5

f(-3) = (-3 x 4) -5 = (-12) – 5 = -17

contoh soal 4 :

f : 2x + 3 -> 4x – 5, bayangan dari -5 adalah…

2x + 3 = -5 f(x) = 4x – 5

2x = -5-3 = -8 f(-5) = (-4 x 4) -5 = (-16) – 5 = -21

x = -4

DARI NILAI FUNGSI DIATAS, KITA DAPAT MEMBUAT GRAFIK LINEAR (GARIS LURUS)

DAN GRAFIK FUNGSI KUADRAT (GRAFIK YANG BENTUKNYA KAYAK HURUF ‘U’)

Contoh soal 1 :

Buatlah daerah hasil dari f : x -> x – 9 dengan daerah asal {bilangan cacah kurang dari 4}

A = {0,1,2,3} titik koordinat

f(0) = 0-9 = -9 (0,-9) -> titik potong sumbu y

f(1) = 1-9 = -8 (1,-8)

f(2) = 2-9 = -7 (2,-7)

f(3) = 3-9 = -6 (3,-6)

titik (0,-9) disebut sebagai titik potong sumbu y karena titik tersebut menyinggung

sumbu y pada bidang koordinat kartesius

Contoh soal 2 :

Buatlah grafik dari f : x -> 2x – 3 dengan daerah asal {bilangan cacah kurang dari 4}

Daerah asal = {0,1,2,3}

f : x -> 2x – 3

Domain f(x) = 2x – 3 Range Koordinat

0 f(0) = (2 x 0) – 3 = -3 -3 (0,-3)

1 f(1) = (2 x 1) – 3 = 2 -3 = -1 -1 (1,-1)

2 f(2) = (2 x 2) – 3 = 4 -3 = 1 1 (2,1)

3 f(3) = (2 x 3) – 3 = 6 -3 = 3 3 (3,3)

Daerah hasil = {-3,-1,1,3}

Titik potong :

Sumbu X = tidak ada

Sumbu Y = (0,-3)

Contoh soal 3 :

Buatlah grafik dari f : x -> 2x + 6 dengan daerah asal {x|-3≤ x ≤2, x∈ bilangan riil}

Daerah asal = {-3,-2,-1,0,1,2}

f : x -> 2x + 6

Domain f(x) = 2x + 6 Range Koordinat

-3 f(-3) = (2 x -3) + 6 = -6 + 6 = 0 0 (-3,0)

-2 f(-2) = (2 x -2) + 6 = -4 + 6 = 2 2 (-2,2)

-1 f(-1) = (2 x -1) + 6 = -2 + 6 = 4 4 (-1,4)

0 f(0) = (2 x 0) + 6 = 0 + 6 = 6 6 (0,6)

1 f(1) = (2 x 1) + 6 = 2 + 6 = 8 8 (1,8)

2 f(2) = (2 x 2) + 6 = 4 + 6 = 10 10 (2,10)

Daerah hasil = {y|0≤ y ≤10, y∈ bilangan riil}

Titik potong :

Sumbu X = (-3,0)

Sumbu Y = (0,6)

Contoh soal 4 :

Buatlah grafik dari f : x -> x2 + 2x - 3 dengan daerah asal {x|-4≤ x ≤3, x∈ bilangan riil}

Daerah asal = {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3}

f : x -> 2x + 6

Domain f(x) = x2 + 2x – 3 Range Koordinat

-4 f(-4) = (−4)2 + (2 x -4) -3 = 16-8-3 = 5 5 (-4,5)

-3 f(-3) = (−3)2 + (2 x -3) - 3 = 9-6-3 = 0 0 (-3,0)

-2 f(-2) = (−2)2 + (2 x -2) - 3 = 4-4-3 = -3 -3 (-2,-3)

-1 f(-1) = (−1)2 + (2 x -1) - 3 = 1-2-3 = -4 -4 (-1,-4)

0 f(0) = (0)2 + (2 x 0) – 3 = 0+0-3 = -3 -3 (0,-3)

1 f(1) = (1)2 + (2 x 1) - 3 = 1+2-3 = 0 0 (1,0)

2 f(2) = (2)2 + (2 x 2) - 3 = 4+4-3 = 5 5 (2,5)

3 f(3) = (3)2+ (2 x 3) - 3= 9+6-3 = 12 12 (3,12)

Daerah hasil = {y|-4≤ y ≤12, y∈ bilangan riil}

Titik potong :

Sumbu X = (-3,0), (1,0)

Sumbu Y = (0,-3)

Titik puncak : (-1,-4)

B. PERSAMAAN GARIS LURUS/LINEAR

Dapat menjadi 2 bentuk

y = mx + c ax + by + c = 0

y = variable terikat x dan y = variabel

x = variable bebas a = koefisien dari x

m = koefisien dari x/gradient b = koefisien dari y

c = konstanta c = konstanta

contoh :

1.) y = 3x + 2 -> m = 3

2.) 2y = 4x – 6 -> y = 2x – 3 -> m = 2

3.) 6x + 3y = 9 -> 3y = -6x + 9 -> y = -2x +9 -> m = -2

CARA MENEMUKAN GRADIEN DAN PERSAMAAN LINEAR

Cara 1 : Jika diketahui 2 titik koordinat, menggunakan rumus :

y2− y1x2−x1

ATAU y− y1y2− y1

= x−x1x2−x1

Contoh soal :

Jika menggunakan rumus y2− y1x2−x1

Tentukan persamaan garis yang melalui titik koordinat (2,-1) dan (4,5)

(x1 , y1¿ ,(x2, y2)

y2− y1x2−x1

= 5−(−1)4−2

= 5+12 = 62 = 3

Jika gradien sudah ketemu, kita dapat membuat persamaannya menjadi y = 3x + c

langkah selanjutnya yaitu mensubstitusi salah satu titik koordinat. dalam hal ini, kita

dapat mensubstitusikan (2,-1) ATAU (4,5) (gausah dua duanya)

*kali ini koordinat yang disubstitusi adalah (2,-1)

-1 = (3 x 2) + c

-1 = 6 + c

c = -1-6 = -7, sehingga kita dapat menuliskan penyelesaian yaitu ---> y = 3x -7

Jika menggunakan rumus y− y1y2− y1

= x−x1x2−x1

y− y1y2− y1

= x−x1x2−x1

y + 1 = 3(x – 2)

y−(−1)5−(−1) = x−24−2 y + 1 = 3x – 6

y+15+1 = x−22 y = 3x – 7

y+16 = x−22 kedua ruas dikali 6 (KPK dari 6 dan 2)

*kedua cara memiliki hasil yang sama

CARA 2 : Jika diketahui gradien (m) dan 1 titik koordinat, menggunakan rumus

y− y1=m(x−x1)

Contoh soal :

Tentukan persamaan garis yang memiliki gradien 3 dan melalui titik koordinat (2,5)

y− y1=m(x−x1) y = 3x – 6 + 5

y – 5 = 3(x – 2) y = 3x - 1

y – 5 = 3x – 6

Tentukan persamaan garis yang memiliki gradient 13 dan melalui titik (2,53 )

y− y1=m(x−x1)

y - 53 = 13 (x – 2)

y - 53 = 13 x –

23 kedua ruas dikali 3, menjadi

3y – 5 = x – 2

3y = x – 2 + 5

3y = x + 3

HUBUNGAN 2 GARIS LINEAR

1. SEJAJAR : ma=mb

2 garis linear dibilang sejajar jika kedua garis tersebut memiliki gradien yang sama

2. TEGAK LURUS : ma×mb=−1

2 garis linear dibilang berpotongan tegak lurus jika kedua gradien dari 2 garis tersebut

dikalikan akan menghasilkan -1