VIBRASI KRISTAL

3.1. Gelombang ElastisZat padat secara mikroskopik tersusun atas atom-atom yang diskri. Kediskritan ini digunakan dalam pembahasan vibrasi kisi

x x+dx

dxBila gelombang yang merambat adalah gelombang longitudinal dan perpindahan secara elastis pada titik x adalah u(x), maka sesuai dengan hukum Newton II pada segmen dx berlaku hubungan

AxSdxxSt

xudx )()(2

2

dimana = rapat masa ; A = luas penampang ; S = stress yang didefinisikan sebagai gaya persatuan luas, sesuai dengan hukum Hooke

S = Ye Dengan Y = modulus Young (atau modulus elastis “bulk” K), e = strain yang didefinisikan sebagai

dxdue

1

Sehingga dapat diperoleh persamaan gelombang satu dimensi.

0

1

2

2

22

2

tu

vxu

Yv

Bentuk penyelesaian persamaan ini adalah berbentuk : U=Cei(kx–t)

C = amplitudo ; k = bilangan gelombang ; = frekuensi sudut gelombang dengan relasi = vk

Gelombang dari vibrasi kisi dalam kristal adalah pengulangan perpindahan atomik (longitudinal, transversal atau kombinasi keduanya). dikarakterisasi oleh :

Cepat rambat gelombang vPanjang gelombang atau vektor gelombang | k |= 2/Frekuensi atau frekuensi sudut = 2 = v k

2

Zat Padat Tipe Struktur

Rapat Masa (Kg/m3)

Modulus elastis Bulk (1010 N/m²)

Hasil cal. (m/s)

Hasil eksp. (m/s)

Sodium B.C.C. 970 0.52 2320 2250Copper F.C.C. 8960 13.4 3880 3830Zine H.C.P 7130 8.3 3400 3700Aluminium F.C.C 2700 7.35 5200 5110Lead F.C.C. 11340 4.34 1960 1320Nickel F.C.C. 8900 19.0 4650 4970Germanium Diamon 5360 7.9 3830 5400Silicon Diamon 2330 10.1 6600 9150SiO2 Hexagonal 2650 5.7 4650 5720NaCl Rocksalt 2170 2.5 3400 4730LiF Rocksalt 2600 6.7 5100 4950CaF2 Fluorite 3180 8.9 5300 5870

3

3.2. Vibrasi Pada Kisi MonoatomikGelombang elastik dari vibrasi pada kisi disebut sebagai fonon, yang mana merupakan vibrasi kolektif suatu bahan. Model kisi dengan basis monoatomik dalam satu bidang s dengan konstanta kisi a sebagai berikut .

Us-1 Us Us+1 Us+2 Us+3Us+4

K

Model kisi monotomik : Bidang atom berpindah pada gelombang longitudinal Koordinat U menggambarkan perpindahan bidang s dari posisi kesetimbangannya. 4

Us-1 Us Us+1 Us+2Us-2

K

Model kisi monotomik : Bidang atom berpindah pada gelombang transversal.Koordinat U menggambarkan perpindahan bidang s dari posisi kesetimbangannya.

5

Bila terdapat gaya yang bekerja pada bidang s sehingga mengakibatkan perpindahan atom-atom pada bidang s ke s+p, dimana gaya tersebut sebanding dengan perbedaan perpindahan kedua bidang, (Us+p – Us). Bila kita hanya memperhatikan interaksi antara bidang terdekat saja, yaitu p = ± 1 saja, gaya total pada s yang datang dari bidang s ± 1

11

11

2

sss

sssss

UUUUUUUF

dengan adalah konstanta gaya. Ini adalah ungkapan dari hukum Hooke dengan perpindahan linier

Pada zat padat yang homogen transmisi suatu gelombang bidang dalam arah tertentu, arah x dapat diungkapkan dalam bentuk persamaan perpindahan,

U=Aexp.[i(kx–t)]A = amplitudo, k = bilangan gelombang, = frekwensi sudut, t = waktu

6

Lebih khusus seamalog dengan pers.(3-9), perpindahan bidang ke s,Us=Aexp.[i(k.s.a – t)] (3-10)

s.a = posisi kesetimbangan bidang ke s ; a = jarak antar bidang. Turunan dua kali pers.(3-10) terhadap waktu t, diperoleh

ss UtksaiA

dtUd 22

2

2

exp

ss

s UmdtUdmF 2

2

2

Sesuai dengan hukum Newton kedua, gaya pemulih pada bidang s adalah :

112 2 ssss UUUUm

kaikaim

UU

UU

m s

s

s

s

.exp.exp2

2 112

7

24

12

22

2

2

kaSinm

kaCosm

kaCosm

Relasi dispersi gelombang dalam kisi monotomik adalah :

2

22

kaSin

kaSinm

m

. Tanda + dan - menunjukkan perambatan gelombang ke kanan atau ke kiri.

mm 2

kemiringan (slope) kurva dari sebagai fungsi k adalah nol pada batas zona Brillouin

8

022

kaSinma

dkd

karena pada k = ±/a, sin(k.a) = sin(±) = 0. Plot terhadap k sbb :1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

m

2

24kaSin

m

9

Daerah | k | < /a adalah zona Brillouin pertamaDaerah k yang kecil merupakan daerah spektrum dari gelombang yang panjang. Bagi k.a <<1, maka

sin (k.a/2) (k.a/2) dan relasi frekwensi sudut terhadap bilangan gelombang adalah

kv

kam

0

22

mav

0

10

3.3. Kecepatan Fase dan Kecepatan GroupBesaran v0=/k adalah kecepatan fasa untuk panjang gelombang yang panjang dalam medium elastis. Besaran m/a adalah kerapatan (masa persatuan panjang) adalah modulus “bulk” dalam satu dimensi. Dalam tiga dimensi zat padat berbentuk kubus, rapat masa = m/a3 dan modulus bulk B = /a. Dengan besaran besaran ini harga koefisien kekakuan (stiffness) antar atomik dapat diungkapkan sebagai

20

avm

Kecepatan transmisi suatu paket gelombang disebut dengan kecepatan group, yang didefinisikan sebagai

kgraddkd

kg

g

11

Ini adalah kecepatan rambat energi di dalam medium. Sedangkan kecepatan fasanya adalah :

222 0kaCosvkaCosam

g

ka

kaSinv

k

kaSin

m

222

0

Harga adalah maksimum pada | sin (ka/2) | = 1. Ini dapat diperoleh pada k= ± (2n+1)/a, dengan n = 0,1,2,3, ….

Kecepatan fasa gelombang misalnya pada n = 0, atau k = ±/a adalah

00 2.2 va

av

sedangkan kecepatan groupnya adalah nol

untuk k mendekati 0, di mana sin(ka/2) ka/2 kecepan fasenya adalah

00

2

22

2v

ka

kaSinv

12

Pada daerah k<</a atau 2a<< (panjang gelombang jauh lebih besar dari pada jarak antar atom) kecepatan fasa dan kecepatan group adalah sama, di mana 2a << dinamakan batas gelombang panjang.

Panjang gelombang terpendek bagi gelombang dalam kristal linier yang masih mempunyai makna fisis adalah pada =2a, dengan a adalah jarak antara atom terdekat di dalam kristal pada kedudukan kesetimbangnya.

=2a adalah sesuai dengan harga k=/a. Daerah antara -/ak/a dinamakan daerah Billouin pertama. Derah ini merepresentasikan semua gelombang yang masih bermakna fisis di dalam kristal.

Kasus dimana k=/a disebut juga sebagai kondisi refleksi Bragg. Pada kasus ini atom yang bertetangga bergetar dengan fase yang berlawanan, sebagaimana dengan gelombang tegak.

Untuk k=0 yang mana sesuai dengan = ~, menunjukkan bahwa semua atom atom secara bersamaan bergerak ke satu arah tertentu atau bertranslasi sebagai satu kesatuan.

13

3.4. Kristal Linier Diatomik

(2r-2) (2r-1) 2r (2r+1) (2r+2)

a a

Anadaikan terdapat dua jenis atom yang bermasa M yang terletak dalam satu bidang dan atom yang bermasa m pada bidang yang lain. Kedua atom tersebut dapat dipandang sebagai satu rantai linier dimana jarak antara dua atom terdekat pada saat keadaan kesetimbangannya adalah a. Diasumsikan bahwa interaksi hanya terjadi diantara atom terdekat saja dan konstanta gaya adalah identik .

Persamaan gaya bagi perpindahan U2r dan U2r + 1 adalah

12222122

212

2

2121222

22

2

22

2

rrrrr

rrrrr

UUUUmdtUdm

UUUUmdtUdM

14

Persamaan ini mempunyai solusi yang berbentuk :U2r = Aei[ka (2r) – t

U2r+1=Be i[ka (2r+1) – t]

Substitusi persamaan ini ke dalam persamaan gerak di atasdiperoleh persamaan linier simultan.

M2 B = A [eika + e-ika] – 2 Bm2 A = B [eika + e-ika] – 2 AAtauM2 B = A [2 Cos (ka)] – 2 Bm2 A = B [2 Cos (ka)] – 2 APersamaan ini memiliki solusi yang tidak trivial hanya jika determinan koefisien A dan B sama dengan nol, yaitu

(2 - M2 ) - 2 Cos (ka) = 0

- 2 Cos (ka) (2 - m2)

15

mMkaSin

MmMm)(41111 22

2

Dengan demikian dapat diperoleh dua solusi, yaitu

mMkaSin

MmMm)(41111 22

21

mMkaSin

MmMm)(41111 22

22

Dengan 12 = 0 untuk k = 0 dan 1

2 = 2/M untuk ka = /2

22 = 2 (1/m + 1/M) untuk k = 0 dan 2

2 = 2/m untuk ka = /a

Spektrum yang dihasilkan dari hubungan sebagai fungsi k seperti diperlihatkan pada Gambar berikut

16

Frek

uens

i S

udut

ω 12 = 2/M

22 = 2/m

Mm1123

(-/2a) 0 (-/2a)Gelombang vector k

Cabang bagian bawah adalah bagian negatifnya. Cabang ini disebut dengan cabang akustik.

Cabang bagian atas adalah bagian positifnya . Cabang ini disebut dengan cabang optik

Modus Optik

Modus Akustik

17

Analisis gambar : Perpindahan sekarang dapat diungkapkan dalam bentuk vektor gelombang dengan besar absolut tidak lebih besar dari /2a sedangkan batas daerah Brillouin pada rantai linier monoatomik adalah ± /a

Dari cabang akustiknya 1. Frekwensi sudut maksimum ragam vibrasi akustik adalah :

Tampak bahwa frekuensi sudut maksimum tidak tergantung pada masa atom yang lain di dalam rantai. Frekuensi sudut berkisar antara 0 sampai 1

2. Perbandingan amplitudo kedua atom sebagai fungsi frekwensi

M 2

1

2

2

22

22

MkaCos

kaCosm

AB

mmasadariAmplitudoMmasadariAmplitudo

Tampak perbandingan amplitudo tersebut mendekati satu (seluruh atom bergerak dengan cara yang sama, pada gelombang yang panjang, amplitudonya sefasa, vektor gelombang | k | << /2a

; 8vKecepatan 2

0 mMa

M 8kvsudut frekuensi 0

18

3. Pada | k | = /2a

; 8fasaKecepatan 2

2

Ma

k

0groupKecepatan dkd

Mm

m

112 dengan sampai

2 dari

Dari cabang optiknya, daerah vibrasi adalah

M 2

1 Frekuensi sudut

19

Panjang-gelombang yang panjang pada modus optic memnuhi kondisi1. * Pada k 0 ; Kecepatan fasa /k ~ Kecepatan group d/dk 0

* Pada k /2a Kecepatan group d/dk 0

Mm11 2sudut Frekuensi 3

Ma

k 2

2 8fasaKecepatan

2. Pada k = 0 perbandingan amplitudo B/A adalah negatif :

Mm

AB

Artinya, getaran atom bermasa m berlawanan fasa dengan getaran atom bermasa M ; MB + mA=0 menyatakan bahwa titik pusat masa atom tidak berubah 20

3.5. Kuantisasi Gelombang ElastisGelombang elastis dalam kristal dibangun oleh apa yang disebut dengan fonon. Energi kuantum fonon adalah seanalog dengan foton gelombang elektromagnetik. Oleh karena itu energi vibrasi kisi (fanon) adalan terkuantisasi, dapat diungkapkan sebagai

nn 2

1

n = bilangan kuantum utama ; = frekwensi sudut. Suku ½ adalah energi titik nol dari ragam (modus) vibrasi. Persamaan di atas dapat diperoleh dari model fonon dalam kristal sebagai kuantum osilator harmonik.

Telah diperlihatkan dalam bab terdahulu hukum Bragg dapat ditulis dengan cara rang berbeda,

k = Ghkl Dengan k = k’- k adalah vektor hamburan, Ghkl adalah vektor dalam kisi balik.

21

Hubungan tersebut kemudian dapat dituliskan menjadik = k’+ Ghkl

Ini dapat diinterpretasikan sebagai : k adalah momentum linier foton datang, k’ adalah momentum linier foton terhambur. Ghkl diinterpretasikan sebagai momentum linier seluruh kristal

Dengan demikian pers.(3-36) dapat diinterpretasikan sebagai kekekalan momentum linier dalam proses tumbukan

Energi kinetik yang berkaitan dengan momentum linier kristal tersebut adalah

M

GE hklK 2

2

dengan M adalah masa kristal. Masa kristal adalah sangat besar dibandingkan dengan energi foton yang terlibat, sehingga energi kinetik di atas hampir mendekati nol.

22

Bila suatu kristal riil ditembaki dengan berkas netron monokromatik sehingga terjadi interaksi antara netron dengan inti atom yang dalam keadaan bergetar yang diinterpretasikan sebagai fonon. Hukum kekekalam momentum linier dinyatakan sebagai,

k = k’+ Ghkl+ K (3-37)

dengan k adalah momentum linier netron datang, k’ adalah momentum linier netron terhambur, Ghkl adalah momentum kristal, K adalah momentum linier fonon. Dalam hal ini K dapat berharga + atau – (: dapat dihasilkan fonon (phonon creation) atau fonon sirna (phonon annihilation)), tergantung keadaan dalam proses). Hubungan di atas adalah hamburan tak-elastis.

Kekekalan energi dalam proses tersebut dinyatakan sebagai

m= masa netron ; M=masa seluruh kristal; K adalah frekuensi fonon.

K

hkl

MG

mk

mk

22

'2

22222

23

Telah disebutkan di atas bahwa energi kinetik kristal adalah mendekati nol, sehingga

Kmk

mk

2

'2

2222

Dengan demikian dapat disimpulkan 1. Fonon adalah kuantisasi dari getaran kisi kristal.2. Dalam interaksinya dengan partikel, fonon berprilaku sebagai partikel

dengan momentum tertentu. 3. Hubungan antara frekunsi fonon dengan momentumnya tidak perlu linier,

tergantung pada bentuk persamaan dispersi = (K)

24