ukuran keseragaman

Download ukuran keseragaman

Post on 08-Aug-2015

22 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

<p>MATERI KULIAH STATISTIKA I Beberapa Istilah Dasar. Jenis Data. Notasi Penjumlahan (E). Nilai-Nilai Statistika Deskriptif. Koefisien Korelasi dan Koefisien Determinasi. Regresi Linear Sederhana. (Dedy Mulyadi, S.Si.) BEBERAPA ISTILAH DASAR Statistik dan Statistika. Statistikdarisegibahasaberartidata,sedangkan statistika adalah ilmu yang mempelajari data tersebut. Statistika Deskriptif dan Statistika Inferensia. Statistikadeskriptifadalahmetode-metodeyang berkaitandenganpengumpulandanpenyajiansuatu gugusdatasehinggamemberikaninformasiyang berguna. Statistikainferensiamencakupsemuametodeyang berhubungandengananalisissebagiandatauntuk kemudiansampaipadaperamalanataupenarikan kesimpulanmengenaikeseluruhangugusdata induknya. BEBERAPA ISTILAH DASAR Populasi dan Contoh. Populasiadalahkeseluruhanpengamatanyang menjadi perhatian kita. Contohadalahsuatuhimpunanbagiandari pupulasi. Contoh Acak Sederhana. Suatucontohacaksederhananpengamatan adalahsuatucontohyangdipilihsedemikianrupa sehingga setiap himpunan bagian yang berukuran n daripopulasitersebutmempunyaipeluangterpilih yang sama. BEBERAPA ISTILAH DASAR Statistik dan Parameter. Statistikadalahsembarangnilaiyangmenjelaskan ciri suatu contoh. Parameteradalahsembarangnilaiyangmenjelas-kan ciri populasi. Datum dan Data. Datum adalah bentuk tunggal dari data berupa satu nilai hasil pengamatan atau hasil pengukuran. Dataadalahbentukjamakdaridatumberupa sekumpulannilaihasilpengamatanatauhasil pengukuran. JENIS DATA DATA KUALITATIF KUANTITATIF NOMINAL ORDINAL INTERVAL RASIO DenganmenggunakanhurufYunaniE(sigmakapital)untuk menyatakanpenjumlahan,kitadapatmenuliskanjumlahn sembarang bilangan: =niix1kita baca penjumlahan xi, i dari 1 sampai n. Bilangan 1 dan nmasing-masingdisebutbatasbawahdanbatasatas penjumlahan. Sehingga: nniix x x x x + + + + ==...3 2 11NOTASI PENJUMLAHAN (E) Misalkandarisebuahpercobaanyangmengamatiturunya bobotbadanselamaperiode6bulan.Datayangtercatat adalah15,10,18,dan6kilogram.Jikanilaipertamakita lambangkandenganx1yangkeduax2,dandemikian seterusnya,makakitadapatmenuliskanx1=15,x2=10, x3=18,danx4=6,kitadapatmenuliskanjumlahempat perubahan bobot tersebut sebagai: 4 3 2 141x x x x xii+ + + ==6 18 10 1541+ + + == iix4941== iixNOTASI PENJUMLAHAN (E) Batas bawah penjumlahantidak harus dimulai dari angka 1 dan begitu pula batas atas penjumlahan tidak harus sampai angka terbesar (n). Sebagai contoh: 28 18 103 232= + = + ==x x xiiSubscripipadabatasbawahpenjumlahandapatpula digantikandenganhuruflainasalkankonsistendalamhal penggunaannya. Sebagai contoh: =njjx1=nkkx1atau =nllx1atau NOTASI PENJUMLAHAN (E) NOTASI PENJUMLAHAN (E) Batasbawahpenjumlahantidakharusberupasubskrip. Misalnya,jumlahsembilanbilanganaslipertamadapat dituliskan sebagai: 45 9 8 7 6 5 4 3 2 191= + + + + + + + + == xxJikabatasbawahdanbatasataspenjumlahantidak dituliskan,haltersebutberartimenjumlahseluruhbilangan. Sehingga: ==nii ix x1NOTASI PENJUMLAHAN (E) Beberapa dalil Penjumlahan Penjumlahanjumlahduaataulebihpeubahsamadengan jumlah masing-masing penjumlahannya. Jadi: ( ) = = = =+ + = + +niiniiniinii i iz y x z y x1 1 1 1Jika c adalah suatu konstanta, maka: = ==niiniix c cx1 1nc cni==1dan NOTASI PENJUMLAHAN (E) (((</p> <p>|.|</p> <p>\|(((</p> <p>|.|</p> <p>\||.|</p> <p>\||.|</p> <p>\|= = = = == = =ninii ininii ininiinii i iy y n x x ny x y x nr121212121 1 1Setelahmempelajarinotasipenjumlahan(E),perhatikan rumusuntukmencarinilaikoefisienkorelasilinear(r)di bawah ini: Rumustersebutakanmudahdiselesaikan.Satuhalyang perlu diperhatikan: = =|.|</p> <p>\|=ninii ix x1212 = = =|.|</p> <p>\||.|</p> <p>\|=niniinii i iy x y x1 1 1dan MINIMUM,yaitunilaiyangpalingkecildari keseluruhan nilai dalam satu buah gugus data (variabel). MAXIMUM,yaitunilaiyangpalingbesardari keseluruhan nilai dalam satu buah gugus data (variabel). SUM, yaitu jumlah dari keseluruhan nilai dalam satu buah gugus data (variabel). UKURAN PEMUSATAN DATA. UKURAN KERAGAMAN DATA. NILAI STATISTIKA DESKRIPTIF NILAI STATISTIKA DESKRIPTIF UKURAN PEMUSATAN DATA nxxnii ==1nyynii ==1Mean / Rata-Rata / Rataan / Nilai Tengah / NilaiHarapan : 571 , 12788710 16 13 13 9 12 15771= =+ + + + + += = = iixxContoh (X): 1512913131610 NILAI STATISTIKA DESKRIPTIF UKURAN PEMUSATAN DATA Median,yaitunilaiyangposisinyatepatberadaditengah setelahdatadiurutkan(jikabanyakdataganjil),ataurata-ratadariduanilaiyangposisinyaditengahsetelahdata diurutkan (jika banyak data genap). Contoh 1: 1512 913131610diurutkan jadi9101213131516 Mediannya adalah 13 (nilai pada suku ke-4). Contoh 2: 253242151327diurutkan jadi423227251513 Mediannya adalah (27 + 25) / 2 = 26,5 NILAI STATISTIKA DESKRIPTIF UKURAN PEMUSATAN DATA Modus,yaitunilaiyangmemilikifrekwensimunculpaling tinggi. Dalam satu buah gugus data dapat memiliki lebih dari satumodus,khususyangmemilikiduamodusdisebut bimodus.Apabilasemuanilaidalamsuatugugusdata memilikifrekwensimunculyangsama,makagugusdata tersebut dikatakan tidak memiliki modus. Contoh 1: 1512913131610modusnya adalah 13 Contoh 2: 15129131316109modusnya adalah9 dan 13 (bimodus) Contoh 3: 151215913131612916tidak memiliki modus NILAI STATISTIKA DESKRIPTIF UKURAN KERAGAMAN DATA Wilayah (Range), yaitu selisih dari nilai terkecil dan terbesar. Contoh: 1512913131610 Wilayahnya = 16 9 = 7 Ragam (Varians), dihitung menggunakan rumus: ( )NxNii ==122odata populasi ( )1122= =nx xsniidata contoh (sample) NILAI STATISTIKA DESKRIPTIF UKURAN KERAGAMAN DATA Contoh Kasus: Pembandinganhargakopidalambungkus200gramdi empat toko kelontong yang dipilih secara acak menunjukkan kenaikandarihargabulansebelumnyasebesar12,15,17, dan 20 rupiah. Hitunglah ragam contoh kenaikan harga kopi tersebut! Jawab: Nilai tengah contoh kita peroleh dengan perhitungan: 16464420 17 15 12441 1= =+ + += = = = = iiniixnxxNILAI STATISTIKA DESKRIPTIF UKURAN KERAGAMAN DATA Jawab (lanjutan): Dengan demikian, ( ) ( )3161241 122 = ===iiniixnx xs( ) ( ) ( ) ( )34 1 1 42 2 2 22+ + + = s33 , 11334316 1 1 162= =+ + += sNILAI STATISTIKA DESKRIPTIF UKURAN KERAGAMAN DATA Denganmenggunakankuadratsimpanganuntuk menghitungragam,baikpopulasimaupuncontoh,kita memperolehsuatubesarandengansatuanyangsama dengan kuadrat satuan semula. Jadi jika data asalnya dalam satuan meter (m), maka ragamnya mempunyai satuan meter kuadrat(m2).Agardiperolehukurankeragamanyang mempunyaisatuanyangsamadengansatuanasalnya, sepertihalnyapadawilayah,kitaakarkanragamtersebut. Ukuranyangdiperolehdisebutsimpanganbaku(Standard Deviasi). NILAI STATISTIKA DESKRIPTIF UKURAN KERAGAMAN DATA ( )NxNii ==12odata populasi ( )112= =nx xsniidata contoh (sample) Simpanganbaku(Standarddeviasi),dihitungmenggunakan rumus: Daricontohkasuskenaikanhargakopi,nilaisimpangan bakunya adalah: 366 , 3 33 , 112= = = s sNILAI STATISTIKA DESKRIPTIF UKURAN KERAGAMAN DATA Haltersebut,sejalanpuladengantampilanrumusragam (varians)ataustandarddeviasibaikuntukdatapopulasi maupun data contoh yang bersesuaian. Tampilan rumus Standard Deviasi dari data contoh (sample) dapat pula ditampilkan dalam bentuk: ( ) 121 12|.|</p> <p>\|= = =n nx x nsniinii12112|.|</p> <p>\|===nnxxsniiniiatau NILAI STATISTIKA DESKRIPTIF UKURAN KERAGAMAN DATA ( )1 1211212|.|</p> <p>\|= == =nnxxnx xniiniiniiTugas: Buktikan secara perhitungan dan secara hukum matematika bahwa rumus pada kedua sisi di bawah ini sama! Salah satu hukum matematika yang dapat dipergunakan: ( )2 222 b ab a b a + = KOEFISIEN KORELASI LINEAR DAN KOEFISIEN DETERMINASI Koefisienkorelasilinear(r),berfungsiuntukmengetahuihubungan perilakudatadalamsuatugugusdata(variabel)denganperilakudata pada gugus data (variabel) lainnya (misal gugus data X dan Y). Sifat data: berpasangan, banyak data pada kedua variabel sama. Nilai koefisien korelasi linear dihitung menggunakan rumus: (((</p> <p>|.|</p> <p>\|(((</p> <p>|.|</p> <p>\||.|</p> <p>\||.|</p> <p>\|= = = = == = =ninii ininii ininiinii i iy y n x x ny x y x nr121212121 1 1Nilai koefisien korelasi tersebut terbagi menjadi 3 kategori: 1. Korelasi (hubungan) positif : 0 &lt; r 1 2. Tidak berkorelasi (tidak berhubungan) : r=0 3. Korelasi (hubungan) negatif : -1 r&lt; 0 Nilai koefisien korelasi yang mungkin terjadi ada dalam batasan: -1 r 1 -110 KOEFISIEN KORELASI LINEAR DAN KOEFISIEN DETERMINASI Arti dari nilai koefisien korelasi masing-masing kategori: 1. Korelasi(hubungan)positif:semakintingginilaiXmaka semakin tinggi pula nilai Y atau sebaliknya semakin rendah nilai X maka akan semakin rendah pula nilai Y. (Contoh kasus: biaya promosi dan pendapatan perusahaan). 2. Tidakberkorelasi(tidakberhubungan):perubahannilai(naik turun) yang terjadi pada X tidak mengakibatkan perubahan nilai (naikturun)padaY.(Contohkasus:tinggibadandangaji karyawan). 3. Korelasi (hubungan) negatif : semakin rendah nilai X maka akan semakintingginilaiYatausebaliknyasemakintingginilaiX akansemakinrendahnilaiY.(Contohkasus:usiamobilbekas dan harga jualnya). KOEFISIEN KORELASI LINEAR DAN KOEFISIEN DETERMINASI Contoh Kasus: Hitung dan tafsirkan koefisien korelasi bagi data berikut ini: x (tinggi)12101411129 y (bobot)181723192015 Jawab: Untukmempermudah,terlebihdahuludilakukanperhitungan beberapanotasipenjumlahan()yangdiperlukandalamrumus. Perhitungantersebutdilakukanmembentuksebuahtabelsebagai berikut: KOEFISIEN KORELASI LINEAR DAN KOEFISIEN DETERMINASI Contoh Kasus (lanjutan): KOEFISIEN KORELASI LINEAR DAN KOEFISIEN DETERMINASI ixyx2y2x.y 11218144324216 21017100289170 31423196529322 41119121361209 51220144400240 691581225135 JUMLAH6811278621281292 6861== iix11261== iiy786612== iix2128612== iiy 129261==iiiy xContoh Kasus (lanjutan): Dengan demikian: KOEFISIEN KORELASI LINEAR DAN KOEFISIEN DETERMINASI 947 , 0] ) 112 ( ) 2128 )( 6 ][( ) 68 ( ) 786 )( 6 [() 112 )( 68 ( ) 1292 )( 6 (2 2= = rKoefisienkorelasisebesar0,947menunjukanadanyahubungan linearpositifyangsangatbaikantaraXdanY,semakintinggi ukurantinggibadanmakaakansemakinberatukuranbobot badannya,atausemakinrendahukurantinggibadanmakaakan semakin ringan ukuran bobot badannya. KoefisienDeterminasi(KD),digunakanuntukmengetahui tingkatpengaruh(%)perubahannilaiXterhadapperubahan nilai Y. Dihitung menggunakan rumus: KD = r2(100%) Contoh kasus: Apabilakorelasiantarabiayapromosiyangdikeluarkan(X)dengan pendapatanyangditerimaperusahaan(Y)sebesarr=0,95tentukan koefisien determinasinya dan jelaskan! Jawab: KD = r2(100%) = (0,95)2(100%) = (0,9025)(100%) = 90,25% Artinya,tingkatpengaruhperubahanbiayapromosiyangdikeluarkan terhadapperubahanpendapatanyangditerimaperusahaanadalah sebesar 90,25% sisanya sebesar 9,75% dipengaruhi oleh faktor lain. KOEFISIEN KORELASI LINEAR DAN KOEFISIEN DETERMINASI REGRESI LINEAR SEDERHANA Fungsi dari persamaan regresi linear sederhana: 1. Mengetahuipengaruhnyata(real)darivariabelbebas(X) atauindependentvariable,terhadapvariabelterikat(Y) atau dependent variable. 2. Sebagai alat prediksi (peramalan). Persamaan regresi linear sederhana yang dicari adalah: Dimana: bx a y + = = == = =|.|</p> <p>\||.|</p> <p>\||.|</p> <p>\|=ninii iniiniinii ix x ny x y x nb12121 1 1x b y a =REGRESI LINEAR SEDERHANA Contoh Kasus: Tentukanpersamaangarisregresibagidataskortesintelegensia dan nilai Statistika I mahasiswa baru sebagai berikut: MAHASISWASKOR TES, XNILAI STATISTIKA I, Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 65 50 55 65 55 70 65 70 55 70 50 55 85 74 76 90 85 87 94 98 81 91 76 74 REGRESI LINEAR SEDERHANA Contoh Kasus (lanjutan): Jawab: Kita peroleh bahwa: ixyx2y2x.y 16585422572255525 25074250054763700 35576302557764180 46590422581005850 55585302572254675 67087490075696090 76594422588366110 87098490096046860 95581302565614455 107091490082816370 115076250057763800 125574302554764070 JUMLAH7251011444758590561685 REGRESI LINEAR SEDERHANA Jawab (lanjutan): Kita peroleh bahwa: 725121== iix 1011121== iiy444751212== iix61685121==iiiy x 250 , 84121011= = y 417 , 6012725= = x897 , 0) 725 ( ) 44475 )( 12 () 1011 )( 725 ( ) 61685 )( 12 (2== b056 , 30 ) 417 , 60 )( 897 , 0 ( ) 250 , 84 ( = = aDengan demikian persamaan garis regresinya adalah: x y 897 , 0 056 , 30+ =Arti secara umum dari persamaan regresi linear sederhana: Arti dari nilai b:Jikabpositif,setiapkenaikansatusatuanvariabelXakan menaikkanvariabel Y sebesar b satuan. Jikabnegatif,setiapkenaikansatusatuanvariabelXakan menurunkan variabel Y sebesar b satuan. Arti dari nilai a:PadasaattidakterjadiaktivitaspadavariabelX(x=0)maka variabelYakanmemilikinilaisebesara(nilaiabisapositif atau negatif). bx a y + =REGRESI LINEAR SEDERHANA Contoh Kasus 1: Ketikadilakukanpenelitianpengaruhdaribiayapromosi(jutarupiah) terhadap pendapatan perusahaan (juta rupiah) didapatkan persamaan regresi: Arti dari nilai 5,925: Setiapkenaikansatujutarupiahbiayapromosiyangdikeluarkan, akan menaikkan pendapatan perusahaan sebesar 5,925 juta rupiah. Arti dari nilai 112: Padasaatperusahaantidakmengeluarkanbiayapromosi,maka perusahaan masih menerima pendapatan sebesar 112 juta rupiah. x y 925 , 5 112+ =REGRESI LINEAR SEDERHANA Contoh Kasus 2: Ketikadilakukanpenelitianpengaruhdariusiamobilbekas (bulan)terhadaphargajualnya(jutarupiah)didapatkan persamaan regresi: Arti dari nilai -2,25: Setiapkenaikansatubulanusiamobil,akanmenurunkan harga jualnya sebesar 2,25 juta rupiah. Arti dari nilai 125: Pada saat melakukan penjualan mobil baru (usia = 0 bulan), maka mobil tersebut akan laku seharga 125 juta rupiah. x y 25 , 2 125 =REGRESI LINEAR SEDERHANA Menggambar Tebaran Titik dan Garis RegresiREGRESI LINEAR SEDERHANA x y 897 , 0 056 , 30 + =x y 897 , 0 056 , 30 + =X 102030405060708090100110 Y 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Membuat Garis Regresi: Titik pertama (x1 , y1), dengan memisalkan x1= 30 sehinggay1 = 30,056 + 0,897(30) = 56,97 diperoleh titik (x1 , y1) = (30 , 56.97). Titik kedua (x2 , y2), dengan memisalkan x2 = 80 sehingga y2 = 30,056 + 0,897(80) = 101,82 diperoleh titik (x2, y2) = (80 , 101.82). Menghubungkan kedua titik tersebut dan meneruskannya, akan terbentuk garis regresi linear yang diinginkan. SELAMAT BELAJAR ! </p>