ujian nasional tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · ujian nasional tahun pelajaran 2010/2011...
TRANSCRIPT
Ujian NasionalTahun Pelajaran 2010/2011
UTAMA
SMA / MA
Program Studi
IPA
MATEMATIKA(D10)
c©Fendi Alfi Fauzihttp://alfysta.wordpress.com
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
Ujian NasionalTahun Pelajaran 2010/2011
(Pelajaran Matematika)
Tulisan ini bebas dibaca dan disebarluaskan kepada siapapun dengan catatan
tetap menyertakan Catatan kaki dan nama penulis.
Copyright
c©Fendi Alfi Fauzi
Ditulis Ulang Oleh Fendi Alfi Fauzi
Tulisan ini sengaja dibuat untuk semua siswa SMA yang akan mengikuti ujian
UAN khususnya di daerah Gorontalo. Mudah-mudahan tulisan ini berguna dan
bermanfaat untuk kita semua. Tulisan ini saya buat dengan program LATEX.
Tulisan ini bisa anda download di http://alfysta.wordpress.com. Jika ada
koreksi, kritik, atau saran tentang tulisan ini silakan menghubungi penulis
via email ke alamat [email protected]
Ujian Akhir Nasional (UAN) 2
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
1. Persamaan kuadrat x2− 3x− 2 = 0 akar-akarnya x1 dan x2. Persamaan kuadrat baruyang akar-akarnya (3x1 + 1) dan (3x2 + 1) adalah......
(a) x2 − 11x− 8 = 0
(b) x2 − 11x− 26 = 0
(c) x2 − 9x− 8 = 0
(d) x2 + 9x− 8 = 0
(e) x2 − 9x− 26 = 0
Jawaban: a. x2 − 11x− 8 = 0Pembahasan
x1 + x2 = − ba
= −−3
1= 3
x1.x2 =c
a
=−2
1= −2
Akar-akar persamaan kuadrat yang baru.
(3x1 + 1) + (3x2 + 1) = 3x1 + 3x2 + 2
= 3(x1 + x2) + 2
= 3(3) + 2
= 9 + 2
= 11
(3x1 + 1)(3x2 + 1) = 9x1x2 + 3x1 + 3x2 + 1
= 9(x1x2) + 3(x1 + x2) + 1
= 9(−2) + 3(3) + 1
= −18 + 9 + 1
= −8
Dengan menggunakan Rumus Menyusun akar-akar persamaan kuadrat yaitu:x2 − x(x1 + x2) + x1x2 = 0 kita mendapatkan:x2 − x(11) + (−8) = 0x2 − 11x− 8 = 0Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah: x2 − 11x− 8 = 0
2. Persamaan garis singgung lingkaran x2+y2−6x+4y+11 = 0 di titik (2,−1) adalah......
(a) x− y − 12 = 0
(b) x− y − 4 = 0
(c) x− y − 3 = 0
(d) x+ y − 3 = 0
(e) x+ y + 3 = 0
Ujian Akhir Nasional (UAN) 3
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
Jawaban: c. x− y − 3 = 0Pembahasan
Titik Pusat dari lingkaran x2 + y2 − 6x+ 4y + 11 = 0 adalah P (3,−2). Sehingga kitadapat mencari nilai r2.
Persamaan bakunya adalah :
(x− 3)2 + (y + 2)2 = −11 + 9 + 4
(x− 3)2 + (y + 2)2 = 2
Jadi, kita peroleh bahwa r2 = 2.
Persamaan Garis singgung lingkaran yang melalui titik (a,b) adalah:
(x1 − a)(x− a) + (y1 − b)(y − b) = r2
(2− 3)(x− 3) + (−1 + 2)(y + 2) = 2
(−1)(x− 3) + (1)(y + 2) = 2
−x+ 3 + y + 2 = 2
−x+ y + 3 = 0
x− y − 3 = 0
Jadi, Persamaan garis singgung lingkaran adalah x− y − 3 = 0
3. Fungsi f dan g adalah pemetaan dari R ke R yang dirumuskan oleh f(x) = 3x + 5
dan g(x) =2x
x+ 1, x 6= −1. Rumus (gof)(x) adalah ....
(a)6x
x+ 6, x 6= −6
(b)5x+ 5
x+ 1, x 6= −1
(c)6x+ 10
3x+ 6, x 6= −2
(d)6x+ 5
3x+ 6, x 6= −2
(e)5x+ 5
3x+ 6, x 6= −2
Jawaban : c.6x+ 10
3x+ 6, x 6= −2
Pembahasan
Diketahui :
f(x) = 3x+ 5 dan g(x) =2x
x+ 1, x 6= −1
Ditanya:(gof)(x) ....?
Jawaban:
(gof)(x) = g(f(x))
=2(3x+ 5)
(3x+ 5) + 1
=6x+ 10
3x+ 6, x 6= −2
jadi, (gof)(x) =6x+ 10
3x+ 6, x 6= −2
Ujian Akhir Nasional (UAN) 4
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
4. Bentuk sederhana dari
√3 + 3
√2√
3− 6√
2= ....
(a) − 1
23(13 + 3
√6)
(b) − 1
23(13− 3
√6)
(c) − 1
23(−11−
√6)
(d)1
23(11 + 3
√6)
(e)1
23(13 + 3
√6)
Jawaban : e.1
23(13 + 3
√6)
Pembahasan
√3 + 3
√2√
3− 6√
2kita rasionalkan penyebutnya dengan cara mengkalikan dengan
√3 + 6
√2√
3 + 6√
2.
(√3 + 3
√2√
3− 6√
2
)(√3 + 6
√2√
3 + 6√
2
)=
3 + 6√
6 + 3√
6 + 36
3− 72
=6√
6 + 39 + 3√
6
69
=9√
6 + 39
69
=3√
6 + 13
23
=1
23(13 + 3
√6)
5. Bentuk sederhana dari24a−7b−2c
6a−2b−3c−6= ....
(a)4c5
a3b5
(b)4b
a5c5
(c)4b
a3c
(d)4bc7
a5
(e)4c7
a3b
Jawaban : d.4bc7
a5
Pembahasan
24a−7b−2c
6a−2b−3c−6= 4a5bc7
=4bc7
a5
Ujian Akhir Nasional (UAN) 5
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
6. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + mx + 16 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β danα, β positif, maka nilai m = ....
(a) -12
(b) -6
(c) 6
(d) 8
(e) 12
Jawaban : a. -12
Pembahasan
Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + mx + 16 = 0 adalah α dan β. Diketahui jugabahwa α = 2β. Maka:
α.β =c
a
2β.β =16
2
2β2 = 8
β2 = 4
β = 2
Nilai β = 2, maka:
α+ β = − ba
2β + β = − ba
3β = −m2
β = −m6
2 = −m6
−m = 12
m = −12
7. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 log2(2x− 2)−2 log(2x− 2) = 2 adalah ....
(a) x = 6 atau x = 21
2(b) x = 6 atau x = 3
(c) x = 3 atau x = 4
(d) x = 3 atau x = 11
4(e) x = 4 atau x = 6
Jawaban : d. x = 3 atau x = 11
4
Pembahasan
Dari Persamaan 2 log2(2x− 2)−2 log(2x− 2) = 2,
Kita ubah bentuknya menjadi 2 log2(2x− 2)−2 log(2x− 2)− 2 = 0.
Ujian Akhir Nasional (UAN) 6
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
Kita misalkan 2 log(2x− 2) = P . Maka kita mendapatkan persamaan:
2 log2(2x− 2)−2 log(2x− 2)− 2 = 0
P 2 − P − 2 = 0
(P − 2)(P + 1) = 0
P = 2 dan P = −1
2 log(2x− 2) = 2
2x− 2 = 22
2x = 6
x = 3
2 log(2x− 2) = −1
2x− 2 = 2−1
2x− 2 =1
2
2x =5
2
x =5
4
x = 11
4
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 3 atau x = 11
4
8. Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + 2√
2x+ (a− 1), a 6= 0 memotong sumbu X di duatitik berbeda. Batas-batas nilai a yang memenuhi adalah ....
(a) a < −1 atau a > 2
(b) a < −2 atau a > 1
(c) −1 < a < 2
(d) −2 < a < 1
(e) −2 < a < −1
Jawaban : d. −2 < a < 1
Pembahasan
Grafik Fungsi Kuadrat f(x) = ax2 + 2√
2x + (a − 1), a 6= 0 memotong sumbu X didua titik berbeda, maka kita mendapatkan bahwa D > 0. Sehingga
D > 0
b2 − 4ac > 0
(2√
2)2 − 4.a.(a− 1) > 0
8− 4a2 − 4a > 0
−a2 − a+ 8 > 0
−a2 − a+ 8 = 0
(−a− 2)(a− 1) = 0
a = −2 dan a = 1
Jika kita mengujinya dalam garis bilangan, maka kita dapatkan batas-batas x beradapada −2 < a < 1
Ujian Akhir Nasional (UAN) 7
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
9. Diketahui suku banyak f(x) = ax3 + 2x2 + bx+ 5, a 6= 0 dibagi oleh (x+ 1) sisanya 4dan dibagi oleh (2x− 1) sisanya juga 4. Nilai dari (a+ 2b) adalah ....
(a) -8
(b) -2
(c) 2
(d) 3
(e) 8
Jawaban : b. -2
Pembahasan
Penyelesaian soal ini dengan menggunakan Teorema sisa
f(x) = ax3 + 2x2 + bx+ 5, a 6= 0 dibagi oleh (x+ 1) sisanya 4
f(−1) = −a+ 2− b+ 5
4 = −a− b+ 7
−3 = −a− b (1)
f(x) = ax3 + 2x2 + bx+ 5, a 6= 0 dibagi oleh (2x− 1) sisanya 4
f
(1
2
)=
(1
2
)3
a+ 2
(1
2
)2
+ b
(1
2
)+ 5
4 =a
8+
1
2+
1
2b+ 5
32 = a+ 4 + 4b+ 40
32 = a+ 4b+ 44
−12 = a+ 4b (2)
Dari persamaan 1 dan 2 kita dapat melakukan eliminasi untuk mendapatkan nilai adan b.
−3 = −a− b−12 = a+ 4b
Dengan mengeliminasi kedua persamaan diatas di dapat nilai a = 8 dan b = −5.Sehingga hasil dari a+ 2b adalah:
a+ 2b = 8 + 2(−5)
= 8− 10
= −2
10. Faktor-faktor persamaan suku banyak x3 + px2 − 3x + q = 0 adalah (x − 2) dan(x− 3). Jika x1, x2, x3 adalah akar-akar persamaan suku banyak tersebut, maka nilaix1 + x2 + x3 = ....
(a) -7
(b) -5
Ujian Akhir Nasional (UAN) 8
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
(c) -4
(d) 4
(e) 7
Jawaban : d. 4
Pembahasan
f(−2) = −23 + p(−2)2 − 3(−2) + q
= −8 + 4p+ 6 + 9
= −2 + 4p+ q
4p+ q = 2
f(3) = 33 + p(3)2 − 3(3) + q
= 27 + 9p− 9 + q
= 18 + 9p+ q
9p+ q = −18
Eliminasi persamaan pertama dan kedua:
4p+ q = 2
9p+ q = −18
Hasil eliminasi dari persamaan diatas kita mendapatkan nilai p = −4 dan q = 18.Sehingga persamaan diatas menjadi x3 − 4x2 − 3x+ 18 = 0Sekarang kita akan mencari faktor yang lain dari persamaan x3 − 4x2 − 3x + 18 = 0selain (x+ 2)(x− 3) dengan jalan membagi persamaan x3− 4x2− 3x+ 18 = 0 dengan(x+ 2)(x− 3).
x3 − 4x2 − 3x+ 18 = 0
x2 − x− 6= x− 3
Sehingga akar-akarnya adalah:
x1 = −2
x2 = 3
x3 = 3
Sehingga x1 + x2 + x3 = −2 + 3 + 3 = 4
11. DiketahuiPremis 1 : Jika Adi rajin belajar maka Adi lulus ujian.Premis 2 : Jika Adi lulus ujian, maka Adi dapat diterima di PTN.Penarikan kesimpulan dari premis-premis tersebut adalah ....
(a) Jika Adi rajin belajar maka Adi dapat diterima di PTN
(b) Adi tidak rajin belajar atau Adi dapat diterima di PTN
(c) Adi rajin belajar tetapi Adi tidak dapat diterima di PTN
(d) Adi tidak rajin belajar tetapi Adi lulus ujian
(e) Jika Adi tidak lulus ujian maka Adi dapat diterima di PTN
Ujian Akhir Nasional (UAN) 9
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
Jawaban : a. Jika Adi rajin belajar maka Adi dapat diterima di PTN
Pembahasan
andaikan:p = Adi rajin belajarq = Adi lulus ujianr = Adi dapat diterima di PTN
maka dapat di susun pernyataannya menjadi:p =⇒ qq =⇒ rKita lihat bahwa bentuk diatas adalah Silogisme. Maka dengan mudah kita meny-impulkan bahwap =⇒ rDalam bentuk kalimat yaitu ”Jika Adi rajin belajar maka Adi dapat diterima di PTN”
12. Diketahui persamaan
(2 31 4
) (x 1
x+ y z − 2
)=
(21 823 9
).
Nilai x+ y − z = ....
(a) -5
(b) -3
(c) 1
(d) 5
(e) 9
Jawaban : c. 1
Pembahasan
(2 31 4
)(x 1
x+ y z − 2
)=
(21 823 9
)(
5x+ 3y 2 + 3z − 65x+ 4y 1 + 4z − 8
)=
(21 823 9
)
1 + 4z − 8 = 9
4z = 8 + 9− 1
z = 4
Eliminasi persamaan:5x+ 3y = 215x+ 4y = 23—————– -
−y = 2y = 2
Karena y = 2, maka kita dapatkan x = 3. Maka x+ y − z = 3 + 2− 4 = 1
13. Diketahui matriks A =
(1 23 5
)dan B =
(3 −21 4
). Jika At adalah transpose
dari matriks A, dan AX = B +At maka determinan matriks A adalah ....
(a) 46
(b) 33
(c) 27
Ujian Akhir Nasional (UAN) 10
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
(d) -33
(e) -46
Jawaban : d. -33
Pembahasan
At =
(1 32 5
)AX =
(3 −21 4
)+
(1 32 5
)AX =
(4 13 9
)X =
(4 13 9
)A−1
A−1 =1
det A
(d −b−c a
)= −1
(5 −2−3 1
)A−1 =
(−5 23 −1
)X =
(4 13 9
)(−5 23 −1
)X =
(−17 712 −3
)det X = 51− 84
|X| = −33
14. Perhatikan Gambar !
Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah ....
(a) y = 3x
(b) y =13 log(x)
(c) y =(− 1
3
)x(d) y = (−3)x
Ujian Akhir Nasional (UAN) 11
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
(e) y = (3)−x
Jawaban : a. y = 3x
PembahasanDari grafik terlihat bahwa fungsi y =a log(x) maka kita dapatkan fungsi inversnyaadalah x = ay
untuk x = 3 maka y = 1 sehingga 3 = a1 maka nilai a = 3. sehingga fungsi inversnyaadalah x = 3y, maka y = 3x
15. Diberikan segiempat ABCD seperti pada gambar !
Panjang BC adalah ....
(a) 4√
2
(b) 6√
2
(c) 7√
3
(d) 5√
6
(e) 7√
6
16. Limas segitiga T.ABC dengan AB = 7 cm, BC = 5 cm, AC = 4 cm, dan tinggi =√
5.Volume limas T.ABC tersebut adalah ....
(a)5
3
√30 cm3
(b)4
3
√30 cm3
(c)2
3
√30 cm3
(d)2
3
√15 cm3
(e)1
3
√15 cm3
17. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos(2x) − 3 cos(x) + 2 = 0, 00 ≤ x ≤ 3600
adalah ....
(a) {600, 3000}(b) {00, 600, 3000}(c) {00, 600, 1800, 3600}(d) {00, 600, 3000, 3600}(e) {00, 600, 1200, 3600}
Ujian Akhir Nasional (UAN) 12
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
Jawaban : d. {00, 600, 3000, 3600}
Pembahasan
cos(2x)− 3 cos(x) + 2 = 0
cos2(x)− sin2(x)− 3 cos(x) + 2 = 0
cos2(x)− (1− cos2(x))− 3 cos(x) + 2 = 0
2 cos2(x)− 3 cos(x) + 1 = 0
Misalkan: cos(x) = P2P − 3P + 1 = 0(2P − 1)(P − 1) = 0
P =1
2dan P = 1
cos(x) =1
2
x = cos−1(
1
2
)x = 600 dan x = 3000
cos(x) = 1x = 00 dan x = 3600
Jadi, HP={00, 600, 3000, 3600}
18. Persamaan bayangan garis y = 2x − 3 karena refleksi terhadap garis y = −x dandilanjutkan refleksi terhadap garis y = x adalah ....
(a) y + 2x− 3
(b) y − 2x− 3
(c) 2y + x− 3
(d) 2y − x− 3
(e) 2y + x+ 3
Jawaban : a. y + 2x− 3
Pembahasan
Refleksi terhadap garis y = −x maka berarti di transformasikan dengan matriks:(0 −1−1 0
)dan dilanjutkan refleksi terhadap garis y = x berarti di transformasikan
dengan matriks
(0 11 0
)Maka:
(x′
y′
)=
(0 −1−1 0
)(xy
)x′ = −yy′ = −x−x = 2y − 3
Ujian Akhir Nasional (UAN) 13
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
(x′′
y′′
)=
(0 11 0
)(xy
)x′′ = y
y′′ = x
−y = 2x− 3
y + 2x− 3 = 0
19. Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 1 kg anggur adalah Rp 70.000,00 dan harga 1 kgmangga, 2 kg jeruk, dan 2 kg anggur adalah Rp 90.000,00. Jika harga 2 kg mangga,2 kg jeruk, dan 3 kg anggur Rp 130.000,00, maka harga 1 kg jeruk adalah ....
(a) Rp 5.000,00
(b) Rp 7.500,00
(c) Rp 10.000,00
(d) Rp 12.000,00
(e) Rp 15.000,00
Jawaban : c. Rp 10.000,00
Pembahasan
Misalkan Mangga = x, Jeruk = y, dan anggur = z. maka Model matematikanyaadalah:
2x+ 2y + z = 70.000
x+ 2y + 2z = 90.000
2x+ 2y + 3z = 130.000
2x+ 2y + z = 70.000
2x+ 2y + 3z = 130.000
−2z = −60.000
z = 30.000
2x+ 2y + z = 70.000
x+ 2y + 2z = 90.000
x− z = −20.000
x− (30.000) = −20.000
x = −20.000 + 30.000
x = 10.000
20. Di atas tanah seluas 1 hektar akan dibangun dua tipe rumah, yaitu tipe A dan tipeB. Tiap unit rumah tipe A luasnya 100 m2, sedangkan tipe B luasnya 75 m2. Jumlahrumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit. Harga jual rumah tipe A adalahRp 100.000.000,00 dan rumah tipe B adalah Rp 60.000.000,00. Supaya pendapatandari hasil penjualan seluruh rumah maksimum maka harus dibangun rumah sebanyak....
(a) 100 rumah tipe A saja
(b) 125 rumah tipe A saja
Ujian Akhir Nasional (UAN) 14
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
(c) 100 rumah tipe B saja
(d) 100 rumah tipe A dan 25 tipe B
(e) 25 rumah tipe A dan 100 tipe B
Jawaban : a. 100 rumah tipe A saja
Pembahasan
Misalkan, Tipe A = x dan Tipe B = y. Dengan konversi 1 hektar = 10.000 m2
Model matematikanya adalah:
100x+ 75y ≤ 10.000
x+ y ≤ 125
Dengan fungsi tujuan f(x) = 100.000.000x + 60.000.000y Kita lihat dulu grafiknya:Daerah yang memenuhi pada grafik diatas adalah daerah yang berwarna ungu. dengan
titik-titik yang memenuhi adalah titik-titik yang berwarna kuning. Titik x, y dapatdicari dengan mengeliminasi kedua persamaan tersebut maka dihasilkan x = 25 dany = 100. Maaf, gambarnya kurang pas yah, jauh malahan. hehehehehe. Sekarang kitamasukkan ke fungsi tujuan mulai dari:
(0, 125)⇒ 100.000.000(0) + 60.000.000(125) = 7.500.000.000
(25, 100)⇒ 100.000.000(25) + 60.000.000(100) = 8.500.000.000
(100, 0)⇒ 100.000.000(100) + 60.000.000(0) = 10.000.000.000
Dari fungsi tujuan diatas, dapat dilihat bahwa nilai maksimum terlihat pada titik(100,0). Jadi dapat disimpulkan bahwa Supaya pendapatan dari hasil penjualan selu-ruh rumah maksimum maka harus dibangun rumah sebanyak 100 rumah tipe A
21. Diketahui segitiga ABC dengan A(2,1,2), B(6,1,2), dan C(6,5,2). Jika ~u mewakili ~AB
dan ~v mewakili ~AC, maka sudut yang dibentuk oleh vektor ~u dan ~v adalah ....
(a) 300
(b) 450
(c) 600
Ujian Akhir Nasional (UAN) 15
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
(d) 900
(e) 1200
Jawaban : b. 450
Pembahasan
~v = ~AC
= (4, 4, 0)
|~v| =√
16 + 16
=√
32
= 4√
2
~u = ~AB
= (4, 0, 0)
|~u| =√
16
= 4
cos(θ) =~u~v
|~u||~v|
~u~v =
400
440
= 16 + 0 + 0
= 16
cos(θ) =16
4√
2 4
=16
16√
2
=1√2
cos(θ) =
√2
2
θ = cos−1
(√2
2
)θ = 450
22. Diketahui vektor ~a = 2~i − 4~j − 6~k dan vektor ~b = 2~i − 2~j + 4~k. Proyeksi ortogonalvektor ~a dan ~b adalah ....
(a) −4~i+ 8~j + 12~k
(b) −4~i+ 4~j − 8~k
(c) −2~i+ 2~j − 4~k
(d) −~i+ 2~j + 3~k
(e) −~i+~j +−2~k
Jawaban : e. −~i+~j +−2~k
Pembahasan
Ujian Akhir Nasional (UAN) 16
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
~a = 2~i− 4~j − 6~k~b = 2~i− 2~j + 4~k
Proyeksi ortogonal vektor ~a dan ~b Saya misalkan e dengan rumus e =a.b
|b|2b. Terlebih
dahulu kita mencari nilai a.b.
a.b =
2−4−6
2−24
= 4 + 8− 24
= −12
~|b| =√
22 + (−2)2 + 42
=√
4 + 4 + 16
=√
8 + 16
=√
24
~|b|2
= 24
e =a.b
~|b|2 b
= −12
24
2−24
= −1
2
2−24
e =
−11−2
Sehingga kita dapatkan e = ~−i+~j − 2~k
23. Nilai limx→√2
x2 − 2
x−√
2= ....
(a) 2√
2
(b) 2
(c)√
2
(d) 0
(e) −√
2
Jawaban : a. 2√
2
Pembahasan
limx→√2
x2 − 2
x−√
2jika kita masukkan nilainya
√2 kedalam fungsi x, maka akan menda-
patkan hasil0
0, sehingga solusinya adalah dengan cara memfaktorkan fungsi pembi-
Ujian Akhir Nasional (UAN) 17
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
langnya.
limx→√2
x2 − 2
x−√
2= lim
x→√2
(x−√
2)(x+√
2)
x−√
2
= limx→√2
= x+√
2
=√
2 +√
2
= 2√
2
24. Nilai limx→0
1− cos(2x)
1− cos(4x)= ....
(a) −1
2
(b) −1
4
(c) 0
(d)1
16
(e)1
4
Jawaban : e.1
4
Pembahasan
limx→0
1− cos(2x)
1− cos(4x)jika kita melakukan substitusi nilai 0 kedalam fungsi x, maka akan
kita dapatkan bentuk0
0, sehingga solusinya adalah dengan menggunakan perkalian
sekawan atau dengan menggunakan aturan L’Hopital. Dengan menggunakan AturanL’Hopital, Kita dengan mudah mendapatkan hasilnya dengan jalan menurunkan fungsipembilang dan penyebutnya.
limx→0
1− cos(2x)
1− cos(4x)= lim
x→0
2 sin(2x)
4 sin(4x)
= limx→0
4 cos(2x)
16 cos(4x)
=4.1
16.1
=4
16
=1
4
25. Nilai darisin(750) + sin(150)
cos(1050)− cos(150)= ....
(a) −1
3
√3
(b) −1
2
√2
(c) −1
(d)1
2
(e) 1
Ujian Akhir Nasional (UAN) 18
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
Jawaban : c. −1
Pembahasan
sin(A) + sin(B) = 2 sin(A+B
2) cos(
A−B2
)
cos(A)− cos(B) = −2 sin(A+B
2) sin(
A−B2
)
sin(750) + sin(150) = 2 sin(750 + 150
2) cos(
750 − 150
2)
= 2 sin(900
2) cos(
600
2)
= 2 sin(450) cos(300
)
= 21
2
√2
1
2
√3
sin(750) + sin(150) =1
2
√6
cos(1050)− cos(150) = −2 sin(1050 + 150
2) sin(
1050 − 150
2)
= −2 sin(1200
2) sin(
900
2)
= −2 sin(600) sin(450)
= −21
2
√3
1
2
√2
cos(1050)− cos(150) = −1
2
√6
sin(750) + sin(150)
cos(1050)− cos(150)=
12
√6
− 12
√6
= −1
26. Hasil
∫ 3
1
(x2 +
1
6
)dx = ....
(a) 92
3
(b) 9
(c) 8
(d)10
3
(e) 3
Jawaban : b. 9
Pembahasan
Ujian Akhir Nasional (UAN) 19
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
∫ 3
1
(x2 +
1
6
)dx =
[x3
3+
1
6x
]31
=33
3+
3
6− 1
3− 1
6
=27
3+
3
6− 1
3− 1
6
=26
3+
2
6
=26
3+
1
3
=27
3= 9
27. Diketahui (A+B) =π
3dan sin(A) sin(B) =
1
4. Nilai dari cos(A−B) = ....
(a) −1
(b) −1
2
(c)1
2
(d)3
4(e) 1
Jawaban : e. 1
Pembahasan
Jika diketahui (A+B) =π
3dan sin(A) sin(B) =
1
4.
Kita ingat kembali Rumus cos(A±B).
cos(A+B) = cos(A) cos(B)− sin(A) sin(B)
cos(A−B) = cos(A) cos(B) + sin(A) sin(B)
cos(A+B) = cos(A) cos(B)− sin(A) sin(B)
cos(π
3) = cos(A) cos(B)− 1
41
2= cos(A) cos(B)− 1
4
cos(A) cos(B) =1
2+
1
4
cos(A) cos(B) =3
4cos(A−B) = cos(A) cos(B) + sin(A) sin(B)
=3
4+
1
4
=4
4= 1
28. Hasil
∫ π2
0
(2 sin(x)− cos(2x))dx = ....
(a) −5
2
Ujian Akhir Nasional (UAN) 20
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
(b)3
2(c) 1
(d) 2
(e)5
2
Jawaban : d. 2
Pembahasan
∫ π2
0
(2 sin(x)− cos(2x))dx =
[−2 cos(x)− 1
2sin(2x)
]π2
0
=
(−2 cos(
π
2)− 1
2sin(
2π
2)
)−(−2 cos(0)− 1
2sin(0)
)= (−2)(0)− 1
2(0) + 2(1) + 0
= 2
29. Suku ke-6 dan suku ke-12 suatu barisan aritmatika berturut-turut 35 dan 65. Sukuke-52, barisan tersebut adalah ....
(a) 245
(b) 255
(c) 265
(d) 285
(e) 355
Jawaban : c. 265
Pembahasan Kita ingat kembali rumus mencari suku ke-n dari barisan aritmatika
yaitu Un = a+ (n− 1)b.
U6 = a+ 5b
35 = a+ 5b
U12 = a+ 11b
65 = a+ 11b
Eliminasi kedua persamaan diatas:35 = a+ 5b65 = a+ 11b—————– -−30 = −6bb = 5Untuk b=5, masukkan kedalam persamaan a+ 5b = 35 a+ 5(5) = 35a+ 25 = 35a = 10
U52 = a+ 51b
= 10 + (51)(5)
= 10 + 255
= 265
Ujian Akhir Nasional (UAN) 21
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
30. Suatu perusahaan pakaian dapat menghasilkan 4.000 buah pada awal produksi. Padabulan berikutnya produksi dapat ditingkatkan menjadi 4.050. Bila kemajuan tetap,maka jumlah produksi dalam 1 tahun ada ....
(a) 45.500 buah
(b) 48.000 buah
(c) 50.500 buah
(d) 51.300 buah
(e) 55.500 buah
Jawaban : d. 51.300 buah
Pembahasan Jika dalam 1 tahun maka yang ditanya adalah U12. Caranya adalah
dengan menggunakan rumus jumlah barisan aritmatika yaitu:Sn =n
2(a+ Un)
a = 4000, dan beda (b) = 50. Maka:
U12 = a+ 11b
= 4000 + 11(50)
= 4000 + 550
U12 = 4550
S12 =12
2(a+ U12)
= 6(4000 + 4550)
= 6(8.550)
= 51.300
31. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar (9000+1000x+10x2)rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusa-haan tersebut adalah ....
(a) Rp 149.000,00
(b) Rp 249.000,00
(c) Rp 391.000,00
(d) Rp 606.000,00
(e) Rp 757.000,00
32. Distribusi nilai ulangan matematika di kelas XIIA:
Nilai f50-54 255-59 460-64 865-69 1670-74 1075-79 2
Modus dari data pada tabel adalah ....
(a) 64, 5 + 6
(8
6
)(b) 64, 5 + 5
(8
6
)
Ujian Akhir Nasional (UAN) 22
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
(c) 64, 5 + 5
(8
8 + 6
)(d) 64, 5− 6
(8
8 + 6
)(e) 64, 5− 5
(8
8 + 6
)Jawaban : c. 64, 5 + 5
(8
8 + 6
)Pembahasan
Modus adalah data yang sering muncul. Dari tabel diatas, data yang sering munculadalah pada interval 65-69 dengan frekuensi 16. Dari tabel diatas, kita dapatkan batasbawah L0 = 64, 5. Panjang kelas P = 5. d1 = 16 − 8 = 8 dan d2 = 16 − 10 = 6.Rumus mencari Modus adalah :
Mo = L0 + P
(d1
d1 + d2
)Mo = 64, 5 + 5
(8
8 + 6
)
33. Setiap dua warna yang berbeda dicampur dapat menghasilkan warna baru yang khas.Banyak warna baru yang khas apabila disediakan 5 warna yang berbeda adalah ....
(a) 60
(b) 20
(c) 15
(d) 10
(e) 8
Jawaban : d. 10
Pembahasan
Kita lihat bahwa pencampuran antara merah dan biru hasilnya akan sama denganpencampuran antara biru dengan merah. Dalam hal ini kita lihat bahwa kita harusmengerjakan dengan menggunakan Kombinasi yaitu dengan catatan tidak memper-hatikan urutan. Ok Langsung saja.n = 5 dan r = 2. Sehingga :
Cnr =
n!
r!(n− r)!
=5!
2!3!
=5.4.3!
3!2!
=5.4
2!= 10
34. Dalam kantong terdapat 4 kelereng merah dan 5 kelereng biru. Jika dari kantongdiambil dua kelereng sekaligus, maka peluang mendapatkan kelereng satu berwarnamerah dan satu berwarna biru adalah ....
(a)9
81
Ujian Akhir Nasional (UAN) 23
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
(b)20
81
(c)4
9
(d)5
9
(e)4
5
Jawaban : d.5
9
Pembahasan
n(A) = (C41 )(C5
1 )
=
(4!
1!(4− 1)!
)(5!
1!(5− 1)!
)=
(43!
1!3!
)(54!
1!4!
)= (4)(5)
= 20
n(S) = C92
=9!
2!(9− 2)!
=9.8.7!
2!7!
=9.8
2!= 36
P (A) =n(A)
n(S)
=20
36
=10
18
=5
9
35. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, garis y = x+ 2, sumbu Y di kuadran Iadalah ....
(a)2
3Satuan Luas
(b)4
3Satuan Luas
(c)6
3Satuan Luas
(d)8
3Satuan Luas
(e)10
3Satuan Luas
Jawaban : e.10
3Satuan Luas
Pembahasan
Ujian Akhir Nasional (UAN) 24
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
Terlebih dahulu kita cari titik potong antara dua kurva berikut:x + 2 = x2 sehingga x + 2 − x2 = 0. Sihingga kita dapatkan (x + 1)(x − 2) dankita dapatkan x = −1 dan x = 2. Karena permintaan soal adalah Kuadran I, makabatas-batas x adalah 0 dan 2.
Perhatikan Gambar berikut:
Sehingga: ∫ 2
0
x+ 2− x2dx =
[x2
2+ 2x− 1
3x3]20
= =22
2+ 2(2)− 1
323 − 0
= 2 + 4− 8
3
= 6− 8
3
=18− 8
3
=10
3
36. Hasil
∫sin3(3x) cos(3x)dx = ....
(a)1
4sin4(3x) + C
(b)3
4sin4(3x) + C
(c) 4 sin4(3x) + C
(d)1
3sin4(3x) + C
(e)1
12sin4(3x) + C
Jawaban : e.1
12sin4(3x) + C
Pembahasan∫sin3(3x) cos(3x)dx Kita misalkan u = 3x maka du = 3dx ⇒ 1
3du = dx, Sehingga
integralnya menjadi:1
3
∫sin3(u) cos(u)du
Ujian Akhir Nasional (UAN) 25
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
Kita misalkan ulang w = sin(u) maka dw = cos(u)du Sehingga bentuk integralnyamenjadi ∫
sin3(3x) cos(3x)dx =1
3
∫w3dw
=1
3
w4
4+ C
=1
12w4 + C
=1
12sin4(u) + C
=1
12sin4(3x) + C
37. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, garisy = 2x di kuadran I diputar 360o terhadap sumbu X adalah ....
(a)20
15π Satuan volume
(b)30
15π Satuan volume
(c)54
15π Satuan volume
(d)64
15π Satuan volume
(e)144
15π Satuan volume
Jawaban : e.
Pembahasan
Sebelumnya kita mencari batas-batas nilai x yaitu x2−2x = 0 maka x(x−2) = 0 kitaperoleh x = 0 dan x = 2. Perhatikan gambar berikut:
38. Hasil
∫6x√
3x2 + 5dx = ....
(a)2
3(6x2 + 5)
√6x2 + 5 + C
Ujian Akhir Nasional (UAN) 26
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
(b)2
3(3x2 + 5)
√3x2 + 5 + C
(c)2
3(x2 + 5)
√x2 + 5 + C
(d)3
2(x2 + 5)
√x2 + 5 + C
(e)3
2(3x2 + 5)
√3x2 + 5 + C
Jawaban : b.2
3(3x2 + 5)
√3x2 + 5 + C
Pembahasan
Misalkan u = 3x2 + 5 maka du = 6xdx∫6x√
3x2 + 5dx =
∫ √udu
=
∫u
12 du
=2
3u
32+C
=2
3(3x2 + 5)
32 + C
=2
3(3x2 + 5)(3x2 + 5)
12 + C
=2
3(3x2 + 5)
√(3x2 + 5) + C
39. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Jarak C ke bidang AFHadalah ....
(a)1
6a√
6 cm
(b)1
3a√
3 cm
(c)1
3a√
6 cm
(d)2
3a√
2 cm
(e)2
3a√
3 cm
Jawaban : e.2
3a√
3 cm
Pembahasan
Perhatikan Gambar berikut:dari gambar diatas terlihat bahwa yang akan kita cari adalah jarak dari titik C ke titikP. OK langsung saja:
AC =√AB2 +BC2
=√a2 + a2
= a√
2
Ujian Akhir Nasional (UAN) 27
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
Karena Nilai AC = a√
2 maka nilai FH juga a√
2 dan nilai EG juga a√
2 dan nilai EC
adalaha
2
√2. Sekarang kita akan mencari panjang AQ.
AQ =√AE2 + EQ2
=
√a2 +
(a2
√2)2
=
√a2 +
a2
2
=
√3
2a2
= a
√3
2
Sekarang kita tinjau Segitiga AQR.
sin(A) =QR
AQ
=a
a√
32
=1√32
sin(A) =2
3
√3
2
Sekarang kita tinjau Segitiga APC.
sin(A) =CP
AC
2
3
√3
2=
CP
a√
2
CP =2
3
√3
2x a
√2
CP =2
3a√
3
Jadi, Jarak titik C ke bidang AFH adalah2
3a√
3
Ujian Akhir Nasional (UAN) 28
Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com
40. Diketahui limas segiempat beraturan TABCD. Panjang rusuk alas 6 cm, dan rusuktegak 12 cm. Nilai kosinus sudut antara TA dengan bidang limas adalah ....
(a)1
4
√2
(b)1
2
(c)1
3
√3
(d)1
2
√2
(e)1
2
√3
Selamat Mengerjakan
Soal ini di tulis ulang oleh Fendi Alfi Fauzi dengan menggunakan LATEXDokumen ini dapat anda download di http://alfysta.wordpress.com.
Jika ada kritik dan saran silahkan langsung via email di [email protected]
Ujian Akhir Nasional (UAN) 29