ujian nasional tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · ujian nasional tahun pelajaran 2010/2011...

29
Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com [email protected]

Upload: vonhan

Post on 08-Mar-2019

239 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Ujian NasionalTahun Pelajaran 2010/2011

UTAMA

SMA / MA

Program Studi

IPA

MATEMATIKA(D10)

c©Fendi Alfi Fauzihttp://alfysta.wordpress.com

[email protected]

Page 2: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

Ujian NasionalTahun Pelajaran 2010/2011

(Pelajaran Matematika)

Tulisan ini bebas dibaca dan disebarluaskan kepada siapapun dengan catatan

tetap menyertakan Catatan kaki dan nama penulis.

Copyright

c©Fendi Alfi Fauzi

[email protected]

Ditulis Ulang Oleh Fendi Alfi Fauzi

Tulisan ini sengaja dibuat untuk semua siswa SMA yang akan mengikuti ujian

UAN khususnya di daerah Gorontalo. Mudah-mudahan tulisan ini berguna dan

bermanfaat untuk kita semua. Tulisan ini saya buat dengan program LATEX.

Tulisan ini bisa anda download di http://alfysta.wordpress.com. Jika ada

koreksi, kritik, atau saran tentang tulisan ini silakan menghubungi penulis

via email ke alamat [email protected]

Ujian Akhir Nasional (UAN) 2

Page 3: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

1. Persamaan kuadrat x2− 3x− 2 = 0 akar-akarnya x1 dan x2. Persamaan kuadrat baruyang akar-akarnya (3x1 + 1) dan (3x2 + 1) adalah......

(a) x2 − 11x− 8 = 0

(b) x2 − 11x− 26 = 0

(c) x2 − 9x− 8 = 0

(d) x2 + 9x− 8 = 0

(e) x2 − 9x− 26 = 0

Jawaban: a. x2 − 11x− 8 = 0Pembahasan

x1 + x2 = − ba

= −−3

1= 3

x1.x2 =c

a

=−2

1= −2

Akar-akar persamaan kuadrat yang baru.

(3x1 + 1) + (3x2 + 1) = 3x1 + 3x2 + 2

= 3(x1 + x2) + 2

= 3(3) + 2

= 9 + 2

= 11

(3x1 + 1)(3x2 + 1) = 9x1x2 + 3x1 + 3x2 + 1

= 9(x1x2) + 3(x1 + x2) + 1

= 9(−2) + 3(3) + 1

= −18 + 9 + 1

= −8

Dengan menggunakan Rumus Menyusun akar-akar persamaan kuadrat yaitu:x2 − x(x1 + x2) + x1x2 = 0 kita mendapatkan:x2 − x(11) + (−8) = 0x2 − 11x− 8 = 0Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah: x2 − 11x− 8 = 0

2. Persamaan garis singgung lingkaran x2+y2−6x+4y+11 = 0 di titik (2,−1) adalah......

(a) x− y − 12 = 0

(b) x− y − 4 = 0

(c) x− y − 3 = 0

(d) x+ y − 3 = 0

(e) x+ y + 3 = 0

Ujian Akhir Nasional (UAN) 3

Page 4: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

Jawaban: c. x− y − 3 = 0Pembahasan

Titik Pusat dari lingkaran x2 + y2 − 6x+ 4y + 11 = 0 adalah P (3,−2). Sehingga kitadapat mencari nilai r2.

Persamaan bakunya adalah :

(x− 3)2 + (y + 2)2 = −11 + 9 + 4

(x− 3)2 + (y + 2)2 = 2

Jadi, kita peroleh bahwa r2 = 2.

Persamaan Garis singgung lingkaran yang melalui titik (a,b) adalah:

(x1 − a)(x− a) + (y1 − b)(y − b) = r2

(2− 3)(x− 3) + (−1 + 2)(y + 2) = 2

(−1)(x− 3) + (1)(y + 2) = 2

−x+ 3 + y + 2 = 2

−x+ y + 3 = 0

x− y − 3 = 0

Jadi, Persamaan garis singgung lingkaran adalah x− y − 3 = 0

3. Fungsi f dan g adalah pemetaan dari R ke R yang dirumuskan oleh f(x) = 3x + 5

dan g(x) =2x

x+ 1, x 6= −1. Rumus (gof)(x) adalah ....

(a)6x

x+ 6, x 6= −6

(b)5x+ 5

x+ 1, x 6= −1

(c)6x+ 10

3x+ 6, x 6= −2

(d)6x+ 5

3x+ 6, x 6= −2

(e)5x+ 5

3x+ 6, x 6= −2

Jawaban : c.6x+ 10

3x+ 6, x 6= −2

Pembahasan

Diketahui :

f(x) = 3x+ 5 dan g(x) =2x

x+ 1, x 6= −1

Ditanya:(gof)(x) ....?

Jawaban:

(gof)(x) = g(f(x))

=2(3x+ 5)

(3x+ 5) + 1

=6x+ 10

3x+ 6, x 6= −2

jadi, (gof)(x) =6x+ 10

3x+ 6, x 6= −2

Ujian Akhir Nasional (UAN) 4

Page 5: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

4. Bentuk sederhana dari

√3 + 3

√2√

3− 6√

2= ....

(a) − 1

23(13 + 3

√6)

(b) − 1

23(13− 3

√6)

(c) − 1

23(−11−

√6)

(d)1

23(11 + 3

√6)

(e)1

23(13 + 3

√6)

Jawaban : e.1

23(13 + 3

√6)

Pembahasan

√3 + 3

√2√

3− 6√

2kita rasionalkan penyebutnya dengan cara mengkalikan dengan

√3 + 6

√2√

3 + 6√

2.

(√3 + 3

√2√

3− 6√

2

)(√3 + 6

√2√

3 + 6√

2

)=

3 + 6√

6 + 3√

6 + 36

3− 72

=6√

6 + 39 + 3√

6

69

=9√

6 + 39

69

=3√

6 + 13

23

=1

23(13 + 3

√6)

5. Bentuk sederhana dari24a−7b−2c

6a−2b−3c−6= ....

(a)4c5

a3b5

(b)4b

a5c5

(c)4b

a3c

(d)4bc7

a5

(e)4c7

a3b

Jawaban : d.4bc7

a5

Pembahasan

24a−7b−2c

6a−2b−3c−6= 4a5bc7

=4bc7

a5

Ujian Akhir Nasional (UAN) 5

Page 6: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

6. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + mx + 16 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β danα, β positif, maka nilai m = ....

(a) -12

(b) -6

(c) 6

(d) 8

(e) 12

Jawaban : a. -12

Pembahasan

Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + mx + 16 = 0 adalah α dan β. Diketahui jugabahwa α = 2β. Maka:

α.β =c

a

2β.β =16

2

2β2 = 8

β2 = 4

β = 2

Nilai β = 2, maka:

α+ β = − ba

2β + β = − ba

3β = −m2

β = −m6

2 = −m6

−m = 12

m = −12

7. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 log2(2x− 2)−2 log(2x− 2) = 2 adalah ....

(a) x = 6 atau x = 21

2(b) x = 6 atau x = 3

(c) x = 3 atau x = 4

(d) x = 3 atau x = 11

4(e) x = 4 atau x = 6

Jawaban : d. x = 3 atau x = 11

4

Pembahasan

Dari Persamaan 2 log2(2x− 2)−2 log(2x− 2) = 2,

Kita ubah bentuknya menjadi 2 log2(2x− 2)−2 log(2x− 2)− 2 = 0.

Ujian Akhir Nasional (UAN) 6

Page 7: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

Kita misalkan 2 log(2x− 2) = P . Maka kita mendapatkan persamaan:

2 log2(2x− 2)−2 log(2x− 2)− 2 = 0

P 2 − P − 2 = 0

(P − 2)(P + 1) = 0

P = 2 dan P = −1

2 log(2x− 2) = 2

2x− 2 = 22

2x = 6

x = 3

2 log(2x− 2) = −1

2x− 2 = 2−1

2x− 2 =1

2

2x =5

2

x =5

4

x = 11

4

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 3 atau x = 11

4

8. Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + 2√

2x+ (a− 1), a 6= 0 memotong sumbu X di duatitik berbeda. Batas-batas nilai a yang memenuhi adalah ....

(a) a < −1 atau a > 2

(b) a < −2 atau a > 1

(c) −1 < a < 2

(d) −2 < a < 1

(e) −2 < a < −1

Jawaban : d. −2 < a < 1

Pembahasan

Grafik Fungsi Kuadrat f(x) = ax2 + 2√

2x + (a − 1), a 6= 0 memotong sumbu X didua titik berbeda, maka kita mendapatkan bahwa D > 0. Sehingga

D > 0

b2 − 4ac > 0

(2√

2)2 − 4.a.(a− 1) > 0

8− 4a2 − 4a > 0

−a2 − a+ 8 > 0

−a2 − a+ 8 = 0

(−a− 2)(a− 1) = 0

a = −2 dan a = 1

Jika kita mengujinya dalam garis bilangan, maka kita dapatkan batas-batas x beradapada −2 < a < 1

Ujian Akhir Nasional (UAN) 7

Page 8: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

9. Diketahui suku banyak f(x) = ax3 + 2x2 + bx+ 5, a 6= 0 dibagi oleh (x+ 1) sisanya 4dan dibagi oleh (2x− 1) sisanya juga 4. Nilai dari (a+ 2b) adalah ....

(a) -8

(b) -2

(c) 2

(d) 3

(e) 8

Jawaban : b. -2

Pembahasan

Penyelesaian soal ini dengan menggunakan Teorema sisa

f(x) = ax3 + 2x2 + bx+ 5, a 6= 0 dibagi oleh (x+ 1) sisanya 4

f(−1) = −a+ 2− b+ 5

4 = −a− b+ 7

−3 = −a− b (1)

f(x) = ax3 + 2x2 + bx+ 5, a 6= 0 dibagi oleh (2x− 1) sisanya 4

f

(1

2

)=

(1

2

)3

a+ 2

(1

2

)2

+ b

(1

2

)+ 5

4 =a

8+

1

2+

1

2b+ 5

32 = a+ 4 + 4b+ 40

32 = a+ 4b+ 44

−12 = a+ 4b (2)

Dari persamaan 1 dan 2 kita dapat melakukan eliminasi untuk mendapatkan nilai adan b.

−3 = −a− b−12 = a+ 4b

Dengan mengeliminasi kedua persamaan diatas di dapat nilai a = 8 dan b = −5.Sehingga hasil dari a+ 2b adalah:

a+ 2b = 8 + 2(−5)

= 8− 10

= −2

10. Faktor-faktor persamaan suku banyak x3 + px2 − 3x + q = 0 adalah (x − 2) dan(x− 3). Jika x1, x2, x3 adalah akar-akar persamaan suku banyak tersebut, maka nilaix1 + x2 + x3 = ....

(a) -7

(b) -5

Ujian Akhir Nasional (UAN) 8

Page 9: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

(c) -4

(d) 4

(e) 7

Jawaban : d. 4

Pembahasan

f(−2) = −23 + p(−2)2 − 3(−2) + q

= −8 + 4p+ 6 + 9

= −2 + 4p+ q

4p+ q = 2

f(3) = 33 + p(3)2 − 3(3) + q

= 27 + 9p− 9 + q

= 18 + 9p+ q

9p+ q = −18

Eliminasi persamaan pertama dan kedua:

4p+ q = 2

9p+ q = −18

Hasil eliminasi dari persamaan diatas kita mendapatkan nilai p = −4 dan q = 18.Sehingga persamaan diatas menjadi x3 − 4x2 − 3x+ 18 = 0Sekarang kita akan mencari faktor yang lain dari persamaan x3 − 4x2 − 3x + 18 = 0selain (x+ 2)(x− 3) dengan jalan membagi persamaan x3− 4x2− 3x+ 18 = 0 dengan(x+ 2)(x− 3).

x3 − 4x2 − 3x+ 18 = 0

x2 − x− 6= x− 3

Sehingga akar-akarnya adalah:

x1 = −2

x2 = 3

x3 = 3

Sehingga x1 + x2 + x3 = −2 + 3 + 3 = 4

11. DiketahuiPremis 1 : Jika Adi rajin belajar maka Adi lulus ujian.Premis 2 : Jika Adi lulus ujian, maka Adi dapat diterima di PTN.Penarikan kesimpulan dari premis-premis tersebut adalah ....

(a) Jika Adi rajin belajar maka Adi dapat diterima di PTN

(b) Adi tidak rajin belajar atau Adi dapat diterima di PTN

(c) Adi rajin belajar tetapi Adi tidak dapat diterima di PTN

(d) Adi tidak rajin belajar tetapi Adi lulus ujian

(e) Jika Adi tidak lulus ujian maka Adi dapat diterima di PTN

Ujian Akhir Nasional (UAN) 9

Page 10: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

Jawaban : a. Jika Adi rajin belajar maka Adi dapat diterima di PTN

Pembahasan

andaikan:p = Adi rajin belajarq = Adi lulus ujianr = Adi dapat diterima di PTN

maka dapat di susun pernyataannya menjadi:p =⇒ qq =⇒ rKita lihat bahwa bentuk diatas adalah Silogisme. Maka dengan mudah kita meny-impulkan bahwap =⇒ rDalam bentuk kalimat yaitu ”Jika Adi rajin belajar maka Adi dapat diterima di PTN”

12. Diketahui persamaan

(2 31 4

) (x 1

x+ y z − 2

)=

(21 823 9

).

Nilai x+ y − z = ....

(a) -5

(b) -3

(c) 1

(d) 5

(e) 9

Jawaban : c. 1

Pembahasan

(2 31 4

)(x 1

x+ y z − 2

)=

(21 823 9

)(

5x+ 3y 2 + 3z − 65x+ 4y 1 + 4z − 8

)=

(21 823 9

)

1 + 4z − 8 = 9

4z = 8 + 9− 1

z = 4

Eliminasi persamaan:5x+ 3y = 215x+ 4y = 23—————– -

−y = 2y = 2

Karena y = 2, maka kita dapatkan x = 3. Maka x+ y − z = 3 + 2− 4 = 1

13. Diketahui matriks A =

(1 23 5

)dan B =

(3 −21 4

). Jika At adalah transpose

dari matriks A, dan AX = B +At maka determinan matriks A adalah ....

(a) 46

(b) 33

(c) 27

Ujian Akhir Nasional (UAN) 10

Page 11: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

(d) -33

(e) -46

Jawaban : d. -33

Pembahasan

At =

(1 32 5

)AX =

(3 −21 4

)+

(1 32 5

)AX =

(4 13 9

)X =

(4 13 9

)A−1

A−1 =1

det A

(d −b−c a

)= −1

(5 −2−3 1

)A−1 =

(−5 23 −1

)X =

(4 13 9

)(−5 23 −1

)X =

(−17 712 −3

)det X = 51− 84

|X| = −33

14. Perhatikan Gambar !

Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah ....

(a) y = 3x

(b) y =13 log(x)

(c) y =(− 1

3

)x(d) y = (−3)x

Ujian Akhir Nasional (UAN) 11

Page 12: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

(e) y = (3)−x

Jawaban : a. y = 3x

PembahasanDari grafik terlihat bahwa fungsi y =a log(x) maka kita dapatkan fungsi inversnyaadalah x = ay

untuk x = 3 maka y = 1 sehingga 3 = a1 maka nilai a = 3. sehingga fungsi inversnyaadalah x = 3y, maka y = 3x

15. Diberikan segiempat ABCD seperti pada gambar !

Panjang BC adalah ....

(a) 4√

2

(b) 6√

2

(c) 7√

3

(d) 5√

6

(e) 7√

6

16. Limas segitiga T.ABC dengan AB = 7 cm, BC = 5 cm, AC = 4 cm, dan tinggi =√

5.Volume limas T.ABC tersebut adalah ....

(a)5

3

√30 cm3

(b)4

3

√30 cm3

(c)2

3

√30 cm3

(d)2

3

√15 cm3

(e)1

3

√15 cm3

17. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos(2x) − 3 cos(x) + 2 = 0, 00 ≤ x ≤ 3600

adalah ....

(a) {600, 3000}(b) {00, 600, 3000}(c) {00, 600, 1800, 3600}(d) {00, 600, 3000, 3600}(e) {00, 600, 1200, 3600}

Ujian Akhir Nasional (UAN) 12

Page 13: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

Jawaban : d. {00, 600, 3000, 3600}

Pembahasan

cos(2x)− 3 cos(x) + 2 = 0

cos2(x)− sin2(x)− 3 cos(x) + 2 = 0

cos2(x)− (1− cos2(x))− 3 cos(x) + 2 = 0

2 cos2(x)− 3 cos(x) + 1 = 0

Misalkan: cos(x) = P2P − 3P + 1 = 0(2P − 1)(P − 1) = 0

P =1

2dan P = 1

cos(x) =1

2

x = cos−1(

1

2

)x = 600 dan x = 3000

cos(x) = 1x = 00 dan x = 3600

Jadi, HP={00, 600, 3000, 3600}

18. Persamaan bayangan garis y = 2x − 3 karena refleksi terhadap garis y = −x dandilanjutkan refleksi terhadap garis y = x adalah ....

(a) y + 2x− 3

(b) y − 2x− 3

(c) 2y + x− 3

(d) 2y − x− 3

(e) 2y + x+ 3

Jawaban : a. y + 2x− 3

Pembahasan

Refleksi terhadap garis y = −x maka berarti di transformasikan dengan matriks:(0 −1−1 0

)dan dilanjutkan refleksi terhadap garis y = x berarti di transformasikan

dengan matriks

(0 11 0

)Maka:

(x′

y′

)=

(0 −1−1 0

)(xy

)x′ = −yy′ = −x−x = 2y − 3

Ujian Akhir Nasional (UAN) 13

Page 14: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

(x′′

y′′

)=

(0 11 0

)(xy

)x′′ = y

y′′ = x

−y = 2x− 3

y + 2x− 3 = 0

19. Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 1 kg anggur adalah Rp 70.000,00 dan harga 1 kgmangga, 2 kg jeruk, dan 2 kg anggur adalah Rp 90.000,00. Jika harga 2 kg mangga,2 kg jeruk, dan 3 kg anggur Rp 130.000,00, maka harga 1 kg jeruk adalah ....

(a) Rp 5.000,00

(b) Rp 7.500,00

(c) Rp 10.000,00

(d) Rp 12.000,00

(e) Rp 15.000,00

Jawaban : c. Rp 10.000,00

Pembahasan

Misalkan Mangga = x, Jeruk = y, dan anggur = z. maka Model matematikanyaadalah:

2x+ 2y + z = 70.000

x+ 2y + 2z = 90.000

2x+ 2y + 3z = 130.000

2x+ 2y + z = 70.000

2x+ 2y + 3z = 130.000

−2z = −60.000

z = 30.000

2x+ 2y + z = 70.000

x+ 2y + 2z = 90.000

x− z = −20.000

x− (30.000) = −20.000

x = −20.000 + 30.000

x = 10.000

20. Di atas tanah seluas 1 hektar akan dibangun dua tipe rumah, yaitu tipe A dan tipeB. Tiap unit rumah tipe A luasnya 100 m2, sedangkan tipe B luasnya 75 m2. Jumlahrumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit. Harga jual rumah tipe A adalahRp 100.000.000,00 dan rumah tipe B adalah Rp 60.000.000,00. Supaya pendapatandari hasil penjualan seluruh rumah maksimum maka harus dibangun rumah sebanyak....

(a) 100 rumah tipe A saja

(b) 125 rumah tipe A saja

Ujian Akhir Nasional (UAN) 14

Page 15: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

(c) 100 rumah tipe B saja

(d) 100 rumah tipe A dan 25 tipe B

(e) 25 rumah tipe A dan 100 tipe B

Jawaban : a. 100 rumah tipe A saja

Pembahasan

Misalkan, Tipe A = x dan Tipe B = y. Dengan konversi 1 hektar = 10.000 m2

Model matematikanya adalah:

100x+ 75y ≤ 10.000

x+ y ≤ 125

Dengan fungsi tujuan f(x) = 100.000.000x + 60.000.000y Kita lihat dulu grafiknya:Daerah yang memenuhi pada grafik diatas adalah daerah yang berwarna ungu. dengan

titik-titik yang memenuhi adalah titik-titik yang berwarna kuning. Titik x, y dapatdicari dengan mengeliminasi kedua persamaan tersebut maka dihasilkan x = 25 dany = 100. Maaf, gambarnya kurang pas yah, jauh malahan. hehehehehe. Sekarang kitamasukkan ke fungsi tujuan mulai dari:

(0, 125)⇒ 100.000.000(0) + 60.000.000(125) = 7.500.000.000

(25, 100)⇒ 100.000.000(25) + 60.000.000(100) = 8.500.000.000

(100, 0)⇒ 100.000.000(100) + 60.000.000(0) = 10.000.000.000

Dari fungsi tujuan diatas, dapat dilihat bahwa nilai maksimum terlihat pada titik(100,0). Jadi dapat disimpulkan bahwa Supaya pendapatan dari hasil penjualan selu-ruh rumah maksimum maka harus dibangun rumah sebanyak 100 rumah tipe A

21. Diketahui segitiga ABC dengan A(2,1,2), B(6,1,2), dan C(6,5,2). Jika ~u mewakili ~AB

dan ~v mewakili ~AC, maka sudut yang dibentuk oleh vektor ~u dan ~v adalah ....

(a) 300

(b) 450

(c) 600

Ujian Akhir Nasional (UAN) 15

Page 16: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

(d) 900

(e) 1200

Jawaban : b. 450

Pembahasan

~v = ~AC

= (4, 4, 0)

|~v| =√

16 + 16

=√

32

= 4√

2

~u = ~AB

= (4, 0, 0)

|~u| =√

16

= 4

cos(θ) =~u~v

|~u||~v|

~u~v =

400

440

= 16 + 0 + 0

= 16

cos(θ) =16

4√

2 4

=16

16√

2

=1√2

cos(θ) =

√2

2

θ = cos−1

(√2

2

)θ = 450

22. Diketahui vektor ~a = 2~i − 4~j − 6~k dan vektor ~b = 2~i − 2~j + 4~k. Proyeksi ortogonalvektor ~a dan ~b adalah ....

(a) −4~i+ 8~j + 12~k

(b) −4~i+ 4~j − 8~k

(c) −2~i+ 2~j − 4~k

(d) −~i+ 2~j + 3~k

(e) −~i+~j +−2~k

Jawaban : e. −~i+~j +−2~k

Pembahasan

Ujian Akhir Nasional (UAN) 16

Page 17: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

~a = 2~i− 4~j − 6~k~b = 2~i− 2~j + 4~k

Proyeksi ortogonal vektor ~a dan ~b Saya misalkan e dengan rumus e =a.b

|b|2b. Terlebih

dahulu kita mencari nilai a.b.

a.b =

2−4−6

2−24

= 4 + 8− 24

= −12

~|b| =√

22 + (−2)2 + 42

=√

4 + 4 + 16

=√

8 + 16

=√

24

~|b|2

= 24

e =a.b

~|b|2 b

= −12

24

2−24

= −1

2

2−24

e =

−11−2

Sehingga kita dapatkan e = ~−i+~j − 2~k

23. Nilai limx→√2

x2 − 2

x−√

2= ....

(a) 2√

2

(b) 2

(c)√

2

(d) 0

(e) −√

2

Jawaban : a. 2√

2

Pembahasan

limx→√2

x2 − 2

x−√

2jika kita masukkan nilainya

√2 kedalam fungsi x, maka akan menda-

patkan hasil0

0, sehingga solusinya adalah dengan cara memfaktorkan fungsi pembi-

Ujian Akhir Nasional (UAN) 17

Page 18: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

langnya.

limx→√2

x2 − 2

x−√

2= lim

x→√2

(x−√

2)(x+√

2)

x−√

2

= limx→√2

= x+√

2

=√

2 +√

2

= 2√

2

24. Nilai limx→0

1− cos(2x)

1− cos(4x)= ....

(a) −1

2

(b) −1

4

(c) 0

(d)1

16

(e)1

4

Jawaban : e.1

4

Pembahasan

limx→0

1− cos(2x)

1− cos(4x)jika kita melakukan substitusi nilai 0 kedalam fungsi x, maka akan

kita dapatkan bentuk0

0, sehingga solusinya adalah dengan menggunakan perkalian

sekawan atau dengan menggunakan aturan L’Hopital. Dengan menggunakan AturanL’Hopital, Kita dengan mudah mendapatkan hasilnya dengan jalan menurunkan fungsipembilang dan penyebutnya.

limx→0

1− cos(2x)

1− cos(4x)= lim

x→0

2 sin(2x)

4 sin(4x)

= limx→0

4 cos(2x)

16 cos(4x)

=4.1

16.1

=4

16

=1

4

25. Nilai darisin(750) + sin(150)

cos(1050)− cos(150)= ....

(a) −1

3

√3

(b) −1

2

√2

(c) −1

(d)1

2

(e) 1

Ujian Akhir Nasional (UAN) 18

Page 19: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

Jawaban : c. −1

Pembahasan

sin(A) + sin(B) = 2 sin(A+B

2) cos(

A−B2

)

cos(A)− cos(B) = −2 sin(A+B

2) sin(

A−B2

)

sin(750) + sin(150) = 2 sin(750 + 150

2) cos(

750 − 150

2)

= 2 sin(900

2) cos(

600

2)

= 2 sin(450) cos(300

)

= 21

2

√2

1

2

√3

sin(750) + sin(150) =1

2

√6

cos(1050)− cos(150) = −2 sin(1050 + 150

2) sin(

1050 − 150

2)

= −2 sin(1200

2) sin(

900

2)

= −2 sin(600) sin(450)

= −21

2

√3

1

2

√2

cos(1050)− cos(150) = −1

2

√6

sin(750) + sin(150)

cos(1050)− cos(150)=

12

√6

− 12

√6

= −1

26. Hasil

∫ 3

1

(x2 +

1

6

)dx = ....

(a) 92

3

(b) 9

(c) 8

(d)10

3

(e) 3

Jawaban : b. 9

Pembahasan

Ujian Akhir Nasional (UAN) 19

Page 20: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

∫ 3

1

(x2 +

1

6

)dx =

[x3

3+

1

6x

]31

=33

3+

3

6− 1

3− 1

6

=27

3+

3

6− 1

3− 1

6

=26

3+

2

6

=26

3+

1

3

=27

3= 9

27. Diketahui (A+B) =π

3dan sin(A) sin(B) =

1

4. Nilai dari cos(A−B) = ....

(a) −1

(b) −1

2

(c)1

2

(d)3

4(e) 1

Jawaban : e. 1

Pembahasan

Jika diketahui (A+B) =π

3dan sin(A) sin(B) =

1

4.

Kita ingat kembali Rumus cos(A±B).

cos(A+B) = cos(A) cos(B)− sin(A) sin(B)

cos(A−B) = cos(A) cos(B) + sin(A) sin(B)

cos(A+B) = cos(A) cos(B)− sin(A) sin(B)

cos(π

3) = cos(A) cos(B)− 1

41

2= cos(A) cos(B)− 1

4

cos(A) cos(B) =1

2+

1

4

cos(A) cos(B) =3

4cos(A−B) = cos(A) cos(B) + sin(A) sin(B)

=3

4+

1

4

=4

4= 1

28. Hasil

∫ π2

0

(2 sin(x)− cos(2x))dx = ....

(a) −5

2

Ujian Akhir Nasional (UAN) 20

Page 21: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

(b)3

2(c) 1

(d) 2

(e)5

2

Jawaban : d. 2

Pembahasan

∫ π2

0

(2 sin(x)− cos(2x))dx =

[−2 cos(x)− 1

2sin(2x)

]π2

0

=

(−2 cos(

π

2)− 1

2sin(

2)

)−(−2 cos(0)− 1

2sin(0)

)= (−2)(0)− 1

2(0) + 2(1) + 0

= 2

29. Suku ke-6 dan suku ke-12 suatu barisan aritmatika berturut-turut 35 dan 65. Sukuke-52, barisan tersebut adalah ....

(a) 245

(b) 255

(c) 265

(d) 285

(e) 355

Jawaban : c. 265

Pembahasan Kita ingat kembali rumus mencari suku ke-n dari barisan aritmatika

yaitu Un = a+ (n− 1)b.

U6 = a+ 5b

35 = a+ 5b

U12 = a+ 11b

65 = a+ 11b

Eliminasi kedua persamaan diatas:35 = a+ 5b65 = a+ 11b—————– -−30 = −6bb = 5Untuk b=5, masukkan kedalam persamaan a+ 5b = 35 a+ 5(5) = 35a+ 25 = 35a = 10

U52 = a+ 51b

= 10 + (51)(5)

= 10 + 255

= 265

Ujian Akhir Nasional (UAN) 21

Page 22: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

30. Suatu perusahaan pakaian dapat menghasilkan 4.000 buah pada awal produksi. Padabulan berikutnya produksi dapat ditingkatkan menjadi 4.050. Bila kemajuan tetap,maka jumlah produksi dalam 1 tahun ada ....

(a) 45.500 buah

(b) 48.000 buah

(c) 50.500 buah

(d) 51.300 buah

(e) 55.500 buah

Jawaban : d. 51.300 buah

Pembahasan Jika dalam 1 tahun maka yang ditanya adalah U12. Caranya adalah

dengan menggunakan rumus jumlah barisan aritmatika yaitu:Sn =n

2(a+ Un)

a = 4000, dan beda (b) = 50. Maka:

U12 = a+ 11b

= 4000 + 11(50)

= 4000 + 550

U12 = 4550

S12 =12

2(a+ U12)

= 6(4000 + 4550)

= 6(8.550)

= 51.300

31. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar (9000+1000x+10x2)rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusa-haan tersebut adalah ....

(a) Rp 149.000,00

(b) Rp 249.000,00

(c) Rp 391.000,00

(d) Rp 606.000,00

(e) Rp 757.000,00

32. Distribusi nilai ulangan matematika di kelas XIIA:

Nilai f50-54 255-59 460-64 865-69 1670-74 1075-79 2

Modus dari data pada tabel adalah ....

(a) 64, 5 + 6

(8

6

)(b) 64, 5 + 5

(8

6

)

Ujian Akhir Nasional (UAN) 22

Page 23: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

(c) 64, 5 + 5

(8

8 + 6

)(d) 64, 5− 6

(8

8 + 6

)(e) 64, 5− 5

(8

8 + 6

)Jawaban : c. 64, 5 + 5

(8

8 + 6

)Pembahasan

Modus adalah data yang sering muncul. Dari tabel diatas, data yang sering munculadalah pada interval 65-69 dengan frekuensi 16. Dari tabel diatas, kita dapatkan batasbawah L0 = 64, 5. Panjang kelas P = 5. d1 = 16 − 8 = 8 dan d2 = 16 − 10 = 6.Rumus mencari Modus adalah :

Mo = L0 + P

(d1

d1 + d2

)Mo = 64, 5 + 5

(8

8 + 6

)

33. Setiap dua warna yang berbeda dicampur dapat menghasilkan warna baru yang khas.Banyak warna baru yang khas apabila disediakan 5 warna yang berbeda adalah ....

(a) 60

(b) 20

(c) 15

(d) 10

(e) 8

Jawaban : d. 10

Pembahasan

Kita lihat bahwa pencampuran antara merah dan biru hasilnya akan sama denganpencampuran antara biru dengan merah. Dalam hal ini kita lihat bahwa kita harusmengerjakan dengan menggunakan Kombinasi yaitu dengan catatan tidak memper-hatikan urutan. Ok Langsung saja.n = 5 dan r = 2. Sehingga :

Cnr =

n!

r!(n− r)!

=5!

2!3!

=5.4.3!

3!2!

=5.4

2!= 10

34. Dalam kantong terdapat 4 kelereng merah dan 5 kelereng biru. Jika dari kantongdiambil dua kelereng sekaligus, maka peluang mendapatkan kelereng satu berwarnamerah dan satu berwarna biru adalah ....

(a)9

81

Ujian Akhir Nasional (UAN) 23

Page 24: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

(b)20

81

(c)4

9

(d)5

9

(e)4

5

Jawaban : d.5

9

Pembahasan

n(A) = (C41 )(C5

1 )

=

(4!

1!(4− 1)!

)(5!

1!(5− 1)!

)=

(43!

1!3!

)(54!

1!4!

)= (4)(5)

= 20

n(S) = C92

=9!

2!(9− 2)!

=9.8.7!

2!7!

=9.8

2!= 36

P (A) =n(A)

n(S)

=20

36

=10

18

=5

9

35. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, garis y = x+ 2, sumbu Y di kuadran Iadalah ....

(a)2

3Satuan Luas

(b)4

3Satuan Luas

(c)6

3Satuan Luas

(d)8

3Satuan Luas

(e)10

3Satuan Luas

Jawaban : e.10

3Satuan Luas

Pembahasan

Ujian Akhir Nasional (UAN) 24

Page 25: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

Terlebih dahulu kita cari titik potong antara dua kurva berikut:x + 2 = x2 sehingga x + 2 − x2 = 0. Sihingga kita dapatkan (x + 1)(x − 2) dankita dapatkan x = −1 dan x = 2. Karena permintaan soal adalah Kuadran I, makabatas-batas x adalah 0 dan 2.

Perhatikan Gambar berikut:

Sehingga: ∫ 2

0

x+ 2− x2dx =

[x2

2+ 2x− 1

3x3]20

= =22

2+ 2(2)− 1

323 − 0

= 2 + 4− 8

3

= 6− 8

3

=18− 8

3

=10

3

36. Hasil

∫sin3(3x) cos(3x)dx = ....

(a)1

4sin4(3x) + C

(b)3

4sin4(3x) + C

(c) 4 sin4(3x) + C

(d)1

3sin4(3x) + C

(e)1

12sin4(3x) + C

Jawaban : e.1

12sin4(3x) + C

Pembahasan∫sin3(3x) cos(3x)dx Kita misalkan u = 3x maka du = 3dx ⇒ 1

3du = dx, Sehingga

integralnya menjadi:1

3

∫sin3(u) cos(u)du

Ujian Akhir Nasional (UAN) 25

Page 26: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

Kita misalkan ulang w = sin(u) maka dw = cos(u)du Sehingga bentuk integralnyamenjadi ∫

sin3(3x) cos(3x)dx =1

3

∫w3dw

=1

3

w4

4+ C

=1

12w4 + C

=1

12sin4(u) + C

=1

12sin4(3x) + C

37. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, garisy = 2x di kuadran I diputar 360o terhadap sumbu X adalah ....

(a)20

15π Satuan volume

(b)30

15π Satuan volume

(c)54

15π Satuan volume

(d)64

15π Satuan volume

(e)144

15π Satuan volume

Jawaban : e.

Pembahasan

Sebelumnya kita mencari batas-batas nilai x yaitu x2−2x = 0 maka x(x−2) = 0 kitaperoleh x = 0 dan x = 2. Perhatikan gambar berikut:

38. Hasil

∫6x√

3x2 + 5dx = ....

(a)2

3(6x2 + 5)

√6x2 + 5 + C

Ujian Akhir Nasional (UAN) 26

Page 27: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

(b)2

3(3x2 + 5)

√3x2 + 5 + C

(c)2

3(x2 + 5)

√x2 + 5 + C

(d)3

2(x2 + 5)

√x2 + 5 + C

(e)3

2(3x2 + 5)

√3x2 + 5 + C

Jawaban : b.2

3(3x2 + 5)

√3x2 + 5 + C

Pembahasan

Misalkan u = 3x2 + 5 maka du = 6xdx∫6x√

3x2 + 5dx =

∫ √udu

=

∫u

12 du

=2

3u

32+C

=2

3(3x2 + 5)

32 + C

=2

3(3x2 + 5)(3x2 + 5)

12 + C

=2

3(3x2 + 5)

√(3x2 + 5) + C

39. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Jarak C ke bidang AFHadalah ....

(a)1

6a√

6 cm

(b)1

3a√

3 cm

(c)1

3a√

6 cm

(d)2

3a√

2 cm

(e)2

3a√

3 cm

Jawaban : e.2

3a√

3 cm

Pembahasan

Perhatikan Gambar berikut:dari gambar diatas terlihat bahwa yang akan kita cari adalah jarak dari titik C ke titikP. OK langsung saja:

AC =√AB2 +BC2

=√a2 + a2

= a√

2

Ujian Akhir Nasional (UAN) 27

Page 28: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

Karena Nilai AC = a√

2 maka nilai FH juga a√

2 dan nilai EG juga a√

2 dan nilai EC

adalaha

2

√2. Sekarang kita akan mencari panjang AQ.

AQ =√AE2 + EQ2

=

√a2 +

(a2

√2)2

=

√a2 +

a2

2

=

√3

2a2

= a

√3

2

Sekarang kita tinjau Segitiga AQR.

sin(A) =QR

AQ

=a

a√

32

=1√32

sin(A) =2

3

√3

2

Sekarang kita tinjau Segitiga APC.

sin(A) =CP

AC

2

3

√3

2=

CP

a√

2

CP =2

3

√3

2x a

√2

CP =2

3a√

3

Jadi, Jarak titik C ke bidang AFH adalah2

3a√

3

Ujian Akhir Nasional (UAN) 28

Page 29: Ujian Nasional Tahun 2011 - alfysta.files.wordpress.com · Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2010/2011 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D10) c Fendi Al Fauzi alfysta@yahoo.com

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.wordpress.com

40. Diketahui limas segiempat beraturan TABCD. Panjang rusuk alas 6 cm, dan rusuktegak 12 cm. Nilai kosinus sudut antara TA dengan bidang limas adalah ....

(a)1

4

√2

(b)1

2

(c)1

3

√3

(d)1

2

√2

(e)1

2

√3

Selamat Mengerjakan

Soal ini di tulis ulang oleh Fendi Alfi Fauzi dengan menggunakan LATEXDokumen ini dapat anda download di http://alfysta.wordpress.com.

Jika ada kritik dan saran silahkan langsung via email di [email protected]

Ujian Akhir Nasional (UAN) 29