Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .

1

PERTEMUAN 3 TURUNAN NUMERIK

Materi pada pertemuan ini:

1. Turunan numerik fungsi kontinyu 2. Turunan numerik diskrit

Setelah menyelesaikan pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan dan mengaplikasikan teknik untuk menentukan turunan numerik.

DEFINISI TURUNAN NUMERIK Turunan (derivatif) adalah laju perubahan nilai suatu fungsi terhadap perubahan inputnya, yang secara formal rumus matematikanya dinyatakan sebagai:

h

xfhxf

xhx

xfhxf

dx

xdfxf

hh

)()(lim

)(

)()(lim

)()('

00

Pada gambar di bawah ini, nilai turunan pada titik x, yaitu f '(x), adalah garis tangen yang merupakan garis singgung kurva pada titik (x, f(x)).

Nilai h secara ideal adalah 0, tetapi dalam metode numerik, hal ini tidak dapat dilakukan, karena akan menyebabkan pembagian dengan 0. Oleh karena itu, nilai h diambil cukup kecil. Dalam hal ini, nilai turunan f '(x) akan didekati dengan

h

xfhxf

x

xfxf

)()()()('

sehingga turunan yang dihitung ditunjukkan dengan garis secant. Dengan demikian terdapat kesalahan atau ralat dalam menghitung turunan secara numerik, atau dengan kata lain, turunan numerik merupakan pendekatan dari nilai turunan yang sebenarnya (eksak). Apabila nilai h dibuat cukup kecil, maka ralat tersebut akan menjadi kecil pula.

y = f(x)

x

y

x x+h

h

f(x+h)

f(x)

f '(x)

garis

tangen

garis

secant

Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .

2

contoh:

Hitunglah turunan dari 24)( xxf pada titik x = 3, untuk h = 2. Hitung pula ralat

sejatinya.

322

36100

2

34)23(4

2

)3()23()3('

4)(4)()()('

22

22

fff

h

xhx

h

xfhxfxf

Nilai turunan sebenarnya adalah

2438)3('

842)('

f

xxxf

Sehingga ralat sejatinya adalah

83224 tE

Ralat yang diperoleh adalah cukup besar, ini disebabkan pemilihan nilai h yang terlalu besar. Untuk memperkecil ralat, maka nilai h harus dibuat lebih kecil.

Dalam kasus peluncuran roket (pada Pertemuan 1), hitunglah percepatan roket pada detik ke 16 menggunakan turunan numerik. Pada kasus tersebut, diperoleh rumus kecepatan roket adalah

tt

v 8.9210014000

140000ln 2000

sehingga percepatan roket adalah

h

tvhtvtvta

)()()(')(

ambil t = 16 dan h = 2 detik,

2

)16()18(

2

)16()216()16(

vvvva

475.302

07.39202.453

2

)16()18()16(

07.392168.916210014000

140000ln 2000)16(

02.453188.918210014000

140000ln 2000)18(

vva

v

v

Ralat sejatinya adalah (nilai eksak = 29.674 m/s2)

%699.2%100674.29

801.0

801.0474.30674.29

t

tE

PENGARUH NILAI h (UKURAN LANGKAH/STEP SIZE)

Berikut ini akan diberikan contoh pengaruh nilai ukuran langkah terhadap ralat sejati yang diperoleh.

Ambil fungsi xexf 49)( . Hitung turunan fungsi tersebut pada titik x = 0.2, untuk nilai h

yang bervariasi, mulai dari 0.05 kemudian separuhnya, dst. Dari perhitungan turunan numerik, diperoleh hasil seperti dalam tabel berikut. Nilai eksaknya adalah 80.11947.

Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .

3

h f '(0.2) Ea |a|% digit benar Et |t|%

0.05 88.69336 0 -8.5389 10.70138

0.025 84.26239 -4.430976 5.258546 1 -4.14291 5.170918

0.0125 82.15626 -2.106121 2.563555 1 -2.03679 2.542193

0.00625 81.12937 -1.026900 1.265756 1 -1.00989 1.260482

0.003125 80.62231 -0.507052 0.628923 1 -0.50284 0.627612

0.001563 80.37037 -0.251944 0.313479 2 -0.25090 0.313152

0.000781 80.24479 -0.125579 0.156494 2 -0.12532 0.156413

0.000391 80.18210 -0.062691 0.078186 2 -0.06263 0.078166

0.000195 80.15078 -0.031321 0.039078 2 -0.03130 0.039073

9.77E-05 80.13512 -0.015654 0.019535 3 -0.01565 0.019534

4.88E-05 80.12730 -0.007826 0.009767 3 -0.00782 0.009766

Dari plot berikut ini terlihat bahwa semakin kecil nilai ukuran langkah, nilai turunan numerik semakin mendekati nilai eksaknya (ralat semakin kecil).

76

80

84

88

92

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Number of times step size halved, n

f'(0

.2)

-5

-4

-3

-2

-1

0

0 2 4 6 8 10 12

Number of times step size halved, n

Ea

Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .

4

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Number of times step size halved, n

|Ea| %

0

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Number of times step size halved, n

Least

nu

mb

er

of

sig

nif

ican

t d

igit

s

co

rrect

-9

-6

-3

0

0 2 4 6 8 10 12

Number of times step size halved, n

Et

Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .

5

PENDEKATAN SELISIH MAJU, MUNDUR DAN PUSAT Perhitungan turunan numerik yang telah dibahas di depan menggunakan pendekatan selisih maju, yang menggunakan titik di depannya untuk menghitung selisihnya. Kita juga dapat menggunakan pendekatan selisih mundur dan pusat untuk menghitung turunan numerik.

PENDEKATAN SELISIH MUNDUR

Pendekatan selisih mundur menggunakan titik di belakangnya untukmenghitung selisihnya, seperti diilustrasikan pada gambar di bawah ini.

Nilai turunan f '(x) akan didekati dengan

h

hxfxf

x

xfxf

)()()()('

turunan yang dihitung ditunjukkan dengan garis secant. Di sini juga terdapat kesalahan atau ralat dalam menghitung turunan secara numerik.

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Number of times step size halved, n

|Et|

%

y = f(x)

x

y

x x-h

h

f(x-h)

f(x)

f '(x) garis

tangen

garis

secant

Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .

6

contoh:

Hitunglah turunan dari 24)( xxf pada titik x = 3, untuk h = 2, menggunakan

pendekatan selisih mundur. Hitung pula ralat sejatinya.

162

436

2

)23(434

2

)23()3()3('

)(44)()()('

22

22

fff

h

hxx

h

hxfxfxf

Ralat sejatinya adalah

81624 tE

Meski dalam contoh ini, ralat sejati yang diperoleh sama dengan pada pendekatan selisih maju, namun hal ini hanya kebetulan saja. Pada banyak kasus, ralat untuk pendekatan selisih maju dan mundur tidak sama persis, tetapi dalam kisaran yang hampir sama.

Untuk fungsi xexf 49)( , turunan fungsi tersebut pada titik x = 0.2, untuk nilai h yang

bervariasi, mulai dari 0.05 kemudian separuhnya, dst.

h f '(0.2) Ea |a|% digit benar Et |t|%

0.05 72.61598 7.50349 9.365377

0.025 76.24376 3.627777 4.758129 1 3.87571 4.837418

0.0125 78.14946 1.905697 2.438529 1 1.97002 2.458849

0.00625 79.12627 0.976817 1.234504 1 0.99320 1.239648

0.003125 79.62081 0.494533 0.62111 1 0.49867 0.622404

0.001563 79.86962 0.248814 0.311525 2 0.24985 0.31185

0.000781 79.99442 0.124796 0.156006 2 0.12506 0.156087

0.000391 80.05691 0.062496 0.078064 2 0.06256 0.078084

0.000195 80.08818 0.031272 0.039047 3 0.03129 0.039052

9.77E-05 80.10383 0.015642 0.019527 3 0.01565 0.019529

4.88E-05 80.11165 0.007823 0.009765 3 0.00782 0.009765

Di sini juga terlihat nilai turunan numerik semakin mendekati nilai eksaknya untuk ukuran langkah yang semakin kecil.

Pada kasus peluncuran roket, hitunglah percepatan roket pada detik ke 16 menggunakan turunan numerik dengan pendekatan selisih mundur. Rumus yang digunakan adalah

h

htvtvtvta

)()()(')(

ambil t = 16 dan h = 2 detik,

2

)14()16(

2

)216()16()16(

vvvva

591.282

24.33407.392

2

)14()16()16(

24.334148.914210014000

140000ln 2000)14(

vva

v

Ralat sejatinya adalah

Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .

7

%558.2%100674.29

759.0

759.0915.28674.29

t

tE

PENDEKATAN SELISIH PUSAT

Pendekatan selisih pusat menggunakan titik di depan dan belakang titik yang ditinjau untuk menghitung selisihnya, seperti diilustrasikan pada gambar di bawah ini. Nilai turunan f '(x) akan didekati dengan

h

hxfhxf

x

xfxf

2

)()()()('

Dari gambar tersebut, terlihat gradien garis secant, yang merupakan nilai turunan numerik, mendekati nilai gradien garis tangen yang merupakan nilai turunan yang sebenarnya. Dengan demikian, penggunaan pendekatan selisih pusat diharapkan memberikan hasil yang lebih baik daripada pendekatan selisih maju maupun mundur.

contoh:

Hitunglah turunan dari 24)( xxf pada titik x = 3, untuk h = 2, menggunakan

pendekatan selisih pusat. Hitung pula ralat sejatinya.

244

4100

4

)23(4)23(4

22

)23()23()3('

2

)(4)(4

2

)()()('

22

22

fff

h

hxhx

h

hxfhxfxf

Ralat sejatinya adalah

02424 tE

Meski dalam contoh ini, ralat sejatinya adalah 0, namun tentu saja ini juga hanya kebetulan saja. Pada kebanyakan kasus, ralat untuk pendekatan selisih pusat lebih kecil dibandingkan dengan pendekatan selisih maju atau mundur, untuk ukuran langkah yang sama.

y = f(x)

x

y

x x-h

h

f(x-h)

f(x)

f '(x)

garis

tangen

garis

secant

h

x+h

f(x+h)

Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .

8

Untuk fungsi xexf 49)( , turunan fungsi tersebut pada titik x = 0.2, untuk nilai h yang

bervariasi, mulai dari 0.05 kemudian separuhnya, dst.

h f '(0.2) Ea |a|% digit benar Et |t|%

0.05 80.65467 -0.53520 0.668001

0.025 80.25307 -0.4016 0.500417 1 -0.13360 0.16675

0.0125 80.15286 -0.100212 0.125026 2 -0.03339 0.041672

0.00625 80.12782 -0.025041 0.031252 3 -0.00835 0.010417

0.003125 80.12156 -0.00626 0.007813 3 -0.00209 0.002604

0.001563 80.12000 -0.001565 0.001953 4 -0.00052 0.000651

0.000781 80.11960 -0.000391 0.000488 5 -0.00013 0.000163

0.000391 80.11951 -9.78E-05 0.000122 5 -0.00003 4.07E-05

0.000195 80.11948 -2.45E-05 3.05E-05 6 -0.00001 1.02E-05

9.77E-05 80.11948 -6.11E-06 7.63E-06 6 0.00000 2.54E-06

4.88E-05 80.11947 -1.53E-06 1.91E-06 7 0.00000 6.36E-07

Di sini juga terlihat nilai turunan numerik semakin mendekati nilai eksaknya untuk ukuran langkah yang semakin kecil. Jika dibandingkan dengan pendekatan selisih maju dan mundur, terlihat ralat absolut dan relatif pada pendekatan selisih pusat jauh lebih kecil.

Pada kasus peluncuran roket, hitunglah percepatan roket pada detik ke 16 menggunakan turunan numerik dengan pendekatan selisih mundur. Rumus yang digunakan adalah

h

htvhtvtvta

2

)()()(')(

ambil t = 16 dan h = 2 detik,

569.292

24.33402.453

4

)14()18(

22

)216()216()16(

vvvva

Ralat sejatinya adalah

%071.0%100674.29

021.0

021.0695.29674.29

t

tE

Sekali lagi, di sini terlihat bahwa ralat turunan numerik dengan pendekatan selisih pusat jauh lebih kecil dibandingkan dengan pendekatan selisih maju dan mundur. Oleh karena itu, apabila memungkinkan, gunakan pendekatan selisih pusat untuk menghitung turunan numerik.

FORMULASI DENGAN DERET TAYLOR Untuk memperoleh rumus turunan numerik, dapat juga menggunakan bantuan dari Deret Taylor.

PENDEKATAN SELISIH MAJU

Polinomial Taylor:

..."!2

'2

xfh

xhfxfhxf

Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .

9

Pindahkan suku turunan pertama ke kiri, sisanya letakkan di kanan, kemudian sederhanakan untuk memperoleh turunan pertama.

)('

..."2

'

..."!2

'2

hOh

xfhxfxf

xfh

h

xfhxfxf

xfh

xfhxfxhf

di mana O(h) adalah komponen ralat pemotongan yang dinyatakan dengan

hxtxtfh

hO ,"2

)(

Di sini terlihat bahwa ralat pemotongan merupakan fungsi dari h. Jadi, jika nilai h diperkecil, maka ralat pemotongannya juga akan menjadi lebih kecil.

PENDEKATAN SELISIH MUNDUR

Polinomial Taylor:

..."!2

'2

xfh

xhfxfhxf

Pindahkan suku turunan pertama ke kiri, sisanya letakkan di kanan, kemudian sederhanakan untuk memperoleh turunan pertama.

)('

..."2

'

..."!2

'2

hOh

hxfxfxf

xfh

h

hxfxfxf

xfh

hxfxfxhf

di mana O(h) adalah komponen ralat pemotongan yang dinyatakan dengan

xthxtfh

hO ,"2

)(

Di sini juga dapat diihat bahwa ralat pemotongan merupakan fungsi dari h. Jadi, jika nilai h diperkecil, maka ralat pemotongannya juga akan menjadi lebih kecil.

PENDEKATAN SELISIH PUSAT

Kedua bentuk polinomial Taylor di atas digunakan

...!3

"!2

'

...!3

"!2

'

)3(32

)3(32

xfh

xfh

xhfxfhxf

xfh

xfh

xhfxfhxf

Kurangkan persamaan pertama dengan persamaan kedua, lalu pindahkan suku turunan pertama ke kiri, sisanya letakkan di kanan, kemudian sederhanakan untuk memperoleh turunan pertama.

...6

2'2 )3(3

xfh

xhfhxfhxf

Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .

10

)(2

'

...62

'

...3

'2

2

)3(2

)3(3

hOh

hxfhxfxf

xfh

h

hxfhxfxf

xfh

hxfhxfxhf

di mana O(h2) adalah komponen ralat pemotongan yang dinyatakan dengan

hxthxtfh

hO ,6

)( )3(2

2

Di sini juga dapat diihat bahwa ralat pemotongan merupakan fungsi dari h2. Jadi, jika nilai h diperkecil, maka ralat pemotongannya juga akan menjadi lebih kecil, bahkan lebih kecil daripada pendekatan maju dan mundur yang hanya merupakan fungsi dari h.

TURUNAN YANG LEBIH TINGGI Untuk memperoleh rumus turunan numerik yang lebih tinggi, juga digunakan Deret Taylor. Beberapa contoh formulasinya diberikan berikut ini.

TURUNAN KEDUA PENDEKATAN SELISIH PUSAT

Polinomial Taylor:

...!4!3

"!2

'

...!4!3

"!2

'

)4(4

)3(32

)4(4

)3(32

xfh

xfh

xfh

xhfxfhxf

xfh

xfh

xfh

xhfxfhxf

Jumlahkan kedua persamaan tersebut, lalu pindahkan suku turunan kedua ke kiri, sisanya letakkan di kanan, kemudian sederhanakan untuk memperoleh turunan kedua.

)()(2

"

...12

)(2"

...!4

2)(2"

...!4

2"2

22

2

2

)4(2

2

)4(4

2

)4(42

hOh

hxfxfhxfxf

xfh

h

hxfxfhxfxf

xfh

xfhxfhxfxfh

xfh

xfh

xfhxfhxf

di mana O(h2) adalah komponen ralat pemotongan yang dinyatakan dengan

hxthxtfh

hO ,12

)( )4(2

2

Di sini juga dapat diihat bahwa ralat pemotongan merupakan fungsi dari h2.

TURUNAN KEDUA PENDEKATAN SELISIH MAJU DAN MUNDUR

Polinomial Taylor:

Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .

11

...!3

)2("

!2

)2('22

...!3

"!2

'

)3(32

)3(32

xfh

xfh

xhfxfhxf

xfh

xfh

xhfxfhxf

Kalikan persamaan pertama dengan 2 kemudian kurangkan dari persamaan kedua, lalu pindahkan suku turunan kedua ke kiri, sisanya letakkan di kanan, kemudian sederhanakan untuk memperoleh turunan kedua.

hxtxthfhO

hOh

xfhxfhxfxf

xhfh

xfhxfhxfxf

xfhxfhxfhxfxfh

xfh

xfhxfhxfhxf

2 ,)(

)()(22

"

...)(22

"

...)(22"

...!3

6"22

)3(

2

)3(

2

)3(32

)3(3

2

Dengan cara yang sama untuk pendekatan selisih mundur, diperoleh.

xthxthfhO

hOh

hxfhxfxfxf

2 ,)(

)(2)(2

"

)3(

2

Di sini juga dapat diihat bahwa ralat pemotongan untuk pendekatan selisih maju dan mundur merupakan fungsi dari h, sedangkan untuk pendekatan selisih pusat adalah fungsi dari h2. Dengan demikian turunan kedua numerik lebih baik dihitung menggunakan pendekatan selisih pusat. Dengan cara yang sama dapat dihitung untuk turunan numerik berbagai orde baik dengan pendekatan selisih maju, mundur, maupun pusat; sebagamana ringkasannya diberikan dalam tabel berikut ini.

Turunan Rumus Pendekatan

Pertama

)(' hO

h

xfhxfxf

selisih maju

)(' hOh

hxfxfxf

selisih mundur

)(2

' 2hOh

hxfhxfxf

selisih pusat

)(2

3)(42' 2hO

h

xfhxfhxfxf

selisih maju

)(12

2)(8)(82' 4hO

h

hxfhxfhxfhxfxf

selisih pusat

Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .

12

Kedua

)(

)(22"

2hO

h

xfhxfhxfxf

selisih maju

)(2)(2

"2

hOh

hxfhxfxfxf

selisih mundur

)()(2

" 22

hOh

hxfxfhxfxf

selisih pusat

)(12

2)(5243" 2

2hO

h

xfhxfhxfhxfxf

selisih maju

)(

12

2)(16)(30162"

4

2

hO

h

hxfhxfxfhxfhxfxf

selisih pusat

Ketiga

)(

)(32333

)3( hOh

xfhxfhxfhxfxf

selisih maju

)(2

2)(222 23

)3( hOh

hxfhxfhxfhxfxf

selisih pusat

Keempat

)(

)(4263444

)4( hOh

xfhxfhxfhxfhxfxf

selisih maju

)(2)(4)(642 2

4

)4( hOh

hxfhxfxfhxfhxfxf

selisih pusat

Bahan Ajar Mata Kuliah Metode Numerik .

13

SOAL LATIHAN TURUNAN NUMERIK

1. Sebuah fungsi f(x) = ex

Hitunglah turunan numerik pada titik x = 1 dan hitunglah ralat sejati relatifnya (dalam persen).

Turunan Pendekatan Turunan numerik t (%)

pertama selisih maju

pertama selisih mundur

pertama selisih pusat

kedua selisih maju

kedua selisih pusat

ketiga selisih maju

ketiga selisih pusat

2. Sebuah fungsi 13)( 23 xxxf

Hitunglah turunan nilai berikut ini untuk x = 1 dan h = 0.2, gunakan pendekatan yang memberikan nilai turunan terbaik (ralat terkecil).

)()("3)('2)(3)( )3( xfxfxfxfxQ

3. Sebuah eksperimen pengukuran hambatan sebuah sensor pada berbagai suhu seperti

pada tabel berikut ini.

T (C) R ()

10 10

15 21

20 30

25 36

30 39

35 41

40 44

45 51

50 63

Hitunglah laju perubahan tahanan terhadap perubahan suhu pada suhu 30C. Usahakan agar ralat yang terjadi sekecil mungkin.