tugas tmtt matematika statistika sapta

TUGAS TMTT STATISTIKA SAPTA (SN7)

TUGAS TMTT MATEMATIKA STATISTIKA

Disusun Oleh :

SAPTA NURIANA

0899

PROGRM KEAHLIAN GEOLOGI PERTAMBANGAN

SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 TEMON

KULON PROGO

November 2014


1. Untuk Data Tunggal a. Rata-rata Hitung (Mean)

Menghitung rata-rata data tunggal dibedakan antara data tunggal yang berfrekuensi satu

dengan data tunggal yang berfrekuensi lebih dari satu.

Menghitung rata-rata yang berfrekuensi satu dengan rumus :

iX

Xn

dimana : X = Mean (rata-rata)

iX = Jumlah tiap data

n = Jumlah data

Contoh :

Tabel

Distribusi Frekuensi Nilai Statistik dari 7 Mahasiswa

X f

4

5

6

7

8

9

10

1

1

1

1

1

1

1

iX = 49 n = 7

Meannya adalah : iX

Xn

= 49

7= 7

Menghitung rata-rata yang berfrekuensi lebih dari satu dengan rumus :

i i

i

x nX

n

Dimana : X = Mean (rata-rata)

iX = Jumlah rata-rata data

in = Jumlah data


Contoh :

Tabel

Wartel CJDW Kalianyar

No

Kota

Jumlah Wartel (

in )

Rata-rata penghasilan pertahun dalam

jutaan rupiah ( ix )

Jumlah (Jutaan

Rupiah) ( i ix n )

1

2

3

4

Menado

Bandung

Bangil

Makasar

2

4

4

5

10

15

20

25

20

60

80

125

Total in = 15 ( )i ix n = 285

Meannya adalah : i i

i

x nX

n

= 285

15= Rp. 19 juta/tahun

b. Median (Me) Mencari median data tunggal dengan cara mengurutkan data tersebut dari data terkecil

sampai data terbesar atau sebaliknya dari data terbesar sampai data terkecil, dengan rumus :

Me = ½ (n + 1), dimana n = jumlah data

Menghitung median data tunggal dibedakan menjadi median data tunggal dengan data

ganjil dan median data tunggal dengan data genap.

Contoh : Data Ganjil

Diketahui data : 65, 70, 90, 40, 35, 45, 70, 80, dan 50

Langkah-langkah menjawab :

i) Urutkan data dari data terkecil sampai data terbesar

35, 40, 45, 50, 65, 70, 70, 80, 90

ii) Carilah posisi median dengan rumus : Me = ½ (n + 1)

Me = ½ (9 + 1) = 5 (posisi pada data ke-5)

Jadi, Me = 65

Contoh : Data Genap

Diketahui data : 50, 65, 70, 90, 40, 35, 45, 70, 80, dan 50



a) Urutkan data dari data terkecil sampai data terbesar

35, 40, 45, 50, 50, 65, 70, 70, 80, 90

ii) Carilah posisi median dengan rumus : Me = ½ (n + 1)

Me = ½ (10 + 1) = 5,5 (posisi pada data ke-5,5)

Jadi, Me = ½ (50 + 65) = 57,5

c. Modus (Mo) Menghitung modus dengan data tunggal dilakukan sangat sederhana, yaitu dengan cara

mencari nilai yang sering muncul diantara sebaran data. Penggunaan modus bagi data kualitatif maupun kuantitatif dengan cara menentukan frekuensi terbanyak diantara data yang ada.

Contoh :

Diketahui nilai Ujian Akhir Semester (UAS) untuk pelajaran statistika bagi 10 mahasiswa,

data sebagai berikut : 40, 60, 60, 65, 72, 60, 70, 60, 80, dan 90.

Jawab : Modus nilai UAS pelajaran Statistika, yaitu pada nilai 60, karena muncul 4 kali.

d. Quartil (Q) Mencari kuartil data tunggal dengan cara pertama menyusun atau mengurutkan data

tersebut dari data terkecil sampai data terbesar atau sebaliknya, kemudian posisi kuartil dicari

dengan rumus :

( 1)

4i

i nQ

Dimana :i = 1, 2, 3 n = jumlah data

Contoh :

Berikut ini adalah data nilai Satistik dari 13 mahasiswa, yaitu : 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35,

85, 95, 100. Carilah nilai 1Q , 2Q , dan 3Q .


i) Urutkan data dari data terkecil sampai data terbesar

30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 80, 85, 95, 100

ii) Cari nilai 1Q , 2Q , dan 3Q dengan rumus :

iQ nilai yang ke ( 1)

4

i n

= nilai ke 1(13 1)

4

= nilai ke-1

32

(nilai yang ke-1

32

, berarti rata-rata dari 3X dan 4X )

Jadi :


1 3 4

1

2Q X X

= 1

2(40 + 45)

= 42,5

2Q nilai ke 2(13 1)

4

= nilai ke-7, nilai X7

Jadi :

2Q X7 = 60

3Q nilai ke 3(13 1)

4

= nilai ke-101

2 (nilai yang ke-10

1

2, berarti rata-rata dari 10X dan 11X )

Jadi :

3 10 11

1

2Q X X

= 1

2(80 + 85)

= 82,5 (nilai kuartil tidak perlu sesuai dengan nilai data yang asli)

e. Desil (D) Mencari desil data tunggal dengan cara mengurutkan data tersebut dari data terkecil sampai

data terbesar atau sebaliknya, kemudian posisi kuartil dicari dengan rumus :

iD nilai yang ke 1

10

i n , i = 1, 2, ..., 9

Contoh :

Berdasarkan data pada contoh desil, hitunglah 1D , 2D , dan 3D .

Jawab :

1D nilai ke 1 13 1

10

= nilai ke-14

10, berarti 1 2 1

4

10X X X


= 30 + 2

35 3010

= 31

2D nilai ke 2 13 1

10

= nilai ke-28

10, berarti 2 3 2

8

10X X X

= 35 + 8

40 3510

= 39

3D nilai ke 9 13 1

10

= nilai ke-126

10, berarti 12 13 12

6

10X X X

= 95 + 6

100 9510

= 98

f. Persentil (P) Mencari persentil data tunggal dengan cara mengurutkan data tersebut dari data terkecil

sampai data terbesar atau sebaliknya, kemudian posisi persentil dicari dengan rumus :

iP nilai yang ke ( 1)

100

i n , i = 1, 2, ..., 100

Contoh :

Diketahui data : 65, 70, 90, 40, 35, 45, 70, 80, 75, dan 50

Carilah letak pada posisi ( 20P dan 80P )


i) Urutkan data terkecil sampai data terbesar.

35, 40, 45, 50, 65, 70,70, 75, 80, 90

ii) Hitunglah dan cari posisi persentil ( 20P dan 80P ) dengan rumus :

Posisi 20P = 20( 1)

100

n

= 20(10 1)

100


= 2,2 artinya persentil 2,2 terletak pada posisi data ke 2,2.

Jadi :

20P = data ke 2 + data 0,2 (data ke-3 – data ke-2)

= 40 + 0,2 (45 – 40)

= 41

Jadi, posisi 20P berada pada nilai 41

Posisi 80P = 80( 1)

100

n

= 80(10 1)

100

= 8,8 artinya persentil 8,8 terletak pada posisi data ke-8,8.

Jadi : 80P = data ke 8 + data 0,8 (data ke-8 – data ke-7)

= 75 + 0,8 (80 -75) = 79

Jadi : posisi 80P berada pada nilai 79

2. Untuk Data Berkelompok a. Rata-rata Hitung (Mean)

Jika data sudah dikelompokkan dalam distribusi frekuensi, maka data tersebut akan berbaur sehingga keaslian data itu akan hilang bercampur dengan data lain menurut kelasnya, hanya dalam perhitungan mean kelompok diambil titik tengahnya yaitu setengah dari jumlah ujung bawah kelas dan ujung atas kelas untuk mewakili setiap kelas interval. Hal ini menunjukkan untuk menghindari kemungkinan data yang ada disetiap interval mempunyai nilai yang lebih besar atau lebih kecil dari

titik tengah. Perhitungan data mean kelompok dapat dicari dengan rumus :

i i

i

f XX

f

Contoh :

Misalkan upah karyawan per bulan dalam ribuan rupiah, dan f adalah banyaknya karyawan yang

menerima upah X, yang disusun pada tabel :

X

55 65 75 85 95 110 150

f 8 10 16 15 10 8 3

Jawab :

i i

i

f XX

f


= 8(55) 10(65) 3(150)

8 10 3

= 83,50

Jadi rata-rata upah karyawan per bulan adalah Rp. 83.500,-

b. Median (Me) Untuk data yang berkelompok, nilai median dapat dicari dengan interpolasi yang rumusnya

adalah sebagai berikut :

1

2n F

Me b Pf

dimana :

b = tepi batas bawah kelas median n = jumlah seluruh frekuensi

P = panjang kelas/interval

F = jumlah frekuensi sebelum kelas median F = frekuensi kelas median

Contoh :

Diketahui tabel distribusi frekuensi dibawah ini :

Kelas interval f

31 – 40 1

41 – 50 2

51 – 60 5

61 – 70 15

71 – 80 20

81 – 90 25

91 – 100 5

73f

Berdasarkan tabel diatas, kelas mediannya adalah :

73/2 = 36,5 (angka 36,5 terletak dikelas interval ke 5) sehingga didapat : b = 70, 5 p =

10 F = 23 f = 20 n = 73

Kelas Median


Jadi :

1

2n F

Me b Pf

173 23

270,5 1020

= 77,25

c. Modus (Mo) Apabila data sudah dikelompokkan dan disajikan dalam tabel frekuensi, maka dalam mencari

modus digunakan rumus :

1

1 2

bMo b P

b b

Dimana :

b = tepi batas bawah kelas modus

P = panjang kelas/interval

b1 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya

b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas berikutnya

Contoh :

Diketahui tabel distribusi frekuensi dibawah ini :

Kelas interval f

31 – 40 1

41 – 50 2

51 – 60 5

61 – 70 15

71 – 80 20

81 – 90 25

91 – 100 5

73f

Jawab :

Berdasarkan tabel diatas, didapat :

Kelas Modus


b1 = 25 – 20 = 5

b2 = 25 – 5 = 20

b = 80,5

P = 10

Sehingga modusnya adalah : 5

80,5 10 82,55 20

Mo

d. Kuartil (Q) Rumus untuk mencari nilai kuartil untuk data yang telah dikelompokkan dalam distribusi

frekuensi adalah :

4i

in F

Q b Pf

Dimana : iQ = kuartil ke i

i = 1, 2, 3

b = batas bawah kelas kuartil ke i

P = interval kelas

F = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil ke i

f = jumlah frekuensi

n = banyaknya data

Contoh : Cari letak dan nilai 1Q , 2Q , dan 3Q dari data sebagai berikut :

Kelas interval f

31 – 40 1

41 – 50 2

51 – 60 5

61 – 70 15

71 – 80 20

81 – 90 25

91 – 100 12

80f

Kelas Modus


Jawab :

Berdasarkan tabel diatas didapat :

Letak 1Q = (k/4).n

= ¼ x 80 = 20

Letak 2Q = 2/4 x 80 = 40

Letak 3Q = ¾ x 80 = 60

Untuk 1Q : i = 1, F = 8, b = 60,5, p = 10, f = 15, n = 80

1

20 860,5 10 68,5

15Q

Untuk 2Q : i = 2, F = 23, b = 70,5, p = 10, f = 20, n = 80

2

40 2370,5 10 79

20Q

Untuk 3Q : i = 1, F = 48, b = 80,5, p = 10, f = 25, n = 80

3

60 4380,5 10 87,3

25Q

e. Desil Jika kelompok suatu data dapat dibagi menjadi 10 bagian yang sama didapat 9 pembagi dan

tiap pembagi disebut desil.

Mencari desil berbentuk data kelompok dibuat susunan distribusi frekuensi terlebih dahulu, supaya mempermudah perhitungan. Proses mencari desil hampir sama dengan proses mencari kuartil, kalau kuartil mencari nilai yang membagi data kelompok dalam empat bagian yang sama, sedangkan desil mencari nilai yang membagi data kelompok dalam 10 bagian yang sama.

Caranya urutkan terlebih dahulu mulai dari data terkecil sampai data terbesar atau sebaliknya. Rumus untuk mencari nilai Desil untuk data yang telah dikelompokkan dalam distribusi

frekuensi adalah :

10i

inF

D b pf

Dimana :Di = Desil ke-i

b = batas bawah kelas Di, ialah kelas interval dimana Di akan terletak

p = panjang kelas Di

F = jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas D i

f = frekuensi kelas Di


Contoh :

Tentukan letak dan nilai D4 dari tabel diatas.

Jawab :

40% x 80 = 32 data, dapat dilihat bahwa D4 berimpit dengan kelas interval ke-5. Sehingga b =

70,5, p = 10, f = 25, F = 23, i = 4, n = 80

Jadi :

4.8023

1070,5 1025

iD

= 28,98

f. Persentil Rumus untuk mencari nilai Desil untuk data yang telah dikelompokkan dalam distribusi

frekuensi adalah :

100i

inF

P b pf

Contoh :

Cari letak dan nilai P50 dan P75 dari data berikut

Kelas interval f

31 – 40 1

41 – 50 2

51 – 60 5

61 – 70 15

71 – 80 20

81 – 90 25

91 – 100 12

80f

Penyelesaian :

Letak P50 (50 x 80)/100 = 40

Sehingga b = 70,5, p = 10, F = 23, f = 20, i = 50, n = 80

Kelas Modus


Jadi :

50.8023

10070,5 1020

iP

= 68,4

Letak P75 = (75 x 80)/100 = 60

Sehingga b = 80,5, p = 10, F = 43, f = 25, i = 75, n = 80

Jadi :

75.8043

10080,5 1025

iP

= 61,54

C. Ukuran Simpangan

Ukuran simpangan yaitu suatu ukuran yang menunjukkan tinggi rendahnya perbedaan data

yang diperoleh dari rata-ratanya.

1. Rentangan (Range), Rentangan antar Kuartil, dan Simpangan Kuartil

Rentangan adalah data tertinggi dikurangi data terbesar, dengan rumus :

R = data tertinggi – data terkecil

Contoh :

Data nilai UAS Statistika 90, 80, 70, 90, 70, 100, 80, 50, 75, 70

Maka rentangnya = 100 – 50 = 50.

Rentang antar Kuartil adalah selisih antar kuartil ketiga dengan kuartil pertama, dengan rumus :

RAK = K3 – K1

Dimana : RAK = rentang antar kuartil

K3 = kuartil ketiga

K1 = kuartil pertama

Contoh :

Diketahui data pada contoh kuartil berkelompok, maka didapat :

K1 = 68,5 K3 = 87,3

Jadi : RAK = 87,3 – 68,5 = 18,8

Simpangan Kuartil adalah setengah dari RAK, dengan rumus :

SK = ½ RAK atau SK = ½ (K3 – K1)


Contoh :

Diketahui data pada contoh kuartil berkelompok, maka didapat :

K1 = 68,5 K3 = 87,3

Jadi :

SK = ½ (87,3 – 68,5) = 9,4

2. Varians

Varians adalah kuadrat dari standar deviasi. Simbol varans untuk populasi = 2 atau 2

n

sedangkan untuk sampel 2

1n atau (S2) atau S.

a. Rumus varians (S) untuk data tunggal : Sampel

2

2

2

2

1

1

1n

fxfx

f

f

atau

22

1

xS

n

Populasi=

2

2

2

2

n

xx

n

n

atau

22

2x

n

Contoh :

Jika (standar deviasi) : s = 12,12 (data sampel)

Maka (varians) : S = (12,12)2 = 146,89

b. Rumus varians (S) untuk data distribusi (dikelompokkan) : Sampel

22.

1

f xS

f

Populasi 2

2

2.

n

f x

f

Contoh : Jika (standar deviasi) : s = 7,016 (data sampel)

Maka (varians) : S = (7,016)2 = 49,22


3. Simpangan Baku (Standar Deviasi) Standar deviasi adalah suatu nilai yang menunjukkan tingkat atau derajat variasi kelompok

data atau ukuran standar penyimpangan dari meannya.

a. Standar Deviasi untuk Data Tunggal Sampel

2

2

11

n

xx

n

n

atau

2

1

xs

n

Populasi

2

2

n

xx

n

n

atau

2x

n

Contoh :

Diketahui nilai UTS Statistika Mahasiswa Unindra

No X X2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

75

70

80

85

60

75

100

90

95

75

5625

4900

6400

7225

3600

5625

10000

8100

9025

5625

n = 10 X = 805 2X = 66125

b. Standar Deviasi untuk Data Berkelompok Sampel

2

2

1

..

1

1n

f xf x

f

f

atau

2.

1

f xs

f

2

2

1

XX

nsn

=

2

80566125

10

10 1

64802566125

66125 64802,5 1322,510

9 9 9s

146,9 12,12s

(data sampel)


Populasi

2

2.

.

n

f xf x

f

f

atau 2.f x

f

Contoh :

Diketahui data distribusi sebagai berikut :

Nilai f Batas kelas atas

X X X

2X 2.f X

60 – 64

65 – 69

70 – 74

75 – 79

80 – 84

85 – 89

90 – 94

2

6

15

20

16

7

4

64,5

69,5

74,5

79,5

84,5

89,5

94,5

79,5

-15

-10

-5

0

5

10

15

225

100

25

0

25

100

225

450

600

375

0

400

700

900

Jumlah 70 556,5 0 700 3425

X

Xn

= 556,5

7 = 79,5

2.

1

f xs

f

= 3425

70 1 =

3425

69 = 49,64 = 7,045 (sampel)

Jadi, standar deviasi nilai statistika dari 70 mahasiswa sebesar 7,045.

B. Model Populasi Model populasi ini biasanya didekati oleh atau diturunkan dari kurva frekuensi yang

diperoleh dari sampel representatif yang diambil dari populasi

1. Kemencengan Kurva halus atau model yang bentuknya bisa positif, negatif atau simetrik. Model positif

terjadi bila kurvanya mempunyai ekor yang memanjang kesebelah kanan. Sebaliknya, jika memanjang kesesebelah kiri didapat model negatif. Dalam kedua hal terjadi sifat taksimetri. Untuk

mengetahui derajat taksimetri sebuah model, digunakan ukuran kemiringan yang ditentukan oleh :

modRata rata usKemiringan

Simpanganbaku


Rumus empirik untuk kemiringan adalah :

3 rata rata median

Kemiringansimpanganbaku

Dikatakan bahwa model positif jika kemiringan positif, negatif jika kemiringan negatif dan simetrik jika kemiringan sama dengan nol.

Contoh : Dari data berikut didapat X =76,62, Me = 77,3 Mo = 77,17 dan simpangan baku s =

13,07.

Nilai Ujian fi

31 – 40

41 – 50

51 – 60

61 – 70

71 – 80

81 – 90

91 – 100

1

2

5

15

25

20

12

Jumlah 80

2. Keruncingan Bertitik tolak dari kurva model normal atau distribusi normal, tinggi rendahnya atau runcing

datanya bentuk kurva disebut kurtosis, dapat ditentukan. Kurva distribusi normal, yang tidak terlalu runcing atau tidak terlalu datar, dinamakan mesokurtik. Kurva yang runcing dinamakan leptokurtik

sedangkan yang datar disebut platikurtik.

Salah satu ukuran kurtosis ialah koefesien kurtosis, diberi simbol a4, dengan rumus :

a4 = (m4/m22)

Kriteria yang didapat dari rumus diatas adalah :

Karena kemiringan negatif dan dekat kepada nol

maka modelnya sedikit miring ke kiri.


a) a4 = 3 distribusi normal

b) a4 ˃ 3 distribusi leptokurtik

c) a4 < 3 distribusi platikurtik

Untuk menyelidiki apakah distribusi normal atau tidak, sering pula dipakai koefesien kurtosis

persentil, diberi simbol , yang rumusnya :

3 1

90 10 90 10

1/ 2 K KSK

P P P P

dimana :

SK = rentang semi antar kuartil

K1 = kuartil kesatu

K3 = kuartil ketiga

P10 = persentil kesepuluh

P90 = persentil ke-90

P90 – P10 = rentang 10 – rentang 90

Untuk model distribusi normal, harga = 0,263

tugas tmtt matematika statistika sapta

Documents