tugas pengganti uas-kamila luthfia putri
DESCRIPTION
tugas pengganti uas komnumTRANSCRIPT
-
TUGAS UAS
KOMPUTASI NUMERIK
Oleh :
Kamila Luthfia Putri (1306412193)
DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS INDONESIA
DEPOK 2014
-
2
DAFTAR ISI
BAB I Dasar Teori
1.1 Diferensiasi Numerik ..................................................................................................... 3
1.2 Metode Euler .................................................................................................................. 4
1.3 Metode Heun .................................................................................................................. 5
1.4 Metode Midpoint .......................................................................................................... 6
1.5 Metode Runge Kutta ...................................................................................................... 7
BAB II Pembahasan Soal
2.1 Case Study : Paket SoalA .......................................................................................... 12
2.2 Soal 2 (Buku Chapra-Canale, english Book/E-Book) .................................................. 19
2.3 Soal 3 ( Opsi Tambahan) : Buku Chapra-Canale, Bhs Ind. ........................................... 22
-
3
BAB I
Dasar Teori 1.1 Diferensiasi Numerik
Metode numerik adalah suatu prosedur yang menghasilkan solusi perkiraan
(approximate solution) pada suatu nilai, dengan hanya menggunakan operasi penambahan,
pengurangan, perkalian dan pembagian.Metode numerik sangat sesuai digunakan untuk
menyelesaikan persamaan-persamaan diferensial (dan juga integral) yang kompleks.
Masalah diferensiasi numerik adalah penentuan nilai pendekatan atau hampiran untuk
turunan suatu fungsi f yang umumnya diberikan dalam bentuk tabel. Diferensiasi numerik
harus dihindari bilamana mungkin karena umumnya nilai pendekatan diferensial akan kurang
teliti dibandingkan nilai fungsi yang merupakan asal nilai-nilai tersebut diturunkan.
Sebenarnya, turunan adalah limit dari hasilbagi dan dalam hal ini ada proses pengurangan
dua be saran bernilai besar dan membagi dengan besaran kecil. Lebih lanjut jika fungsi f
dihampiri menggunakan suatu polinom p, selisih dalam nilai-nilai fungsi boleh jadi kecil
tetapi turunan-turunannya mungkin sangat berbeda. Karenanya masuk akal bahwa diferens
iasi numerik adalah runyam, berlawanan dengan integrasi numerik, yang tidak banyak
dipengaruhi oleh ketidaktelitian nilai-nilai fungsi, karena integrasi pada dasarnya adalah
suatu proses yang mulus.
Metode numerik diperlukan untuk menyelesaikan suatu fungsi yang sulit untuk
dikerjakan secara manual. Perhitungan kalkulus banyak digunakan untuk keperluan
perhitungan geometrik, yang berhubungan dengan perubahan nilai per-satuan waktu atau
jarak. Secara kalkulus, didefinisikan sebagai perbandingan perubahan tinggi (selisih tinggi)
dan perubahan jarak.
(1)
(2)
dengan komdisi awal, dan
. Hubungan antara nilai fungsi dan
perubahan fungsi untuk setiap titiknya didefinisikan:
(3)
Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan
differensial, antara lain: metode Euler, metode Midpoint, metode runge-kutta dan metode-
metode prediktor-korektor seperti metode Adam Moulton. Hanya saja metode-metode
pendekatan ini menyebabkan penyelesaian yang dihasilkan bukanlah penyelesaian umum
dari persamaan differensial, tetapi penyelesaian khusus dengan nilai awal dan nilai batas
yang ditentukan. Permasalahan persamaan differensial ini merupakan permasalahan yang
banyak ditemui ketika analisa yang dilakukan tergantung pada waktu dan nilainya
-
4
mengalami perubahan-perubahan berdasarkan waktu. Hampir banyak model matematis di
dalam ilmu teknik menggunakan pernyataan dalam persamaan differensial.
1.2 Metode Euler
Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana. Di
banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling kurang teliti. Namun demikian
metode ini perlu dipelajari mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya
sehingga memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih teliti.
Metode Euler dapat diturunkan dari Deret Taylor:
(4)
Apabila nilai x kecil, maka suku yang mengandung pangkat lebih tinggi dari 2 adalah
sangat kecil dan dapat diabaikan, sehingga persamaan diatas dapat ditulis menjadi:
(5)
Dengan membandingkan persamaan diatas dapat disimpulkan bahwa pada metode
Euler, kemiringan = 'iy = f (xi , yi), sehingga persamaan dapat ditulis menjadi:
(6)
h (7)
dengan i = 1, 2, 3, Persamaan diatas adalah metode Euler, nilai yi + 1 diprediksi dengan
menggunakan kemiringan fungsi (sama dengan turunan pertama) di titik xi untuk
diekstrapolasikan secara linier pada jarak sepanjang pias x. Gambar 1, adalah penjelasan
secara grafis dari metode Euler.
Kesalahan Metode Euler
Penyelesaian numerik dari persamaan diferensial biasa menyebabkan terjadinya dua
tipe kesalahan, yaitu:
1) Kesalahan pemotongan, yang disebabkan oleh cara penyelesaian yang digunakan untuk
perkiraan nilai y,
Gambar 1. Metode Euler
-
5
2) Kesalahan pembulatan, yang disebabkan oleh keterbatasan jumlah angka (digit) yang
digunakan dalam hitungan.
Kesalahan pemotongan terdiri dari dua bagian. Pertama adalah kesalahan pemotongan
lokal yang terjadi dari pemakaian suatu metode pada satu langkah. Kedua adalah kesalahan
pemotongan menyebar yang ditimbulkan dari perkiraan yang dihasilkan pada langkah-
langkah berikutnya. Gabungan dari kedua kesalahan tersebut dikenal dengan kesalahan
pemotongan global.
1.3 Metode Heun
Metode Heun merupakan modifikasi dari metode Euler. Modifikasi dilakukan dalam
memperkirakan kemiringan . Metode ini memperkirakan dua turunan pada interval, yaitu
pada ujung awal dan akhir. Kedua turunan tesebut kemudian diratakan untuk mendapatkan
perkiraan kemiringan yang lebih baik (Gambar 2).
Berdasarkan metode Euler, kemiringan pada ujung awal dari interval adalah:
(8)
Kemiringan tesebut digunakan untuk menghitung nilai yi + 1 dengan ekstrapolasi linier
sehingga:
(9)
Nilai 0 1i y dari persamaan (8.14) tersebut kemudian digunakan untuk memperkirakan
kemiringan pada ujung akhir interval, yaitu:
(10)
Kedua kemiringan yang diberikan oleh persamaan (8) dan persamaan (10),
kemudian diratakan untuk memperoleh kemiringan pada interval, yaitu:
Gambar 2. Metode Heun
-
6
Kemiringan rerata tersebut kemudian digunakan untuk ekstrapolasi linier dari yi ke yi
+ 1 dengan menggunakan metode Euler:
(11)
Metode Heun ini disebut juga metode prediktor-korektor. Persamaan (9) disebut
dengan persamaan prediktor, sedang persamaan (11) disebut dengan persamaan korektor.
1.4 Metode Midpoint (Poligon)
Metode Poligon dapat juga disebut sebagai modifikasi dari metode Euler. Metode
Euler digunakan untuk memprediksi kemiringan nilai y pada titik tengah interval. Untuk itu
pertama kali dihitung nilai yi + 1/2 berikut ini. Gambar 8.5 adalah penjelasan dari metode
tersebut.
(12)
Kemudian nilai tersebut digunakan untuk mengestimasi kemiringan pada titik tengah
interval, yaitu :
Kemiringan tersebut merupakan perkiraan dari kemiringan rerata pada interval, yang
kemudian digunakan untuk ekstrapolasi linier dari xi ke xi + 1 dengan menggunakan metode
Euler:
(13)
Gambar 3. Metode Euler yang dimodifikasi (Poligon)
-
7
1.5 Metode Runge Kutta
Pada metode Euler memberikan hasil yang kurang teliti maka untuk mendapatkan
hasil yang lebih teliti perlu diperhitungkan suku yang lebih banyak dari deret Taylor atau
dengan menggunakan interval x yang kecil. Kedua cara tersebut tidak menguntungkan.
Penghitungan suku yang lebih banyak memerlukan turunan yang lebih tinggi dari fungsi nilai
y (x), sedang penggunaan x yang kecil menyebabkan waktu hitungan lebih panjang.
Metode Runge-Kutta memberikan hasil ketelitian yang lebih besar dan tidak memerlukan
turunan dari fungsi, bentuk umum dari metode Runge-Kutta adalah:
xxyxyy ),,( iii1i (14)
dengan (xi, yi, x) adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan rerata pada
interval.
Fungsi pertambahan dapat ditulis dalam bentuk umum:
nn2211 ... kakaka (15)
dengan a adalah konstanta dan k adalah:
k1 = f (xi, yi) (16a)
k2 = f (xi + p1x, yi + q11 k1x) (16b)
k3 = f (xi + p2x, yi + q21 k1x + q22 k2x) (16c)
kn = f (xi + pn 1x, yi + qn 1, 1 k1x + qn 1, 2 k2x + + qn 1, n 1 kn 1x) (16d)
Persamaan tersebut menunjukkan bahwa nilai k mempunyai hubungan berurutan.
Nilai k1 muncul dalam persamaan untuk menghitung k2, yang juga muncul dalam persamaan
untuk menghitung k3, dan seterusnya. Hubungan yang berurutan ini membuat metode Runge-
Kutta adalah efisien dalam hitungan.
1) Metode Runge-Kutta order 2
Metode Runge-Kutta order 2 mempunyai bentuk:
xkakayy )( 2211i1i (17a)
dengan:
),( ii1 yxfk (17b)
),( 111i1i2 xkqyxpxfk (17c)
Nilai a1, a2, p1 dan q11 dievaluasi dengan menyamakan persamaan (17a) dengan deret
Taylor order 2, yang mempunyai bentuk:
-
8
2
),('
1
),( iiiii1i
xyxf
xyxfyy (18)
dengan ),(' ii yxf dapat ditentukan dari hukum berantai (chain rule) berikut:
dx
dy
y
f
x
fyxf
),(' ii (19)
Substitusi persamaan (8.24) ke dalam persamaan (8.23) menghasilkan:
2
)(
1
),( iii1i
x
dx
dy
y
f
x
fxyxfyy
(20)
Dalam metode Runge-Kutta ini dicari nilai a1, a2, p1 dan q11 sedemikian sehingga
persamaan (8.22a) ekivalen dengan persamaan (8.25). Untuk itu digunakan deret Taylor
untuk mengembangkan persamaan (8.22c). Deret Taylor untuk fungsi dengan dua
variabel mempunyai bentuk:
...),(),(
y
gs
x
gryxgsyrxg
Dengan cara tersebut, persamaan (8.22c) dapat ditulis dalam bentuk:
)(),(),( 21111ii111i1i x0y
fxkq
x
fxpyxfxkqyxpxf
Bentuk diatas dan persamaan (17b) disubstitusikan ke dalam persamaan (17a) sehingga
menjadi:
)(),(
),(),(
3
ii
2
112
2
12ii2ii1i1i
x0x
fyxfxqa
x
fxpayxfxayxfxayy
atau
)(),(
),(),(
32
ii11212
ii2ii1i11
x0xx
fyxfqa
x
fpa
xyxfayxfayy
(21)
Dengan membandingkan persamaan (20) dan persamaan (21), dapat disimpulkan bahwa
kedua persamaan akan ekivalen apabila:
a1 + a2 = 1. (22a)
a2 p1 = 2
1. (22b)
-
9
a2 q11 = 2
1. (22c)
Sistem persamaan diatas yang terdiri dari tiga persamaan mengandung empat bilangan
tak diketahui, sehingga tidak bisa diselesaikan. Untuk itu salah satu bilangan tak
diketahui ditetapkan, dan kemudian dicari ketiga bilangan yang lain. Dianggap bahwa a2
ditetapkan, sehingga persamaan (22a) sampai persamaan (22c) dapat diselesaikan dan
menghasilkan:
21 1 aa (23a)
2
1112
1
aqp (23b)
Karena nilai a2 dapat dipilih sembarang, maka akan terdapat banyak metode Runge-Kutta
order 2.
Dibawah ini merupakan 3 metode Runge-Kutta order 2 yang sering digunakan.
a) Metode Heun
Apabila a2 dianggap 2
1, maka persamaan (23a) dan persamaan (23b) dapat
diselesaikan dan diperoleh:
Parameter tersebut apabila disubstitusikan ke dalam persamaan (17a) akan
menghasilkan:
(24a)
dengan:
(24b)
(24c)
dimana k1 adalah kemiringan fungsi pada awal interval dan k2 adalah kemiringan
fungsi pada akhir interval. Dengan demikian metode Runge-Kutta order 2 adalah
sama dengan metode Heun.
b) Metode Poligon (a2 = 1)
Apabila a2 dianggap 1, maka persamaan (23a) dan persamaan (23b) dapat
diselesaikan dan diperoleh:
-
10
Parameter tersebut apabila disubstitusikan ke dalam persamaan (17a) akan
menghasilkan:
(25a)
dengan:
(25b)
(25c)
c) Metode Ralston
Dengan memilih a2 =3
2, akan menghasilkan kesalahan pemotongan minimum untuk
metode Runge-Kutta order 2. Dengan a2 =3
2, didapat:
sehingga :
(26a)
dengan:
(26b)
(27c)
2) Metode Runge-Kutta Order 3
Metode Runge-Kutta Order 3 diturunkan dengan cara yang sama dengan order 2 untuk
nilai n = 3. Hasilnya adalah 6 persamaan dengan 8 bilangan tak diketahui. Oleh karena itu
2 bilangan tak diketahui harus ditetapkan untuk mendapatkan 6 bilangan tak diketahui
lainnya. Hasil yang biasa digunakan adalah:
(28a)
Dengan:
(28b)
(28c)
-
11
(28d)
3) Metode Runge-Kutta Order 4
Metode Runge-Kutta order 4 banyak digunakan karena mempunyai ketelitian lebih
tinggi. Metode ini mempunyai bentuk:
(29a)
Dengan:
(29b)
(29c)
(29d)
(29e)
-
12
BAB II
Pembahasan Soal 2.1 Case Study : Paket SoalA Soal Sumber :
Hasan Akhtar Zaidi and Kamal Kishore Pant, Combined experimental and kinetic
modeling studies for the conversion of gasoline range hydrocarbons from
methanol over modified HZSM-5 catalyst, Korean J. Chem. Eng., 27(5), 1404-
1411 (2010)
1. Model-I The unanimously accepted reaction path for the methanol conversion to hydrocarbons is
The basis for the model I was proposed for the disappearance of DME over ZSM-5 catalyst. The
reaction model is represented as follows:
where A represents Oxygenates (methanol+DME)), B (Olefins) and C (liq. Hydrocarbon
aromatics+paraffins) for methanol to hydrocarbon conversion reaction. This model takes into
account the autocatalytic nature of the reactions and considers the reaction rate of disappearance
of methanol and DME by reaction of oxygenates with olefins. The kinetic equations for the
above model have been formulated by considering the elementary steps for the mechanism and
are given in Eqs. (6) and (7) in terms of mass fraction (Y) of species and space time ( =W/FA0):
The above equations were solved simultaneously using a fourth order Runge-Kutta method as
discussed before. The experimental data were fitted at all the temperatures. The final kinetic
constants after best fitting are given in Eqs. (8), (9) and (10), respectively.
A comparison between experimental data of the weight fraction (water free basis) of oxygenates,
light olefins and rest of the hydrocarbons and the values calculated from the model has been
plotted at different contact time. As can be seen from Figs. 9(a) to (c), the model proposed by
Eqs. (6) and (7) adequately fits the experimental data. The parity plot between experimental and
calculated mass fractions at different contact times temperatures is also shown in Fig. 9(d). The
-
13
weighted least square analysis method was used to calculate the difference between
experimental and simulated values. The deviation between experimental and simulated values
was 1.1%. This model is simple, establishes olefins as primary products, and proposes the
reaction between oxygenates and the olefins as an autocatalytic step.
Berdasarkan formula rumus berdasarkan metode Runge-Kutta Orde IV, maka berilah contoh bagaimana cara perhitungan untuk mendapatkan harga slope =, k1, k2, k3 dan k4 pada titik awal dan satu titik atau dua titik setelahnya. Kondisi Awal pada saat =0, Mass Fraction YAo = 1 dan YBo =0. A adalah komponen metanol dan DME, B adalah komponen Olefin
Selesaikanlah persamaan difrensial biasa (PDB atau ODE = ordinary differential Equation) pada persamaan 6, 7 dengan menggunakan Runge kuta Orde Empat dengan membuat tabel
dalam perhitungan excell slope =, k1, k2, k3 dan k4 , YA dan YB. Buat Rentang perhitungan space time dari =0 sampai dengan =0.2 dengan step size h yang sekecil mungkin.
Dan Buatlah plot kurva hubungan anatara dengan Mass Fraction YA dan YB dalam x-y diagram. seperti menyerupai kurva terlihat pada gambar 9a, 9b dan 9c, sehingga mendapatkan
hubungan antara space time ( =W/FA0) dengan Mass Fraction YA serta hubungan antara space time ( =W/FA0) dengan Mass Fraction YB
Jawab:
Tabel 9(a) Kasus A dengan Suhu 635 K.
Kondisi awal pada saat = 0, Mass Fraction YAo = 1 dan YBo = 0. Rentang perhitungan space
time dari = 0 sampai dengan = 0,2 dengan step size h = 0,01 untuk suhu 635 K.
Persamaan 6 dan 7 adalah sebagai berikut:
-
14
Dimana nilai k1, k2, dan k3 didapatkan dari persamaan 8, 9, 10 berikut ini:
Selanjutnya memasukkan nilai k1, k2, dan k3 ke dalam persamaan 6 dan 7, sehingga persamaan 6
dan 7 menjadi:
-
15
a. Perhitungan untuk mendapatkan harga slope =, k1, k2, k3 dan k4 pada titik awal dan satu titik atau dua titik setelahnya, berdasarkan formula rumus berdasarkan
metode Runge-Kutta Orde IV
Dimana
Mencari seluruh slope pada awal interval yaitu = 0 untuk persamaan yA
-3.223087
-3.17428
-3.175020188
-3.126831295
0.968252468
Nilai slope untuk persamaan yB
3.223087
3.174264
3.175004113
3.126799138
0.031747371
b. Metode Runge-Kutta Orde Empat
-
16
Berikut adalah metode Runge-Kutta Orde Empat :
Pernyataan Masalah: Gunakan metode metode Runge-Kutta Orde Empat untuk
mengintegrasikan secara numerik persamaan berikut:
dari = 0 sampai = 0,2, dengan ukuran step size = 0,01. Kondisi awal pada = 0 adalah
YAo = 1 dan YBo = 0 untuk suhu 635 K.
Persamaan-persamaan yang digunakan untuk metode Runge-Kutta Orde Empat ini dalam
menjawab permasalahan di atas adalah (indeks A menunjukkan k untuk persamaan YA
sedangkan indeks B menunjukkan nilai k untuk persamaan YB):
Maka
Dengan menggunakan Microsoft Excel maka didapatkan tabel berikut ini:
-
17
Gambar 1. Print Screen hasil perhitungan menggunakan Excel untuk mencari nilai yA
-
18
Gambar 2. Print Screen hasil perhitungan menggunakan Excel untuk mencari nilai yB
c. Berikut adalah grafik dari metode Runge-Kutta Orde Empat di atas:
Gambar 3. Grafik perbandingan yA dan yB dengan metode Runge Kutta
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22
Mas
s fr
acti
on
(Y
)
Space Time ()
Grafik Perbandingan YA dan YB dengan Metode Runge-Kutta Orde Empat
YA
YB
-
19
2.2 Soal 2 (Buku Chapra-Canale, english Book/E-Book)
25.1 Solve the following initial value problem over the interval from t = 0 to 2 where y(0) = 1.
Display all your results on the same graph.
dy/dt = yt3 1.5y
(a) Analytically.
(b) Eulers method with h = 0.5 and 0.25. (c) Midpoint method with h = 0.5.
(d) Fourth-order RK method with h = 0.5.
Jawab :
(a) Analytically.
Pada t=0, y(0)=1
Maka persamaan diatas menjadi,
(b) Eulers method with h = 0.5 and 0.25. Dengan H=0,5
Pada kondisi awal : t = 0 y = 1
Langkah pertama (i+1): t = 0,5
0 2 0 3 1 0 2 0 3
Dengan H=0,25
Pada kondisi awal : t = 0 y = 1
Langkah pertama (i+1): t = 0,25
-
20
0 2 0 2 3 1 0 2 0 2
Selanjutnya menggunakan program Excel untuk mencari nilai f(t,y) dengan H=0,5 dan H=0.25
Gambar 4. Print Screen hasil perhitungan menggunakan Excel untuk mencari nilai f(t,y) untuk H=0,5 dan H=0.25
(c) Midpoint method with h = 0.5
Persamaan yang digunakan
t3 1
Untuk t = 0 hingga t = 2 pada h = 0,5
Gambar 5. Print Screen hasil perhitungan menggunakan Excel untuk mencari nilai f(t,y) untuk H=0,5 dengan midpoint method
-
21
(d) Fourth-order RK method with h = 0.5
Dimana
Untuk t = 0 hingga t = 2 pada h = 0,5
Gambar 6 Print Screen hasil perhitungan menggunakan Excel untuk mencari nilai f(t,y) untuk H=0,5 dengan Fourth-order RK
method
Setelah menghitung nilai y dengan menggunakan 4 metode didaptkan data sebagai berikut
Tabel 1 Perbandingan Hasil Y dari Seluruh Metode yang Digunakan
t y
Analytical y Euler y MidPoint y RK
0 1 1 1 1
0.25 0.47981 0.25 0.53125 0.48109599
0.5 0.2865 0.078125 0.2915649 0.28693225
-
22
0.75 0.37367 0.05859375 0.2277851 0.37375219
1 2.71828 0.11352539 0.5414345 2.51307247
Dari hasil perhitungan metode analitik, Euler h(0,25), Euler h(0,5), midpoint, dan Runge Kutta
orde 4 didapat grafik sebagai berikut.
2.3 Soal 3 ( Opsi Tambahan) : Buku Chapra-Canale, Bhs Ind. Soal 3.1 Gunakan metode Runge Kutta orde keempat untuk menyelesaikan Soal 16.10 halaman 640
Buku Chapra-Canale edisi Bhs Ind. Berdasarkan
16.10 Gunakan metode Euler dengan suatu ukuran langkah sebesar 1,0 untuk menyelesaikan
sistem persamaan yang berikut x = 0 hingga x = 10;
Dimana y1 = 25 dan y2 = 7 pada x = 0
Jawab :
Fourth-order RK method with h = 1,0
Dimana
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.5 1 1.5 2 2.5
y
t
t vs y
Midpoint,Sheet2! h=0,5
Euler, h=0,5
Euler, h=0,25
4th-Ord RK, h=0,5
Analytical
-
23
Untuk x = 0 hingga x = 10 pada h = 1,0. Dimana pada x = 0 y1 = 25 dan y2 = 7
Menghitung nilai x, y, k1, k2, k3, dan k4 menggunakan program excel
Gambar 7. Print Screen hasil perhitungan menggunakan Excel untuk mencari nilai yA dan yb dengan Fourth-order RK method
-
24
Dari data diatas nilai yA dan yB di plot ke dalam grafik sebagai berikut
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 2 4 6 8 10 12
x
y
x vs y1 dan x vs y2
y1
y2