METODE VARIASI PADA MEKANIKA KUANTUM

Oleh :

Jamaluddin Meli Muchlian Elma Yusnita

Ide Dasar

Harga ekspekstasi dari operator energi H memberikan energi rata-rata, tentunya energi rata-rata ini terkait dengan fungsi keadaan yang digunakan. Energi rata-rata ini harus > atau = keadaan energi terendah dari sistem. Karena energi terendah sebagai batas bawah dari harga ekspektasi maka memungkinkan untuk memilih fungsi gelombang “coba” (trial) yang mengandung sejumlah parameter dan meminimasi harga ekspektasi dengan cara variasi.

Prinsip metode variasi betujuan untuk mencari energi tingkat dasar pada sistem kuantum untuk potensial tertentu. Metode ini menggunakan solusi tebakan fungsi eigen yang ternormalisasi

Perumusan

Misalkan terdapat persamaan eigen dan fungsi gelombang umum yaitu :

Persamaan eigen :

Fungsi gelombang :

nnn EH

nN

nC

Sembarang nilai energi rata-rata untuk suatu fungsi eigen ternormalisasi tertentu tidak mungkin lebih besar dari energi rata-rata tingkat dasarnya. Secara matematis dituliskan

HHEg

Teorema Variasi Jika telah diketahui bahwa operator

Hemiltonian H adalah operator penentu energi terendah Eg maka untuk sistem yang fungsi gelombangnya berlaku :

pers. 2 EgdH *

Untuk sembarang fungsi gelombang ternormalisasi berlakulah :

1* EdH ternormalisasi

Fungsi diekspansi menjadi kombinasi linear yang suku-sukunya merupakan fungsi eigen.

diekspansi ke dalam fungsi eigen

pers.3

k

k

kka

Dan karena adalah fungsi eigen maka padanya berlaku:

pers. 4

Substitusi pers. (3) ke ruas kiri pers. (2)

menggunakan persamaan eigen (4) maka ruas kiri pers. (2) menjadi:

kkk EH

daHadH jk j

jkk ***

k j

jjjkk dEaadH ***

Karena aj , ak dan Ek adalah bukan fungsi

berharga 1, jika k = j dan 0 jika k j

Karena pers.5

Jika Ek pasti > Eg maka,

pers.6

k j k j

kjjjkjkjjk EaadEaadH ****

kj

kkkk EaadH **

2*kkk aaa

kkk EadH 2*

k

gkk

kk EaEadH 22*

Normalisasi

pers.7

Jika disubstitusi ke pers.6

ternomalisasi

1* d

2****1 k j k j k

kkjjkjkjk aaadaad

12

kka

gEdH *

jika tidak ternormalisasi maka ada faktor normalisasi

gEdHA *2

A = faktor normalisasi

Eg = Energi keadaan dasar

Jika diambil sebagai fungsi gelombang ground state yang sesungguhnya, maka

1

11 gEH

Contoh KasusContoh 1 : (Osilator Harmonik)

Anggap kita ingin mencari keadaan energi dasar untuk osilator harmonik satu dimensi:

222

22

2

1

2xm

dx

d

mH

Jawab : Prosedur pertama yaitu mencari fungsi sembarang untuk digunakan

sebagai fungsi eigen ternormalisasi, misalkan kita pilih fungsi

Normalisasikan fungsi tersebut (cari A yang cocok) melalui syarat normalisasi berikut dimana b adalah konstanta:

Selanjutnya mencari masing-masing rata-rata energi potensial dan energi kinetik dari Hamiltoniannya

2

)( bxAex

Energi kinetik rata-rata :

Energi potensial rata-rata :

Hamiltonian total :

Minimalisasikan H terhadap b:

b

m

m

bH

82

22

H min

Contoh 2 :

Misalkan kita ingin mencari keadaan energi dasar potensial fungsi delta

Jawab:

Karena

menentukann normalisasi dan menghitung

Maka

Turunkan H terhadap b

Sehingga

Dimana A diperoleh dari normalisasi:

2.2 Keadaan Dasar Helium Atom helium pada Gambar 3 berisi dua elektron dalam orbit mengelilingi nukleus yang berisi dua proton (sama dengan neutron). Hamiltonian sistm ini (mengabaikan struktur halus dan koreksi yang kecil)

(12)

menghitung keadaan energi dasar , sejumlah besar energi yang akan melepaskan dua electron.

eV (eksperimen) (13)

Gambar Atom Helium

Sehingga solusi eksak adalah fungsi gelombang hidrogenik:

fungsi eigennya sebagian besar Hamiltonian

Sehingga

dimana

Gambar 4. Pemilihan koordinat untuk integral

Dengan mengabaikan pengaruh electron lainnya, kita bisa mengatakan satu electron membentuk awan bermuatan negative sebagai perisai nucleus sehingga electron lainnya dianggap sebagai muatan efektif inti (Z=2). Pendapat ini kita gunakan pada bentuk fungsi percobaan

Harga ekspektasi H otomatis adalah

Nilai ekspektasi

Mengambil nilai ini untuk Z, kita peroleh

Contoh Kasus

Molekul Ion Hidrogen

Ion molekul hidrogen H2+ (1 elektron, 2 proton)

dalam medan coulomb

Hamiltonian :

r1 dan r2 : jarak elektron thd proton

SRATEGI AWAL : Menentukan fungsi gel “trial” dan gunakan

metode variasi utk mendapatkan ikatan pada energi keadaan dasar

Gambaran ion atom hydrogen pada keadaan dasar

I disebut integral overlap/tumpang tindih ; digunakan untuk mengukur jumlah Ψg(r1) overlap Ψg(r2)

Nilai 1 utk R → 0, dan 0 saat R → Bentuk faktor normalisasi :

Contoh kasus 1 : Evaluasi D dan X pd pers.(43) dan (44). Cek jawabannya pad pers.

(45) dan (46) Jawab :

Contoh kasus 2 :

Misalkan kita menggunakan tanda minus pd fungsi gelombang percobaan pers.(35)

Tanpa menggunakan integral baru, cari F(x) dan buktikan kalau tidak ada ikatan

Jawab :

DAFTAR PUSTAKA

TERIMA KASIH