tugas hidro baru

8/2/2019 Tugas Hidro baru

1/21

BAB II

GERAK ELEMEN FLUIDA;

ALIRAN ROTASI DAN IROTASIONAL

2.1. Pengenalan Perbedaan Jenis Jenis Gerak

Dalam terminologi matematika, gerak dari elemen fluida yang berjalan sepanjang alur

mereka sendiri sesuai dengan posisi dari tiap jenis gerak utama yang berbeda. Arti dalam

istilah fisika dari gerak ini yang diberikan pertama kali dengan pertimbangan masalah yang

sederhana dari elemen fluida dua demensi, dimana semua kecepatannya adalah paralel pada

sumbu OX dan hanya tergantung dari y ( seperti sebuah alur laminer antara dua pesawat

paralel).

Sesuai elemen bujur sangkar ABCD yang sangat kecil sekali dari area dx dy pada saat

waktu tdan elemen yang sama ketika waktu t+ dt:A1B1C1D1 ( gbr 2-1 ).

Gambar 2.1. Analisa dasar gerakan partikel fluida yang berbeda

Kecepatan dariA danD adalah u, dan kecepatan dariB dan Cadalah

+ du = u + ( u/y)dy karena AB = dy dan u dalam kasus ini adalah hanya berfungsi

sebagai y saja.

Dalam hal ini sangat mungkin jika pergi ABCD ke A1B1C1D1 dengan mengikuti

langkahlangkah berikut:

1. Sebuah gerak translasi yang diberi tanda1221 DCBA ; kecepatan translasinya adalah u.

2. Sebuah gerak rotasional yang berbelok diagonal berturut - turut21CA dan 21BD ke 31CA

dan 31BD ,


2/21

3. Sebuah deformasi yang di pindah dari C3ke C1 danB3 B1.

Jika dalam batas dtcenderung bernilai nol,21

CC cenderung bernilai nol. Jika sudut

312 CCC akan bernilai 45

ketika dx = dy. Karenanya :

2

)/(

2

21

32

dydtyuCCCC

Kecepatan dari rotasi anguler adalah :

dydt

CC

dt

d

CA

CC

dt

d

radius

segment

dt

d

dt

dr

2

32

22

32

memperkenalkan nilai dari 32CC telah diketahui sebelumnya , telah diketahui bahwa rata-rata

dari rotasi anguler adalah :

y

u

dt

dr

2

1

dengan cara yang sama, ratarata dari deformasi akan di temukan dan akan sama dengan :

y

u

CA

CC

t

2

1

31

13

dalam kasuskasus yang umum, ada tiga konstituen utama dari partikel gerak dan deformasi

mereka adalah :

1. Komponen kecepatan V (u, v, w): translasi2. Jenis dari komponen kecepatan dalam arah mereka sendiri di sebut: dilatasi.3. Jenis dari komponen kecepatan yang meninjau arah normal terhadap arah mereka sendiri:

rotasi dan deformasi angular.

Tiga konstituen ini berturutturut akan kita bahas dalam bagian di bawah ini.

2.2. Gerak Perpindahan ( Translasi )

Menurut partikel pada titik A(x,z,y) saat waktu t titiknya adalah sebuah sudut dari

sebuah elemen segi empat kecil, sisinya paralel pada tiga sumbu OX, OY, OZ perhatikan

(gambar 2-2). Ketika sebuah partikel berpindah pindah kemudian sisi dari elemen segiempat berjejer paralel pada sebuah sumbu, dan membentuk sebuah bentangan konstan, ini


3/21

hanya gerak perpindahan. Hal ini berarti tidak ada jarak yang bergantung dari komponen

kecepatan. Perpindahan dapat terjadi sepanjang garis lurus atau garis bengkok ( kurva ).

Gambar 2.2. Gerak perpindahan ( translatori )

Jikax, y, dan z adalah koordinat dariA saat waktu t. Kemudian x + x, y +

y dan z + z adalah koordinat pada saat waktu t+ t. Perpindahan gerak yang digambarkan

oleh persamaan sebagai berikut:

x = u t dx = u dt

y = v t atau dy = v dt

z = w t dz = w dt

Aliran dari partikel memanjang secara paralel dan lurus sepanjang garis arus dengan

kecepatan konstan ( jadi disebut arus seragam/uniform ) adalah hanya masalah perpindahan

gerak (fig 2-3).

Gambar 2.3. Contoh gerak perpindahan : aliran uniform

Perpindahan gerak mungkin akan digambarkan lebih kaku sebagai sebuah gerak dari

pusat dari elemen segi empat sebagai ganti dari gerak dari sudut elemen. Walaupun,perubahan ini sedikit membingungkan di lihat dari gambar dan persamaan dan yang telah di


4/21

sampaikan, akhirnya dengan hasil yang sama. Karenanya dalam pembahasan selanjutnya,

perpindahan gerak akan di gambarkan sebagai gerak dalam sebuah sudut.

Dalam pembahasan berikut ini, arti fisika dan istilah - istilah matematika yang

berhubungan akan dipelajari dalam bab ini pada gerak dua demensi pada saat yang pertama,

kemudian akan di kembangkan menjadi gerak tiga demensi.

2.3. Deformasi

Lebih mudah untuk menjelaskan jenis dari perpindahan dengan bantuan contoh. Dua

jenis dari deformasi di bedakan dalam; deformasi bersudut dan deformasi tak bersudut

(dilatational dan angular deformation).

2.3.1. Dilatasional atau Linear deformation

Dalam aliran yang memusat, kecepatan mempunyai sebuah kecenderungan untuk

menambah alur sepanjang partikel. Oleh karena itu, kecepatan dari tepi garis tegak lurus

terhadap vektor V (atau terhadap garis arus) yang tidak sama (gambar 2-4). Partikel menjadi

lebih panjang dan lebih kecil. Dalam hal ini dilatasional atau deformasi linear telah terlapisi

pada sebuah perpindahan yang telah disediakan oleh sudutdi antara sisinya dan tidak boleh di

ubah.

Gambar 2.4. Deformasi dilatasional partikel fluida dalam aliran konvergen

Sekarang menurut partikel dua demensi ABCD yang kecepatannya dalam arahx dari

garis tepiAB adalah u, dan kecepatan dari CD adala u + du = u + ( u/x)dx, sehinggaAD =

dx (gambar 2-5). Dengan cara yang sama, kecepatan dari AD dalam arah y adalah v, dan

kecepatan dariBCadalah :v + ( v/y)dy. Perlu dicatat bahwa derivatif dari u dengany atau

v dengan x adalah tidak sesuai dan derivatif dari kecepatan ( u/x)dx dan ( v/y)dy.

Setelah sebuah waktu dt, BC menjadi 11CB , bentang BB 1menjadi sama dengan

perubahannya dan waktu, dimana BB 1= (( v/y)dy dt.(velositas (( v/y)dy adalah negatif


5/21

dalam wadah fig. 2-5). CD menjadi 11DC sama dengan DD 1 adalah sama dengan DD 1 = ((

u/x)dx dt.

Velositas dari deformasi dilasional adalah per unit dari jangkauan :

y

v

dy

dyyv

x

u

dx

dxxu

)/()/(

jumlah u/ + v/y adalah total rata rata dari deformasi dilasional, rata rata perubahan

per unit dari sebuah area. Area BCEB 1dan D 1 C 1 ED harus sama dalam fluida inkrompresibel.

Perubahan mereka memberikan tekanan atau perluasan dalam hal ini adalah kompresibel

fluida.

Gambar 2.5. Komponen dari deformasi dilatasional

2-3.2 Deformasi Anguler atau Tegangan Geser

Deformasi bersudut ( anguler ) mungkin digambarkan oleh sifat dari sebuah partikel

fluida berikut tanpa fungsi friksi sekitar sebuah tekukan. Ini adalah perihal pengamatan biasa

bahwa di pojok sebuah jala lebih berangin daripada di pertengahan. Dalam masalah yang

sama arus fluida di sekitar tekukan, melalaikan efek dari friksi, velotisitas punya sebuah

kesempatan untuk menjadi besar di dalam dari pada dari luar dari tekukan. Hukum V x R =

konstan kirakira mungkin akan bekerja ketika V adalah velositas dan R adalah radius dari

kurva dari alur. Karenanya jika partikel A adalah sudut dari segitiga ABCD, pada sisi AB

dari segitiga berpindah lebih besar velositasnya dari pada sisi CD dan inilah deformasi sudut

(deformation angular-gambar 2-6). Deformasi angular ini cukup untuk bisa perbedaan dari

velositas antara AB dan CD.


6/21

Gambar 2.6. Deformasi geser dalam lengkungan

Sekarang kita lihat, sebagai contoh dalam hal ini telah digambarkan dalam gambar

2.7., dimana velositas dari AB adalah u dan velositas dai CD adalah u +b du = u + ( u/

y)dy, kemudian jarak antara Cd (DD 1 ) setelah waktu dt ( u/y)dy dt . velositas angular

adalah

y

u

dy

dyyu

)/(

catatan bahwa kontras untuk kasus deformasi dilational, derifasi dari u dengany danx adalah

di tahan disini. Derivasi dari velositas ( u/ y)dy tidak dapat tergantung pada waktu tertentu.

Dengan cara yang sama BB(atauDD*) adalah sama pada ( v/x)dx dt. Ketika dua

dari deformasi ini ada pada saat yang bersamaan jumlah dari kecepatan angular ( u+y)+(

v/x) adalah rata dari derivatif angular.

Catatan bahwa u/y telah di pilih sama dengan v/x dalam gambar figur 2-7,

dan dan kedua sektor dari angel di buat oleh garis tepi dari elemen kotak yang cenderung

pada peralel utama pada identitas atau inisial posisi mereka selama pada deformasi angular.

Ketika ke dua sektor tidak menjadi paralel pada posisi yang sebenarnya mereka, maka gerak

di katakan irotasional.


7/21

Gambar 2.7. Anguler atau deformasi geser

2.4. Rotasi

Walaupun gerak arus dapat bedakan dalam bentuk yang bermacammacam menurut

beberapa tipe dari jenis mereka (seperti laminar atau turbulen, tak friksi atau viskositas

dengan atau tanpa friksi, steady atau tidak steady), satu yang paling penting divisi dari

hidrodinamik terdiri dari yang berhubungan dengan arus rotasional dan irotasional.

Karenanya, gambaran dari konsep irotasional telah sepenuhnya di kembangkan dalam bab ini

2.4.1. Definisi dalam Matematika

Untuk gerak dua demensi, telah di tunjukan oleh velositas angular pada deformasi

adalah u/y dan v/x .Rotasi dari sebuah partikel sudah cukup untuk membedakan

komponen ini. Tentu saja, jika u/y = v/ , ada deformasi yang tanpa rotasi dan kedua

sektornya tidak berotasi (gambar 2-7). Tetapi jika v/y v/, kedua sektor

berkesempatan merubah arah, dan kedua-duanya rotasi dan angular deformasi, atau hanya

rotasi.(gambar 2-8)

.

Gambar 2.8. Rotasi dan deformasi


8/21

Perbedaan ( u/y)( v/x) ditemukan dari rata rata dari rotasi, oleh karena itu

sebuah gerak dua dimensi irotasional di tulis dalam rumus matematika dengan ( u/y)(

v/x) = 0 .

Deformasi angular dapat di sesuaikan dengan rotasi ketika (

u/y) (

v/

x) = 0

dan ketika ( u/y)( v/x) 0 dan secara teori, rotasi dapat ada tanpa deformasi ketika (

u/y) ( v/x) 0 dan ( u/y) ( v/x) = 0. Kasus seperti ini sering kita jumpai

dalam praktek, sehingga rotasi pada umunya terjadi dengan deformasi angular di dalam

situasi secara fisika. Sebuah gaya vortek, seperti yang telah perlihatkan dalam gambar 2-9,

seperti kasuskasus yang lain di mana partikel berotasi tanpa deformasi. Sehingga kini dapat

lebih mengetahui seperti kasus khusus dalam hidrostatik dimana gaya sentrifugal di

tambahkan dengan gaya gravitasi, melainkan sebuah arus rotasional ideal.

Gambar 2.9. Gaya vortex (V = KR ), rotasi tanpa deformasi

2.4.2 Fungsi Kecepatan Potensial : Definisi

Konsep dari gerak irotasional sangat penting dalam hidrodinamik sehingga banyak

sekali arus ideal mendekati irotasional.

Kekayaan dari gerak irotasional menghasilkan analisa yang sederhana dan kuat, grafik

atau metode sederhana yang dapat digunakan solusi dari masalah hidrolik. Kebanyakan dari

metode ini dihasilkan dari keberadaan fungsi tertentu, kecepatan potensial.

Kecepatan potensial di gambarkan sebagai nilai tunggal fungsi dari seperti bahwa

= - ( /y) dan i = ( /y) (atau alternatifnya u= - ( /y)). Jika fungsi u dan v

adalah berkelanjutan (continous), fungsi ini akan sangat memuaskan dengan kondisi

irotasional., dimana dua dimensi adalah ( u/y) - ( u/x) = 0. Ketika ungkapan untuk u

dan v adalah di gantikan ke dalam kondisi untuk irotasional hasilnya adalah :


9/21

xy

2-

yx

2= 0

sehingga pembeda dengan dua variabel bebas dari urutan dalam diferensiasi telah selesai.

Potensial velositas akan ditunjukan keberadaannya untuk gerak yang tiga dimensi yang

bagus.

Nilai dari kecepatan adalah V dalam fungsi terminologi potensial kecepatan dari

adalah :

V = gradien =y

Jx

i

Dimana I dan j adalah unit dari vektor sepanjang sumbu x dan y. magnitudo dari velositas

menjadi :

2/122

yxV

2.4.3. Teori Remak pada arus irotasional

Ini berguna unuk mempelajari karakteristik dari sebuah arus irotasional. Untuk tujuan

ini, di berikan contoh sebelumnya `dari sebuah arus tanpa friksi dalam sebuah lengkungan,

atau dari gerak vortek bebas yang di gambarkan dengan persamaan VR = K, yang telah di

analisa sebelumnya. (lihat gambar 2-10)

Gambar 2.10. Masalah pergantian tempat yang sanat kecil dalam aliran irotasional


10/21

Sesuai dengan segi empat elemen fluida ABCD antara dua arus digambarkan dengan

jarak mereka dari R1

dan R2

sehingga R1

= R2

+ dR. dR menjadi sangat kecil sekali.

Sesudah sebuah interval waktu dt, ABCD menjadi A1

B1

C1

D1

dan sisi dari AB

berotasi menjadi A1

B1

oleh cakupan yang sangat kecil rsehingga

rBO

BBr

1

1

tan BOR

Kdt1

2

dan

AOR

Kdt

AO

AA

rr 111

1

tan

persamaan terakhir ini menjadi :

12

11 RRBOAO BO

AO

R

R

1

1

1

atau OB = RI dan OA = R2. Ketika nilainya disubstitusikan kedalam persamaan untuk r

hasilnya adalah : r = ( K dt/ R1R2 ). Karena dR kecil, R2 ~ R1 dan persamaan dapat ditulis

sebagai r = ( K dt/ R12

). Karena sin 1 kecil, sin 1 1. Dan 1= ( AA/R1 ) = ( K dt/R12

),

Karenanya r = 1 .

Sisi AC berputar menjadi ACmelalui sudut 1. Karena dua sisiAB danACberputar

dengan jumlah yang sama 1 , tapi dalam arah yang berbeda, garis bagi AXmeninggalkan

paralel menuju garis bagi AX. Orientasi dari garis median tidak meninggalkan perubahan,

yang kondisinya untuk menjadi gerakan irotasional.

Yang harus ditekankan bahwa pegangan demonstrasi sebelumnya hanya benar jikapergantian jarak yang kecil sekali dipertimbangkan. Ini tidak sepenuhnya benar untuk

perbedaan jarak yang terbatas, karena dua bidang batas mempunyai kecenderungan untuk

berputar dalam arah yang sama.

Kedua sudut rotasi dari bidang batas dan sudut deformasi anguler mempunyai nilai

batas untuk batas perpindahan dari elemen. Bagaimanapun juga, dalam gerakan irotasional,

sudut rotasi yang kecil sekali merupakan permintaan yang lebih tinggi dari pada sudut

deformasi. Dalam aliran yang nyata, gerakan irotasional tidak dapat ditentukan dengan


11/21

mengamati deformasi partikel dalam gerak sepanjang alurnya karena sifat khusus ini

merupakan lokal yang utama.

2.5. Batas Parsial dari Kenyataan Irotasional.

2.5.1. Rotasi yang Disebabkan karena Gesekan : Teorema Kelvin.Konsep dari irotasionalitas secara matematika sangat penting [(u/y )( v/x ) = 0 ,

dalam gerakan dua dimensi ]. Kesulitan muncul ketika seseorang mencoba menyusun

beberapa aturan parsial sederhana untuk menduga kebenaran dari asumsi ini. Tentu saja,

rotasi sering disebabkan oleh gaya gaya viskositas, tetapi solusi rotasional juga berlaku

untuk fluida ideal, dan aliran irotasinal berlaku dalam viskositas fluida.

Sebagai contoh kita lihat sebuah bendungan, dimana arus velositas pada kenyataannya

bernilai nol dan dihubungkan dengan pipa. Pada awalnya fluida adalah irotasional, tetapi

tekanan viskos kadangkala menyebabkan arus menjadi rotasional pada saat memasuki pipa;

disinilah gaya friksi menyebabkan rotasi. Kenyataan di lapangan yang di terjemahkan dalam

istilah matematika oleh Kevin Thorem yang meneliti kerja dari fluida viscos yang

kepadatannya tetap, di bawah gaya gravitasi konstan. Sebuah percobaan dari Thorem yang

melebihi cakupan dari buku ini tetapi sebuah pengenalan fisika pada rotasi akan di bahas

selanjutnya.

Gambar 2.11. Variasi kecepatan dalam arah tegak lurus terhadap perbedaan

aliran ke dalam dalam arah gaya gesek dan menghasilkan putaran

dalam gerak rotasiona


12/21

Gambar 2.12. Contoh aliran rotasional dan irotasional

Gambar 2.13 Contoh aliran rotasional dan irotasional


13/21

Pada umumnya, gerak dapat di asumsikan sebagai irotasional gradien

kecepatan sangat kecil (seperti dalam gelombang gravitasi berjangka), ketika garis

arus memusat dengan cepat, dan ketika distribusi kecepatan menggantung pada

bentuk dari garis tepi bada bagian yang kasar. Gerak irotasional berdekatan dengan

garis tepi tapi menyimpang dengan garis alur.

Sebagai contoh telah di sebutkan pada awal, berdekatan dengan garis tepi

deferensial kecepatan yang besar antara partikel pada alur yang bersebelahan

menyebabakan garis menjadi rotasional. Sebuah bagian dari gradien kecepatan

ketinggian sangat kecil sebagai sebuah gerak secara matematika di sebut irotasional.

Suku dari gradien tertinggi di sebut sebagai instance, sebuah garis tepi batas jika ini

terjadi dekat sebuah garis tepi atau dari di antara fluida dengan perbedaan yang alami

(permukaan gas di permukaan) atau garis geser antara dua garis fluida. Sebuah gerak

mungkin bisa disebut irotasional hanya jika garis batas sedikit penting atau lumayan

kecil. Gambar 2.14 menggambarkan wadah pada bendungan air dimana garis tepi

tepi bawah melebihi arus bawah. Pergerakan yang irotasional hanya terjadi pada

dekat bagian atas.

2-5.1 solusi rotasi dalam fluida sempurnaKelihatan bahwa rotasi mungkin secara fisika berkaitan dengan friksi. Dalam

fisika efek gesek telah di hasilkan dalam aturan praktik sebagai berikut.


14/21

Walaupun, disana ada solusi secara matematika ada pergerakan rotasi dimana

gaya gesek diabaikan. Persamaan klasik Bernaulli tentang hidrolik dasar yang

berguna hanya sepanjang garis arus ketika gerak adalah rotasional tanpa gesekan

(lihat bab 10). Satu contoh kasus dari nondisipative (tanpa gesekan) gerak rotasional

adalah teori dari Gestner tentang gelombang gravitasi periodik.

Dalam teori ini aliran dalam partikel fluida digambarkan memutar. Partikel

partikelnya juga ikut berotasi mengelilingi diri mereka sendiri dalam arah yang

terbalik (gambar 2-15). Hasilnya telah digambarkan dengan sebuah solusi alternatif

dari persamaan dasar dimana terminologi geseknya telah diabikan. Tetapi dimana

terminologi rotasi inersia di ambil dengan mengambil hasil dari penghitungan (lihat

bab 17-1.4)

Gambar 2-15 alur dan rotasi partikel fluida dalam gelombang

Gerstner

2-5.2 Solusi irotasional dalam fluida viskosSeseorang juga menemukan gerak disipatif, dimana termasuk irotasional.

Sebagai contoh, gaya gesek punya peranan dominan sebagai pembasah dari

gelombang gravitasi ke dalam sebuah saringan dan mengalir kedalam sebuah medium

yang mudah menyerap. Walaupun dalam kasus ini hanya mengartikan kecepatan

dengan menganggap jarak dipertimbangkan. Sistem terbaru dari gerak rotasional

yang rumit yang mengalir kedalam medium yang mudah menyerap dipelajari sebagai

sebuah gerak rata-rata yang berhubungan dengan irotasional saat mencapai angka


15/21

Renold (lihat bab 9). Dengan cara yang sama, aliran turbulen berotasi dengan sangat

kuat tetapi bukan berarti gerak berhubungan dengan waktu mungkin lebih sering

dianggap sebagai irotasional ( lihat bab 8).

Ini mungkin juga terjadi bahwa aliran adalah irotasional ketika jumlah dari

semua viskositas yang muncul dalam persamaan momentum sama dengan nol,

meskipun tiap istilah secara individu bukan nol. Jenis gerakan tertentu adalah

disipatif dan irotasional. Contoh yang spesifik dari kasus ini adalah gerakan yang

digerakkan oleh silinder bundar yang berotasi dengan tetap di sekitar sumbunya

dalam fluida viskos tak termampatkan yang tak terbatas. Gradien kecepatan normal

ke garis lurus dapat menjadi besar mendekati silinder gerakannya tetap irotasional.

Gerakan dari vortek bebas adalah sama apakah salah satu menurut fluidasempurna atau viskos. Solusi unuk persamaan momentum untuk fluida sempurna (

VR = konstan ) membuat jumlah dari seluruh term viskositas dari persamaan

momentum sama dengan nol.

2-5.4 Energi disipasi, deformasi geser dan rotasionalitas

Bukti bahwa gerakan adalah rotasional tidak perlu mengartikan bahwa ini

adalah disipatif. Sebuah gerakan adalah disipatif kanguler tergabung dengan sebuah

koefisien viskositas yang tidak diabaikan. Jadi irotasional vortek bebas dapat menjadi

disipatif.

Tentu saja, hal ini akan terlihat pada bagian 5-5.3.2 bahwa tegangan viskositas

sesuai dengan koefisien deformasi linier dan anguler yang disampaikan pada bab ini.

Karenanya tegangan viskositas tergantung pada keberadaan deformasi dan bukan

rotasionalitas.

2-6 Ungkapan matematika untuk mendefinisikan gerakan partikel fluida.2-6.1 Gerakan Dua Dimensi.Mempertimbangkan elemen flida ABCD pada saat t ( gbr. 2-16). Komponen

kecepatan u dan v adalah fungsi dari x dany yaitu du = ( u/x ) + ( u/y )dy dan


16/21

dv = ( u/x) dx + (v/y )dy. Pada waktu t ruang koordinat A adalah x, y dan D

adalahx + dx,y + dy.

Gambar 2-16 sistem koordinat dua dimensi

KoordinatA dan D pada saat t + dtdiberikan pada persamaan 2-1

dtvy

dtuxA

'

dtdvvdyy

dtduudxxD'

dtdyy

vdx

x

vvdtdyy

dtdyy

udx

x

uudtdxx

D'

Menambahkan dan mengurangkan ( v/x ) dy dt ke koordinat x dan

( u/x ) dx dtke koordinaty menjadi bentuk koordinatDyang ditunjukkan pada

persamaan 2-2. Arti fisika dari term menjadi nyata dengan pertimbangan paragrap

sebelumnya.


17/21

dtdx

y

u

x

vdtdx

x

v

y

udtdy

y

vdtvdy

dtdyy

u

x

vdtdy

x

v

y

udtdx

x

udtudxx

D

2

1

2

1y

2

1

2

1

'

2-6.2 Gerakan Tiga Dimensi : Definisi dari VorticitySama dengan masalah dua dimensional, koordinat dari titikD( x + dx, y +

dy, z + dz ) dari elemen fluida tiga dimensi setelah waktu dtmenjadi persamaan 2-

3.

dtdzz

udy

y

udx

x

udtudxx

dtdzz

vdy

y

vdx

x

vdtvdyy

dtdz

z

wdy

y

wdx

x

wdtwdzz

menambahkan dan mengurangkan

dtdzx

wdtdy

x

v

2

1dan

2

1

ke baris pertama ;

dtdxy

udtdz

y

w

2

1dan

2

1

ke baris kedua ; dan

Oordin

at

translas

i

Dilatasi

atau

deformasi

Laju

deformasi

an uler

Laju rotasi

RotasiAnguler

atau

de ormasi


18/21

dtdyz

vdtdx

z

u

2

1dan

2

1

ke baris ketiga menghasilkan persamaan 2-4

dtdyy

u

x

vdz

x

w

z

udz

x

w

z

udy

y

u

x

vdtdx

x

udtudxx

2

1

2

1

2

1

2

1

dtdzz

v

y

wdx

y

u

x

vdx

y

u

x

vdz

z

v

y

wdtdy

y

vdtvdyy

2

1

2

1

2

1

2

1

dtdxx

w

z

udy

z

v

y

wdy

z

v

y

wdx

x

w

z

udtdz

z

wdtwdzz

2

1

2

1

2

1

2

1

koefisien deformasi geserakan dijelaskan sebaagai

z

v

y

wf

2

1

x

w

z

ug

2

1

z

v

y

wf

2

1

koefisien rotasi akan dijelaskan sebagai

z

v

y

w

2

1

x

w

z

u

2

1

z

v

y

w

2

1

koordinat dari titikDsekarang ditulis dalam persamaan 2-5, dalam hal ini 2, 2, 2

adalah komponen vektor yang mencerminkan vortisiti fluida pada suatu titik.


19/21

x + dx + u dt + a dx dt + ( h dy + g dz ) dt + ( dz - dy ) dt

y + dy + v dt + b dy dt + ( f dz + h dx ) dt + ( dx dz ) dt

z + dz + w dt + c dz dt + ( g dx + f dy ) dt + ( dy - dx ) dt

Sebuah gerakan irotasional tiga dimensi didefinisikan melalui = 0, = 0, dan = 0;

yaitu

y

u

x

v

x

w

z

u

z

v

y

w

,,

2-6.3 Fungsi Kecepatan Potensial Dalam Kasus Gerakan Tiga Dimensi.

zw

yv

xu

Ini mungkin dapat ditulis dalam bentuk vetor sebagai V = grad .

Ketika nilai dari kecepatan potensial disubstitusikan dalam persamaan untuk

gerak irotasional, hasilnya adalah :

xyyxxzzxzyyz

222222

hal ini memperkuat definisi dari karena selalu sesuai dengan kondisi untuk

aliran irotasional. Dengan kata lain, keberadaan dari menandakan bahwa aliran

tersebut adalah irotasional.

Persamaan diatas akan tetap dijaga, meskipun kecepatan potensial menjadi

negatif, jadi kecepatan potensial dapat juga didefinisikan oleh V = - grad .

Koordina

t awal

translasi Deformas

i

Deformas

i anguler

rotasi


20/21

2-6.4 Analogi Stoke: Percobaan ShawSebuah gerakan rotasi tiga dimensi merupakan gerakan irotasional dua

dimensi ketika rotasinya selalu pada pesawat yang sama. Sebagai contoh, lapisan tipis

air yang mengalir pada plat gelas horisontal yang ketebalan dari lapisannya sangat

kecil dibandingkan dengan dimensi lain, hanya mempunyai gerakan rotasional dalam

pesawat vertikal ( Gbr 2-17 ). Jika gerakannnya terlihat pada pesawat, gerakannya

akan dianggap sebagai gerakan irotasional dua dimensi.

Gambar 2-17 dalam aliran air tipis, rotasi ada hanya pada pesawat vertikal

Dalam kasus gambar 2-17, gerakan dalam arah vertikal XOZdan YOZadalah

rotasional dan 0, sedangkan gerakan dalam arah horizontal XOY adalah

irotasional dan = ( u/y - v/x ) = 0. ini mungkin dapat ditunjukkan bahwa

kecepatan rata rata yang meninjau vertikal mempunyai kondisi yang sama dengan

irotasionalitas.

Stream line dipandang dalam alat adalah sederhana ditunjukkan oleh suntikancelup. Hasil yang sama diperoleh dari aliran diantara dua alta paralel vertikal. Metode

ini sering digunakan untuk mejelaskan bentuk aliran dua dimensi atau hampir gerakan

dua dimensi. Beberapa contoh antara lain : bentuk aliran disekitar sayap, pengaruh

dari maukan pada sungai yang dangkal dan lebar ( gbr . 2-18 )


21/21

Gambar 2-18 contoh studi berdasarkan pada analogi stoke.

tugas hidro baru

Documents