TUGAS GETARAN MEKANIS (FUNGSI MATEMATIKA GETARAN MEKANIS )

NAMA : SAFRUL EPENDI NIM : 120401005

DEPARTEMEN TEKNIK MESIN

UNIVERSITAS SUMATERA

UTARA

2014

1

Getaran Mekanik

Getaran adalah gerakan bolak-balik yang melewati titik setimbangnya dalam suatu

interval waktu tertentu. Getaran memiliki hubungan erat dengan gerak osilasi benda dan gaya

yang berhubungan dengan gerak tersebut. Semua benda yang mempunyai massa dan elastisitas

mampu bergetar, jadi kebanyakan mesin dan struktur rekayasa (engineering) mengalami getaran

sampai derajat tertentu dan rancangannya biasanya memerlukan pertimbangan sifat osilasinya.

Getaran bebas terjadi jika sistem berosilasi karena bekerjanya gaya yang ada dalam

sistem itu sendiri (inherent), dan jika ada gaya luas yang bekerja. Sistem yang bergetar bebas

akan bergerak pada satu atau lebih frekuensi naturalnya, yang merupakan sifat sistem dinamika

yang dibentuk oleh distribusi massa dan kekuatannya. Semua sistem yang memiliki massa dan

elastisitas dapat mengalami getaran bebas atau getaran luar.

Contoh getaran mekanis dalam kehidupan sehari hari adalah:

Hampir semua alat gerak mempunyai masalah getaran karena adanya ketidak seimbangan

mekanisme, contohnya :

1. Mechanical failures karena material fatigue

2. Getaran dapat mengakibatkan keausan yang lebih cepat

3. Dalam proses manufaktur, getaran dapat menyebatkan hasil akhir yang buruk

4. Selain efek yang merusak, getaran dapat digunakan untuk hal hal yang berguna.

5. Getaran digunakan dalam conveyors getar, mesin cuci, sikat gigi elektrik.

6. Getaran juga digunakan dalam pile driving, vibratory testing of materials.

7. Getaran digunakan untuk menaikan efisiensi dari proses permesinan seperti

casting dan forging.

2

PERSAMAAN GETARAN MEKANIS DALAM BENTUK MATEMATIKA

Dalam system getaran dibagi dalam dua bentuk getaran

1. Getaran bebas tak teredam

2. Getaran bebas teredam

Kedua persamaan diatas dapat dibuat dalam bentuk persamaan matematika yakni

1. Getaran bebas

Dalam bentuk persamaan matematika getaran mekanik bebas adalah sebagai berikut:

Persamaan secara umum

𝑚𝑢 + 𝑐𝑢 + 𝑘𝑢 = 𝑝 (𝑡)

Karena kecepatan dan perpindahan saat 𝑡 = 0 adalah

𝑢 0 = 𝑢0 𝑑𝑎𝑛 𝑢 0 = 𝑢 0

Maka

𝑢 + 2 𝜔𝑛𝑢 + 𝜔𝑛2 𝑢 =

𝜔𝑛2

𝑘 𝑝 (𝑡)

𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎

𝜔𝑛2 =

𝑘

𝑛

𝑐

𝑐𝑐𝑟dimana

𝑐

𝑐𝑐𝑟 = 2 𝑚 𝜔𝑛 =

2𝑘

𝜔𝑛

Di Dalam istilah matematika, penyelesaian umum dari persamaan diferensial terdiri dari

penyelesaian sesungguhnya dan penyelesaian komplemen/pelengkap, maka dengan 𝑝 𝑡 = 0

𝑚𝑢 + 𝑐𝑢 + 𝑘𝑢 = 0

𝑢 + 2 𝜔𝑛𝑢 + 𝜔𝑛2 𝑢 = 0

Dengan 𝑢 = 𝐶 𝑒𝑠 𝑡

Maka

3

( 𝑠 2 + 2 𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 ) 𝐶 𝑒𝑠 𝑡 = 0

supaya dapat nilai yang valid untuk semua nilai t, maka

( 𝑠 2 + 2 𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 ) = 0

NB : persamaan polynomial derajat n dalam besaran 𝑠 2 yang mempunyai n buah harga 𝑠

2

Jika persamaan getaran bebas secara umum diubah kedalam bentuk getaran khusus

maka:

1. Getaran bebas tak terdam ( undamped )

Persmaannya

𝑚𝑢 + 𝑘𝑢 = 0

𝑎𝑡𝑎𝑢

𝑢 + 𝜔𝑛2 𝑢 = 0

Maka persamaan karakteristik yang sesuai

𝑠 2 + 𝜔𝑛2 = 0

Maka akar persamaan diatas adalah :

𝑠 1,2 = ±𝑖 𝜔𝑛 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑖 = −1

Sehingga penyelesaian umum

𝑢 = 𝐶1 𝑒𝑖 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐶2 𝑒−𝑖 𝜔𝑛 𝑡

Dengan menggunakan persamaan euler maka

𝑒±𝑖𝜃 = cos𝜃 ± i sin𝜃 Jika dalam persamaan trigonometri maka :

𝑢 = 𝐴1 cos𝜔𝑛𝑡 ± A2 sin𝜔𝑛𝑡

4

2. Getaran bebas teredam

𝑚𝑢 + 𝑐𝑢 + 𝑘𝑢 = 0

𝑎𝑡𝑎𝑢

𝑢 + 2 𝜔𝑛𝑢 + 𝜔𝑛2 𝑢 = 0

Sehingga persamaan yang sesuai

𝑠 2 + 2 𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 ) = 0

dan akarnya adalah

𝑠 1,2 = −𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛

5

Dalam kasus getaran bebas teredam ada tiga kasus yang harus diper hatikan yaitu

1. Crytically damped (

Maka persamaan umumnya dari

𝑠 1,2 = −𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 menjadi 𝑠 1,2 = - 𝜔𝑛

solusinya menjadi

𝑢 𝑡 = ( 𝑐1 + 𝑐2 ) 𝑒 − nt

2. Overdamped (

𝑠 1,2 = −𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛

Sehingga menjadi

𝑠 1,2 = −𝜔𝑛 ± 𝜔∗ 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝜔∗ = 𝜔𝑛

6

3. Underdumped (0

𝑠 1,2 = −𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛

𝑠 1,2 = −𝜔𝑛 ± 𝑖 𝜔𝑑 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝜔𝑑 = 𝜔𝑛