tro 2010 -2011.doc

276
MODUL KULIAH TEKNIK RISET OPERASI RITA DEWI RISANTY.SKOM.MMSI 2012 FAKULTAS TEKNIK 1

Upload: ekoaricahyono

Post on 20-Sep-2015

387 views

Category:

Documents


48 download

TRANSCRIPT

MODUL KULIAH

MODUL KULIAH

TEKNIK RISET OPERASI

RITA DEWI RISANTY.SKOM.MMSI

2012FAKULTAS TEKNIK

JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JAKARTAPEMODELAN

Salah satu hal yang sangat penting dan banyak memberikan bantuan dalam bidang riset operasional adalah model. Suatu model adalah suatu penyajian sederhana dari suatu keadaan nyata. Grafik, rumus, bagan dan juga gambar adalah contoh-contoh bentuk model.

Model memainkan suatu peranan penting dalam bidang riset operasional. Rumus-rumus dan persamaan-persamaan biasa digunakan untuk menyajikan beberapa proses dan operasi tertentu guna mendiskripsikannya untuk tujuan analisis. Model "matematis" ini digunakan untuk membentuk fungsi-fungsi yang dapat digunakan untuk memprakirakan keadaan proses produksi dimasa datang, atau menjelaskan bagaimana biaya produksi berubah dengan berubahnya tingkat produksi.

Model selain rumus dan persamaan terkadang juga digunakan dalam bidang riset operasional. Model-model ini berhubungan dengan bidang industrial engineering.

Berikut ini yang akan dibahas hanya terbatas pada model yang berbentuk persamaan.

A. BENTUK-BENTUK MODEL

Ada beberapa macam cara yang digunakan untuk mengklasifikasikan model. Salah satu cara yang umum digunakan adalah membedakannya ke dalam tiga jenis model yaitu:

(1) model ikonik, (2) model analog, dan (3) model simbolis. Berikut ini akan dijelaskan satu persatu.

1. Model Ikonik

Model ikonik adalah suatu model yang digunakan atau mengandung karakteristik dan properti nyata dari suatu sistem yang dimodelkan. Beberapa model mempunyai bentuk dan penampakan sebagaimana sistem yang yang sebenarnya, tetapi biasanya dalam ukuran yang berbeda. Salah satu contoh dari bentuk model ikonik adalah bentuk pilot plant dari suatu pabrik.

2. Model Analog

Model analog adalah suatu model yang menyajikan suatu analogi dari keadaan nyata. Tidak seperti model ikonik, model analog tidak harus sama dengan sistem yang disajikan. Salah satu contoh model analog adalah histogram dimana panjang batang yang berbeda digunakan untuk menyajikan frekuensi relatif dari beberapa macam kejadian.

3. Model Simbolik

Model simbolik menggunakan huruf, angka, dan simbol-simbol yang lain untuk menyajikan karakteristik dan properti dari suatu sistem yang dimodelkan. Beberapa contoh model simbolik adalah persamaan, bagan, kalimat-kalimat tertulis.

Model simbolik adalah bentuk model yang paling abstrak dan yang biasa digunakan dalam bidang riset operasional. dan pada kenyataannya, riset operasional biasanya disinonimkan dengan suatu formulasi dan menggunakan suatu bentuk khusus dari model simbolik yang disebut dengan model matematis. Model Matematis melibatkan penggunan simbol-simbol berupa huruf, angka, dan operasi matematis; misalnya, "+", " ", "", dan "". Simbol-simbol ini digunakan untuk menyajikan suatu ekspresi matematis. Contohnya, F = M * A adalah suatu mode matematis yang menyajikan suatu hubungan antara gaya yang dikeluarkan oleh tubuh dalam melakukan suatu gerak (disimbolkan oleh F), massa tubuh (disimbolkan oleh M), dan percepatannya (disimbolkan oleh A).

4. Model Matematis

Ada dua bentuk model matematis yang biasa digunakan dalam bidang riset operasional, yaitu model matematis deskriptif dan model matematis normatif.

a. Model Matematis Deskriptif

Model matematis deskriptif adalah suatu model matematis yang mendiskripsikan beberapa aspek dari sistem yang dimodelkan, seperti keadaan pada masa datang atau karakteristik operasi. Persamaan adalah ilustrasi yang biasa digunakan dalam model matematis deskriptif. Contohnya, dt = a + bt adalah suatu model yang menggambarkan bagaimana permintaan berubah seiring dengan berubahnya waktu. Model tersebut menunjukkan bahwa permintaan pada periode t, yang disimbolkan oleh dt, adalah suatu nilai konstanta a ditambah suatu perubahan yang langsung berbanding lurus dengan jumlah periode waktu.

b. Model Matematis Normatif

Model matematis normatif dalam bidang riset operasional biasa disebut dengan model dengan masalah pengambilan keputusan (decision problem model). Masalah pengambilan keputusan adalah masalah-masalah yang harus diputuskan oleh satu atau lebih pembuat keputusan (decision makers). Contohnya, dalam mendisain tata-letak (layout) sebuah bank, pihak manajemen bank harus memutuskan beberapa fasilitas "drive in teller" yang harus dipasang. Dalam membuat keputusan ini, pihak manajemen harus mempertimbangkan beberapa tujuan yang ingin dicapai, seperti meminimkan rata-rata waktu tunggu konsumen (customer) yang menggunakan fasilitas "drive in". Namun demikian, pihak manajemen mungkin juga dibatasi oleh sumber daya yang terbatas, seperti anggaran biaya yang terbatas, sehingga jumlah fasilitas teller yang ideal tidak dapat dipenuhi. Adapun beberapa komponen dasar yang terdapat dalam setiap model masalah pengembalian keputusan.

Komponen-komponen tersebut adalah,

(1) peubah keputusan,

(2) fungsi tujuan (obyektif),

(3) kendala (pembatas),

(4) hubungan fungsional, dan

(5) parameter-parameter.

Peubah keputusan adalah peubah yang ingin dicari nilainya. Dalam contoh teller bank tadi, peubah keputusannya adalah jumlah fasilitas "drive in teller" yang akan dibangun.

Fungsi tujuan (fungsi obyektif) adalah suatu penyaji

(a) kriteria yang mengekspresikan tindakan pengambil keputusan dalam mengevaluasi beberapa alternatif nilai dari peubah keputusan,

(b) bagaimana kriteria tersebut harus dioptimisasikan. Contohnya, fungsi tujuan pada masalah teller tadi adalah meminimumkan rata-rata waktu tunggu konsumen, dengan minimasi sebagai operator optimisasinya. Hal ini berarti bahwa pihak pengambil keputusan di bank tersebut merasa bahwa disain tata-letak yang baik adalah yang dapat menekan serendah mungkin rata-rata waktu tunggu konsumen.

Kendala adalah batasan-batasan nilai dimana peubah keputusan dapat ditugaskan. Batasan-batasan ini dapat meningkat karena berbagai alasan. Misalnya, dalam masalah teller tadi, keterbatasan anggaran biaya membatasi jumlah maksimum fasilitas teller yang dapat dibangun. Keterbatasan tempat juga dapat membatasi jumlah fasilitas teller yang mungkin dapat dibangun. Jadi di sini ada dua pembatas terhadap peubah keputusan, yaitu keterbatasan anggaran biaya dan tempat.

Dalarn memformulasikan model masalah pengambilan keputusan, fungsi tujuan dan kendala, diubah ke dalam bentuk model matematis deskriptif, sehingga hasil akhirnya adalah suatu pernyataan matematis dari suatu masalah pengambilan keputusan. Model deskriptif ini adalah suatu hubungan fungsional yang menghubungkan peubah keputusan dengan kriteria-kriteria yang digunakan pengambil keputusan, dan keterbatasan sumber daya yang ditentukan dalam kendala. Misalnya, untuk masalah teller di atas, kriteria rata-rata waktu tunggu dapat dibuat dalam bentuk model dengan menggunakan hubungan fungsional berikut.

Po(/)xw(^x) =

(1-)2x!

dimana,

x = jumlah fasilitas teller (peubah keputusan)

W(x) = rata-rata waktu tunggu konsumen

= tingkat kedatangan konsumen yang diinginkan

= tingkat pelayanan konsumen yang diit~ginkan pada fasilitas teller

= / x, dan

Po = peluang (probabilitas) tidak adanya konsumen yang menunggu atau yang harus dilayani

Komponen yang terakhir dari model masalah pengambilan keputusan adalah beberapa parameter yang terlibat. Parameter adalah suatu konstanta dalam suatu hubungan fungsional. Contohnya, dalam model rata-rata waktu tunggu W(x), parameternya adalah PO, , , dan .

Parameter dapat berbentuk deterministik maupun probabilistik. Parameter deterministik adalah suatu nilai yang diasumsikan tetap dan pasti. Sedangkan parameter probabilistik adalah suatu nilai yang berupa peubah acak (misalnya, tingkat rata-rata adalah suatu nilai acak).

Model masalah pengambilan keputusan mengekspresikan fungsi tujuan, peubah keputusan dan kendala secara simultan dalam suatu model matematis normatif. Contohnya, model masalah pengambilan keputusan pada masalah teller di atas dapat diformulasikan dalam bentuk berikut.

Po(a/)x Minimumkan

W(x)

(1- )2x!

dengan kendala: C1x B

C2x F

x= 0, 1, 2, ...

Pada model tersebut, C1 adalah biaya untuk mengadakan fasilitas teller, B adalah jumlah uang yang tersedia untuk membangun fasilitas teller, C2 adalah luas yang dibutuhkan oleh tiap fasilitas, dan F adalah luas total yang tersedia untuk membangun fasilitas teller.

Masalah pengambilan keputusan yang berbeda akan menggunakan bentuk model yang berbeda pula. Meskipun demikian, bentuk dasar dari setiap model pengambilan keputusan adalah sebagai berikut.

Maksimumkan (minimumkan) f(x)

dengan kendala: g1(x) b1

g2(x) b2

::

gm(x) bmdimana x adalah suatu vektor peubah keputusan (x1, x2, ...., xn); f(x) adalah kriteria yang harus dioptimisasikan; dan g(x) bi adalah kendala ke-i.

B. FORMULASI MODEL

Memformulasikan suatu model melibatkan dua aktivitas dasar, yaitu menentukan model yang akan digunakan dan menentukan nilai parameter-parameter model yang merupakan nilai konstanta-konstanta dalam model matematis deskriptif. Untuk setiap kegiatan permodelan, hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan jenis model yang akan digunakan. Setelah mengetahui jenis model yang akan digunakan, baru kemudian dilakukan pengumpulan segala jienis data yang dibutuhkan untuk mengubah model ke dalam bentuk yang dapat digunakan untuk pengambilan keputusan, yaitu dalam bentuk numerik.

Membentuk model lebih sebagai suatu seni daripada suatu kerja ilmiah, sehingga perasaan dan pengalaman merupakan suatu alat utama yang digunakan dalam memformulasikan model, daripada suatu prosedur khusus. Meski demikian, ada beberapa petunjuk yang harus diikuti dalam memformulasikan suatu model. Beberapa petunjuk akan dijelaskan berikut ini.

Petunjuk pertama adalah bahwa semua asumsi yang berhubungan dengan model telah dapat dikenali. Misalnya pada suatu model pemrograman liniear perlu diasumsikan bahwa hubungan antara variabel keputusan dengan suatu parameter tertentu adalah linier, sehingga dapat digunakan fungsi linier untuk menyelesaikannya.

Petunjuk kedua adalah perlunya validasi keakuratan model. Misalnya, suatu model deskriptif akan dikatakan valid atau akurat bila:

1. mengandung semua tujuan, kendala dan variabel keputusan yang relevan terhadap masalah yang dimodelkan.

2. tujuan, kendala dan variabel keputusan yang masuk dalam model adalah relevan terhadap masalahnya.

3. hubungan fungsionalnya valid; model tersebut akurat, yaitu model tersebut menyajikan nilai parameter yang akurat. Misalnya, suatu model diformulasikan untuk masalah penempatan suatu mesin di suatu pabrik dan kriteria tata-letak terhadap keselamatan tidak dimasukkan baik dalam fungsi tujuan maupun kendala; bila pihak manajemen menganggap keselamatan adalah suatu pertimbangan yang cukup penting, maka model tersebut tidak dapat dikatakan valid.

Petunjuk ketiga adalah bahwa secara eksplisit model merepresentasikan suatu trade-of antara keakuratan model dengan kegunaannya terhadap pemakai dalam menggambarkan sistem yang diwakilinya.

Petunjuk keempat adalah perlunya diingat bahwa garbage in garbage out. Bagaimana akurat dan baiknya model sebelum ditentukan nilai parameternya, bila nilai parameter tersebut tidak berarti, maka model tersebut menjadi tidak berarti pula.

Petunjuk terakhir adalah pembuatan model tersebut sebaiknya merupakan suatu proses iteratif dimana umpan balik terhadap keakuratan dan kegunaan mode awal yang dibuat digunakan untuk memperbaiki formulasi model selanjutnya.

Demikian beberapa petunjuk yang secara garis besar merupakan dasar yang cukup membantu dalam pembuatan suatu model.

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Seorang petani memelihara babi untuk kemudian dijual di pasar; dan dia ingin menentukan jumlah kebutuhan pakan dari berbagai jenis yang tersedia untuk diberikan ke babi-babinya agar kebutuhan nutrisinya terpenuhi dengan biaya semmimal mungkin. Kandungan nutrisi dari tiap jenis pakan tersebut (per-kg) dapat dilihat pada tabel berikut, termasuk harganya.

Kandungan nutrisiJagung

Per-hariTankageAlfalfaKebut. min

Karbohidrat

Protein

Vitamin90

30

1020

80

2040

60

60200

180

150

Harga ($)423630

Formulasikan model matematis untuk masalah tersebut.

2. Farah telah mengembangkan 2 jenis mainan orang dewasa yang dikerjakannya dengan tangan. Mainan-mainan tersebut kemudian dijualnya ke toko-toko di seluruh nusantara. Meskipun permintaan untuk mainan ini melebihi kemampuannya untuk memproduksi, namun Farah terus bekerja sendiri dan membatasi jam kerjanya per-minggu hanya sampai 50 jam. Mainan I membutuhkan waktu 3.5 jam untuk menyelesaikannya, sedangkan mainan II 4 jam. Masing-masing mainan mendatangkan keuntungan $28 untuk mainan I dan $3l untuk mainan II. Berapa banyak mainan dari tiap jenis yang harus dihasilkan Farah setiap minggunya, jika ia bertujuan memaksimalkan keuntungan laba totalnya ? (Formulasikan saja model matematisnya).

3. Sebuah pabrik memproduksi 4 jenis produk logam yang berbeda, yang masing masing harus dilengkapi dengan mesin, dipoles dan dirakit. Rincian persyaratan waktu (dalam jam) untuk tiap-tiap produk adalah sebagai berikut:

Pemasangan

Mesin (Jam)Pemasangan

Mesin (Jam)Pemolesan

(Jam)Pemolesan

(Jam)

Produk I 312

Produk II211

Produk III222

Produk iV431

Waktu yang tersedia pada perusahaan ini atas dasar kerja mingguan adalah 480 jam untuk pemasangan mesin, 400 jam untuk perakitan. Laba per-satuan dari keempat produk ini adalah berturut-turut $6, $4, $6 dan $8. perusahaan ini mempunyai kontrak dengan sebuah distributor untuk menyediakan 50 satuan produk I, 100 satuan gabungan produk II dan III setiap minggu. Melalui pelanggan lainnya, perusahaan ini menjual tiap-tiap minggunya produk I, II dan III sebanyak mungkin satuan yang dapat diproduksi, kecuali produk IV dibatasi hingga maksimun 25 satuan. Berapa banyak satuan dari masing-masing produk yang harus diproduksi perusahaan ini setiap minggu agar semua kewajiban kontraknya terpenuhi dan keuntungan totalnya maksimal ? Anggap bahwa produk yang belum selesai dapat diselesaikan pada minggu berikutnya. (Formulasikan model matematisnya saja).

PEMROGRAMAN LINIER

Pemrograman linier berasal dari kata pemrograman dan linier. Pemrograman disini mempunyai arti kata perencanaan., dan linier ini berarti bahwa fungsi-fungsi yang digunakan merupakan fungsi linier.

Secara umum arti dari pemrograman linier adalah suatu teknik perencanaan yang bersifat analitis yang analisis-analisisnya memakai model matematika, dengan tujuan menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan masalah; kemudian dipilih yang terbaik diantaranya dalam rangka menyusun strategi dan langkah-langkah kebijaksanaan lebih lanjut tentang alokasi sumber daya dan dana yang terbatas guna mencapai tujuan dan sasaran yang diinginkan secara optimal.

Contoh dari suatu masalah pemrograman linier dapat dilihat pada Contoh masalah (Metoda Grafik).

Untuk merumuskan suatu masalah kedalam bentuk model pemrograman linier, harus dipenuhi syarat-syarat berikut :

1. Tujuan masalah tersebut harus jelas dan tegas.

Pada Contoh Masalah, tujuan masalah tersebut jelas, yaitu ingin mendapatkan keuntungan yang maksimal

2. Harus ada sesuatu atau beberapa alternatif yang ingin membandingkan.

Pada Contoh Masalah, alternatif perbandingannya adalah kombinasi jumlah produksi dan keuntungan yang diperoleh.

3. Adanya sumber daya yang terbatas.

Pada Contoh Masalah, sumber daya yang terbatas adalah waktu untuk subassembly, assembly dan inspeksi.

4. Bisa dilakukan perumusan kuantitatif.

Fungsi tujuan dan kendala harus dapat dirumuskan secara kuantitatif.

5. Adanya keterkaitan peubah.

Adanya hubungan antara peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala.

Untuk membentuk suatu model pemrograman linier perlu diterapkan asumsi-asumsi berikut :

1. Linearity

Fungsi obyektif dan kendala haruslah merupakan fungsi linier dan variabel keputusan. Hal ini akan mengakibatkan fungsi bersifat proporsional dan additif, misalnya untuk memproduksi 1 kursi dibutuhkan waktu 5 jam, maka untuk memproduksi 2 kursi dibutuhkan waktu 10 jam.

2. Divisibility

Nilai variabel keputusan dapat berupa bilangan pecahan. Apabila diinginkan solusi berupa bilangan bulat (integer), maka harus digunakan metoda untuk integer programming.

3. Nonnegativity

Nilai variabel keputusan haruslah nonnegatif (0).

4. Certainty

Semua konstanta (parameter) yaitu Cj, aij dan bi diasumsikan mempunyai nilai yang pasti (sudah tertentu). Bila nilai-nilai parameternya probabalistik, maka harus digunakan formulasi pemrograman masalah stokastik.

Walaupun ada beberapa batasan asumsi yang harus ada, namun pemrograman linier ini dapat digunakan untuk memecahkan masalah-masalah pengalokasian sumber daya yang terbatas guna mendapatkan hasil yang optimal.

Beberapa metoda digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier ini. Berikut ini akan dibahas dua metoda yang umum digunakan, yaitu metoda grafik dan metoda simpleks.

A. METODA GRAFIK

Tujuan dari metoda grafik ini adalah untuk memberikan dasar-dasar dari konsep yang digunakan dalan teknik SIMPLEKS. Prosedur umumnya adalah untuk mengubah suatu situasi deskriptif kedalam bentuk masalah pemrograman linier dengan menentukan variabelnya-variabelnya, konstanta-konstantanya, fungsi obyektifnya dan batas-batasannya (kendala-kendala), sehingga masalah tersebut dapat disajikan dalam bentuk grafik dan diinterpretasikan solusinya. Untuk menggunakan metoda grafik, dilalui tahapan-tahapan berikut :

1. Indentifikasi variabel keputusan.

2. Indentifikasi fungsi obyektif

3. Identifik kendala-kendala

4. Menggambarkan bentuk grafik dari semua kendala

5. Indentifikasi daerah solusi yang layak pada grafik

6. Menggambarkan bentuk grafik dari fungsi obyektif dan menentukan titik yang memberikan nilai obyektif optimal pada daerah solusi yang layak.

7. Mengartikan solusi yang diperoleh

CONTOH MASALAH

MultiBand Enterprises adalah suatu perusahaan yang memproduksi dua macam produk, yaitu radio portabel (PR) dan radio citizen band (CB). Manajer pemasaran menyatakan bahwa perusahaan selalu dapat menjual semua produk dihasilkan. Selanjutnya Sang manajer pemasaran ini bertanya kemanajer operasi tentang besarnya kapasitas produksi/bulan. Manajer operasi menyatakan bahwa kapasitas output tergantung produk mana yang diproduksi. Selanjutnya manajer operasi menyatakan bahwa ada 3 jenis pekerjaan dilakukan dalam pembuatan produk radio tersebut, yaitu subbassembly, assembly dan inspeksi. Kedua produk tersebut membutuhkan waktu pengerjaan yang berbeda untuk setiap jenis pekerjaan tadi. Jadi kapasitas produksinya tergantung pada produk mana yang akan diproduksi.

Waktu yang tersedia untuk pekerjaan subassembly setiap bulannya adalah 326 jam, untuk assembly adalah 354 jam dan untuk inspeksi adalah 62 jam. Sedangkan setiap unit radio CB membutuhkan 0.4 jam untuk pekerjaan subassembly, 0.5 jam untuk assembly dan 0.05 jam untuk inspeksi. Radio portabel untuk setiap unitnya membutuhkan waktu 0.5 jam untuk pekerjaan subassembly, 0.3 jam untuk assembly dan 0.l jam inspeksi. Wakil direktur menyatakan bahwa untuk setiap CB yang terjual diperoleh keuntungan sebesar $50 dan untuk setiap PR didapat $40. Jadi beberapa kapasitas output dari MultiBand setiap bulannya (beberapa Cb dan PR yang harus diproduksi) agar keuntungan yang diperoleh sebesar mungkin ?PENYELESAIANLANGKAH PERTAMA

Identifikasi Variabel keputusan

Pada contoh masalah tersebut terlihat ada dua variabel keputusan yaitu radio CB dan Radio PR. Masalahnya adalah untuk menentukan berapa CB. dan PR yang harus diproduksi.

LANGKAH KEDUA

Identifikasi Fungsi Obyektif

Setiap CB memberikan kontribusi keuntungan $50 dan setiap PR memberikan kontribusi keuntungan $40. Jadi total keuntungan MultiBand sebesar :

($50) (CB) + ($40) (PR)

Pada fungsi obyektif terlihat bahwa total keuntungan yang diperoleh tergantung pada jumlah CB dan PR yang diproduksi. MultiBand menginginkan keuntungan yang sebesar mungkin; yang berarti MultiBand ingin memaksimumkan keuntungan.

LANGKAH KETIGA

Identifikasi Sumber Daya yang Terbatas

Untuk memproduksi radio, MultiBand membutuhkan tiga jenis pekerjaan yang harus dilakukan yaitu subassembly, assembly dan inspeksi. Jumlah waktu yang tersedia untuk melakukan ketiga jenis pekerjaan tersebut adalah 316 jam untuk subassembly, 354 jam untuk assembly dan 62 jam untuk inspeksi. Produksi sebuah CB membutuhkan 0.4 jam pekerjaan membutuhkan waktu subassembly 0.5 jam, assembly 0.3 jam dan inspeksi 0.1 jam. Jadi, ada tiga jenis sumber daya yang terbatas, dan jumlah CB dan PR yang dapat diproduksi dibatasi oleh ketersediaan jumlah ketiga jenis sumber daya tersebut.

Keterbatasan ketiga sumber daya tersebut di atas dapat diekspresikan ke dalam bentuk pertidaksamaan berikut :

Sb daya Konsumsi sb. daya Ketersediaan

Subassembly 0.4CB + 0.5PR < 316

Assembly 0.5CB + 0.3PR < 354

Inspeksi 0.05CB + O.1PR < 62

LANGKAH KEEMPAT

Membuat Grafik dari Semua Batasan (Kendala)

Sumbu-sumbu yang digunakan untuk menggambarkan grafik adalah garis yang mewakili variabel keputusan yang ingin dicari nilainya. Untuk grafik yang kita buat, sumbu horisontal menunjukkan jumlah CB yang dapat diproduksi dan sumbu vertikal menunjukkan jumlah PR yang dapat diproduksi. Daerah solusinya adalah titik-titik pada atau di sebelah kanan sumbu vertikal dan titik--titik pada atau di atas sumbu horizontal, karena nilai negatif untuk PR dan CB tidak memberikan arti. Setiap titik pada daerah solusi mewakili kombinasi jumlah PR dan CB yang diproduksi.

Pertama, dibuat gambar garis untuk kendala subassembly. Bila sejumlah 316 jam pekerjaan subassembly digunakan untuk memproduksi CB, berapa jumlah CB yang dapat diproduksi ? Karena setiap CB membutuhkan 0.4 jam pekerjaan subassembly, maka dalam waktu 316 jam akan dihasilkan CB sejumlah 316 : 0.4 = 790 unit. Kombinasi produksi CB 790 unit dan PR 0 unit ini diplotkan sebagai titik A pada gafik. Alternatif lainnya adalah menggunakan seluruh jam tersebut untuk memproduksi PR. Untuk kasus ini, maka akan dapat diproduksi PR sejumlah 316 : 0.5 = 632 unit. Kombinasi produksi 632 unit PR dan 0 unit CB ini diplotkan sebagai titik B pada grafik. Disebabkan semua batasan tersebut berbentuk pertidaksamaan linier, maka grafik dapat digambarkan sebagai garis yang menghubungkan titik A dan B. Setiap titik pada batasan ini menyajikan kombinasi jumlah CB dan PR yang diproduksi, dan setiap kombinasi tersebut mengkonsumsi semua waktu untuk pekerjaan subassembly yang tersedia. Titik-titik yang berada di atas atau di sebelah kanan garis AB adalah kombinasi tak layak dari CB dan PR, karena dibutuhkan lebih dari 316 jam subassembly untuk memproduksinya.

Dengan cara yang sama dapat digambarkan garis-garis yang lain untuk kedua sumber daya yang terbatas lainnya, yaitu assembly dan inspeksi.

Pada Gambar 3.1., garis CD adalah garis untuk sumber daya assembly dan garis EF adalah garis untuk sumber daya inspeksi.

Gambar 3.1

LANGKAH KELIMA

Identifikasi Daerah Solusi yang Layak

Dalam memutuskan berapa jumlah PR dan CD yang dapat diproduksi, pihak manajemen tidak dapat hanya menggunakan 1 atau 2 sumber daya yang terbatas saja sebagai bahan pertimbangan, tetapi harus semuanya. Titik-titik yang merupakan titik-titik yang layak yang memenuhi semua keterbatasan sumber daya tersebut berada di daerah bergaris pada Gambar 3.1. Daerah yang layak ini dikelilingi oleh titik-titik pojok (titik ekstrim) O,F,G,H,C.

LANGKAH KEENAM

Membuat Grafik Fungsi Obyektif dan Menentukan Titik Optimal

Walaupun semua titik pada daerah bergaris adalah alternatif keputusan yang layak, titik-titik tersebut tidak memberikan total nilai keuntungan yang sama. Beberapa memberikan total nilai keuntungan yang lebih besar dari yang lainnya. Sebagai contoh, pada titik C (708 unit CB dan 0 unit PR) didapatkan total nilai keuntungan sebesar : ($50) (708) + ($40)(0) = $35400.

Sedangkan sejumlah 300 unit CB dan 300 unit PR, yang juga merupakan salah satu alternatif solusi yang layak, hanya memberikan total nilai keuntungan sebesar : ($ 50) (300) + ($40)(300)= $27000. Jadi, harus dipilih suatu titik yang memberikan nilai keuntungan terbaik (maksimum) di antara titik-titik pada daerah yang layak tersebut. Tugas ini dapat lebih disederhanakan, karena titik optimal yang dimaksud adalah salah satu dari titik pojok pada daerah layak. Jadi salah satu dari titik-titik O,F,G,H atau C adalah titik optimal. Kita dapat menghitung total nilai keuntungan untuk setiap titik dari kelima titik tadi dan memilih satu titik yang memberikan nilai tertinggi.

Prosedur penentuan lainnya yang juga dapat digunakan adalah prosedur grafis. Untuk menggunakan prosedur grafis ini perlu ditambahkan satu garis lagi pada grafik tersebut yang merupakan garis yang menunjukkan suatu nilai keuntungan tertentu dari persamaan fungsi obyektif. Pertama, ditentukan terlebih dahulu sembarang nilai total keuntungan (sebaiknya yang menghasilkan nilai variabel keputusan bulat). Lalu digambarkan garis persamaannya dengan cara yang sama seperti penggambaran garis untuk kendala (batasan). Sebaiknya garis yang digambarkan adalah garis fungsi obyektif yang melalui titik pojok daerah layak, dimulai dari titik pojok yang paling kiri. Demikian seterusnya hingga didapat suatu garis yang melalui titik pojok yang memberikan total nilai keuntungan terbesar. Titik pojok yang dilalui oleh garis tersebut adalah titik yang optimal

Pada Gambar 3.2. titik optimalnya adalah titik H.

Gambar 3.2.

LANGKAH KETUJUH

Mengartikan Hasil yang Diperoleh

Hasil dari langkah keenam di atas adaiah diperoleh titik optimal yaitu titik H. Koordinat titik tersebut adalah (632.31,126.15); dimana pada grafik tersebut sumbu horizontal menunjukkan jumlah CB dan sumbu vertikal menunjukkan jumlah PR. Jadi agar keuntungan yang diperoleh maksimal, dan karena dibatasi oleh kendala-kendala yang ada, maka MultiBand harus memproduksi radio CB sejumlah 632.31 unit dan radio PR sejumlah 126.15 unit.

Hal lain yang dapat diketahui berdasarkan hasil penyelesaian dengan metoda grafik tersebut adalah tentang ada tidaknya sejumlah tertentu sumber daya yang tidak dipergunakan dalam produksi untuk memperoleh keuntungan maksimal. Pada Gambar 3.2. terlihat bahwa titik optimal terletak pada garis kendala subassembly dan assembly. Hal ini berarti bahwa kedua sumber daya tersebut habis digunakan, karena garis tersebut menunjukkan jumlah maksimum kedua sumber daya yang tersedia. Sekarang coba dilihat letak titik optimal terhadap garis kendala inspeksi. Ternyata titik optimal terletak di sebelah kiri-bawah garis inspeksi. Hal ini berarti ada sejumlah tertentu sumber daya ini yang tidak dipergunakan dalam produksi untuk memperoleh keuntungan maksimal.

Secara aljabar hal-hal tersebut juga dapat diketahui dan juga berapa jumlah sumber daya yang tersisa, dengan cara sebagai berikut :

* Inspeksi

Sumber daya = Sumber daya- Sumber daya

yang tidak yang tersedia yang digunakan

digunakan

= 62.0 jam - [(0.05 jam/PR)

(632.31 CB) +

(0.10 jam /PR)

(1216.15 PR)]

= 62.0 - [31.62 + 12.62]

= 17.76

* Subassembly

Sumber daya = Sumber daya - Sumber daya

yang tidak yang tersedia yang digunakan

digunakan

= 316.0 jam - [(0.4 jam/CB)

(632.31 CB) +

(0.5 jam/PR)

= 316.0 (126.15 PR)] 1252 92 + 63.081

= 0.0 jam* Assembly = Sumber daya- Sumber daya

Sumber daya yang tersedia yang digunakan

yang tidak

digunakan

= 354.0 jam

- [(0.5 jam/CB)

(632.31 CB)

(0.30 jam/PR)

(126.15 PR)]

= 354.0

- [316.16 + 37.84]

= 0.0 jam

Jadi, dengan menggunakan metoda grafik dapat ditentukan arti dari koefisien-koefisien dan variabel-variabel yang berbeda, dan bagaimana hubungan interaksi antara fungsi obyektif dan kendala. Dan perlu pula diingat bahwa solusi optimal selalu merupakan suatu titik ekstrim dalam solusi layak.

B. METODA SIMPLEKS

Pada bagian terdahulu telah kita pelajari penyelesaian suatu masalah pemrograman linier dengan menggunakan metoda grafik. Metoda grafik tersebut hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier yang hanya mempunyai 2 variabel, karena untuk pemrograman linier dengan variabel lebih dari 2 akan sulit untuk menggambarkan bentuk grafiknya. Untuk mengatasi kesulitan ini, maka pada tahun 1947 diperkenalkan suatu metoda yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier oleh Goerge B. Dantzig yang dinamakan Metoda SIMPLEKS.

Algoritma simpleks ini adalah suatu prosedur matematis untuk mencari solusi optimal dari suatu masalah pemrograman linier yang didasarkan pada proses iterasi. Jadi pada prinsipnya prosedur ini diawali dengan penentuan suatu solusi awal yang secara terus-menerus diperbaiki hingga diperoleh solusi yang optimal.

Sebelum diselesaikan dengan menggunakan metoda simpleks, maka terlebih dahulu masalah pemrograman linier harus diubah ke dalam bentuk formulasi model pemrograman linier, yang pada umumnya berbentuk maksimisasi, yang telah dibahas pada bagian terdahulu. Setelah berbentuk suatu model formulasi pemrograman linier, maka model tersebut harus diubah terlebih dahulu ke dalam bentu baku pemrograman linier. Baru setelah model berada dalam bentuk baku, maka dapat diterapkan prosedur penyelesaian dengan algoritma simpleks.

Mari kita mulai pembahasan kita dengan mengetahui bagaimana ciri-ciri dari bentuk baku suatu model pemrograman linier untuk algoritma simpleks.

Ada tiga ciri utama dari suatu bentuk baku pemrograman linier untuk algoritma simpleks.

Ciri pertama adalah semua kendala harus berada dalam bentuk persamaan dengan nila kanan tidak negatif.

Ciri kedua adalah semua variabel tidak yang terlibat tidak dapat bernilai negatif.

Dan ciri terakhir, adalah fungsi obyektif dapat berupa maksimisasi maupun minimisasi. Untuk memenuhi ciri-ciri tersebut, maka dibuat beberapa peraturan pengubahan bentuk yang tidak memenuhi bentuk baku ke dalam bentuk baku. Berikut akan dibahas satu-persatu peraturan pengubahan ke dalam bentuk baku pemrograman linier.

PENGUBAHAN KE DALAM BENTUK BAKU

Pengubahan Kendala

1. Kendala yang berbentuk pertidaksamaan diubah ke bentuk persamaan dengan menambahkan suatu variabel baru yang disebut dengan variabel slack untuk setiap kendala. Variabel slack ini menyatakan jumlah sumber daya yang tidak digunakan dari kendala sumber daya yang diwakilinya.

Contoh:

3X1 + 4X2 If pay-off dari satu strategi > strategi lain

* Untuk pemain kolom ==> If pay-off dari satu strategi < strategi lain

Contoh:

Sederhanakan matriks pay-off permainan berikut dengan menggunakan kriteria superioritas.

II

123

1

2

31

1

02

0

14

5

-1

Pertama lakukan langkah pemeriksaan antar baris; apakah ada satu baris yang mendominasi baris lainnya. Ternyata ada, yaitu baris 1 mendominasi baris 3, sehingga baris 3 dapat dihilangkan, dan akan diperoleh matriks pay-off sebagai berikut:

II

123

1

21

12

04

5

Bila diperhatikan kembali matriks pay-off baru di atas, ternyata kolom 2 dan kolom 1 mendominasi kolom 3, sehingga kolom 3 dapat dihilangkan, dan akan diperoleh matriks pay-off berikut:

II

12

1

21

12

0

MIXED STRATEGY

Mixed strategy digunakan untuk mencari solusi optimal dari kasus game theory yang tidak mempunyai saddle point.

Beberapa metoda yang digunakan dalam mixed strategy adalah:

Metoda Analitis

Metoda Grafik

Metoda Pemrograman linier

A. METODA ANALITIS

Metoda ini efektif digunakan untuk menyelesaikan kasus yang sederhana. Rumus untuk mencari solusi yang optimal adalah:

Untuk pemain baris:

m m m m

Maks { Min ( ai1Xi, ai2Xi,.., ainXi) }

Xi { (i=1 i=1 i=1 ) }

am = pay-off untuk strategi pemain baris ke-i dan strategi pemain kolom ke-n

Xi = peluang strategi ke-i dari pemain baris

Untuk pemain kolom:

n n n

Maks { Maks ( aijYj, a2jYj,.., amjYj) }

Yi { (j=1 j=1 j=1 ) }

FORMAT TUGAS TEKNIK RISET OPERASIPENUGASAN

1. KASUS (MAKS, MIN) 2. SOLUSI ITERASI DAN HASIL PENUTUPAN / PENGURANGAN TABEL.

(PERHITUNGANNYA) PADA SETIAP ITERASI.

TRANSPORTASI

1. KASUS (MAKS, MIN)

2. SOLUSI, DISELESAIKAN DENGAN

NC

( Z = ..........

VAM

(Z = ..........

LC

(Z = ..........

RUSSEL(Z = ..........

UJI OPTIMAL

MODI

DIBUAT PERHITUNGANNYA PADA SETIAP ITERASI, TABEL ITERASI SAMPAI OPTIMAL.

STEPPING STONE

DIBUAT SIKLUS-SIKLUS PADA SETIAP ITERASI PADA SETIAP ITERASI, DAN GABUNGAN SIKLUS DENGAN WARNA BEDA DAN PERHITUNGANNYA.

GRAFIK

1. KASUS +/- (MAKS, MIN)

2. SOLUSI DENGAN GAMBAR GRAFIK

LINIER PROGGRAMMING1. KASUS +/- (MAKS, MIN)

2. SOLUSI DENGAN MODEL MATEMATIS

SIMPLEK

1. KASUS +/- (MAKS, MIN)

2. SOLUSI DENGAN ITERASI, PADA SETIAP ITERASI DI CARI NILAI Z SAMPAI OPTIMAL.

FORMAT TUGAS TRO

1. TEORI.

2. FORMULASI MATEMATIS (MODEL) RUMUSAN.

3. LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN, BENTUKNYA DIBUAT PER POINT.

4. FLOWCHART.

5. KASUS DALAM SOAL CERITA, ATAU NARASI (MAKS, MIN :MASING MASING 2 SOAL )6. SOLUSI MASALAH

ITERASI DARI AWAL SAMPAI OPTIMAL.

7. CD + PRINT OUT ASLI8. KHUSUS UNTUK SIMPLEK BUAT DENGAN BAHASA PEMROGRAMAN

( LISTING PROGRAM , INPUT , OUTPUT NYA.SEMUA FILE TIDAK DI PDF !!! JIKA INGIN TUGAS ADA NILAINYA !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! SELAMAT MENGERJAKAN SEMOGA SUKSES .. Ul=22.8

U2= 0

U3 =-24

Maksimin

Minimaks

I

I

I

I

PAGE 94