transfer momentu4

SEMESTER GENAP 2008/2009

ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04 31

TRANSFER MOMENTUM

TINJAUAN MIKROSKOPIK GERAKAN FLUIDA

Hingga sejauh ini kita sudah mempelajari tentang momentum, gaya-gaya pada fluida statik, dan ihwal fluida bergerak dalam hal neraca massa dan neraca energi. Pada bagian ini kita akan mempelajari lebih dalam tentang profil kecepatan aliran fluida, gaya dorong yang menyebabkan fluida bergerak dan gaya yang menghambat gerakan itu, dan mempelajari bagaimana laju alir fluida dipengaruhi oleh sifat-sifat fluida dan rangkaian pipanya. Analisis situasi terhadap fluida bergerak kita mulai dari konsepsi gerak dan deformasi fluida sebagaimana telah kita bangun pada bagian awal perkuliahan ini. Sekarang mari kita perhatikan kembali gambar berikut.

Dan kita telah sampai ke persamaan = 휏 = 휇

F Bentuk awal Bentuk akhir

x

z

y

Sx



Sekarang situasinya kita ganti dengan aliran fluida dalam pipa, seperti berikut.

Pipa berjari-jari R. Fluida bergerak di dalam pipa ke arah X positif. Fluida memiliki

densitas sebesar ρ dan memiliki viskositas sebesar µ. Volume atur (Control Volume) untuk fluida memiliki panjang sebesar L dan mengisi penuh pipa pada arah r. Karena fluida bergerak ke arah X positif (ke kanan), itu sama saja dengan mengatakan bahwa pipa bergerak ke kiri. Kalau pipa bergerak ke kiri maka akan ada transfer momentum dari dinding pipa menuju ke pusat pipa melalui fluida; dan sebaliknya jika kita meninjau fluida bergerak ke kanan maka akan ada transfer momentum dari dalam fluida menuju dinding pipa. Dengan menggunakan asumsi bahwa antara fluida dengan permukaan pipa tidak terjadi slip (fluida tidak tergelincir) dan fluida bergerak ke arah X positif maka akan ada transfer momentum ke arah r. Berapakah laju transfer momentum ke arah r ini? Sekarang fluida pada sistem gambar di atas kita tinjau dalam lingkup yang lebih kecil dengan mengambil elemen fluida itu setebal dr ke arah r seperti berikut ini. Di sini diasumsikan fluidanya bersifat tak-mampu mampat (incompressible).

L

r

x

R p2 p1 Fluida: ρ , μ

X = 0 X = L



Pada elemen volume fluida ini berlaku hukum kekekalan momentum, yang pada keadaan stedi dapat ditulis sbb.

퐿푎푗푢 푚표푚푒푛푡푢푚 푚푎푠푢푘 − 퐿푎푗푢 푚표푚푒푛푡푢푚 푘푒푙푢푎푟

+ 푆푒푚푢푎 푔푎푦푎 푦푔 푏푒푘푒푟푗푎 푝푎푑푎 푠푖푠푡푒푚 = 0

Ada momentum (gaya viskous) masuk ke elemen volume melalui permukaan dalam pada posisi r, yaitu:

[2휋푟퐿. 휏 ] Ada momentum (gaya inersia) masuk pada penampang 1, (pada x = 0), sebesar

푚.푎 = 푚. 푣 /푡 . Ingat: 푚 = 휌∀. Jadinya:

푚. = 휌∀ = 휌푄. 푣

Garis pusat pipa

X

r + ∆r r

∆r

L

ELEMEN VOLUME FLUIDA

1

2

S = 2πr∆r

Garis pusat pipa

X

r + ∆r r

∆r

L

ELEMEN VOLUME FLUIDA

1

2

S = 2πr∆r



Dan karena 푄 = 푣 푆 dan 푆 = 2휋푟∆푟 , maka:

푚.푎 = (2휋푟∆푟. 푣 )(휌푣 ) Jadi, momentum (gaya inersia) pada titik 1 (x=0) adalah:

(2휋푟∆푟. 푣 )(휌푣 ) Kita tuliskan:

[2휋푟∆푟푣푥. 휌푣푥] Ada gaya (tekanan) terhadap permukaan fluida pada penampang 1 (pada x=0), sebesar:

(2휋푟∆푟)푝 Ada gaya (tekanan) terhadap permukaan fluida pada penampang 2 (pada x=L), sebesar:

−(2휋푟∆푟)푝 Ada momentum (gaya viskous) keluar dari elemen volume melalui permukaan luar pada posisi r+∆r, yaitu:

[2휋푟퐿. 휏 ] ∆ Ada momentum (gaya inersia) keluar pada penampang 2, (pada x = L), sebesar

[2휋푟∆푟푣푥. 휌푣푥] Pada sistem ini juga ada bekerja gaya gravitasi, namun karena posisi aliran adalah datar, maka gaya gravitasi ini tidak memberi konstribusi terhadap gerak aliran.



Sekarang akan kita jumlahkan semua gaya yang telah diuraikan itu; kita peroleh: [2휋푟퐿. 휏 ] + [2휋푟∆푟푣 .휌푣 ] + (2휋푟∆푟)푝 − (2휋푟∆푟)푝

− [2휋푟퐿. 휏 ] ∆ − [2휋푟∆푟푣 . 휌푣 ] = 0 Dan kita susun kembali:

[2휋푟퐿. 휏 ] − [2휋푟퐿. 휏 ] ∆ + [ퟐ흅풓∆풓풗풙.흆풗풙]풙 ퟎ − [ퟐ흅풓∆풓풗풙.흆풗풙]풙 푳 + (2휋푟∆푟)(푝 − 푝 ) = 0

Karena fluida diasumsikan bersifat incompressible dan luas penampang pada z = 0 sama dengan luas penampang pada z = L, maka vz sama pada dua penampang itu; dan dengan demikian suku ke tiga dan suku ke empat pada persamaan di atas akan saling meniadakan. Persamaan terakhir tersebut menjadi:

[2휋푟퐿. 휏 ] − [2휋푟퐿. 휏 ] ∆ = −(2휋푟∆푟)(푝 − 푝 ) atau:

[2휋푟퐿. 휏 ] ∆ − [2휋푟퐿. 휏 ] = (2휋푟∆푟)(푝 − 푝 )

Kalau persamaan ini kita bagi dengan 2휋퐿∆푟 dan kita ambil limit untuk ∆푟 mendekati nol; kita peroleh:

lim∆ →

[푟휏 ] ∆ − [푟휏 ]∆푟

=(푝 − 푝 )

퐿푟

Suku sebelah kiri tak lain adalah turunan pertama (first derivative) dari 푟휏 terhadap 푟 ; dan (푝 − 푝 ) = ∆푝 . Dari itu kita peroleh:

푑푑푟

(푟휏 ) = ∆푝퐿

푟 Atau:



푑(푟휏 ) = ∆푝퐿

푟푑푟 Untuk memperoleh distribusi fluks momentum, persamaan ini kita ingtegralkan:

푑(푟휏 ) = ∆푝퐿

푟푑푟 Kita peroleh:

푟휏 = ∆푝퐿

12푟 + 퐶

atau

휏 = ∆푝2퐿

푟 + 퐶푟

C1 adalah konstanta integrasi. Berapakah nilai C1 ini? Ingatlah bahwa fluksi momentum bukanlah tak berhingga pada posisi r = 0. Artinya, pada r = 0, 휏 ada nilainya dan berhingga. Konsekuensi logisnya haruslah C1 = 0. Lalu kita peroleh fluksi momentum pada fluida yang bergerak dalam pipa itu, yaitu:

휏 = ∆ 푟 (*)

휏 ini menyatakan fluksi momentum ke arah radial (jari-jari), r, yang disebabkan oleh bergeraknya fluida ke arah tangensial, x. Selanjutnya kita akan melihat profil kecepatan gerak fluida pada arah x terhadap posisi r. Dalam hal ini 휏 tak lain adalah:



휏 = −휇 (**)

yang diperoleh dari Hukum Newton tentang viskositas. Kenapa di sini ada tanda

minus? Karena 푣 berkurang jika 푟 bertambah, atau dengan kata lain, 푑푣 /푑푟

bernilai negatif, sedangkan 휏 tak pernah negatif; dan begitu juga dengan 휇. Dari persamaan (*) dan (**) kita peroleh:

푑푣푑푟

= −∆푝

2휇퐿푟

dan 푣 diperoleh dengan mengintegralkan persamaan tersebut.

∫푑푣 = − ∆ ∫ 푟푑푟

푣 = −∆푝

4휇퐿푟 + 퐶

C2 adalah konstanta integrasi. Berapakah nilai C2 ini? Kita mempunyai informasi bahwa fluida yang bersentuhan dengan permukaan pipa (artinya fluida yang berada pada posisi r = R) kecepatannya ke arah tangensial (arah x ) adalah nol. Secara matematis kita tulis:

[푣 ] = −∆푝

4휇퐿푅 + 퐶 = 0

Jelaslah bahwa:

퐶 =∆푝

4휇퐿푅

Dengan demikian, profil kecepatan fluida ke arah x adalah:



푣 = ∆푝

4휇퐿푅 −

∆푝4휇퐿

푟

푣 = ∆푝푅4휇퐿

1 −푟푅

Jika kita plot hubungan antara Vx dengan r akan kita peroleh kurva persamaan kuadrat. Dimanakah letak titik maksimumnya? Pertama haruslah:

푑푣푑푟

= −∆푝

2휇퐿푟 = 0

yang mengharuskan pula r = 0. Pada r = 0, apakah kecepatannya maksimum atau minimum? Kita harus menguji turunan ke dua (second derivative):

푑푑푟

푑푣푑푟 = −

∆푝2휇퐿 < 0

Karena turunan ke dua bernilai negatif (lebih kecil dari nol), kita ambil kesimpulan bahwa, kecepatan gerak fluida ke arah x pada posisi r = 0 merupakan kecepatan maksimum; yaitu sebesar:

푣 , = ∆푝푅4휇퐿

Terlihat bahwa kecepatan gerak fluida bergantung pada faktor dari luar berupa ∆p, dimensi pipa berupa R dan L, dan faktor pada sifat fluida itu sendiri berupa µ. Sekarang lihat grafik hubungan antara r dan Vx.



Persamaan Kurva ini diplot untuk nilai ∆

dipasang sebesar 25 satuan dan

nilai R (jari-jari pipa) = 10 satuan. Ilustrasi alirannya kira-kira seperti pd gbr brkt.

풗풙

풓

퐠퐚퐫퐢퐬 퐩퐮퐬퐚퐭 퐩퐢퐩퐚

풗풙 = ∆풑푹ퟐ

ퟒ흁푳ퟏ −

풓푹

ퟐ

R = 10

Dinding pipa

Dinding pipa

Lapisan –lapisan fluida pipa



Gambar di bawah ini adalah hasil kerja MATLAB. Sumbu datar menunjukkan arah jari-jari pipa dan sumbu tegak menunjukkan kecepatan ke arah x. Kecepatan maksimum berada pada posisi (0,0) di tengah-tengah bidang sumbu datar.

Sketsa koordinat pipa untuk grafik di atas adalah:

-10 -5 0 5 10-10-50510

-5

0

5

10

15

20

25

r r

Vx(r)

r- r+

r+

r- Vx(r)



Hingga pada tahap ini anda sudah memperoleh: Distribusi fluksi momentum

휏 = ∆푝2퐿

푟

Distribusi kecepatan

푣 = ∆푝푅4휇퐿 1 −

푟푅

Kecepatan maksimum


untuk fluida newton yang incompressible di dalam pipa datar. Nah, terlihat bahwa kecepatan aliran fluida ke arah x bergantung pada posisi r; artinya kecepatan fluida itu bervariasi terhadap r. Kalau begitu, berapakah kecepatan rata-ratanya? Kecepatan rata-rata adalah jumlah kecepatan di semua posisi r dan dibagi dengan luas penampang aliran. Jumlah semua kecepatan itu adalah pada posisi r dari r = 0 hingga ke r = R untuk satu lingkaran penuh dari sudut θ = 0 derajat hingga θ = 360 derajat atau dari θ = 0 hingga θ = 2π; yaitu:

Jumlah semua kecepatan = 푣 푟 푑푟 푑휃

Ingat bahwa 푣 adalah fungsi 푟. Solusi dari integral ini adalah:

Jumlah semua kecepatan = ∆푝휋푅

8휇퐿

Adapun luas penampang aliran (luas penampang pipa) adalah:

Luas penampang aliran = 푟 푑푟 푑휃



yang apabila diselesaikan diperoleh:

Luas penampang aliran = 휋푅 Dengan demikian, kecepatan rata-rata, <Vx>, aliran fluida dalam pipa adalah:

< v > =

∆푝휋푅8휇퐿휋푅

= ∆푝푅8휇퐿

Sudah kita ketahui pula bahwa:


Artinya, kecepatan rata-rata adalah setengah dari kecepatan maksimum.

Bagaimana dengan laju alir volumetris? Laju alir volumteris adalah luas penampang alira (luas penampag pipa) dikalikan dengan kecepatan rata-rata, yaitu:



푄 = < 푣 >.휋푅2 =∆푝휋푅4

8휇퐿

Persamaan terakhir ini dikenal sebagai Persamaan Hagen-Poiseuille. Dari konsepsi laju, jelas dikatakan bahwa:

퐿푎푗푢 =퐺푎푦푎 퐷표푟표푛푔퐻푎푚푏푎푡푎푛

Pada aliran fluida ini, gaya dorongnya adalah beda tekanan, ∆푝. Dan dengan

demikian hambatannya adalah 8휇퐿/휋푅 . ----------------------

Sebagai latihan, berapa besar gaya yang diberikan oleh fluida terhadap dinding pipa?? ----------------------

transfer momentu4

Documents