BAB 6 RANGKAIAN KUTUB EMPAT

Oleh : Ir. A.Rachman Hasibuan dan Naemah Mubarakah, ST

6.1 Pendahuluan

Gambar 6.1 Rangkaian kutub dua

Gambar 6.2 Rangkaian kutub empat

Rangakaian kutub empat (K-4) adalah suatu rangkaian yang memiliki sepasang terminal pada sisi input dan sepasang terminal pada sisi output (transistor, op amp, transformator dan lainnya)

6.2 Parameter Impedansi zParameter impedansi z ini pada umumnya banyak dipergunakan dalam sintesa filter, dan juga dalam penganalisaan jaringan impedance matching dan juga pada distribusi sistem tenaga.

(a)

(b)

Gambar 6.3 (a) Rangkaian kutub empat dengan sumber tegangan ; (b) Rangkaian kutub empat dengan sumber arus

Adapun bentuk matriks hubungan tegangan dalam parameter impedansi z ini adalah :

V1 z11 V = z 2 21

z12 I1 z 22 I 2

dengan determinan impedansi dari parameter z :z = z11 z 21 z12 z 22 = z11.z 22 z12 .z 21

z12 = z 22 =

v1 I 2 I =01

z11 = z 21 =

v1 I1 v2 I1

I 2 =0

v2 I 2 I =01

I 2 =0

Gambar 6.4 Rangkaian untuk menentukan parameter-parameter z12 dan z22

Gambar 6.5 Rangkaian untuk menentukan parameter-parameter z11 dan z21

(b) (a) Gambar 6.6 Rangkaian resiprokal (a) ammeter di terminal kiri ; (b) ammeter di terminal kanan

Suatu rangkaian kutub empat yang bersifat resiprokal dapat digantikan dengan rangkaian ekivalen dengan hubungan T.I1+

I2 z11 z12 z22 z12+

V1

z12

V2

-

-

Gambar 6.7 Rangkaian ekivalen parameter z yang bersifat resiprokal

Untuk rangkaian kutub empat dengan parameter z secara umum rangkaian ekivalennya adalah sebagai berikut :

Gambar 6.8 Bentuk umum rangkaian ekivalen parameter z

Pada beberapa rangkaian terkadang tidak dapat dicari parameter z dari rangkaian kutub empat-nya

Gambar 6.9 Transformator ideal tidak memiliki parameter z

Adapun persamaan kutub empat untuk rangkaian transformator ideal Gambar 6.9, adalah :V1 = 1 .V2 n dan I1 = n.I 2

Contoh : Carilah parameter z dari rangkaian di bawah ini :

Jawab : Untuk mendapatkan z11 dan z21, maka pasangkan sumber tegangan V1 pada terminal input dan terminal output terbuka.

z11 = z 21 =

v1 I1 v2 I1

=I 2 =0

(R 1 + R 3 ).I1 = (R 1 + R 3 ) = 20 + 40 = 60 I1 R 3 .I1 40.I1 = = 40 I1 I1

=I 2 =0

Untuk mencari z12 dan z22, maka V1 dibuka dan sumber tegangan V2 dipasangkan pada terminal output, sehingga rangkaian menjadi :

z12 = z 22 =

v1 I2 v2 I2

=I1 =0

R 3 .I 2 = R 3 = 40 I2 (R 2 + R 3 ).I 2 = (R 2 + R 3 ) = 30 + 40 = 70 I2

=I1 =0

6.3 Parameter Admitansi yParameter admitansi y juga pada umumnya banyak dipergunakan dalam sitesa filter, perencanaan penganalisaan matching network dan distrubusi sitem tenaga. Bentuk matriks hubungan tegangan dalam parameter impedansi y ini adalah :

I1 y11 I = y 2 21

y12 V1 y 22 V2

dimana sebagai determinan admitansi dari parameter yy = y11 y 21 y12 = y11.y 22 y12 .y 21 y 22

y11 = y 21 =

I1 V1 I2 V1

V2 =0

V2 =0

Gambar 6.10 Rangkaian untuk menentukan y11 dan y21I2+

I1

y12 = y 22 =

V1= 0-

I1 V2 I2 V2

V1 =0

+ V2 -

I2

V1 =0

Gambar 6.11 Rangkaian untuk menentukan y12 dan y22

Untuk kutub empat parameter y yang resiprokal, maka rangkaian ekivalennya (khusus yang resiprokal) merupakan rangkaian .

Gambar 6.12 Bentuk Rangkaian sebagai ekivalen untuk parameter y yang resiprokal

Gambar 6.13 Rangkaian ekivalen untuk parameter y secara umum

Contoh : Hitunglah parameter-parameter y dari rangkaian di bawah ini:

Jawab : Untuk mencari y11 dan y21 maka hubung singkat terminal output dan pasangkan sumber arus I1 pada terminal input.

dari rangkaian terlihat bahwa :R p1 = R 1.R 2 4.2 4 = = R1 + R 2 4 + 2 3

dan

V1 = I1 .R p1 =

4 I1 3

I2 =

R1 4 2 2 x I1 = x I1 = I1 atau I 2 = I1 4+2 3 3 R1 + R 2

maka :

y11 =

I1 V1

=V2 =0

I1 I 3 = 1 = S V1 4 4 I1 3

y 21 =

I2 V1

V2 =0

2 I1 1 = 3 = S 4 2 I1 3

Untuk mendapatkan y12 dan y22 maka hubung singkat terminal input dan pasangkan sumber arus I2 pada terminal output.

dari rangkaian terlihat bahwa :R p2 R 2 .R 3 2.8 8 = = = R2 + R3 2 + 8 5

dan

V2 = I 2 .R p 2

8 = I2 5

I1 =

R3 8 4 4 x I2 = x I 2 = I 2 atau I1 = I 2 R2 + R3 2+8 5 5

maka :

y 22

I2 = V2

V1 =0

I I2 I2 5 y12 = 1 = = = S dan V2 V2 8 8 I2 5

V1 =0

4 I2 1 = 5 = S 8 2 I2 5

1 y12 = y 21 = S , maka rangkaian merupakan rangkaian yang ternyata 2 resiprokal, dimana kalau digambarkan rangkaian ekivelennya (khusus resiprokal) adalah : I1 I2+

3 1 1 = S 4 2 4

3 S 4

+

V1

y11 + y12 =

y 22 + y12 =

5 1 1 = S 8 2 8

V2

-

-

Rangkaian ekivalen secara umum :

6.4 Parameter hParameter h ini sering juga disebut dengan parameter Hibrid (Hybrid parameters), parameter ini mengandung sifat-sifat dari parameter z dan y. Bentuk persamaan matriks dari parameter h ini adalah :

V1 h11 I = h 2 21

h12 I1 h 22 V2

sebagai determinan dari parameter hh11 h = h 21 h12 = h11.h 22 h12 .h 21 h 22

h 11 = h 21 =

V1 I1 I2 I1

V2 =0

Gambar 6.14 Rangkaian untuk mencari h11 dan h21

V2 =0

h 12 =

Gambar 6.15 Rangkaian untuk mencari h12 dan h22

V1 V2 I2 V2

I1 =0

h 22 =

I1 =0

Apabila h12 = -h21 maka rangkaian kutub empat disebut sebagai rangkaian kutub empat yang resiprokal yang rangkaian ekivalennya adalah :

Gambar 6.16 Bentuk ekivalen dari parameter h

Contoh : Hitunglah parameter-parameter h dari rangkaian di bawah ini :

Jawab : Untuk mencari h11 dan h21, maka hubung singkat terminal output dan pasangkan sumber arus I1 pada terminal input.

R2 = 6

dari rangkaian ini terlihat bahwa :R p1 = R 2 .R 3 6x3 = =2 R 2 + R3 6 + 3

dan R s1 = R 1 + R p1 = 2 + 2 = 4

Maka rangakain pengganti :

Maka :

V1 = R s1.I1 = 4.I1dengan pembagian arus :

I1 + I1 V1

V1 h 11 = I1R1 = 2

V2 =0

4I1 = =4 I1I2 +

R3 = 3 -I2

R2 = 6

V2 = 0 -

IR2 -

dari rangkaian ini terlihat bahwa :R 2 .I1 6.I1 2 I2 = = = I1 R2 + R3 6 + 3 3

2 I 2 = I1 3

sehingga :h 21 = I2 I1V2

2 .I1 2 = 3 = I1 3 =0

Selanjutnya untuk mencari h12 dan h22, maka terminal input dibuka dan pasangkan sumber tegangan V2 pada terminal output.R1 = 2 + I1 = 0 V1 R2 = 6 R3 = 3 ++ -

I2

V2

maka menurut rangkaian pembagi tegangan :

V1 =

R2 6 2 .V2 = .V2 = .V2 R2 + R3 6+3 3

V2 = (R 2 + R 3 ).I 2 = (6 + 3).I 2 = 9.I 2sehingga :

V1 h 12 = V2

I1 =0

2 .V2 2 3 = = V2 3

dan

h 22

I2 = V2

I1 =0

I2 1 = = S 9.I 2 9

kalau digambarkan rangkaian ekivalennya :

6.5 Parameter gParameter g sering juga disebut sebagai kebalikan / invers dari parameter h Bentuk persamaan matriks dari parameter g ini adalah :

I1 g11 V = g 2 21

g12 V1 g 22 I 2

sebagai determinan dari parameter g :

g =

g11 g 21

g12 g 22

= g11.g 22 g12 .g 21

g 11 = g 21 =

I1 V1 V2 V1

I 2 =0

I 2 =0

Gambar 6.17 Rangkaian untuk menentukan harga-harga g11 dan g21g 12 = g 22 = I1 I2

V1 =0

V2 I2

V1 =0

Gambar 6.18 Rangkaian untuk menentukan harga-harga g12 dan g22

Gambar 6.19 Bentuk ekivalen dari parameter g

Contoh : Carilah parameter g dari rangkaian berikut ini :

Jawab : Untuk mencari g11 dan g21 pasang pada sumber tegangan V1 pada terminal input sedangkan terminal output terbuka.I1 + V1 + V1 R2 = 1 I2 = 0 + V2 -

dari rangkaian ini terlihat bahwa :

R s1 = R 2 + R 3 = 1 + 0,5 = 1,5 Maka :I1 =

R p1 =

R1.R s1 0,5 x 1,5 0,75 = = = 0,375 R1 + R s1 0,5 + 1,5 2

Sehingga :

V1 V1 = = 2,667. V1 R p1 0,375

g11 =Karena :I R3

I1 V1

=I 2 =0

2,667.V1 = 2,667 S V1

R1 0,5 = I1 = I1 = 0,25. I1 R 1 + R s1 0,5 + 1,5

V

2

= I R 3 .R 3 = 0,25.I1.0,5 = 0,125.I1

I1 = 2,667. V1 maka : V1 =

I1 = 0,375 .I1 2,667

Maka :

g 21

V2 = V1

I 2 =0

0,125.I1 = = 0,333 0,375.I1

Selanjutnya untuk mendapatkan g12 dan g22, maka hubung singkat terminal input, sedangkan pada terminal output dipasangkan sumber arus I2.I1 + R1 = 0,5 R3 = 0,5 V1 = 0 R2 = 1 IR2 + V2 IR3 I2 I2

Dari rangkaian terlihat :IR2 = R3 0,5 .I 2 = .I 2 = 0,333.I 2 = I1 R2 + R3 1 + 0,5g12 = I1 I2 =V1 =0

I1 = I R 2 = 0.333. I 2

sehingga :

0.333.I 2 = 0,333 I2

dari rangkaian juga terlihat bahwa R2 paralel R3 atau :Rp = R 2 .R 3 1 x 0,5 = = 0,333 R 2 + R 3 1 + 0,5

V2 = R p. I 2 = 0.333. I 2

sehingga :

g 22

V2 = I2

V1 =0

0,333 I 2 = = 0,333 I2

Kalau digambarkan rangkaian ekivalennya :

6.6 Parameter ABCDParameter ini sering juga disebut sebagai parameter transmisi (transmission parameters). Bentuk persamaan matriks dari parameter ABCD ini adalah :

V1 A I = C 1 A C

B V2 D I 2 B D

dan sebagai determinan dari parameter ABCD adalah :

ABCD = T =

= AD BCAD BC = 1

dalam keadaan resiprokal berlaku :

A=

I1 V2 V1 V2

I 2 =0

C=

I 2 =0

Gambar 6.21. Rangkaian untuk menentuka A dan C dari parameter ABCD

B=

V1 V2 I1 I2

V2 =0

D=

V2 =0

Gambar 6.22 Rangkaian untuk menentukan B dan D pada parameter ABCD

Contoh : Carilah parameter ABCD dari rangkaian di bawah ini :

Jawab : Untuk menghitung A dan C, pasangkan sumber tegangan V1 pada terminal input sedangkan terminal output dibuka seperti rangkaian di bawah ini :I1 + I R1 V1 + R2 = 1 IR3 I2 = 0 + V2 -

dari rangkaian terlihat bahwa :I R1 = I R3 = R2 + R3 1 + 0,5 .I1 = .I1 = 0,75.I1 Amp R1 + R 2 + R 3 0,5 + 1 + 0,5 R1 0,5 .I1 = .I1 = 0,25.I1 Amp R1 + R 2 + R 3 0,5 + 1 + 0,5

V1 = R 1.I R1 = 0,5 x 0,75.I1 = 0,375. I1V2 = R 3 .I R 3 = 0,5 x 0,25.I1 = 0,125. I1I1 = V2 = 8.V2 0,125

Maka di dapat :

V1 A= V2

I 2 =0

0,375.I1 = =3 0,125.I1

dan

I1 C= V2

I 2 =0

8.V2 = =8S V2

Untuk mencari B dan D, maka terminal output dihubung singkat, sedangkan V1 dipasangkan pada terminal input.I1 + I R1R1 = 0,5 R2 = 1

I2 = 0 IR3R3 = 0,5

+ V2 = 0 -

V1

+ -

V1 R1

V1 R2

dari rangkaian ekivalennya didapat :

V1 = R 2 x (I 2 ) = 1.(I 2 ) = I 2

V1 V1 V1 V1 I1 = + = + = 3.V1 R 1 R 2 0,5 1

I1 = 3.V1 = 3 x (I 2 ) = 3.I 2Maka di dapat :

V1 B= I2

V2 =0

I2 = = 1 dan I2

D=

I1 I2

=V2 =0

3. I 2 =3 I2

6.7 Parameter abcdParameter abcd disebut sebagai inverse dari parameter ABCD Bentuk persamaan matriks dari parameter ABCD ini adalah :

V2 a I = c 2

b V1 d I1

dan sebagai determinan dari parameter ABCD adalah :

abcd = t =

a c

b d

= a.d b.c

dan bilamana kutub empat ini bersifat resiprokal, maka berlaku : a.d b.c = 1

I1 = 0+ V1 -

a=

V2 V1

I2I1 =0

+ + -

I c= 2 V1

V2

I1 =0

Gambar 6.23 Rangkaian untuk menentuka a dan c dari parameter abcd

b=

V2 I1 I2 I1

V1 =0

d=

V1 =0

Gambar 6.24 Rangkaian untuk menentukan b dan d pada parameter abcd

Contoh : Carilah parameter abcd dari rangkaian di bawah ini :

Jawab : Untuk mencari a dan c, pasangkan sumber tegangan V2 pada terminal output dan buka terminal input seperti rangkaian di bawah ini :

dari rangkaian dapat dihitung :V2 V2 2 I4 = = = V2 Amp R 1 + R 2 0,5 + 1 3

V1 = I 4 x R 1 =

2.V2 V x 0,5 = 2 3 3

V2 2 V2 2 8V2 I 2 = I3 + I 4 = + V2 = + V2 = R3 3 0,5 3 3

Maka di dapat :

V2 a= V1I2 V1

I1 =0

V2 = =3 V2 38V2 3 =8S

c=

=I1 =0

V2

3

Untuk mencari b dan d, maka hubung singkaat input, sedangkan output tetap dengan sumber tegangan V2

dari rangkaian ekivalen dapat dihitung : V2 = R2.I6 = 1.I6 = I6V I 2 =I 5 + I 6 = 2 + I 6 R3

I6 = -I1I2 =

V2 = -I1

V2 I I1 = 1 I1 = 3.I1 R3 0,5

Maka di dapat :b= V2 I1 =V1 =0

I1 =1 I1

dan

d=

I2 I1

=V1 =0

3.I1 =3 I1

6.8 Konversi Antar Parameter

6.9 Interkoneksi Antar Kutub Empat6.9.1 Kutub Empat dengan Hubungan Seri

Gambar 6.25 Hubungan seri dua rangkaian kutub empat

Untuk Na :

V1a = z11a I1a + z12a I 2a V2a = z 21a I1a + z 22a I 2aV1b = z11b I1b + z12b I 2b V2b = z 21b I1b + z 22b I 2bI1 = I1a = I1b I 2 = I 2a = I 2 b

Untuk Nb :

dengan :

V1 = V1a + V1b = (z11a + z11b ) I1 + (z12a + z12b ) I 2 V2 = V2a + V2 b = (z 21a + z 21b ) I1 + (z 22a + z 22b ) I 2maka parameter z dari dua kutub empat yang di serikan adalah :

z11 z 21

z12 z11a + z11b = z + z z 22 21a 21b

z12a + z12b z 22a + z 22b

6.9.2 Kutub Empat dengan Hubungan Paralel

Gambar 6.26 Hubungan paralel dari dua buah rangkaian kutub empat

Dalam hubungan ini berlaku :

I1a = y11a V1a + y12a V2a I 2a = y 21a V1a + y 22a V2a

dan

I1b = y11b V1b + y12b V2b I 2b = y 21b V1b + y 22b V2 b

dari rangkaian Gambar 6.26, terlihat :I1 = I1a + I1b I 2 = I 2a + I 2 b

I1 = (y11a + y11b ) V1 + (y12a + y12 b ) V2 I 2 = (y 21a + y 21b ) V1 + (y 22a + y 22 b ) V2maka untuk kutub empat dengan parameter y yang terhubung paralel berlaku :

y11 y 21atau :

y12 y11a + y11b = y y 22 21a + y 21b

y12a + y12b y 22a + y 22b

[y] = [y a ] + [y b ]

6.9.3 Kutub Empat dengan Hubungan Kaskade

Gambar 6.27 Dua rangkaian kutub empat dalam hubungan kaskade

Persamaan dari kedua kutub empat dalam parameter ABCD adalah :V1a A a I = C 1a a B a V2a D a I 2a V1b A b I = C 1b b B b V2b D b I 2b

dan

dari rangkaian pada Gambar 6.27 terlihat bahwa :

V1 V1a I = I 1 1a akan diperoleh :

;

V2a V1b I = I ; 2a 1b

V2b V2 I = I 2b 2

V1 A a I = C 1 a

B a A b D a C b

Bb V 2 D b I 2

sehingga apabila dua parameter ABCD dihubungkan kaskade, maka parameter keseluruhan adalah merupakan hasil perkalian dari setiap parameter yang dihubungkan secara kaskade tersebut, atau dituliskan dengan :

A C

B A a = C D a

B a A b D a C b

Bb Db

atau :

[T ] = [Ta ] + [Tb ]