81

4 FLEXION

Las vigas son elementos que estn principalmente sometidos a una carga perpendicular a su eje longitudinal, que produce momentos y fuerzas cortantes, y prcticamente no hay carga axial, si la conexin es resistente a momento se tiene: (F.2.6 NSR-10)

4.1 TEORIA DE VIGAS

Una viga est bajo un momento flector constante, se trata de encontrar los esfuerzos , deformaciones y curvaturas en cualquier nivel, medidos desde el eje neutro. Para ello se requiere cinemtica, equilibrio y las leyes constitutivas del material.

Cinemtica: Estudia las deformaciones de la estructura. Se define como la deflexin de la viga perpendicular al eje longitudinal. x = x x Curvatura : Radio de curvatura.

82

Se supone que las secciones permanecen planas durante la flexin, la deformacin de una fibra a una distancia y del eje neutro es: =

Equilibrio: Se define el momento como: = :Distancia desde el eje centroidal hasta donde se calcula el Esfuerzo.

La carga axial se define: = = 0Seccion solo bajo flexin.

Ley constitutiva: Se supone un comportamiento elasto-plstico para el acero, no hay esfuerzos residuales para efectos de demostracin.

4.2 COMPORTAMIENTO ELASTICO

Si = = , Reemplazando: =

Usando = = = =0

Donde: = 0 Primer momento de rea respecto a un eje centroidal.

Cuando F = 0, el Eje Neutro se localiza en un eje centroidal.

Tomando momentos respecto al E.N. M =ydA = y. E. y. . dA = Ey&dA

83

Donde: y&dA = I Segundo momento de rea o de Inercia. M = EI = EI y = EI Ey = Iy = )* y Cuando y+, = C = )* C = )- , donde S = */ Modulo Elastico de la seccin.

Si no hay esfuerzos residuales, el limite elstico ocurre cuando +, =Fy (Primera fluencia) M0 = S. Fy Momento en la primera fluencia

4.3 COMPORTAMIENTO PLSTICO.

La ecuacin P = dA = 0 no se puede igualar a cero y&dA = 0, ya que en el comportamiento inelstico no se sabe si el eje neutro es centroidal. Por lo tanto la ecuacin = 34 no se puede aplicar. El mximo esfuerzo es Fy.

La variacin de esfuerzos normales producidos por flexin al aumentar la curvatura se muestran a continuacin:

Mp: Momento plstico, momento para que todas las fibras de la seccin fluyan. El LFRD, Mp es un limite superior a Mn, Mn

84

4.4 SECCION PLASTIFICADA Y EJE NEUTRO PLASTICO (ENP)

Para calcular Mp, primero se debe calcular el ENP, no necesariamente es el centroide, se puede hallar usando P=0 P = dA =.5 6dA +.56 8dA = 0.58 A6 = reaCompresin A8 = reaTensin

Esfuerzos de Compresin y Tensin: A = y C =

Fy: Esfuerzo de fluencia igual en toda la seccin. (El mismo valor). D = + .EA = 0.EC

Por lo tanto Ac = At, el Eje Neutro Plstico (ENP) se localiza donde un eje que tiene la misma rea por encima que por debajo.

En el LRFD la localizacin del eje centroidal es y y en ENP es "G".

4.5 MOMENTO PLASTICO Mp (F.2.6.2-1 NSR-10) =

Tomando momentos con respecto a ENP, = en toda la seccin. H = = = I,JKLI =

Z: Modulo plstico de la seccin. Tabulado en el manual AISC-LRFD, alrededor de cada eje principal usando segmentos: I = NN

N: rea del elemento O N: Distancia desde el ENP al centroide N.

4.5.1 Vigas rectangulares.

85

I = bhR12 C = Y+, = h 2V S = */ = WXYW Modulo elstico. +, =MS = Mbh& 6V = 6Mbh& My = SFy = bh&6 Fy

En la seccin plastificada, el ENP coincide con el eje centroidal principal tiene reas iguales. [M\]^ = 0 Mp = C h4 + T h4 Mp = Fy h2 h4 b + Fy h2 h4 b Mp =bh&4 Fy

Usando Z = Aaya Z = bh2 h4 +bh2 h4 = bh&4 Por lo tanto: Mp = ZFy = WXYb Fy

4.5.2 Momento Curvatura No hay endurecimiento por deformacin esfuerzos residuales.

86

Se define )c)d : FactordeForma Indica cuanto momento adicional puede introducirse en la seccin despus de la primera fluencia en la fibra externa, hasta plastificar toda la seccin. MfM0 =

bh&4 Fybh&6 Fy = 1.5 La mayora de los perfiles W 1.09 3G3j 1.15

4.6 ESFUERZOS RESIDUALES - La primera fluencia se presenta a un menor valor de My. - Causan reduccin de rigidez (menor pendiente EI de la curva M-) - Causan pandeo temprano en la aleta a compresin de vigas.

Fr: Mximo esfuerzo residual de compresin en aletas. Fr 70MPa Para perfiles laminados en caliente Fr 110MPa Para perfiles soldados. Mr: Momento ala primera fluencia con esfuerzos residuales.

Efecto esfuerzos residuales sobre la curva M-. La seccin resiste Mp, pero la primera fluencia My ocurre anticipadamente a Mr.

87

= klm + = kn + o k = n o nOo = 0,o = n =

PROBLEMA: Calcular Mp para el perfil mostrado de acero A36, con flexin alrededor del eje fuerte Mpx y dbil Mpy.

Mpx: el ENP se localiza en el centroide de reas iguales. Zx = [Aaya = p4x200x223 + 221x2x110.5rx2 = 454482mmR Mpx = ZxFy = 545.482x248 = 112.7kN.m

Mpy ENP est en el centroide. Zy = [Aaya = p100x4x50x2 + 442x1x0.5rx2 = 80442mmR Mpy = ZyFy = 80442x248 = 19.9kN.m

PROBLEMA: Calcular Mpx para la viga T mostrada.

88

rea aleta = 200 x 8 = 1600 mm rea Alma = 292 x 5 = 1460 mm

Se observa por inspeccin que el ENP queda dentro de la aleta. Tomando el primer momento respecto al ENP. wxyz{ =wxyz& 200{ = 1460 + 2008 { 200{ = 1460 + 1600 200{ 400{ = 3060 y{ = 7.65mm A{ = 7.65 200 = 1530mm& A& = 1460 + 0.35 200 = 1530mm& Mpx = ZxFy Zx =[Aaya = 200 7.65 7.652 + 200 0.35 0.352 + 292x5 }0.35 + 2922 ~ Zx =[Aaya = 219535.5mmR Mpx = ZxFy = 219535.5x248 = 54.44kN.m

PROBLEMA: Calcular Mpx usando los datos ejemplo anterior, si la aleta tiene un Fy = 248 MPa y el alma tiene un Fy = 345MPa.

El ENP debe localizarse usando P = 0, si estuviera en la unin de las dos platinas. P{ = Fuerza por encima del ENP P& = Fuerza por debajo del ENP P{ = 200 8 248 = 396.8kN P& = 292 5 345 = 503.7kN

El ENP se localiza en el alma, igualando P{ = P& en funcin de la distancia a la fibra inferior y P{ = 396.8 + 292 y 5 345

89

P& = 5y 345 900500 1.725.000y = 1.725.000y 900500 = 3.450.000y y = 0.261m = 261mm Mpx = ZxFy Mpx = 396.8 10 0.031 + 0.004 + 345 10 0.031 0.0312 0.05 + 345 10 0.261 0.005 0.2612 = 73.5kN.m

4.6 COMPORTAMIENTO DE VIGAS DE ACERO Si se lleva a cabo un experimento sobre una viga simplemente apoyada como se muestra en la figura, se obtienen los resultados cualitativos P- y M- mostrados a continuacin.

En el experimento mostrado arriba, una carga P se aplica a una viga simplemente apoyada. Al graficar P contra la deflexin de la viga , la carga aumenta hasta alcanzar un mximo y empieza a caer, es decir, hasta el colapso de la viga. A una carga D, la viga no puede resistir momentos adicionales, es decir, sufre una falla de flexin. El momento de flexin mximo que la viga puede soportar sin fallar se define como y representa la resistencia nominal a flexin. Se determina considerando todos los posibles modos de falla a flexin, a saber (Tabla F.2.6-1 Diseo a Flexin).

1. Pandeo local: pandeo local de la aleta o patn (PLP) y pandeo local del alma (PLA) (F2.6.3.2 y F.2.6.4.3).

2. Pandeo lateral torsional (PLT) (F2.6.3.1 y F.2.6.4.2). 3. Plastificacin completa de la seccin y falla por deformacin excesiva (F.2.6.6.1)

90

Tabla F.2.6-1 Seleccin de los numerales aplicables para el diseo a Flexin

91

Cuando una viga se somete a un momento flector, una parte de su seccin transversal est en compresin y otra parte est en tensin, como se muestra en la siguiente figura.

La parte de la seccin bajo compresin puede fallar por inestabilidad (PLP, PLA o PLT). A continuacin se ilustra el pandeo local de la aleta o patn (PLP).

En la siguiente figura se ilustra el pandeo local del alma (PLA).

El pandeo lateral torsional se observa en la figura siguiente, donde la aleta superior est sometida a compresin. La seccin no solamente se torsiona sino que sufre un desplazamiento lateral. As mismo el pandeo ocurre entre riostras o soportes laterales.

92

En el caso del pandeo lateral torsional (PLT), la aleta en compresin se pandea lateralmente (como una columna) entre arriostramientos laterales. La aleta en tensin no se pandea y por lo tanto se resiste al movimiento lateral de la aleta en compresin. El resultado final es que la viga se desplaza lateralmente y se torsiona (lo que explica el nombre de la falla: pandeo lateral torsional). Para prevenir esta falla, la aleta en compresin de la viga debe arriostrarse lateralmente.

El momento que una viga puede soportar antes de que el pandeo lateral torsional ocurra entre riostras laterales depende de la longitud arriostrada . Al disminuir , el momento flector que el perfil resiste sin pandeo lateral torsional aumenta (en forma similar al comportamiento de una columna).

4.6.1 Riostras Laterales para Vigas

En una estructura real, el arriostramiento lateral de las vigas es proporcionado por miembros transversales a ella o por la placa de entrepiso de concreto en edificios. La riostra lateral debe satisfacer al menos uno de los requisitos siguientes:

1. Prevenir el desplazamiento lateral de la aleta en compresin. 2. Prevenir el torsionamiento de la seccin transversal.

En el caso mostrado en la figura, la viga transversal acta como una riostra lateral para la viga principal ya que previene el desplazamiento lateral de la aleta en compresin de la viga principal.

La losa de piso en un edificio proporciona arriostramiento lateral continuo a la aleta en compresin por lo que = 0 y por lo tanto, el pandeo lateral torsional no es posible.

93

Si la aleta inferior de la viga estuviera en compresin, la losa de piso de concreto no servira de arriostramiento lateral ya que no puede prevenir el desplazamiento lateral. El desplazamiento lateral de la aleta inferior en compresin puede ser impedido por miembros diagonales (generalmente son ngulos) como se muestra en la siguiente figura:

Si no existe una losa de concreto que proporcione arriostramiento continuo, un entramado transversal, como el que se muestra en la figura de abajo, puede utilizarse para prevenir el torsionamiento de las vigas y por lo tanto acta como un arriostramiento lateral de cada viga. Cualquiera de las aletas de las vigas puede estar en compresin.

4.6.2 Tipos de Comportamiento de Vigas en Flexin. Dependiendo de cuando ocurre la inestabilidad (PLP, PLA, PLT) durante la aplicacin de la carga sobre la viga, se tienen tres posibles tipos de comportamiento en los que se puede presentar falla as:

1. Falla en el intervalo elstico. 2. Falla en el intervalo inelstico. 3. Falla en el intervalo plstico.

Para ilustrar estos intervalos de comportamiento, se presentan los resultados cualitativos de un experimento de una viga simplemente apoyada en trminos de momento en el centro de la luz contra la deflexin en el mismo lugar.

94

Falla en el Intervalo Elstico: La falla por inestabilidad ocurre antes de que el elemento alcance su momento k, (momento a la primera fluencia, esfuerzos residuales). La viga es elstica cuando el pandeo ocurre y la viga falla esencialmente sin ductilidad.

Falla en el Intervalo Inelstico La inestabilidad se presenta a un momento entre kG. La viga es inelstica al presentarse pandeo, pero la falla muestra poca o ninguna ductilidad.

Falla en el Intervalo Plstico. La falla por inestabilidad ocurre despus de que la viga alcanza su momento plstico, G y mantiene esta resistencia para deformaciones inelsticas grandes. Las vigas que fallan en este intervalo de comportamiento exhiben una ductilidad grande.

: Desplazamiento lateral

El reglamento tiene diferentes ecuaciones que gobiernan el diseo de vigas para cada uno de estos tres intervalos de comportamiento.

4.7 DISEO DE VIGAS A FLEXIN (F.2.6.1)

Procedimiento de Diseo Hallar Mu y Vu por anlisis estructural. Calcular la resistencia nominal a flexin Mn y resistencia nominal a cortante Vn. Definir y con = 0.9 para Flexion (F.2.6.1) y = 0.9 (F.2.7.1) Verificar las condiciones de servicio, deflexiones por carga viva.

95

En cada punto a lo largo de la longitud de la viga, se debe satisfacer la siguiente ecuacin: = 0.90

Donde , es el momento bajo cargas mayoradas (del anlisis estructural) y es la resistencia nominal de flexion de la viga. : Resistencia a flexin de vigas, calculada con base en PLP, PLA, PLT o de G = Ij 1.5j

4.7.1 Mn basado en PLP Pandeo Local de la Aleta o Patn y PLA Pandeo Local del Alma

En general, la resistencia basada en PLP y PLA depende de dos variables: 1. Relacin ancho-espesor de la aleta o el alma. 2. j

El NSR-10 usa el smbolo para la relacin ancho-espesor. Para una seccin de ala ancha, los valores para se definen como 2 para PLP y A V para PLA. Para determinar con base en PLP y PLA, el valor se compara con G y k. =

2 para PLP = A V para PLA Para perfiles W laminados en caliente G,aletas de perfiles en I, canales y secciones T (Secciones compactas F.2.4.1) y k (secciones no compactas) Tabla F2.2.4.1.b, G y k se definen como sigue: V Fr = 70MPa Para acero A36 f = 0.38E F0V = 170F0 y = 380F0 70 1.0 EFy Para acero grado 50

= 380F0 70 1.18 EFy70MPa V f =1700F0 3.76E F0V y = 5.70E F0V 2580F0

96

Secciones Compactas Para el caso de las secciones con G, denominadas secciones compactas. Esto quiere decir que el pandeo local no ocurre hasta que la viga alcanza Gy mantiene G a grandes deformaciones inelsticas. Si las aletas se conectan continuamente en el alma y V G, en ninguno de los elementos en compresin Tabla (F2.2.4.1.b). Falla por pandeo local en el intervalo plstico. El pandeo local no ocurre hasta alcanzar G

Secciones No Compactas . Cuando G k la seccin se denomina no compacta y la falla por pandeo local odurre en el intervalo inelstico a un momento flector entre kG.

Secciones Esbeltas si La falla por pandeo local V k ocurre en el intervalo elstico a un momento menor que k.

Segn el NSR-10: Las secciones solicitadas a flexin se clasifican como secciones compactas, no compactas o con elementos esbeltos. Una seccin se clasifica como compacta si sus aletas se conectan continuamente al alma o las almas y la relacin ancho a espesor no excede el lmite p de la tabla F.2.2.4-1b en ninguno de sus elementos a compresin. Si la relacin ancho a espesor excede el lmite p de la tabla F.2.2.4-1b en alguno de los elementos a compresin, sin que se exceda el lmite r de la misma tabla en ninguno de ellos, la seccin se clasifica como seccin no compacta. Si la relacin ancho a espesor de algn elemento a compresin excede el lmite r de la tabla F.2.2.4-1b, se clasifica como una seccin con elementos esbeltos.

La mayora de perfiles W, son compactos para PLP y PLA de acero A36 y grado 50, el pandeo no ocurre hasta alcanzar = G. El pandeo local puede ocurrir en:

1. Perfiles W laminados j > 345D 2. Perfiles W soldados de lmina delgada. 3. ngulos, perfiles WT y secciones diferentes a W

97

98

PROBLEMA: Para un perfil W18x40 grado 50, hallar Mn con base en PLP y PLA. Del manual del AISC se obtiene:

Para PLP

< 2 = 5.7 < G = 9.15 = G G = 0.38200000345 = 9.15k = 1.0200000345 = 24.1

Para PLA

= A V = 51 < G = G G = 3.76200000345 = 90.53k = 5.70200000345 = 137.2 = Ij

4.8 VIGAS COMPACTAS LATERALMENTE SOPORTADAS.

1) = G seccion compacta para PLP y PLA. 2) La aleta en compresin est arriostrada, = G para pandeo lateral torsional. M = Mf M

Existen dos diseos: 1. Usando anlisis elstico M = Mf M (mas usado) 2. Usando anlisis plsticos M = Mf M (mtodo simplificado)

La diferencia radica en el calculo de MyP

Procedimiento Diseo elstico:

1. Hallar los diagramas de MyV (Manual AISC casos tpicos) 2. Seleccionar el perfil mas liviano que cumpla Mf M (Tablas) 3. Verificar la seccin compacta PLP y PLA 4. Verificar espaciamiento Lb de soportes laterales para PLT, para que M = Mf 5. Verificar V V 6. Verificar las deflexiones. +, < R por carga viva de servicio. L: longitud libre de la

viga.

99

PROBLEMA: Una viga de L =8 m empotrada en los extremos, bajo una carga W = 60kN/m (incluye peso propio), tiene soporte lateral a PLT M = Mf. La deflexin bajo carga viva del servicio W = 30kN/m, debe ser menor a L 360V . Hallar el perfil W de A36 que cumplas con las condiciones dadas.

Diseo a flexin: Para secciones compactas: = G 320 G = 3200.9 = 356

Mdulo plstico I Mf = Z,F0Z, = )cd Z, = 356 10R248 10 = 1.43 10Rm3 = 1435 10mm3 = 87.6pg

De las tablas Load Factor Desing Selection Table el perfil mas liviano que cumple es W21x44 (Z, = 95.4pg

Verificacin Seccin Compacta b 2t = 7.1 y h6 tV = 53.5 Limites para PLP: G = {&b = 10.8y k = 1.0&&b = 28.4 Limites para PLAG = 108 y k = 248

100

Por lo tanto la seccin es Compacta.

Revisin de Resistencia al Corte = 240 = 0.6j = 0.9 20.66 25.4 0.35 25.4 0.6 248 = 625HL

Deflexin adm = R = 22.2mm < b384 = 30 10 8.0b384 200 10 843 0.0254b = 4.56 10R = 4.56HL

4.11 DISEO ELSTICO POR ESFUERZOS DE FLEXIN CON MOMENTO UNIFORME ENTRE SOPORTES LATERALES ( = . ). ECUACIONES BSICAS (F.3.6.2.2 NSR-10).

Se considerar PLT solo en perfiles I y C con Simetra Doble, solicitados por Flexin alrededor de su Eje Mayor, o con flexin alrededor del eje fuerte. Para otros perfiles el NSR-10 da las ecuaciones de M con base en PLT. El PLT no ocurre en perfiles W con flexin alrededor eje dbil, seccin cajn alrededor de cualquier eje y seccin circular.

La ecuacin de diseo para esfuerzos de flexin en vigas laminadas I y C usando anlisis elstico es:

= 0.90

4.11.1 Secciones Compactas, perfiles I o W y flexin alrededor del eje fuerte. Cb=1.0

Mn basado en pandeo lateral torsional PLT (F.2.6.2.2). Se define Mn para seccin I basada en PLT con base en:

Lb: Distancia entre arriostramientos laterales. Forma del diagrama de momentos entre arriostramientos, factor CW Fy Propiedades de la seccin transversal: X{, X&, V0, S,, Z, C GC = 1.0

101

FIG. 3.1 Momentos de flexin LRFD2006

Arriostramiento lateral: Tramo de viga entre soportes laterales, de longitud L y momento flector constante. L: Longitud comprendida entre 2 puntos que estn arriostrados contra desplazamiento lateral de la aleta en compresin o torsin de la seccin transversal. (mm).

i. Secciones compactas con LW Lf y Pandeo local del patn y el alma PLP y PLA p

G = I. No se aplica estado limite PLT.

102

Para flexin alrededor del eje mayor la distancia Lb entre puntos arriostrados al desplazamiento lateral de la aleta en compresin para prevenir el giro, no debe exceder el valor de Lp.

H = 1.76o Lf 790r0F0 paraE = 200GPa H = 300o paraE = 29.000ksi

ii. Flexin alrededor del eje mayor secciones compactas Lf < LW L

M = Mf Mf M LW LfL Lf H k = n. o M = 0.70F0S,(Acero A36)

iii Secciones compactas y no compactas LW > L M =M/ = F/S, Mf(Ecuacin anloga a la ecuacin de Euler en columnas.)

El lmite de la longitud Lr correspondiente al momento de pandeo Mr es:

Lk = 1.95oCm 0.7j n +} n~& + 6.76 }0.7j ~& oCm& =jn donde: r8: Radio efectivo de giro usado en calculo de L para PLT. E = modulo de elasticidad del acero =200.000 MPa J = constante torsional, mm4 Sx = mdulo elstico de seccin alrededor del eje x, mm3 ho = distancia entre centroides de aletas, mm

El factor c se calcula:

Para secciones en I de simetra doble, c=1.0

Canales, c = & 4j Para secciones en I de simetra doble, con aletas rectangulares, Cw = 4j&b , rts se convierte en:

103

oCm = J2n rts puede aproximarse de manera conservadora al radio de giro de la seccin conformada por la aleta a compresin ms un sexto del alma: oCm = 12}1 + . 6~

Otra forma ms simplificada de de calcular Lr es con la siguiente ecuacin:

Lk = { rjj k 1 +1 + &j k& X{ = S,EGJA2 X& = 4 CI0 }S,GJ ~&

E: Mdulo de elasticidad del acero: 200 GPa. G: Mdulo de cortante del acero = 77 GPa. A: rea seccin (mm) S,: Mdulo elstico alrededor del eje mayor (mm) I0: Momento de Inercia alrededor del eje y (mmb) J: Constante torsional de Saint Venant (mmb) C: Constante de alabeo (mm) CW: Factor de modificacin para PLT CW = 1.0 Fr: Esfuerzos residuales de compresin en la aleta F = 70MPaPerfil laminado en caliente F = 110MPaPerfiles soldados

= oCmV 1 + 0.078An oCmV &

= = L j +} ~& j = n{2L rjV 1 +{&&2 L rjV

4.11.2 Secciones No Compactas, perfiles I o W y flexin alrededor del eje fuerte. Cb=1.0

Todos los perfiles laminados W son compactos, excepto W40X174, W14X99, W14X90, W12X65, W8X10 y W6X15, para Fy=345 MPa, y W6X15 para Fy = 248 MPa. El esfuerzo de diseo en flexin es M. El momento de diseo en flexin para secciones no compactas es M

104

i. Lb Lp. Para secciones no compactas con pandeo local p r, secciones I o W laminadas flexin alrededor del eje mayor o menor, es el menor valor del pandeo local y del alma determinado por:

M = Mf Mf M cc H = h/tw

Para PLP Fy=50 ksi bf 2tfV f = dPerfiles I bf tfV = {b{0{Perfiles C

Para PLA Fy=50 ksi h twV f = bdPerfiles I h twV = 0Perfiles C Lp = Lp Lp Lr Mp MnMp Mr

Las secciones con relacin ancho-espesor que excedan los valores para tienen formas esbeltas y no pueden ser analizados con estas ecuaciones (Apndice B.5.3 LRFD)

ii. Lp

105

La mxima longitud no arriostrada, asociada con el mximo esfuerzo de diseo en flexin Mn y Mp para Lm y Lm respectivametne.

FIG. 4-1 AISC LRFD 1999

Mn: Mximo momento en la viga sin que ocurra PLT. Resistencia Nominal a flexin. M =CWM/{ Mf M = CWM/{ Mf CW = {&.)&.)R)b)R) R+ 3.0 Frmula 1994 LRFD del AISC. M+,: Valor absoluto del mximo momento del segmento no arriostrado. M5: Valor absoluto a LWde la longitud no arriostrada : Valor absoluto a L de la longitud no arriostrada M/: Valor absoluto a LW de la longitud no arriostrada Rm: Parmetro de monosimetra Rm=1.0 para miembros de doble simetra Rm=1.0 para miembros de simetra simple flexionados en curvatura simple

Rm=0.5 + 2 }*d/d ~&para miembros de simetra simple flexionados en curvatura doble Iy = momento de inercia alrededor del eje principal "y" mm4 Iyc = momento de inercia de la aleta a compresin, o de la aleta ms pequea cuando la curvatura es doble, alrededor del eje "y" , mm4

106

Se permite suponer conservadoramente = 1.0 En voladizo con el extremo sin arriostrar = 1.0 Formula de se desarrollo de manera que dependa de la forma y no de los valores.

Tabla 3.1 Valores de Cb LRFD2006

107

Momento uniforme doble simetra

= E = = = = {&.3&.3R3b3R3 1.0 = {&.3{&.3 = 1.0Notienesignos

Momentos opuestos iguales.

= E = = 2,V = 0 = 12.52.5 + 32 + 40 + 32 1.0 =12.55.5 = 2.273

Viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida. = = &8 E = = 3&32 = 0.75

108

CW = 12.5M+,2.5M+, + 3 0.75M+, + 4M+, + 3 0.75M+, 1.0 = 12.5M+,11M+, = 1.14 CW: Determina la rotacin del momento en la luz no arriostrada, LW, al aumentar el gradiente, CW aumenta y M basado en PLT aumenta. El peor caso es el de momento constante, toda la aleta en compresin esta bajo M+,

4.12.1 Secciones Compactas, perfiles I o W y flexin alrededor del eje fuerte. Cb>1.0

i. LW L+ bM = bMf No se aplica estado limite PLT.

ii LW > L+ bM =CWpbMCW = 1r bMf

Para Lm Lr Lm = Lp + CbMp Mpo HMp Mr

Para Lm >Lr

L = . H . . 2 1 + 1 + 4H&&&&

Los valores de Cb para los cuales Lm y Lm son iguales a Lr para cualquier forma rolada es:

109

= I 10n

4.12.2 Secciones No Compactas, perfiles I o W y flexin alrededor del eje fuerte. Cb>1.0

i. LW L+

WM =WM < WMf No se aplica estado limite PLT.

ii LW > L+ bM =CWpbMCW = 1r WM

Para Lm Lr Lm = Lp + CbMn Mno HMp Mr

Para Lm >Lr L = . H . . 2 1 + 1 + 4H&&&&

4.13 DISEO DE VIGAS I COMPACTAS, CON SIMETRIA DOBLE Y CANALES, SOLICITADO POR FLEXION ALREDEDOR DE SU EJE MAYOR (F.2.6.2) Para cada vano debe revisarse : Momento mayorado en la longitud no arriostrada . Procedimiento:

1. Calcular 2. Calcular LGLk 3. Si < LG, = G, sino evaluar = 1 con las ecuaciones de F.2.6.2 NSR-10. 4. Calcular resistencia de diseo ={ 5. Alternativamente usar tabla de diseo del manual del AISC. Se entra con se lee { y se calcula ={

PROBLEMA: El perfil W21x44 grado 50 tiene soportes laterales en sus extremos. Hallar la carga mxima que resiste la viga. Este ejercicio se compara primero con Lm no Lp.

110

= 12.52.5 + 3 0.75 + 4 + 3 0.75 1.0 = 12.511 = 1.14

W21x44

Ag= 13pg Sx= 81.6pgR { = 1550ksi Ix= 843pgb Zx= 95.4pgR & = 36600*10 {mN Iy= 20.7pgb oj = 1.26H

k = nj k = 1.337 10RR 345 70 = 367.7 G = Ij = 1.563 10RR 345 10 = 539.4 LG = 1.76rj x = 1.76 32 &Rb = 135.6 = 1.36 { = 10686.9D& = 7.699 10b1/D

Lk = rjj k1 + 1 + &j k& = 32 1.069 10b345 70 1 + 1 + 7.699 10b345 70&= 3667.1 Lk = 3.67

La longitud no arriostrada de la viga L = 4.0 > Lk = 3.67 El momento resistente = = n G = n{2L rjV 1 +

{&&2L rjV = 1.33710R 1.069 10b 24000 32V 1 + 1.069 10

b&7.699 10b24000 32V

111

= 315.7 ={ = 1.14 0.9 315.7 = 323.9

Usando &8 323.9 = 162

- Se verifica que la seccin sea compacta.

PLP G = {Rb = 9.15 k = 24.1 = 2 = 7.2 < G PLA G = 90.53 y k = 137.2 =A V = 53.6< G La Seccin es Compacta.

PROBLEMA: Realizar el ejercicio anterior, pero se coloca un soporte para PLT en el centro. Usar Rm=1.0.

M+&2 2 M = &2 +2 EL 8V = L 8V &2 +2 8V EL 8V = &128 +&16 = & + 8&128 EL 8V = 7&128 = 0.4375 L 4V = 4V &2 +2 4V

112

L 4V = 3&32 = 0.75 3L 8V = 3L 8V &2 +2 3L 8V = 9L&128 + 3L&16 = 9L& + 24L&128 3L 8V = 15L&128 = 0.9375

= 12.52.5 + 3 0.4375 + 40.75 + 3 0.9375 1.0 = 12.59.625 = 1.30 Como LG = 1.36 < L = 2.0 Lk = 3.67 { = G G k L LGLk LG k = 0.70jn = 0.70 345 1.337 10R = 323 { = 539.4 539.4 323 2.0 1.363.67 1.36 = 479.4 ={ = 1.30 479.4 0.9 = 561 La carga mxima es Y = 561, = 280.5

4.14 PROCEDIMIENTO DE DISEO PARA ENCONTRAR ELPERFIL W MASLIVIANO DE UNA VIGA CON DIAGRAMA DE M Y ARRIOSTRAMIENTOS LATERALES.

1. Calcular segmento crtico. 2. Para = 1.0, M=cte, (caso critico), usar las tablas del AISC para vigas con longitud no

arriostrada mayor a G. Se localiza y cualquier viga cuya curva este arriba y a la derecha de esta parte, tiene una resistencia adecuada. La seccin ms liviana corresponde a la curva solida ms cercana.

3. Para > 1.0, = { G La viga debe satisfacer y { . Se pueden seguir dos mtodos. 3.1. Suponer que el criterio = G controla el diseo, se selecciona un perfil de las

tablas del AISC para vigas lateralmente soportadas. Revisar el perfil. 3.2. Suponer que < G controla debido a PLT, seleccionar el perfil de las tablas del

AISC, con longitud no arriostrada mayor a LG con momento requerido { = V . Revisar el perfil.

113

PROBLEMA: La viga mostrada tiene soportes laterales en los extremos y las puntas indicadas. Hallar el perfil ms liviano W A36 con > 300, para = 1.0 y = 3.0, despreciar el peso propio. Existen tres segmentos para PLT.

Para los tramos - A y C, = 1.67 - B , = 1.0 Controla PLT

Usando Tabla seleccin de diseo Factor de Carga con = 0.90. GHo = 9.84 Y > 221.3OHHOL, LLKLKo1258

Tablas de Diseo por Factor de Carga para perfiles usados como vigas. Esta tabla se usa para la seleccin de vigas basado en la flexin. Se selecciona la viga lateralmente soportada entrando en la tabla con el modulo plstico requerido Zx, Longitud no arriostrada Lb o momento mayorado Mu, y se compara con los valles de Zx o bMp. La tabla es aplicable para vigas con Lb < Lr. Para vigas con Lb>Lp, no se recomienda usar los grficos de vigas no arriostradas. Las tablas son adecuadas para vigas adecuadamente arriostradas (braced), vigas simplemente apoyadas con carga uniformemente distribuida en toda su longitud o carga simtrica. Se listan los perfiles en grupos con seccin del modulo plstico decendente Zx.

bMp= bZx.Fy: Momento plstico mximo de diseo bMr: Momento lmite de pandeo. Lp: Limite lateral no arriostrado de la aleta en compresin para capacidad de momento plstico total y momento uniforme. Lr: Longitud limite lateral no arriostrada para pandeo inelstico lateral torsional BF: Factor que puede ser usado para calcular el momento resistente bMn para vigas con longitud no arriostrada entre Lp

114

WM = WSx. Fy FrBF = W Mp MrL LfK = pH Hr H Procedimiento de Diseo:

4.15 DISEO PLSTICO: Los diagramas de y se basan en anlisis simplificados. Anlisis Plstico. La capacidad de una viga no se consume cuando se llega a Gen algn lugar, sino que los momentos se redistribuyen a otras partes menos esforzadas. El diseo plstico da una estimacin ms real de la capacidad de carga de la viga y puede producir un diseo ms econmico.

Rtula Plstica: Base del anlisis plstico, cuando la seccin llega a G, la viga puede rotar sin cambio en el momento, la rtula plstica se comporta como una articulacin. Una Simplificacin es que la viga se mantiene elstica hasta el mayor G y la relacion es:

Si se forman varias rtulas, puede ocasionar inestabilidad interna formando un mecanismo y fallar por deflexin excesiva.

4.15.1 Diseo plstico. El esfuerzo de fluencia que puede ser usado en anlisis plstico es 65 ksi. El anlisis plstico esta limitado para formas compactas definido en la tabla B.5.1 LRFD 1999. bM = bMf =bZ,F0 M = S,F0 F

115

Para PLP Fy=50 ksi bf 2tfV f = dPerfiles I bf tfV = {b{0{Perfiles C

Para PLA Fy=50 ksi h twV f = bdPerfiles I

Adicionalmente el LRFD especifica para flexin alrededor del eje fuerte, la longitud no arriostrada de la aleta en compresin para la localizacin de una articulacin plstica asociada al mecanismo de falla, no puede ser mayor a:

Lpd: Lmite de longitud no arriostrada

Lf =24800 + 15200M1M2Fy ry Lf =3600 + 2220M1M2Fy ry M1: momento mas pequeo de la longitud no arriostrada M2: Momento mas grande de la longitud no arriostrada M1/M2: Positivo para doble curvatura.

4.16 NALISIS PLSTICO DE VIGAS INDETERMINADAS La formacin de una rotula reduce el grado de indeterminacin esttica GIE en uno. La viga soporta carga hasta generar un numero de rotulas para formar un mecanismo. Para una Viga doblemente empotrada:

El Diagrama de momento es elstico, hasta que alcanza G en los apoyos y se forman rotulas plsticas. : Carga adicional que puede soportar la viga sin fallar hasta que el momento en el centro de la luz, llegue a G y se forma una nueva rotula plstica.

116

Despus se vuelve una Viga simplemente apoyada: Se forman rotulas plsticas en los extremos.

Mecanismo de colapso.

Momento Final.

La relacin carga desplazamiento es:

Requisitos diseo plstico: La viga puede llegar a G 1. Viga compacta PLP, PLA < G 2. Viga esta soportada lateralmente para prevenir PLT, hasta llegar a G. Debe cumplir la

longitud no arriostrada G

4.17 DISEO POR CORTANTE EN VIGAS

Los esfuerzos cortantes se definen por = 4. En vigas rectangulares el esfuerzo cortante se calcula tomando el primer momento de rea respecto al eje centroidal:

117

=

+

=

24

2

222

12yhb

yh

yyhbxQ

= R12

== =

214

2

221

yhbybdxydAxQhy

=

24

2

2yh

IV

= 32 1 }2 ~& = 32 Usando la formula anterior, la distribucin de esfuerzos en una viga I es:

La formula no puede usarse para calcular los esfuerzos cortantes en las aletas, debido al cambio de seccin anchos, soldadura. Produce una distribucin compleja de esfuerzos, que difieren de las calculadas.

Para efectos de diseo y con base en lo anterior, se asume que el cortante es resistido por el rea del alma Aw.

= C Esfuerzo cortante promedio sobre el alma y toma toda la fuerza cortante.

118

ECUACION DE DISEO: = 0.902.7.1n 10 Los estados limites de resistencia: (F2.7.2)

- Fluencia por cortante. - Pandeo inelstico del alma cortante. - Pandeo elstico del alma cortante.

La fluencia por cortante ocurre cuando = 0.6j = C = 0.6j = 0.6j : Resistencia nominal al cortante para almas rigidizadas. : Coeficiente de cortante en el alma. Para h twV 59 incluye perfiles W y canales. Para Fy=50 ksi se tiene 0.6Fy=30 ksi = 0.6 [ksi] = 27 Para 59 < h twV 74 = 0.9 CV [ksi] Para h twV > 74 = {R&. CV Y [ksi]

PANDEO POR CORTANTE DEL ALMA:

Depende de la esbeltez V y la distancia entre rigidizadores del alma a.

119

El pandeo por cortante no controla la resistencia s:

1) Para almas de perfiles laminados I con C 2.24 x = 1.0 = 1.0 2) Para almas de todos los otros perfiles, simetra doble o simple, canales, se calcula como

(No incluye PTE) a) C 1.10x = 1.0 b) 1.10x C 1.37x = 1.10

c) C > 1.37x = {.{x Y

Aw: rea del alma h: Perfiles laminados: Distancia libre entre aletas, menos el filete. h: Perfiles armados: Distancia libre entre aletas, menos el filete. h: Perfiles armados Pernos: Distancia libre entre conectores.

Se calcula con: a) Almas sin rigidizadores transversales con C < 260, = 5.0,para perfiles T, = 1.20 b) Almas con rigidizadores = 5 + 5 V & = 5.0 V > 3.0 o V > &.

& No se requieren rigidizadores transversales cuando: (F.2.7.2-2)

120

C 2.46 x o cuando la resistencia al cortante es menor que la calculada para = 5.0 Los rigidizadores deben cumplir

mC R mC: Momento de Inercia. Rigidizador transversal respecto al plano medio del alma para rigidizadores dobles y respecto a la cara de contacto para rigidizadores simples.

: Menor de las dimensiones a y h. = 25 V & 2 0.50 Cuando se usan pernos para conectar rigidizadores, la separacin debe ser menor a 305mm, centro a centro y para soldadura filete la distancia entre soldadura debe ser menor a 16 o 250mm.

PROBLEMA: Revisar a cortante la viga W21x50 grado 50

Pu = 300kN

d = 20.83 = 529.1mm

tw = 0.38 = 9.65mm

Vu= 150kN

h = 18 = 457.2mm

= 0.6j = 0.6 345 10 0.5291 0.00965 1.0 = 1056.9 C = b.&. = 47.38 2.46&Rb = 59.23 No se necesitan rigidizadores. = 1.0 = 0.9 1056.9 = 951.2 > 150 =